Recta (geometría)

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En geometría, la noción de línea o línea recta fue introducida por los antiguos matemáticos para representar objetos rectos (es decir, sin curvatura) con un ancho y una profundidad insignificantes. Las líneas son una idealización de tales objetos, que a menudo se describen en términos de dos puntos (p. ej., ${displaystyle {overleftrightarrow {AB}}}$ ) o se los menciona con una sola letra (p. ej., $ana$ ).

Hasta el siglo XVII, las líneas se definían como la "[...] primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin ancho ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que [...] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de longitud, exento de toda anchura. [...] La línea recta es la que se extiende igualmente entre sus puntos".

Euclides describió una línea como "longitud sin anchura" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma"; introdujo varios postulados como propiedades básicas no demostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar confusiones con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana, proyectiva y afín).).

En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada, pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que se encuentran sobre él.

Cuando una geometría se describe mediante un conjunto de axiomas, la noción de línea generalmente se deja sin definir (lo que se denomina un objeto primitivo). Las propiedades de las líneas quedan entonces determinadas por los axiomas que se refieren a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que brinda a los usuarios de la geometría. Así, en geometría diferencial, una línea puede interpretarse como una geodésica (camino más corto entre puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas, una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas las combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar en la trayectoria de un rayo de luz como si fuera una línea.

Definiciones versus descripciones

Todas las definiciones son, en última instancia, de naturaleza circular, ya que dependen de conceptos que deben tener definiciones, una dependencia que no puede continuar indefinidamente sin volver al punto de partida. Para evitar este círculo vicioso, ciertos conceptos deben tomarse como conceptos primitivos; términos a los que no se les da ninguna definición. En geometría, es frecuente que el concepto de línea se tome como un primitivo. En aquellas situaciones en las que una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas, algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es un primitivo, el comportamiento y las propiedades de las líneas vienen dictados por los axiomas que deben satisfacer.

En un tratamiento axiomático simplificado o no axiomático de la geometría, el concepto de una noción primitiva puede ser demasiado abstracto para tratarlo. En esta circunstancia, es posible proporcionar una descripción o imagen mental de una noción primitiva, para dar una base para construir la noción sobre la que se basarían formalmente los axiomas (no enunciados). Algunos autores pueden referirse a descripciones de este tipo como definiciones en este estilo informal de presentación. Estas no son definiciones verdaderas y no podrían usarse en pruebas formales de declaraciones. La "definición" de línea en los Elementos de Euclides entra en esta categoría.Incluso en el caso de que se esté considerando una geometría específica (por ejemplo, la geometría euclidiana), no existe un acuerdo generalmente aceptado entre los autores sobre cuál debe ser una descripción informal de una línea cuando el tema no se trata formalmente.

En geometría euclidiana

Cuando Euclides formalizó la geometría por primera vez en los Elementos, definió una línea general (recta o curva) como "longitud sin anchura" y una línea recta como una línea "que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". Estas definiciones sirven de poco, ya que utilizan términos que no están definidos por sí mismos. De hecho, el mismo Euclides no usó estas definiciones en este trabajo, y probablemente las incluyó solo para dejarle claro al lector lo que se estaba discutiendo. En la geometría moderna, una línea se toma simplemente como un objeto indefinido con propiedades dadas por axiomas, pero a veces se define como un conjunto de puntos que obedecen a una relación lineal cuando algún otro concepto fundamental se deja sin definir.

En una formulación axiomática de la geometría euclidiana, como la de Hilbert (los axiomas originales de Euclides contenían varios defectos que han sido corregidos por los matemáticos modernos), se afirma que una línea tiene ciertas propiedades que la relacionan con otras líneas y puntos. Por ejemplo, para dos puntos distintos cualesquiera, existe una única línea que los contiene, y dos líneas distintas cualesquiera se intersecan como máximo en un punto. En dos dimensiones (es decir, el plano euclidiano), dos líneas que no se cortan se llaman paralelas. En dimensiones superiores, dos líneas que no se cortan son paralelas si están contenidas en un plano, o sesgadas si no lo están.

Cualquier colección de un número finito de líneas divide el plano en polígonos convexos (posiblemente ilimitados); esta partición se conoce como arreglo de líneas.

En coordenadas cartesianas

Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines, se caracterizan por ecuaciones lineales. Más precisamente, cada línea $L$ (incluidas las líneas verticales) es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen una ecuación lineal; es decir, ${displaystyle L={(x,y)midax+by=c},}$

donde a, b y c son números reales fijos (llamados coeficientes) tales que a y b no son ambos cero. Usando esta forma, las líneas verticales corresponden a ecuaciones con b = 0.

Además, se puede suponer c = 1 o c = 0, dividiendo todo por c si no es cero.

