Curva

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En matemáticas, una curva (también llamada línea curva en textos antiguos) es un objeto similar a una línea, pero que no tiene que ser recto.

Intuitivamente, se puede pensar en una curva como la huella dejada por un punto en movimiento. Esta es la definición que apareció hace más de 2000 años en los Elementos de Euclides: "La línea [curva] es […] la primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin anchura ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que […] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de longitud, exento de toda anchura”.

Esta definición de curva se ha formalizado en las matemáticas modernas como: Una curva es la imagen de un intervalo a un espacio topológico por una función continua. En algunos contextos, la función que define la curva se denomina parametrización y la curva es una curva paramétrica. En este artículo, estas curvas a veces se denominan curvas topológicas para distinguirlas de curvas más restringidas, como las curvas diferenciables. Esta definición abarca la mayoría de las curvas que se estudian en matemáticas; las excepciones notables son las curvas de nivel (que son uniones de curvas y puntos aislados) y las curvas algebraicas (ver más abajo). Las curvas de nivel y las curvas algebraicas a veces se denominan curvas implícitas, ya que generalmente se definen mediante ecuaciones implícitas.

Sin embargo, la clase de curvas topológicas es muy amplia y contiene algunas curvas que no se ven como uno esperaría de una curva, o incluso no se pueden dibujar. Este es el caso de las curvas que llenan el espacio y las curvas fractales. Para asegurar una mayor regularidad, a menudo se supone que la función que define una curva es diferenciable, y entonces se dice que la curva es una curva diferenciable.

Una curva algebraica plana es el conjunto cero de un polinomio en dos indeterminados. Más generalmente, una curva algebraica es el conjunto cero de un conjunto finito de polinomios, que satisface la condición adicional de ser una variedad algebraica de dimensión uno. Si los coeficientes de los polinomios pertenecen a un campo k, se dice que la curva está definida sobre k. En el caso común de una curva algebraica real, donde k es el campo de los números reales, una curva algebraica es una unión finita de curvas topológicas. Cuando se consideran ceros complejos, uno tiene una curva algebraica compleja, que, desde el punto de vista topológico, no es una curva, sino una superficie, y a menudo se denomina superficie de Riemann. Aunque no son curvas en el sentido común, las curvas algebraicas definidas sobre otros campos han sido ampliamente estudiadas. En particular, las curvas algebraicas sobre un campo finito se utilizan ampliamente en la criptografía moderna.

Historia

El interés por las curvas comenzó mucho antes de que fueran objeto de estudio matemático. Esto se puede ver en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en objetos cotidianos que datan de tiempos prehistóricos. Las curvas, o al menos sus representaciones gráficas, son fáciles de crear, por ejemplo, con un palo en la arena de una playa.

Históricamente, el término línea se utilizó en lugar del término más moderno curva. Por lo tanto, los términos línea recta y línea recta se usaron para distinguir lo que hoy llamamos líneas de líneas curvas. Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos de Euclides, una línea se define como una "longitud sin anchura" (Def. 2), mientras que una línea recta se define como "una línea que yace uniformemente con los puntos sobre sí misma" (Def. 4). La idea de Euclides de una línea es tal vez aclarada por la afirmación "Los extremos de una línea son puntos" (Def. 3). Los comentaristas posteriores clasificaron además las líneas según varios esquemas. Por ejemplo:

Líneas compuestas (líneas que forman un ángulo)
Líneas no compuestas
- Determinado (líneas que no se extienden indefinidamente, como el círculo)
- Indeterminado (líneas que se extienden indefinidamente, como la línea recta y la parábola)

Los geómetras griegos habían estudiado muchos otros tipos de curvas. Una de las razones fue su interés en resolver problemas geométricos que no podían resolverse utilizando la construcción estándar de compás y regla. Estas curvas incluyen:

Las secciones cónicas, estudiadas en profundidad por Apolonio de Perge
La cisoide de Diocles, estudiada por Diocles y utilizada como método para doblar el cubo.
La concoide de Nicomedes, estudiada por Nicomedes como método tanto para duplicar el cubo como para trisecar un ángulo.
La espiral de Arquímedes, estudiada por Arquímedes como método para trisecar un ángulo y cuadrar el círculo.
Las secciones espíricas, secciones de toros estudiadas por Perseo como secciones de conos, habían sido estudiadas por Apolonio.

