David Mumford

David Bryant Mumford (nacido el 11 de junio de 1937) es un matemático estadounidense conocido por su trabajo en geometría algebraica y luego por su investigación sobre la visión y la teoría de patrones. Ganó la medalla Fields y fue miembro de MacArthur. En 2010 recibió la Medalla Nacional de Ciencias. Actualmente es profesor universitario emérito en la División de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Brown.

Vida temprana

Mumford nació en Worth, West Sussex en Inglaterra, de padre inglés y madre estadounidense. Su padre William abrió una escuela experimental en Tanzania y trabajó para las entonces recién creadas Naciones Unidas.

Asistió a la Academia Phillips Exeter, donde recibió un premio Westinghouse Science Talent Search por su proyecto informático basado en retransmisiones. Mumford luego fue a la Universidad de Harvard, donde se convirtió en alumno de Oscar Zariski. En Harvard, obtuvo la beca Putnam en 1955 y 1956. Completó su doctorado en 1961, con una tesis titulada Existencia del esquema de módulos para curvas de cualquier género. Se casó con Erika, autora y poeta, en 1959 y tuvieron cuatro hijos, Stephen, Peter, Jeremy y Suchitra. Actualmente tiene siete nietos.

Trabajar en geometría algebraica

El trabajo de Mumford en geometría combinó conocimientos geométricos tradicionales con las últimas técnicas algebraicas. Publicó sobre espacios de módulos, con una teoría resumida en su libro Geometric Invariant Theory, sobre las ecuaciones que definen una variedad abeliana, y sobre superficies algebraicas.

Sus libros Variedades abelianas (con C. P. Ramanujam) y Curvas sobre una superficie algebraica combinaron las teorías antiguas y nuevas. Sus notas de conferencias sobre teoría de esquemas circularon durante años en forma inédita, en un momento en que eran, junto al tratado Éléments de géométrie algébrique, la única introducción accesible. Ahora están disponibles como El Libro Rojo de Variedades y Esquemas (ISBN 3-540-63293-X).

Did you mean:

Other work that was less thoroughly written up were lectures on varieties defined by quadrics, and a study of Goro Shimura 's papers from the 1960s.

La investigación de Mumford contribuyó en gran medida a revivir la teoría clásica de las funciones theta, al demostrar que su contenido algebraico era amplio y suficiente para respaldar las partes principales de la teoría mediante referencia a análogos finitos del grupo de Heisenberg. Este trabajo sobre las ecuaciones que definen las variedades abelianas apareció en 1966-1967. Publicó algunos libros más de conferencias sobre la teoría.

También fue uno de los fundadores de la teoría de la incrustación toroidal; y buscó aplicar la teoría a las técnicas de bases de Gröbner, a través de estudiantes que trabajaron en computación algebraica.

Trabajo sobre patologías en geometría algebraica

En una secuencia de cuatro artículos publicados en el American Journal of Mathematics entre 1961 y 1975, Mumford exploró el comportamiento patológico en la geometría algebraica, es decir, fenómenos que no surgirían si el mundo de la geometría algebraica se portaron tan bien como cabría esperar al observar los ejemplos más simples. Estas patologías se dividen en dos tipos: (a) mal comportamiento en la característica p y (b) mal comportamiento en los espacios de módulos.

Patologías características-p

Did you mean:

Mumford 's philosophy in characteristic p was as follows:

Una característica no lineal p la variedad es análoga a un conjunto complejo general no kähler; en particular, una integración proyectiva de tal variedad no es tan fuerte como una métrica Kähler en un manifold complejo, y los teoremas Hodge-Lefschetz-Dolbeault en la cohomología de hoja se descomponen de todas las maneras posibles.

