Ecuaciones de movimiento

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En física, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo. Más específicamente, las ecuaciones de movimiento describen el comportamiento de un sistema físico como un conjunto de funciones matemáticas en términos de variables dinámicas. Estas variables suelen ser coordenadas espaciales y de tiempo, pero pueden incluir componentes de momento. La opción más general son las coordenadas generalizadas que pueden ser cualquier variable conveniente característica del sistema físico. Las funciones se definen en un espacio euclidiano en la mecánica clásica, pero se reemplazan por espacios curvos en la relatividad. Si se conoce la dinámica de un sistema, las ecuaciones son las soluciones de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la dinámica.

Hay dos descripciones principales del movimiento: dinámica y cinemática. La dinámica es general, ya que se tienen en cuenta los momentos, las fuerzas y la energía de las partículas. En este caso, a veces el término dinámica se refiere a las ecuaciones diferenciales que satisface el sistema (p. ej., la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange) ya veces a las soluciones de esas ecuaciones.

Sin embargo, la cinemática es más simple. Se trata sólo de variables derivadas de las posiciones de los objetos y el tiempo. En circunstancias de aceleración constante, estas ecuaciones de movimiento más simples generalmente se denominan ecuaciones SUVAT, que surgen de las definiciones de cantidades cinemáticas: desplazamiento (s), velocidad inicial (u), velocidad final (v), aceleración (a), y el tiempo (t).

Se utiliza una ecuación diferencial de movimiento, generalmente identificada como alguna ley física y aplicando definiciones de cantidades físicas, para establecer una ecuación para el problema. Resolver la ecuación diferencial conducirá a una solución general con constantes arbitrarias, la arbitrariedad correspondiente a una familia de soluciones. Se puede obtener una solución particular estableciendo los valores iniciales, lo que fija los valores de las constantes.

Para establecer esto formalmente, en general una ecuación de movimiento M es una función de la posición r del objeto, su velocidad (la primera derivada de r, v =dr _/dt), y su aceleración (la segunda derivada de r, a =dr _/dt) y el tiempo t. Los vectores euclidianos en 3D se indican en negrita. Esto es equivalente a decir que una ecuación de movimiento en r es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden en r,Mleft[mathbf {r} (t),mathbf {dot {r}} (t),mathbf {ddot {r}} (t),tright]=0,,

donde t es el tiempo, y cada sobrepunto denota una derivada del tiempo. Las condiciones iniciales vienen dadas por los valores constantes en t = 0,mathbf {r} (0),,quad mathbf {dot {r}} (0),.

La solución r (t) de la ecuación de movimiento, con valores iniciales especificados, describe el sistema para todos los tiempos t después de t = 0. Se pueden usar otras variables dinámicas como el momento p del objeto, o cantidades derivadas de r y p como el momento angular, en lugar de r como la cantidad a resolver a partir de alguna ecuación de movimiento, aunque la posición del objeto en el tiempo t es, con mucho, la cantidad más buscada.

A veces, la ecuación será lineal y es más probable que tenga una solución exacta. En general, la ecuación será no lineal y no se puede resolver exactamente, por lo que se deben utilizar diversas aproximaciones. Las soluciones a las ecuaciones no lineales pueden mostrar un comportamiento caótico dependiendo de qué tan sensible sea el sistema a las condiciones iniciales.

Historia

La cinemática, la dinámica y los modelos matemáticos del universo se desarrollaron gradualmente durante tres milenios, gracias a muchos pensadores, de los cuales solo conocemos algunos nombres. En la antigüedad, sacerdotes, astrólogos y astrónomos predijeron los eclipses solares y lunares, los solsticios y los equinoccios del Sol y el período de la Luna. Pero no tenían nada más que un conjunto de algoritmos para guiarlos. Las ecuaciones de movimiento no se escribieron hasta otros mil años.

Los eruditos medievales del siglo XIII —por ejemplo, en las relativamente nuevas universidades de Oxford y París— recurrieron a los antiguos matemáticos (Euclides y Arquímedes) y filósofos (Aristóteles) para desarrollar un nuevo cuerpo de conocimiento, ahora llamado física.

