Cuerpo rígido

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En física, un cuerpo rígido (también conocido como objeto rígido) es un cuerpo sólido en el que la deformación es cero o tan pequeña que se puede despreciar. La distancia entre dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido permanece constante en el tiempo independientemente de las fuerzas o momentos externos que se ejerzan sobre él. Un cuerpo rígido generalmente se considera como una distribución continua de masa.

En el estudio de la relatividad especial, no existe un cuerpo perfectamente rígido; y solo se puede suponer que los objetos son rígidos si no se mueven cerca de la velocidad de la luz. En mecánica cuántica, un cuerpo rígido generalmente se considera como una colección de masas puntuales. Por ejemplo, las moléculas (que consisten en masas puntuales: electrones y núcleos) a menudo se ven como cuerpos rígidos (consulte la clasificación de moléculas como rotores rígidos).

Cinemática

Posición lineal y angular

La posición de un cuerpo rígido es la posición de todas las partículas que lo componen. Para simplificar la descripción de esta posición, explotamos la propiedad de que el cuerpo es rígido, es decir, que todas sus partículas mantienen la misma distancia entre sí. Si el cuerpo es rígido, basta con describir la posición de al menos tres partículas no colineales. Esto hace posible reconstruir la posición de todas las demás partículas, siempre que se conozca su posición invariable en el tiempo con respecto a las tres partículas seleccionadas. Sin embargo, normalmente se utiliza un enfoque diferente, matemáticamente más conveniente, pero equivalente. La posición de todo el cuerpo está representada por:

la posición lineal o posición del cuerpo, es decir, la posición de una de las partículas del cuerpo, elegida específicamente como punto de referencia (que suele coincidir con el centro de masa o baricentro del cuerpo), junto con
la posición angular (también conocida como orientación o actitud) del cuerpo.

Así, la posición de un cuerpo rígido tiene dos componentes: lineal y angular, respectivamente. Lo mismo es cierto para otras cantidades cinemáticas y cinéticas que describen el movimiento de un cuerpo rígido, como la velocidad lineal y angular, la aceleración, el momento, el impulso y la energía cinética.

La posición lineal se puede representar mediante un vector con su cola en un punto de referencia arbitrario en el espacio (el origen de un sistema de coordenadas elegido) y su punta en un punto de interés arbitrario en el cuerpo rígido, que normalmente coincide con su centro de masa o centroide. Este punto de referencia puede definir el origen de un sistema de coordenadas fijado al cuerpo.

Hay varias formas de describir numéricamente la orientación de un cuerpo rígido, incluido un conjunto de tres ángulos de Euler, un cuaternión o una matriz de coseno director (también conocida como matriz de rotación). Todos estos métodos definen realmente la orientación de un conjunto base (o sistema de coordenadas) que tiene una orientación fija en relación con el cuerpo (es decir, gira junto con el cuerpo), en relación con otro conjunto base (o sistema de coordenadas), a partir del cual el movimiento de se observa el cuerpo rígido. Por ejemplo, un conjunto base con orientación fija relativa a un avión se puede definir como un conjunto de tres vectores unitarios ortogonales b ₁, b ₂, b ₃, tal que b ₁es paralela a la línea de cuerda del ala y está dirigida hacia adelante, b ₂ es normal al plano de simetría y está dirigida hacia la derecha, y b ₃ está dada por el producto vectorial $b_3 = b_1 times b_2$ .

En general, cuando un cuerpo rígido se mueve, tanto su posición como su orientación varían con el tiempo. En el sentido cinemático, estos cambios se conocen como traslación y rotación, respectivamente. De hecho, la posición de un cuerpo rígido puede verse como una traslación y rotación hipotética (rototraslación) del cuerpo a partir de una posición de referencia hipotética (que no coincide necesariamente con una posición que realmente toma el cuerpo durante su movimiento).

Velocidad lineal y angular

La velocidad (también llamada velocidad lineal) y la velocidad angular se miden con respecto a un marco de referencia.