En el primer artículo de Patologías, Mumford encuentra una forma diferencial regular en todas partes en una superficie proyectiva lisa que no está cerrada, y muestra que la simetría de Hodge falla para las superficies clásicas de Enriques en la característica dos. Este segundo ejemplo se desarrolla con más detalle en el tercer artículo de Mumford sobre clasificación de superficies en la característica p (escrito en colaboración con E. Bombieri). Esta patología ahora puede explicarse en términos del esquema de superficie de Picard y, en particular, de su incapacidad de ser un esquema reducido, tema desarrollado en el libro de Mumford "Lectures on Curves on an Algebraic". Superficie". Luc Illusie (Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4) 12 (1979), 501–661 exploró peores patologías relacionadas con la torsión p en la cohomología cristalina.

En el segundo artículo de Patologías, Mumford da un ejemplo simple de una superficie en la característica p donde el género geométrico es distinto de cero, pero el segundo número de Betti es igual al rango de Néron– Grupo Severi. Otros ejemplos de este tipo surgen en la teoría de superficies de Zariski. También conjetura que el teorema de desaparición de Kodaira es falso para superficies en la característica p. En el tercer artículo, da un ejemplo de una superficie normal en la que falla la desaparición de Kodaira. El primer ejemplo de una superficie lisa en la que falla la desaparición de Kodaira lo dio Michel Raynaud en 1978.

Patologías de los espacios de módulos

En el segundo artículo de Patologías, Mumford encuentra que el esquema de Hilbert que parametriza curvas espaciales de grado 14 y género 24 tiene un componente múltiple. En el cuarto artículo de Patologías, encuentra curvas completas reducidas e irreducibles que no son especializaciones de curvas no singulares.

Este tipo de patologías se consideraban bastante escasas cuando aparecieron por primera vez. Pero recientemente, Ravi Vakil en un artículo llamado "La ley de Murphy en geometría algebraica" ha demostrado que los esquemas de Hilbert de objetos geométricos agradables pueden ser arbitrariamente "malos", con un número ilimitado de componentes y con multiplicidades arbitrariamente grandes (Invent. Math. 164 (2006), 569–590).

Clasificación de superficies

En tres artículos escritos entre 1969 y 1976 (los dos últimos en colaboración con Enrico Bombieri), Mumford amplió la clasificación Enriques-Kodaira de superficies proyectivas lisas del caso del campo terrestre complejo al caso de un campo terrestre algebraicamente cerrado. de característica p. La respuesta final resulta ser esencialmente la misma que la respuesta en el caso complejo (aunque los métodos empleados a veces son bastante diferentes), una vez que se hacen dos ajustes importantes. La primera es que uno puede obtener música "no clásica" superficies, que se producen cuando la torsión p en el esquema de Picard degenera a un esquema de grupo no reducido. La segunda es la posibilidad de obtener superficies cuasi elípticas en las características dos y tres. Se trata de superficies fibrosas sobre una curva donde la fibra general es una curva de género aritmético uno con una cúspide.

Una vez realizados estos ajustes, las superficies se dividen en cuatro clases según su dimensión Kodaira, como en el caso complejo. Las cuatro clases son: a) Dimensión de Kodaira menos infinito. Estas son las superficies regladas. b) Dimensión 0 de Kodaira. Estas son las superficies K3, superficies abelianas, superficies hiperelípticas y cuasihiperelípticas y superficies de Enriques. Hay ejemplos clásicos y no clásicos en los dos últimos casos de dimensión cero de Kodaira. c) Dimensión de Kodaira 1. Estas son las superficies elípticas y cuasi-elípticas no contenidas en los dos últimos grupos. d) Kodaira dimensión 2. Estas son las superficies de tipo general.

Premios y distinciones

Mumford recibió la medalla Fields en 1974. Fue un Becario MacArthur de 1987 a 1992. Ganó el Premio Shaw en 2006. En 2007, la Sociedad Estadounidense de Matemáticas le otorgó el Premio Steele de Exposición Matemática. En 2008 recibió el Premio Wolf; Al recibir el premio de manos de Shimon Peres en Jerusalén, Mumford anunció que donaría la mitad del dinero del premio a la Universidad Birzeit en los territorios palestinos y la otra mitad a Gisha, una organización israelí que promueve el derecho a la libertad de movimiento de los palestinos en la Franja de Gaza.. También formó parte del jurado de Ciencias Matemáticas del Premio Infosys en 2009 y 2010. En 2010 fue galardonado con la Medalla Nacional de Ciencias. En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas.