En Oxford, el Merton College acogió a un grupo de estudiosos dedicados a las ciencias naturales, principalmente a la física, la astronomía y las matemáticas, de talla similar a los intelectuales de la Universidad de París. Thomas Bradwardine extendió cantidades aristotélicas como la distancia y la velocidad, y les asignó intensidad y extensión. Bradwardine sugirió una ley exponencial que involucra fuerza, resistencia, distancia, velocidad y tiempo. Nicholas Oresme amplió aún más los argumentos de Bradwardine. La escuela de Merton demostró que la cantidad de movimiento de un cuerpo que experimenta un movimiento uniformemente acelerado es igual a la cantidad de un movimiento uniforme a la velocidad alcanzada a la mitad del movimiento acelerado.

Para los escritores de cinemática anteriores a Galileo, dado que no se podían medir los intervalos de tiempo pequeños, la afinidad entre el tiempo y el movimiento era oscura. Usaron el tiempo en función de la distancia, y en caída libre, mayor velocidad como resultado de una mayor elevación. Sólo Domingo de Soto, teólogo español, en su comentario a la Física de Aristótelespublicado en 1545, después de definir el movimiento "disforme uniforme" (que es un movimiento uniformemente acelerado) -no se usó la palabra velocidad- como proporcional al tiempo, declaró correctamente que este tipo de movimiento era identificable con cuerpos y proyectiles en caída libre, sin su probar estas proposiciones o sugerir una fórmula que relacione el tiempo, la velocidad y la distancia. Los comentarios de De Soto son notablemente correctos con respecto a las definiciones de aceleración (la aceleración era una tasa de cambio de movimiento (velocidad) en el tiempo) y la observación de que la aceleración sería negativa durante el ascenso.

Discursos como estos se extendieron por toda Europa, dando forma al trabajo de Galileo Galilei y otros, y ayudaron a sentar las bases de la cinemática. Galileo dedujo la ecuación s =1/2gt en su trabajo geométricamente,usando la regla de Merton, ahora conocida como un caso especial de una de las ecuaciones de la cinemática.

Galileo fue el primero en demostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola. Galileo comprendió la fuerza centrífuga y dio una definición correcta de momento. Este énfasis en la cantidad de movimiento como una cantidad fundamental en la dinámica es de suma importancia. Midió el impulso por el producto de la velocidad y el peso; la masa es un concepto posterior, desarrollado por Huygens y Newton. En el balanceo de un péndulo simple, Galileo dice en Discursosque "cada impulso adquirido en el descenso a lo largo de un arco es igual al que hace que el mismo móvil ascienda a través del mismo arco". Su análisis sobre proyectiles indica que Galileo había captado la primera ley y la segunda ley del movimiento. No generalizó ni los hizo aplicables a cuerpos no sujetos a la gravitación terrestre. Ese paso fue la contribución de Newton.

El término "inercia" fue utilizado por Kepler quien lo aplicó a los cuerpos en reposo. (La primera ley del movimiento ahora a menudo se llama la ley de la inercia).

Galileo no comprendió del todo la tercera ley del movimiento, la ley de la igualdad de acción y reacción, aunque corrigió algunos errores de Aristóteles. Con Stevin y otros, Galileo también escribió sobre estática. Formuló el principio del paralelogramo de fuerzas, pero no reconoció completamente su alcance.

Galileo también se interesó por las leyes del péndulo, cuyas primeras observaciones fueron cuando era joven. En 1583, mientras rezaba en la catedral de Pisa, su atención fue atraída por el movimiento de la gran lámpara encendida y girando, tomando como referencia su propio pulso para medir el tiempo. A él el período le pareció el mismo, incluso después de que el movimiento había disminuido mucho, descubriendo el isocronismo del péndulo.

Experimentos más cuidadosos realizados por él más tarde, y descritos en sus Discursos, revelaron que el período de oscilación varía con la raíz cuadrada de la longitud pero es independiente de la masa del péndulo.

Así llegamos a René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, et al.; y las formas evolucionadas de las ecuaciones de movimiento que empiezan a ser reconocidas como las modernas.