La velocidad lineal de un cuerpo rígido es una cantidad vectorial, igual a la tasa de cambio en el tiempo de su posición lineal. Por lo tanto, es la velocidad de un punto de referencia fijado al cuerpo. Durante el movimiento puramente de traslación (movimiento sin rotación), todos los puntos de un cuerpo rígido se mueven con la misma velocidad. Sin embargo, cuando el movimiento involucra rotación, la velocidad instantánea de dos puntos cualesquiera del cuerpo generalmente no será la misma. Dos puntos de un cuerpo giratorio tendrán la misma velocidad instantánea solo si se encuentran en un eje paralelo al eje instantáneo de rotación.

La velocidad angular es una cantidad vectorial que describe la velocidad angular a la que cambia la orientación del cuerpo rígido y el eje instantáneo sobre el que gira (la existencia de este eje instantáneo está garantizada por el teorema de rotación de Euler). Todos los puntos de un cuerpo rígido experimentan la misma velocidad angular en todo momento. Durante el movimiento de rotación pura, todos los puntos del cuerpo cambian de posición, excepto los que se encuentran en el eje instantáneo de rotación. La relación entre orientación y velocidad angular no es directamente análoga a la relación entre posición y velocidad. La velocidad angular no es la tasa de cambio de orientación en el tiempo, porque no existe un concepto como un vector de orientación que pueda diferenciarse para obtener la velocidad angular.

Ecuaciones cinemáticas

Teorema de la suma de la velocidad angular

La velocidad angular de un cuerpo rígido B en un marco de referencia N es igual a la suma de la velocidad angular de un cuerpo rígido D en N y la velocidad angular de B con respecto a D: ${}^mathrm{N}!boldsymbol{omega}^mathrm{B} = {}^mathrm{N}!boldsymbol{omega}^mathrm{D} + {}^ mathrm{D}!boldsymbol{omega}^mathrm{B}.$

En este caso, los cuerpos rígidos y los marcos de referencia son indistinguibles y completamente intercambiables.

Teorema de adición para la posición

Para cualquier conjunto de tres puntos P, Q y R, el vector de posición de P a R es la suma del vector de posición de P a Q y el vector de posición de Q a R: $mathbf{r}^mathrm{PR} = mathbf{r}^mathrm{PQ} + mathbf{r}^mathrm{QR}.$

Definición matemática de velocidad

La velocidad del punto P en el marco de referencia N se define como la derivada temporal en N del vector de posición de O a P: ${}^mathrm{N}mathbf{v}^mathrm{P} = frac{{}^mathrm{N}mathrm{d}}{mathrm{d}t}(mathbf{r }^matemáticas{OP})$

donde O es cualquier punto arbitrario fijado en el marco de referencia N, y la N a la izquierda del operador d/ dt indica que la derivada se toma en el marco de referencia N. El resultado es independiente de la selección de O siempre que O sea fijo en N.

Definición matemática de aceleración

La aceleración del punto P en el marco de referencia N se define como la derivada temporal en N de su velocidad: ${}^mathrm{N}mathbf{a}^mathrm{P} = frac{^mathrm{N}mathrm{d}}{mathrm{d}t} ({}^mathrm{ N}mathbf{v}^mathrm{P}).$

Velocidad de dos puntos fijos en un cuerpo rígido

Para dos puntos P y Q que están fijos en un cuerpo rígido B, donde B tiene una velocidad angular $scriptstyle{^mathrm{N}boldsymbol{omega}^mathrm{B}}$ en el marco de referencia N, la velocidad de Q en N se puede expresar como una función de la velocidad de P en N: ${}^mathrm{N}mathbf{v}^mathrm{Q} = {}^mathrm{N}!mathbf{v}^mathrm{P} + {}^mathrm{N} boldsymbol{omega}^mathrm{B} times mathbf{r}^mathrm{PQ}.$

donde ${displaystyle mathbf {r} ^{mathrm {PQ} }}$ es el vector de posición de P a Q.

Aceleración de dos puntos fijos en un cuerpo rígido

Derivando la ecuación de la Velocidad de dos puntos fijos en un cuerpo rígido en N con respecto al tiempo, la aceleración en el marco de referencia N de un punto Q fijo en un cuerpo rígido B se puede expresar como ${}^mathrm{N}mathbf{a}^mathrm{Q} = {}^mathrm{N}mathbf{a}^mathrm{P} + {}^mathrm{N}boldsymbol {omega}^mathrm{B} times left({}^mathrm{N}boldsymbol{omega}^mathrm{B} times mathbf{r}^mathrm{PQ} right) + {}^mathrm{N}boldsymbol{alpha}^mathrm{B} times mathbf{r}^mathrm{PQ}$

donde $scriptstyle{{}^mathrm{N}!boldsymbol{alpha}^mathrm{B}}$ es la aceleración angular de B en el marco de referencia N.