Hay muchas formas variantes de escribir la ecuación de una línea que se pueden convertir de una a otra mediante manipulación algebraica. El formulario anterior a veces se denomina formulario estándar. Si el término constante se pone a la izquierda, la ecuación se convierte en ${displaystyle hacha+por-c=0,}$

y esto a veces se llama la forma general de la ecuación. Sin embargo, esta terminología no es universalmente aceptada y muchos autores no distinguen estas dos formas.

Estos formularios (ver Ecuación lineal para otros formularios) generalmente se nombran por el tipo de información (datos) sobre la línea que se necesita para escribir el formulario. Algunos de los datos importantes de una línea son su pendiente, la intersección con el eje x, los puntos conocidos en la línea y la intersección con el eje y.

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos diferentes ${ estilo de visualización P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ y ${ estilo de visualización P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ puede escribirse como $(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0})$ .

Si x ₀ ≠ x ₁, esta ecuación se puede reescribir como $y=(x-x_{0}),{frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}$

o $y=x,{frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_ {1}}{x_{1}-x_{0}}},.$

Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas también se utilizan para especificar líneas, particularmente en aquellas en tres dimensiones o más porque en más de dos dimensiones las líneas no pueden describirse mediante una sola ecuación lineal.

En tres dimensiones, las líneas se describen con frecuencia mediante ecuaciones paramétricas: ${displaystyle x=x_{0}+en}$ ${displaystyle y=y_{0}+bt}$ ${displaystyle z=z_{0}+ct}$

donde:x, y y z son todas funciones de la variable independiente t que oscila entre los números reales.(x ₀, y ₀, z ₀) es cualquier punto de la recta.a, b y c están relacionados con la pendiente de la línea, de modo que el vector de dirección (a, b, c) es paralelo a la línea.

Las ecuaciones paramétricas para líneas en dimensiones más altas son similares en que se basan en la especificación de un punto en la línea y un vector de dirección.

Como nota, las líneas en tres dimensiones también pueden describirse como soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales. ${displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0}$ ${displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0}$

tales que $(a_1,b_1,c_1)$ y $(a_2,b_2,c_2)$ no son proporcionales (las relaciones ${displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}}$ implican $t=0$ ). Esto se debe a que, en tres dimensiones, una sola ecuación lineal generalmente describe un plano y una línea es lo que es común a dos planos de intersección distintos.

Forma pendiente-intersección

En dos dimensiones, la ecuación para líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección: ${ estilo de visualización y = mx + b}$

donde:m es la pendiente o gradiente de la línea.b es la intersección con el eje y de la recta.x es la variable independiente de la función y = f (x).

La pendiente de la recta que pasa por los puntos ${ estilo de visualización A (x_ {a}, y_ {a})}$ y ${ estilo de visualización B (x_ {b}, y_ {b})}$ , cuando ${displaystyle x_{a}neq x_{b}}$ , está dada por ${displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})}$ y se puede escribir la ecuación de esta recta ${displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}}$ .

Forma normal

La forma normal (también llamada forma normal de Hesse, en honor al matemático alemán Ludwig Otto Hesse), se basa en el segmento normal de una línea dada, que se define como el segmento de línea trazado desde el origen perpendicular a la línea. Este segmento une el origen con el punto más cercano de la recta al origen. La forma normal de la ecuación de una recta en el plano viene dada por: ${displaystyle xcos varphi +ysin varphi -p=0,}$

donde $varphi$ es el ángulo de inclinación del segmento normal (el ángulo orientado desde el vector unitario del eje x a este segmento), y p es la longitud (positiva) del segmento normal. La forma normal se puede derivar de la forma estándar $hacha+por=c$ dividiendo todos los coeficientes por ${displaystyle {frac {c}{|c|}}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

A diferencia de las formas pendiente-intersección e intersección, esta forma puede representar cualquier línea, pero también requiere que se especifiquen solo dos parámetros finitos, $varphi$ y p. Si p > 0, entonces el módulo 2 π $varphi$ está definido de forma única. Por otro lado, si la línea pasa por el origen (c = p = 0), se elimina c /| do | término para calcular y, y se deduce que sólo se define módulo π. $sin varphi$ $cosvarphi$ $varphi$

En coordenadas polares

En un plano cartesiano, las coordenadas polares (r, θ) están relacionadas con las coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones ${displaystyle x=rcos theta,quad y=rsin theta.}$

En coordenadas polares, la ecuación de una línea que no pasa por el origen, el punto con coordenadas (0, 0), se puede escribir ${displaystyle r={frac {p}{cos(theta -varphi)}},}$

con r > 0 y <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1694f9a16a0c3a2324ca2068282897fd88f9cadd" alt="{displaystyle varphi -pi /2<theta Aquí, p es la longitud (positiva) del segmento de recta perpendicular a la recta y delimitado por el origen y la recta, y $varphi$ es el ángulo (orientado) desde el eje x hasta este segmento.