Más tarde también aparecieron las ecuaciones de movimiento en la electrodinámica, al describir el movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos, la fuerza de Lorentz es la ecuación general que sirve como definición de lo que se entiende por campo eléctrico y campo magnético. Con el advenimiento de la relatividad especial y la relatividad general, las modificaciones teóricas al espacio-tiempo significaron que las ecuaciones clásicas de movimiento también se modificaron para tener en cuenta la velocidad finita de la luz y la curvatura del espacio-tiempo. En todos estos casos, las ecuaciones diferenciales estaban en términos de una función que describía la trayectoria de la partícula en términos de coordenadas de espacio y tiempo, influenciadas por fuerzas o transformaciones de energía.

Sin embargo, las ecuaciones de la mecánica cuántica también pueden considerarse "ecuaciones de movimiento", ya que son ecuaciones diferenciales de la función de onda, que describe cómo un estado cuántico se comporta de manera análoga utilizando las coordenadas de espacio y tiempo de las partículas. Hay análogos de ecuaciones de movimiento en otras áreas de la física, para colecciones de fenómenos físicos que pueden considerarse ondas, fluidos o campos.

Ecuaciones cinemáticas para una partícula

Cantidades cinemáticas

Desde la posición instantánea r = r (t), significado instantáneo en un valor instantáneo de tiempo t, la velocidad instantánea v = v (t) y la aceleración a = a (t) tienen las definiciones generales, independientes de las coordenadas;mathbf {v} ={frac {dmathbf {r} }{dt}},,quad mathbf {a} ={frac {dmathbf {v} }{dt}}={ fracción {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}},!

Tenga en cuenta que la velocidad siempre apunta en la dirección del movimiento, en otras palabras, para una trayectoria curva, es el vector tangente. En términos generales, las derivadas de primer orden están relacionadas con las tangentes de las curvas. Aún para trayectorias curvas, la aceleración se dirige hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Nuevamente, en términos generales, las derivadas de segundo orden están relacionadas con la curvatura.

Los análogos rotacionales son el "vector angular" (ángulo que la partícula gira sobre algún eje) θ = θ (t), velocidad angular ω = ω (t) y aceleración angular α = α (t):{boldsymbol {theta }}=theta {hat {mathbf {n} }},,quad {boldsymbol {omega }}={frac {d{boldsymbol {theta }}} {dt}},,quad {boldsymbol {alpha}}={frac {d{boldsymbol {omega}}}{dt}},,

donde n̂ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación, y θ es el ángulo que gira el objeto alrededor del eje.

La siguiente relación es válida para una partícula puntual que orbita alrededor de algún eje con velocidad angular ω:mathbf {v} ={boldsymbol {omega }}times mathbf {r} ,!

donde r es el vector de posición de la partícula (radial desde el eje de rotación) y v la velocidad tangencial de la partícula. Para un cuerpo rígido continuo giratorio, estas relaciones se cumplen para cada punto del cuerpo rígido.

Aceleración uniforme

La ecuación diferencial de movimiento de una partícula de aceleración constante o uniforme en línea recta es simple: la aceleración es constante, por lo que la segunda derivada de la posición del objeto es constante. Los resultados de este caso se resumen a continuación.

Aceleración traslacional constante en línea recta

Estas ecuaciones se aplican a una partícula que se mueve linealmente, en tres dimensiones, en línea recta con aceleración constante. Dado que la posición, la velocidad y la aceleración son colineales (paralelas y se encuentran en la misma línea), solo son necesarias las magnitudes de estos vectores, y debido a que el movimiento es a lo largo de una línea recta, el problema efectivamente se reduce de tres dimensiones a una.{begin{alineado}v&=a+v_{0}quad [1]\end{alineado}}{displaystyle {begin{alineado}r&=r_{0}+v_{0}t+{tfrac {1}{2}}{a}t^{2}quad [2]\end{alineado }}}{displaystyle {begin{alineado}r&=r_{0}+{tfrac {1}{2}}left(v+v_{0}right)tquad [3]\v^{2 }&=v_{0}^{2}+2aleft(r-r_{0}right)quad [4]\r&=r_{0}+vt-{tfrac {1}{2} {a}t^{2}quad [5]\end{alineado}}}

dónde:

mostrarDerivación

Aquí a es una aceleración constante, o en el caso de cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad, se usa la gravedad estándar g. Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones contiene cuatro de las cinco variables, por lo que en esta situación es suficiente conocer tres de las cinco variables para calcular las dos restantes.