Velocidad angular y aceleración de dos puntos fijos en un cuerpo rígido

Como se mencionó anteriormente, todos los puntos en un cuerpo rígido B tienen la misma velocidad angular ${}^mathrm{N}boldsymbol{omega}^mathrm{B}$ en un marco de referencia fijo N y, por lo tanto, la misma aceleración angular ${}^mathrm{N}boldsymbol{alpha}^mathrm{B}.$

Velocidad de un punto que se mueve sobre un cuerpo rígido

Si el punto R se mueve en el cuerpo rígido B mientras B se mueve en el marco de referencia N, entonces la velocidad de R en N es ${}^mathrm{N}mathbf{v}^mathrm{R} = {}^mathrm{N}mathbf{v}^mathrm{Q} + {}^mathrm{B}mathbf {v}^mathrm{R}$

donde Q es el punto fijo en B que es instantáneamente coincidente con R en el instante de interés. Esta relación a menudo se combina con la relación de la Velocidad de dos puntos fijos en un cuerpo rígido.

Aceleración de un punto que se mueve sobre un cuerpo rígido

La aceleración en el marco de referencia N del punto R que se mueve en el cuerpo B mientras B se mueve en el marco N viene dada por ${}^mathrm{N}mathbf{a}^mathrm{R} = {}^mathrm{N}mathbf{a}^mathrm{Q} + {}^mathrm{B}mathbf {a}^mathrm{R} + 2 {}^mathrm{N}boldsymbol{omega}^mathrm{B} times {}^mathrm{B}mathbf{v}^mathrm{ R}$

donde Q es el punto fijo en B que instantáneamente coincide con R en el instante de interés. Esta ecuación a menudo se combina con la aceleración de dos puntos fijos en un cuerpo rígido.

Otras cantidades

Si C es el origen de un sistema de coordenadas local L, adjunto al cuerpo,

la aceleración espacial o de torsión de un cuerpo rígido se define como la aceleración espacial de C (en oposición a la aceleración del material anterior);

$boldsymbolpsi(t,mathbf{r}_0) = mathbf{a}(t,mathbf{r}_0) - boldsymbolomega(t) times mathbf{v}(t,mathbf {r}_0) = boldsymbolpsi_c(t) + boldsymbolalpha(t) times A(t) mathbf{r}_0$

dónde

$mathbf{r}_0$ representa la posición del punto/partícula con respecto al punto de referencia del cuerpo en términos del sistema de coordenadas local L (la rigidez del cuerpo hace que esto no dependa del tiempo)
$A),$ es la matriz de orientación, una matriz ortogonal con determinante 1, que representa la orientación (posición angular) del sistema de coordenadas local L, con respecto a la orientación de referencia arbitraria de otro sistema de coordenadas G. Piense en esta matriz como tres vectores unitarios ortogonales, uno en cada columna, que definen la orientación de los ejes de L con respecto a G.
$negritaomega(t)$ representa la velocidad angular del cuerpo rígido
$mathbf{v}(t,mathbf{r}_0)$ representa la velocidad total del punto/partícula
$mathbf{a}(t,mathbf{r}_0)$ representa la aceleración total del punto/partícula
$símbolo de negrita alfa (t)$ representa la aceleración angular del cuerpo rígido
$boldsymbolpsi(t,mathbf{r}_0)$ representa la aceleración espacial del punto/partícula
$boldsymbolpsi_c(t)$ representa la aceleración espacial del cuerpo rígido (es decir, la aceleración espacial del origen de L).

En 2D, la velocidad angular es un escalar, y la matriz A(t) simplemente representa una rotación en el plano xy por un ángulo que es la integral de la velocidad angular en el tiempo.