Puede ser útil expresar la ecuación en términos del ángulo ${ estilo de visualización alfa = varphi + pi /2}$ entre el eje x y la línea. En este caso, la ecuación se convierte en ${displaystyle r={frac {p}{sin(theta -alpha)}},}$

con r > 0 y<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc2406024931342d6151fbedf13c84f7e9c05d2" alt="{displaystyle 0<theta

Estas ecuaciones se pueden derivar de la forma normal de la ecuación de línea estableciendo ${displaystyle x=rcos theta,}$ y ${displaystyle y=rsin theta,}$ luego aplicando la identidad de diferencia de ángulo para seno o coseno.

Estas ecuaciones también se pueden probar geométricamente aplicando las definiciones de seno y coseno del triángulo rectángulo al triángulo rectángulo que tiene un punto de la recta y el origen como vértices, y la recta y su perpendicular que pasa por el origen como lados.

Las formas anteriores no se aplican a una recta que pasa por el origen, pero se puede escribir una fórmula más sencilla: las coordenadas polares $(r,theta)$ de los puntos de una recta que pasa por el origen y forman un ángulo $alfa$ con el eje x $(r,theta)$ , son los pares tales ese ${displaystyle rgeq 0,qquad {text{y}}quad theta =alpha quad {text{o}}quad theta =alpha +pi.}$

Como una ecuación vectorial

La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B está dada por ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {OA} +lambda ,mathbf {AB} }$ (donde λ es un escalar).

Si a es el vector OA yb es el vector OB, entonces la ecuación de la recta se puede escribir: ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {a} +lambda (mathbf {b} -mathbf {a})}$ .

Un rayo que comienza en el punto A se describe limitando λ. Se obtiene un rayo si λ ≥ 0, y el rayo opuesto viene de λ ≤ 0.

En dimensiones superiores

En el espacio tridimensional, una ecuación de primer grado en las variables x, y y z define un plano, por lo que dos ecuaciones de este tipo, siempre que los planos a los que dan lugar no sean paralelos, definen una línea que es la intersección de los planos. De manera más general, en un espacio n -dimensional, n −1 ecuaciones de primer grado en las n variables de coordenadas definen una línea en condiciones adecuadas.

En el espacio euclidiano más general, R (y análogamente en cualquier otro espacio afín), la línea L que pasa por dos puntos diferentes a y b (considerados como vectores) es el subconjunto $L = {(1-t),a+t,bmid tinmathbb{R}}$

La dirección de la línea es de a (t = 0) a b (t = 1), o en otras palabras, en la dirección del vector b − a. Diferentes elecciones de a y b pueden producir la misma línea.

Puntos colineales

Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran en la misma línea. Tres puntos suelen determinar un plano, pero en el caso de tres puntos colineales esto no sucede.

En coordenadas afines, en el espacio n -dimensional los puntos X = (x ₁, x ₂,..., x _n), Y = (y ₁, y ₂,..., y _n), y Z = (z ₁, z ₂,..., z _n) son colineales si la matriz $begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_2 & dots & x_n \ 1 & y_1 & y_2 & dots & y_n \ 1 & z_1 & z_2 & dots & z_n end{bmatrix}$

tiene un rango menor que 3. En particular, para tres puntos en el plano (n = 2), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero.

De manera equivalente para tres puntos en un plano, los puntos son colineales si y solo si la pendiente entre un par de puntos es igual a la pendiente entre cualquier otro par de puntos (en cuyo caso la pendiente entre el par de puntos restante será igual a las otras pendientes). Por extensión, k puntos en un plano son colineales si y solo si cualquier par de puntos (k –1) tiene las mismas pendientes por pares.

En geometría euclidiana, la distancia euclidiana d (a, b) entre dos puntos a y b se puede utilizar para expresar la colinealidad entre tres puntos mediante:Los puntos a, b y c son colineales si y sólo si d (x, a) = d (c, a) y d (x, b) = d (c, b) implica x = c.

Sin embargo, hay otras nociones de distancia (como la distancia de Manhattan) para las que esta propiedad no es cierta.

En las geometrías donde el concepto de línea es una noción primitiva, como puede ser el caso de algunas geometrías sintéticas, se necesitan otros métodos para determinar la colinealidad.

Tipos de lineas

En cierto sentido, todas las líneas en la geometría euclidiana son iguales, en el sentido de que, sin coordenadas, no se pueden diferenciar unas de otras. Sin embargo, las líneas pueden desempeñar funciones especiales con respecto a otros objetos en la geometría y dividirse en tipos de acuerdo con esa relación. Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola), las líneas pueden ser:

líneas tangentes, que tocan la cónica en un solo punto;
rectas secantes, que intersecan a la cónica en dos puntos y pasan por su interior;
líneas exteriores, que no se encuentran con la cónica en ningún punto del plano euclidiano; o
una directriz, cuya distancia desde un punto ayuda a establecer si el punto está en la cónica.