Existe una larga lista de premios y honores además de los anteriores, que incluyen

• Westinghouse Science Talent Search finalist, 1953.
• Junior Fellow en Harvard de 1958 a 1961.
• Elegido a la Academia Nacional de Ciencias en 1975.
• Honorary Fellow from Tata Institute of Fundamental Research in 1978.
• Honorario D. Sc. de la Universidad de Warwick en 1983.
• Extranjero de Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, en 1991.
• Miembro honorario de la Sociedad Matemática de Londres en 1995.
• Elegido a la Sociedad Filosófica Americana en 1997.
• Honorary D. Sc. from Norwegian University of Science and Technology in 2000.
• Honorary D. Sc. from Rockefeller University in 2001.
• Premio Longuet-Higgins en 2005 y 2009.
• Miembro Extranjero de la Sociedad Real en 2008.
• Miembro de la Academia de Ciencias y Letras de Noruega.
• Doctorado Honorario de la Universidad Brown en 2011.
• Premio Fundación BBVA 2012 Frontiers of Knowledge en la categoría Ciencias Básicas (junto con Ingrid Daubechies).
• Honoris Causa University of Hyderabad, India 2012

Fue elegido presidente de la Unión Matemática Internacional en 1995 y ocupó el cargo de 1995 a 1999.

Publicaciones

• Conferencias sobre curvas sobre superficies algebraicas (con George Bergman), Princeton University Press, 1964.
• Invariante geométrico Teoría, Springer-Verlag, 1965 - 2a edición, con J. Fogarty, 1982; 3a edición ampliada, con F. Kirwan y J. Fogarty, 1994.
• Mumford, David (1999) [1967], El libro rojo de variedades y esquemas, Notas de conferencias en matemáticas, vol. 1358 (expandidos, Incluye conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus Jacobianos ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b62130, ISBN 978-3-540-63293-1, MR 1748380
• Variedades abelianas, Oxford University Press, 1a edición 1970; 2a edición 1974.
• Seis apéndices a Superficies algebraicas por Oscar Zariski – 2a edición, Springer-Verlag, 1971.
• Embeddings toroidales I (con G. Kempf, F. Knudsen y B. Saint-Donat) Matemáticas #339, Springer-Verlag 1973.
• Curvas y sus Jacobianos , Universidad de Michigan Press, 1975.
• Compactación de las variaciones simétricas locales (con A. Ash, M. Rapoport y Y. Tai, Math. Sci. Press, 1975)
• Geometría algebraica I: Variedades de proyecto complejo, Springer-Verlag Nueva York, 1975.
• Tata Conferencias sobre Theta (con C. Musili, M. Nori, P. Norman, E. Previato y M. Stillman), Birkhäuser-Boston, Part I 1982, Part II 1983, Part III 1991.
• Filtro, Segmentación y Profundidad (con M. Nitzberg y T. Shiota), Computer Science #662, 1993.
• Dos y Tres Patrón Dimensional de la Cara (con P. Giblin, G. Gordon, P. Hallinan y A. Yuille), AKPeters, 1999.
• Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David (2002), Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781107050051.024, ISBN 978-0-521-35253-6, MR 1913879 Perlas de Indra: La visión de Felix Klein
• Documentos seleccionados sobre la clasificación de las variedades y los espacios de moduli, Springer-Verlag, 2004.
• Mumford, David (2010), Documentos seleccionados, Volumen II. Sobre geometría algebraica, incluyendo correspondencia con Grothendieck, Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-72491-1, MR 2741810
• Mumford, David; Desolneux, Agnès (2010), Teoría del patrón: El análisis estocástico de las señales del mundo real, A K Peters/CRC Press, ISBN 978-1568815794, MR 2723182
• Mumford, David; Oda, Tadao (2015), geometría algebraica. II., Texts and Reading in Mathematics, vol. 73, New Delhi: Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-80-9, MR 3443857