Un avance fundamental en la teoría de las curvas fue la introducción de la geometría analítica por parte de René Descartes en el siglo XVII. Esto permitió describir una curva usando una ecuación en lugar de una construcción geométrica elaborada. Esto no solo permitió definir y estudiar nuevas curvas, sino que también permitió hacer una distinción formal entre las curvas algebraicas que se pueden definir mediante ecuaciones polinómicas y las curvas trascendentales que no. Anteriormente, las curvas se habían descrito como "geométricas" o "mecánicas" según cómo se generaban o supuestamente se podían generar.

Las secciones cónicas fueron aplicadas en astronomía por Kepler. Newton también trabajó en un ejemplo temprano en el cálculo de variaciones. Las soluciones a problemas variacionales, como las cuestiones de la braquistocrona y la tautocrona, introdujeron propiedades de las curvas de formas nuevas (en este caso, la cicloide). La catenaria recibe su nombre como la solución al problema de una cadena colgante, el tipo de cuestión que se volvió accesible de forma rutinaria por medio del cálculo diferencial.

En el siglo XVIII se produjeron los inicios de la teoría de las curvas algebraicas planas, en general. Newton había estudiado las curvas cúbicas, en la descripción general de los puntos reales en 'óvalos'. El enunciado del teorema de Bézout mostró una serie de aspectos que no eran directamente accesibles a la geometría de la época, relacionados con puntos singulares y soluciones complejas.

Desde el siglo XIX, la teoría de curvas es vista como el caso especial de dimensión uno de la teoría de variedades y variedades algebraicas. Sin embargo, muchas preguntas siguen siendo específicas de las curvas, como las curvas que llenan espacios, el teorema de la curva de Jordan y el decimosexto problema de Hilbert.

Curva topológica

Una curva topológica se puede especificar mediante una función continua $gamma colon Irightarrow X$ desde un intervalo I de los números reales en un espacio topológico X. Hablando con propiedad, la curva es la imagen de $gamma.$ Sin embargo, en algunos contextos, $gama$ en sí misma se llama curva, especialmente cuando la imagen no se parece a lo que generalmente se llama una curva y no caracteriza suficientemente $gamma.$

Por ejemplo, la imagen de la curva de Peano o, de manera más general, una curva de relleno de espacio llena completamente un cuadrado y, por lo tanto, no da ninguna información sobre cómo $gama$ se define.

Una curva $gama$ es cerrada o es un lazo si $yo=[a,b]$ y $gamma (a)=gamma (b)$ . Una curva cerrada es, por lo tanto, la imagen de un mapeo continuo de un círculo.

Si el dominio de una curva topológica es un intervalo cerrado y acotado $yo=[a,b]$ , se le llama camino, también conocido como arco topológico (o simplementearco).

Una curva es simple si es la imagen de un intervalo o un círculo por una función continua inyectiva. En otras palabras, si una curva está definida por una función continua $gama$ con un intervalo como dominio, la curva es simple si y solo si dos puntos diferentes del intervalo tienen imágenes diferentes, excepto, posiblemente, si los puntos son los puntos extremos de el intervalo. Intuitivamente, una curva simple es una curva que "no se cruza a sí misma y no tiene puntos faltantes".

Una curva plana simple cerrada también se llama curva de Jordan. También se define como un bucle continuo que no se corta a sí mismo en el plano. El teorema de la curva de Jordan establece que el complemento conjunto en un plano de una curva de Jordan consta de dos componentes conectadas (es decir, la curva divide el plano en dos regiones que no se intersecan y ambas están conectadas).

Una curva plana es una curva para la cual $X$ es el plano euclidiano (estos son los primeros ejemplos encontrados) o, en algunos casos, el plano proyectivo.Una curva espacial es una curva para la cual $X$ es al menos tridimensional; una curva sesgada es una curva espacial que no se encuentra en ningún plano. Estas definiciones de curvas planas, espaciales y oblicuas también se aplican a las curvas algebraicas reales, aunque la definición anterior de una curva no se aplica (una curva algebraica real puede estar desconectada).

La definición de una curva incluye figuras que difícilmente pueden llamarse curvas en el uso común. Por ejemplo, la imagen de una curva simple puede cubrir un cuadrado en el plano (curva que llena el espacio) y por lo tanto tener un área positiva. Las curvas fractales pueden tener propiedades extrañas para el sentido común. Por ejemplo, una curva fractal puede tener una dimensión de Hausdorff mayor que uno (ver copo de nieve de Koch) e incluso un área positiva. Un ejemplo es la curva del dragón, que tiene muchas otras propiedades inusuales.