En física elemental, las mismas fórmulas se escriben con frecuencia en notación diferente como:{displaystyle {begin{alineado}v&=u+enquad [1]\s&=ut+{tfrac {1}{2}}en^{2}quad [2]\s&={ tfrac {1}{2}}(u+v)tquad [3]\v^{2}&=u^{2}+2asquad [4]\s&=vt-{tfrac { 1}{2}}en^{2}quad [5]\end{alineado}}}

donde u ha reemplazado a v 0, s reemplaza a r - r 0. A menudo se las denomina ecuaciones SUVAT, donde "SUVAT" es un acrónimo de las variables: s = desplazamiento, u = velocidad inicial, v = velocidad final, a = aceleración, t = tiempo.

Aceleración lineal constante en cualquier dirección

Los vectores de posición inicial, velocidad inicial y aceleración no necesitan ser colineales y toman una forma casi idéntica. La única diferencia es que las magnitudes cuadradas de las velocidades requieren el producto escalar. Las derivaciones son esencialmente las mismas que en el caso colineal,{displaystyle {begin{alineado}mathbf {v} &=mathbf {a} t+mathbf {v} _{0}quad [1]\mathbf {r} &=mathbf {r} _ {0}+mathbf {v}_{0}t+{tfrac {1}{2}}mathbf {a} t^{2}quad [2]\mathbf {r} &= mathbf {r} _{0}+{tfrac {1}{2}}left(mathbf {v} +mathbf {v}_{0}right)tquad [3]\v^ {2}&=v_{0}^{2}+2mathbf {a} cdot left(mathbf {r} -mathbf {r}_{0}right)quad [4]\ mathbf {r} &=mathbf {r} _{0}+mathbf {v} t-{tfrac {1}{2}}mathbf {a} t^{2}quad [5] \end{alineado}}}

aunque la ecuación de Torricelli [4] se puede derivar usando la propiedad distributiva del producto punto de la siguiente manera:v^{2}=mathbf {v} cdot mathbf {v} =(mathbf {v} _{0}+mathbf {a} t)cdot (mathbf {v} _{0}+ mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(mathbf {a} cdot mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}{displaystyle (2mathbf {a})cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _{0})=(2mathbf {a})cdot left(mathbf {v} _ {0}t+{tfrac {1}{2}}mathbf {a} t^{2}right)=2t(mathbf {a} cdot mathbf {v}_{0})+a^ {2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}}por lo tanto v^{2}=v_{0}^{2}+2(mathbf {a} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _{0}))

Aplicaciones

Los ejemplos elementales y frecuentes en cinemática involucran proyectiles, por ejemplo, una pelota lanzada hacia arriba en el aire. Dada la velocidad inicial u, se puede calcular qué tan alto viajará la pelota antes de que comience a caer. La aceleración es la aceleración local de la gravedad g. Si bien estas cantidades parecen ser escalares, la dirección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración son importantes. De hecho, podrían considerarse como vectores unidireccionales. Eligiendo s para medir desde el suelo, la aceleración a debe ser de hecho −g, ya que la fuerza de la gravedad actúa hacia abajo y por lo tanto también la aceleración sobre la pelota debida a ella.

En el punto más alto, la pelota estará en reposo: por lo tanto v = 0. Usando la ecuación [4] en el conjunto anterior, tenemos:s={frac{v^{2}-u^{2}}{-2g}}.

Sustituyendo y cancelando los signos menos da:s={frac{u^{2}}{2g}}.