En el contexto de determinar el paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que se cruza con otras dos líneas que pueden o no ser paralelas entre sí.

Para curvas algebraicas más generales, las líneas también podrían ser:

i -líneas secantes, que se encuentran con la curva en i puntos contados sin multiplicidad, o
asíntotas, a las que una curva se acerca arbitrariamente sin tocarla.

Con respecto a los triángulos tenemos:

la línea de Euler,
las líneas de Simson y
líneas centrales.

Para un cuadrilátero convexo con dos lados paralelos como máximo, la línea de Newton es la línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales.

Para un hexágono con vértices sobre una cónica tenemos la línea de Pascal y, en el caso especial en que la cónica es un par de líneas, tenemos la línea de Pappus.

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que nunca se cruzan. Las líneas que se cruzan comparten un solo punto en común. Las líneas coincidentes coinciden entre sí: cada punto que está en cualquiera de ellas también está en la otra.

Las rectas perpendiculares son rectas que se cortan en ángulo recto.

En el espacio tridimensional, las líneas oblicuas son líneas que no están en el mismo plano y, por lo tanto, no se cruzan entre sí.

En geometría proyectiva

En muchos modelos de geometría proyectiva, la representación de una línea rara vez se ajusta a la noción de "curva recta" tal como se visualiza en la geometría euclidiana. En geometría elíptica vemos un ejemplo típico de esto. En la representación esférica de la geometría elíptica, las líneas se representan mediante grandes círculos de una esfera con puntos diametralmente opuestos identificados. En un modelo diferente de geometría elíptica, las líneas se representan mediante planos euclidianos que pasan por el origen. Aunque estas representaciones son visualmente distintas, satisfacen todas las propiedades (como dos puntos que determinan una línea única) que las hacen representaciones adecuadas para líneas en esta geometría.

Extensiones

Rayo

Dada una línea y cualquier punto A sobre ella, podemos considerar que A descompone esta línea en dos partes. Cada una de esas partes se llama rayo y el punto A se llama su punto inicial. También se conoce como media línea, un medio espacio unidimensional. Se considera que el punto A es un miembro del rayo. Intuitivamente, un rayo consta de aquellos puntos en una línea que pasa por A y continúa indefinidamente, comenzando en A, en una sola dirección a lo largo de la línea. Sin embargo, para utilizar este concepto de rayo en las demostraciones se requiere una definición más precisa.

Dados los puntos A y B distintos, determinan un único rayo con punto inicial A. Como dos puntos definen una línea única, este rayo consta de todos los puntos entre A y B (incluidos A y B) y todos los puntos C en la línea que pasa por A y B, de modo que B está entre A y C. Esto, a veces, también se expresa como el conjunto de todos los puntos C en la línea determinada por A y B tales que Ano está entre B y C. Un punto D, en la recta determinada por A y B pero no en el rayo con punto inicial A determinado por B, determinará otro rayo con punto inicial A. Con respecto al rayo AB, el rayo AD se llama rayo opuesto.

Así, diríamos que dos puntos distintos, A y B, definen una recta y una descomposición de esta recta en la unión disjunta de un segmento abierto (A, B) y dos rayos, BC y AD (el punto D no está dibujado en el diagrama, pero está a la izquierda de A en la línea AB). Estos no son rayos opuestos ya que tienen diferentes puntos iniciales.

En geometría euclidiana, dos rayos con un extremo común forman un ángulo.

La definición de un rayo depende de la noción de intermediación de los puntos en una línea. De ello se deduce que los rayos existen solo para geometrías para las que existe esta noción, típicamente geometría euclidiana o geometría afín sobre un campo ordenado. En cambio, los rayos no existen en la geometría proyectiva ni en una geometría sobre un campo no ordenado, como los números complejos o cualquier campo finito.

Segmento de línea

Un segmento de línea es una parte de una línea que está delimitada por dos puntos finales distintos y contiene todos los puntos de la línea entre sus puntos finales. Dependiendo de cómo se defina el segmento de línea, cualquiera de los dos puntos finales puede o no ser parte del segmento de línea. Dos o más segmentos de línea pueden tener algunas de las mismas relaciones que las líneas, como ser paralelos, intersecantes o sesgados, pero a diferencia de las líneas, pueden no ser ninguna de estas, si son coplanares y no se intersecan o son colineales.

Geodésicas

La "corteza" y la "rectitud" de una línea, interpretada como la propiedad de que la distancia a lo largo de la línea entre cualquiera de sus dos puntos se minimiza (ver desigualdad triangular), se puede generalizar y conduce al concepto de geodésicas en espacios métricos.