Curva diferenciable

En términos generales, una curva diferenciable es una curva que se define como la imagen local de una función derivable inyectiva $gamma colon Irightarrow X$ de un intervalo I de los números reales en una variedad diferenciable X, a menudo ${ matemáticas {R}}^{n}.$

Más precisamente, una curva diferenciable es un subconjunto C de X donde cada punto de C tiene una vecindad U tal que ${displaystyle Ccap U}$ es difeomorfa a un intervalo de los números reales. En otras palabras, una curva diferenciable es una variedad diferenciable de dimensión uno.

Arco diferenciable

En geometría euclidiana, un arco (símbolo: ⌒) es un subconjunto conectado de una curva diferenciable.

Los arcos de líneas se llaman segmentos o rayos, dependiendo de si están acotados o no.

Un ejemplo curvo común es un arco de un círculo, llamado arco circular.

En una esfera (o un esferoide), un arco de un gran círculo (o una gran elipse) se llama gran arco.

Longitud de una curva

Si ${displaystyle X=mathbb {R} ^{n}}$ es el $norte$ espacio euclidiano -dimensional, y si ${displaystyle gamma:[a,b]to mathbb {R} ^{n}}$ es una función inyectiva y continuamente diferenciable, entonces la longitud de $gama$ se define como la cantidad ${displaystyle operatorname {Longitud} (gamma)~{stackrel {text{def}}{=}}~int _{a}^{b}|gamma ,'(t)|~ matemáticas {d} {t}.}$

La longitud de una curva es independiente de la parametrización $gama$ .

En particular, la longitud $s$ de la gráfica de una función continuamente diferenciable $y=f(x)$ definida en un intervalo cerrado $[a,b]$ es ${displaystyle s=int _{a}^{b}{sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~mathrm {d} {x}.}$

De manera más general, si $X$ es un espacio métrico con métrica $d$ , entonces podemos definir la longitud de una curva ${ estilo de visualización gamma: [a, b] a X}$ por<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d89d0770bc4048fe812c11667d9d23d1eea8d28" alt="{displaystyle operatorname {Longitud} (gamma)~{stackrel {text{def}}{=}}~sup !left(left{sum _{i=1}^{n }d(gamma (t_{i}),gamma (t_{i-1}))~{Bigg |}~nin mathbb {N} ~{text{y}}~a=t_ {0}<t_{1}<ldots

donde el supremo se hace cargo de todas ${displaystyle nin mathbb {N} }$ y todas las particiones <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493e745c899905d8479a65c2081f1df2070ea6f6" alt="{displaystyle t_{0}<t_{1}<ldots de ${ estilo de visualización [a, b]}$ .

Una curva rectificable es una curva de longitud finita. Una curva ${ estilo de visualización gamma: [a, b] a X}$ se llama natural (o de velocidad unitaria o parametrizada por longitud de arco) si para cualquiera ${displaystyle t_{1},t_{2}en [a,b]}$ tal que ${displaystyle t_{1}leq t_{2}}$ , tenemos ${displaystyle operatorname {Longitud} !left(gamma |_{[t_{1},t_{2}]}right)=t_{2}-t_{1}.}$

Si ${ estilo de visualización gamma: [a, b] a X}$ es una función continua de Lipschitz, entonces es automáticamente rectificable. Además, en este caso, se puede definir la velocidad (o derivada métrica) de $gama$ at ${ estilo de visualización t en [a, b]}$ como ${displaystyle {operatorname {Velocidad}_{gamma}}(t)~{stackrel {text{def}}{=}}~limsup_{[a,b]ni sto t} {frac {d(gamma(s),gamma(t))}{|st|}}}$

y luego mostrar que ${displaystyle operatorname {Longitud} (gamma)=int _{a}^{b}{operatorname {Velocidad}_{gamma }}(t)~mathrm {d} {t}.}$

Geometría diferencial

Si bien los primeros ejemplos de curvas que se encuentran son en su mayoría curvas planas (es decir, en palabras cotidianas, líneas curvas en un espacio bidimensional), hay ejemplos obvios como la hélice que existe naturalmente en tres dimensiones. Las necesidades de la geometría, y también por ejemplo de la mecánica clásica, son tener una noción de curva en el espacio de cualquier número de dimensiones. En relatividad general, una línea de mundo es una curva en el espacio-tiempo.

Si $X$ es una variedad diferenciable, entonces podemos definir la noción de curva diferenciable en $X$ . Esta idea general es suficiente para cubrir muchas de las aplicaciones de las curvas en matemáticas. Desde un punto de vista local se puede tomar $X$ como espacio euclidiano. Por otro lado, es útil ser más general, en el sentido de que (por ejemplo) es posible definir los vectores tangentes a $X$ mediante esta noción de curva.