Aceleración circular constante

Los análogos de las ecuaciones anteriores se pueden escribir para la rotación. Nuevamente, todos estos vectores axiales deben ser paralelos al eje de rotación, por lo que solo son necesarias las magnitudes de los vectores,{begin{alineado}omega &=omega_{0}+alpha t\theta &=theta_{0}+omega_{0}t+{tfrac {1}{2}} alpha t^{2}\theta &=theta _{0}+{tfrac {1}{2}}(omega _{0}+omega)t\omega ^{2} &=omega _{0}^{2}+2alfa (theta -theta _{0})\theta &=theta _{0}+omega t-{tfrac {1} {2}}alpha t^{2}\end{alineado}}

donde α es la aceleración angular constante, ω es la velocidad angular, ω 0 es la velocidad angular inicial, θ es el ángulo girado (desplazamiento angular), θ 0 es el ángulo inicial y t es el tiempo necesario para rotar desde el estado inicial al estado final.

Movimiento plano general

Estas son las ecuaciones cinemáticas para una partícula que recorre una trayectoria en un plano, descritas por la posición r = r (t). Son simplemente las derivadas temporales del vector de posición en coordenadas polares planas utilizando las definiciones de cantidades físicas anteriores para la velocidad angular ω y la aceleración angular α. Estas son cantidades instantáneas que cambian con el tiempo.

La posición de la partícula es{displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} left(r(t),theta (t)right)=rmathbf {hat {e}} _{r}}

donde ê r y ê θ son los vectores unitarios polares. Derivando con respecto al tiempo da la velocidad{displaystyle mathbf {v} =mathbf {hat {e}}_{r}{frac {dr}{dt}}+romega mathbf {hat {e}}_{theta} }

con componente radialdr./dty una componente adicional rω debida a la rotación. Derivando con respecto al tiempo se obtiene nuevamente la aceleración{displaystyle mathbf {a} =left({frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-romega ^{2}right)mathbf {hat {e} } _{r}+left(ralpha +2omega {frac {dr}{dt}}right)mathbf {hat {e}}_{theta }}

que se rompe en la aceleración radialdr _/dt, aceleración centrípeta – rω, aceleración de Coriolis 2 ωdr./dt, y aceleración angular rα.

Los casos especiales de movimiento descritos por estas ecuaciones se resumen cualitativamente en la siguiente tabla. Dos ya se han discutido anteriormente, en los casos en que las componentes radiales o las componentes angulares son cero, y la componente de movimiento distinta de cero describe una aceleración uniforme.

estado de movimientoR constanter lineal en tr cuadrático en tr no lineal en t
θ constanteEstacionarioTraslación uniforme (velocidad de traslación constante)Aceleración traslacional uniformeTraducción no uniforme
θ lineal en tMovimiento angular uniforme en un círculo (velocidad angular constante)Movimiento angular uniforme en espiral, velocidad radial constanteMovimiento angular en espiral, aceleración radial constanteMovimiento angular en espiral, variación de la aceleración radial
θ cuadrático en tAceleración angular uniforme en un círculoAceleración angular uniforme en espiral, velocidad radial constanteAceleración angular uniforme en espiral, aceleración radial constanteAceleración angular uniforme en espiral, aceleración radial variable
θ no lineal en tAceleración angular no uniforme en un círculoAceleración angular no uniforme en espiral, velocidad radial constanteAceleración angular no uniforme en espiral, aceleración radial constanteAceleración angular no uniforme en espiral, aceleración radial variable

Movimientos 3D generales

En el espacio 3D, las ecuaciones en coordenadas esféricas (r, θ, φ) con los vectores unitarios correspondientes ê r, ê θ y ê φ, la posición, la velocidad y la aceleración se generalizan respectivamente a{displaystyle {begin{alineado}mathbf {r} &=mathbf {r} left(tright)=rmathbf {hat {e}} _{r}\mathbf {v} &=vmathbf {sombrero {e}} _{r}+r,{frac {dtheta}}}mathbf {sombrero {e}}_{theta}+r, {frac {dvarphi }{dt}},sin theta mathbf {hat {e}} _{varphi }\mathbf {a} &=left(arleft({ frac {dtheta }{dt}}right)^{2}-rleft({frac {dvarphi }{dt}}right)^{2}sin ^{2}theta derecha)mathbf {hat {e}} _{r}\&+left(r{frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+2v{frac {d theta }{dt}}-rleft({frac {dvarphi }{dt}}right)^{2}sin theta cos theta right)mathbf {hat {e} } _{theta }\&+left(r{frac {d^{2}varphi }{dt^{2}}},sin theta +2v,{frac {d varphi }{dt}},sin theta +2r,{frac {dtheta }{dt}},{frac {dvarphi }{dt}},cos theta right)mathbf {sombrero {e}}_{varphi}end{alineado}},!}