Los vehículos, las personas que caminan, etc., generalmente giran de acuerdo con los cambios en la dirección de la velocidad: avanzan con respecto a su propia orientación. Entonces, si el cuerpo sigue una órbita cerrada en un plano, la velocidad angular integrada en un intervalo de tiempo en el que la órbita se completa una vez, es un número entero por 360°. Este entero es el número de bobinado con respecto al origen de la velocidad. Compara la cantidad de rotación asociada con los vértices de un polígono.

Cinética

Cualquier punto que esté rígidamente conectado al cuerpo puede usarse como punto de referencia (origen del sistema de coordenadas L) para describir el movimiento lineal del cuerpo (los vectores de posición lineal, velocidad y aceleración dependen de la elección).

Sin embargo, dependiendo de la aplicación, una opción conveniente puede ser:

el centro de masa de todo el sistema, que generalmente tiene el movimiento más simple para un cuerpo que se mueve libremente en el espacio;
un punto en el que el movimiento de traslación es nulo o simplificado, por ejemplo, en un eje o bisagra, en el centro de una rótula, etc.

Cuando el centro de masa se utiliza como punto de referencia:

El momento (lineal) es independiente del movimiento de rotación. En cualquier momento es igual a la masa total del cuerpo rígido por la velocidad de traslación.
El momento angular con respecto al centro de masa es el mismo que sin traslación: en cualquier momento es igual al tensor de inercia por la velocidad angular. Cuando la velocidad angular se expresa con respecto a un sistema de coordenadas que coincide con los ejes principales del cuerpo, cada componente del momento angular es producto de un momento de inercia (un valor principal del tensor de inercia) por la componente correspondiente de la velocidad angular; el par es el tensor de inercia multiplicado por la aceleración angular.
Los posibles movimientos en ausencia de fuerzas externas son la traslación con velocidad constante, la rotación constante alrededor de un eje principal fijo y también la precesión sin par.
La fuerza externa neta sobre el cuerpo rígido siempre es igual a la masa total por la aceleración de traslación (es decir, la segunda ley de Newton se cumple para el movimiento de traslación, incluso cuando el momento de torsión externo neto es distinto de cero y/o el cuerpo gira).
La energía cinética total es simplemente la suma de la energía de traslación y rotación.

Geometría

Se dice que dos cuerpos rígidos son diferentes (no copias) si no hay una rotación adecuada de uno a otro. Un cuerpo rígido se llama quiral si su imagen especular es diferente en ese sentido, es decir, si no tiene simetría o su grupo de simetría contiene solo rotaciones propias. En el caso contrario, un objeto se llama aquiral: la imagen especular es una copia, no un objeto diferente. Tal objeto puede tener un plano de simetría, pero no necesariamente: también puede haber un plano de reflexión con respecto al cual la imagen del objeto es una versión girada. Esto último se aplica a S _2n, cuyo caso n = 1 es simetría de inversión.

Para una lámina transparente rectangular (rígida), la simetría de inversión corresponde a tener por un lado una imagen sin simetría rotacional y por el otro lado una imagen tal que lo que trasluce es la imagen del lado superior, al revés. Podemos distinguir dos casos:

la superficie de la hoja con la imagen no es simétrica; en este caso, los dos lados son diferentes, pero la imagen especular del objeto es la misma, después de una rotación de 180° alrededor del eje perpendicular al plano del espejo.
la superficie de la hoja con la imagen tiene un eje de simetría; en este caso, los dos lados son iguales y la imagen especular del objeto también es la misma, nuevamente después de una rotación de 180 ° alrededor del eje perpendicular al plano del espejo.

Una hoja con una imagen de un lado a otro es aquiral. Podemos distinguir de nuevo dos casos:

la superficie de la hoja con la imagen no tiene eje de simetría - los dos lados son diferentes
la superficie de la hoja con la imagen tiene un eje de simetría: los dos lados son iguales

Espacio de configuración

El espacio de configuración de un cuerpo rígido con un punto fijo (es decir, un cuerpo con movimiento de traslación cero) viene dado por la variedad subyacente del grupo de rotación SO(3). El espacio de configuración de un cuerpo rígido no fijo (con movimiento de traslación distinto de cero) es E (3), el subgrupo de isometrías directas del grupo euclidiano en tres dimensiones (combinaciones de traslaciones y rotaciones).

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