Si $X$ es una variedad suave, una curva suave $X$ es un mapa suave $gamma colon Irightarrow X$ .

Esta es una noción básica. También hay ideas cada vez más restringidas. Si $X$ es una $C^{k}$ variedad (es decir, una variedad cuyas gráficas son $k$ diferenciables continuamente por tiempos), entonces una $C^{k}$ curva en $X$ es una curva que solo se supone que es $C^{k}$ (es decir $k$ , derivable continuamente por tiempos). Si $X$ es una variedad analítica (es decir, infinitamente diferenciable y los gráficos se expresan como series de potencias) y $gama$ es un mapa analítico, entonces $gama$ se dice que es una curva analítica.

Se dice que una curva diferenciable esregular si su derivada nunca se anula. (En palabras, una curva regular nunca se desacelera hasta detenerse o retrocede sobre sí misma). Dos $C^{k}$ curvas diferenciables $gamma _{1} dos puntos I flecha derecha X$ y $gamma _{2}colon Jrightarrow X$

se dice que son equivalentes si existe una función $C^{k}$ biyectiva $pcolon Jrightarrow I$

tal que el mapa inverso $p^{-1}dos puntos Irightarrow J$

es también $C^{k}$ , y $gamma _{2}(t)=gamma _{1}(p(t))$

$t$ para todos El mapa $gamma _{2}$ se llama reparametrización de $gamma _{1}$ ; y esto hace una relación de equivalencia sobre el conjunto de todas $C^{k}$ las curvas diferenciables en $X$ . Un arco es una clase de equivalencia de curvas bajo la relación de reparametrización. $C^{k}$ $C^{k}$

Curva algebraica

Las curvas algebraicas son las curvas consideradas en geometría algebraica. Una curva algebraica plana es el conjunto de los puntos de coordenadas x, y tales que f (x, y) = 0, donde f es un polinomio de dos variables definido sobre algún cuerpo F. Se dice que la curva está definida sobre F. La geometría algebraica normalmente considera no solo los puntos con coordenadas en F sino todos los puntos con coordenadas en un campo K algebraicamente cerrado.

Si C es una curva definida por un polinomio f con coeficientes en F, se dice que la curva está definida sobre F.

En el caso de una curva definida sobre los números reales, normalmente se consideran puntos con coordenadas complejas. En este caso, un punto con coordenadas reales es un punto real, y el conjunto de todos los puntos reales es la parte real de la curva. Por lo tanto, solo la parte real de una curva algebraica puede ser una curva topológica (no siempre es así, ya que la parte real de una curva algebraica puede estar desconectada y contener puntos aislados). Toda la curva, es decir el conjunto de su punto complejo, es, desde el punto de vista topológico, una superficie. En particular, las curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares se denominan superficies de Riemann.

Los puntos de una curva C con coordenadas en un campo G se dice que son racionales sobre G y se pueden denotar C (G). Cuando G es el campo de los números racionales, se habla simplemente de puntos racionales. Por ejemplo, el último teorema de Fermat puede reformularse como: Para n > 2, todo punto racional de la curva de Fermat de grado n tiene una coordenada cero.

Las curvas algebraicas también pueden ser curvas espaciales, o curvas en un espacio de mayor dimensión, digamos n. Se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. Pueden obtenerse como soluciones comunes de al menos n –1 ecuaciones polinómicas en n variables. Si n –1 polinomios son suficientes para definir una curva en un espacio de dimensión n, se dice que la curva es una intersección completa. Mediante la eliminación de variables (mediante cualquier herramienta de la teoría de la eliminación), una curva algebraica puede proyectarse sobre una curva algebraica plana, que sin embargo puede introducir nuevas singularidades como cúspides o puntos dobles.

Una curva plana también puede completarse a una curva en el plano proyectivo: si una curva está definida por un polinomio f de grado total d, entonces w f (u / w, v / w) se simplifica a un polinomio homogéneo g (u, v, w) de grado d. Los valores de u, v, w tales que g (u, v, w) = 0son las coordenadas homogéneas de los puntos de terminación de la curva en el plano proyectivo y los puntos de la curva inicial son aquellos tales que w no es cero. Un ejemplo es la curva de Fermat u + v = w, que tiene una forma afín x + y = 1. Se puede definir un proceso similar de homogeneización para curvas en espacios de mayor dimensión.

A excepción de las líneas, los ejemplos más simples de curvas algebraicas son las cónicas, que son curvas no singulares de grado dos y género cero. Las curvas elípticas, que son curvas no singulares de género uno, se estudian en teoría de números y tienen aplicaciones importantes en criptografía.