En el caso de una constante φ, esto se reduce a las ecuaciones planas anteriores.

Ecuaciones dinámicas de movimiento

Mecánica newtoniana

La primera ecuación general de movimiento desarrollada fue la segunda ley de movimiento de Newton. En su forma más general, establece que la tasa de cambio del momento p = p (t) = m v (t) de un objeto es igual a la fuerza F = F (x (t), v (t), t) que actúa sobre él,mathbf {F} ={frac {dmathbf {p} {dt}}

La fuerza en la ecuación no es la fuerza que ejerce el objeto. Reemplazando el momento por la masa por la velocidad, la ley también se escribe más famosamente comomathbf {F} =mmathbf {a}

ya que m es una constante en la mecánica newtoniana.

La segunda ley de Newton se aplica a partículas puntuales ya todos los puntos de un cuerpo rígido. También se aplican a cada punto en un continuo de masas, como sólidos o fluidos deformables, pero se debe tener en cuenta el movimiento del sistema; ver derivado material. En el caso de que la masa no sea constante, no es suficiente usar la regla del producto para la derivada temporal de la masa y la velocidad, y la segunda ley de Newton requiere alguna modificación consistente con la conservación del momento; ver sistema de masa variable.

Puede ser simple escribir las ecuaciones de movimiento en forma de vector utilizando las leyes de movimiento de Newton, pero los componentes pueden variar de manera complicada con las coordenadas espaciales y el tiempo, y resolverlos no es fácil. A menudo hay un exceso de variables para resolver el problema por completo, por lo que las leyes de Newton no siempre son la forma más eficiente de determinar el movimiento de un sistema. En casos simples de geometría rectangular, las leyes de Newton funcionan bien en coordenadas cartesianas, pero en otros sistemas de coordenadas pueden volverse dramáticamente complejas.

La forma de impulso es preferible ya que se generaliza fácilmente a sistemas más complejos, como la relatividad especial y general (ver cuatro impulsos). También se puede utilizar con la conservación del impulso. Sin embargo, las leyes de Newton no son más fundamentales que la conservación de la cantidad de movimiento, porque las leyes de Newton son meramente consistentes con el hecho de que la fuerza resultante cero que actúa sobre un objeto implica una cantidad de movimiento constante, mientras que una fuerza resultante implica que la cantidad de movimiento no es constante. La conservación de la cantidad de movimiento siempre es cierta para un sistema aislado que no está sujeto a las fuerzas resultantes.

Para un número de partículas (ver problema de muchos cuerpos), la ecuación de movimiento para una partícula influenciada por otras partículas es{frac {dmathbf {p}_{i}}{dt}}=mathbf {F}_{E}+sum_{ineq j}mathbf {F}_{ij}, !

donde p i es el momento de la partícula i, F ij es la fuerza ejercida sobre la partícula i por la partícula j, y F E es la fuerza externa resultante debida a cualquier agente que no forma parte del sistema. La partícula i no ejerce fuerza sobre sí misma.

Las leyes de movimiento de Euler son similares a las leyes de Newton, pero se aplican específicamente al movimiento de cuerpos rígidos. Las ecuaciones de Newton-Euler combinan las fuerzas y los pares que actúan sobre un cuerpo rígido en una sola ecuación.

La segunda ley de Newton para la rotación toma una forma similar al caso de traslación,{boldsymbol {tau }}={frac {dmathbf {L} }{dt}},,

igualando el momento de torsión que actúa sobre el cuerpo con la tasa de cambio de su momento angular L. Análogamente a la masa por la aceleración, el tensor del momento de inercia I depende de la distribución de la masa alrededor del eje de rotación, y la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular,{boldsymbol {tau}}=mathbf {I} cdot {boldsymbol {alpha}}.

Nuevamente, estas ecuaciones se aplican a partículas puntuales, o en cada punto de un cuerpo rígido.

Asimismo, para un número de partículas, la ecuación de movimiento para una partícula i es{frac {dmathbf {L}_{i}}{dt}}={boldsymbol {tau}}_{E}+sum_{ineq j}{boldsymbol {tau}} _ {ij},,

donde L i es el momento angular de la partícula i, τ ij el torque sobre la partícula i por la partícula j, y τ E es el torque externo resultante (debido a cualquier agente que no sea parte del sistema). La partícula i no ejerce un torque sobre sí misma.

Aplicaciones

Algunos ejemplos de la ley de Newton incluyen describir el movimiento de un péndulo simple,{displaystyle -mgsin theta =m{frac {d^{2}(ltheta)}{dt^{2}}}quad Rightarrow quad {frac {d^{2} theta {dt^{2}}}=-{frac {g}{l}}sin theta ,,}

y un oscilador armónico accionado sinusoidalmente amortiguado,F_{0}sin(omega t)=mleft({frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2zeta omega_{0}{frac {dx {dt}}+omega _{0}^{2}xright),.

Para describir el movimiento de masas debido a la gravedad, la ley de la gravedad de Newton se puede combinar con la segunda ley de Newton. Para dos ejemplos, una pelota de masa m lanzada al aire, en corrientes de aire (como el viento) descritas por un campo vectorial de fuerzas resistivas R = R (r, t),-{frac {GmM}{|mathbf {r} |^{2}}}mathbf {hat {e}} _{r}+mathbf {R} =m{frac {d^{2 }mathbf {r} }{dt^{2}}}+0quad Rightarrow quad {frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{ frac {GM}{|mathbf {r} |^{2}}}mathbf {hat {e}} _{r}+mathbf {A} ,!

donde G es la constante gravitatoria, M la masa de la Tierra y A =R/metroes la aceleración del proyectil debido a las corrientes de aire en la posición r y el tiempo t.

El problema clásico de N cuerpos para N partículas que interactúan entre sí debido a la gravedad es un conjunto de N EDO de segundo orden acopladas no lineales,{displaystyle {frac {d^{2}mathbf {r}_{i}}{dt^{2}}}=Gsum_{ineq j}{frac {m_{j}} {|mathbf {r} _ {j}-mathbf {r} _ {i}|^{3}}}(mathbf {r} _ {j}-mathbf {r} _ {i})}

donde i = 1, 2, …, N etiqueta las cantidades (masa, posición, etc.) asociadas con cada partícula.

Mecanica analitica

No es necesario utilizar las tres coordenadas del espacio 3D si existen restricciones en el sistema. Si el sistema tiene N grados de libertad, entonces se puede usar un conjunto de N coordenadas generalizadas q (t) = [ q 1 (t), q 2 (t)... q N (t)], para definir la configuración del sistema. Pueden tener la forma de longitudes de arco o ángulos. Son una simplificación considerable para describir el movimiento, ya que aprovechan las restricciones intrínsecas que limitan el movimiento del sistema, y ​​el número de coordenadas se reduce al mínimo. Las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas son las velocidades generalizadas{displaystyle mathbf {dot {q}} ={frac {dmathbf {q} }{dt}},.}

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son{frac {d}{dt}}left({frac {parcial L}{parcial mathbf {dot {q}} }}right)={frac {parcial L}{parcial mathbf {q} }},,

donde el Lagrangiano es una función de la configuración q y su tasa de cambio en el tiempore q/dt(y posiblemente el tiempo t)L=Lleft[mathbf {q} (t),mathbf {dot {q}} (t),tright],.

Estableciendo el Lagrangiano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de N EDO de segundo orden acopladas en las coordenadas.

Las ecuaciones de Hamilton sonmathbf {dot {p}} =-{frac {parcial H}{parcial mathbf {q} }},,quad mathbf {dot {q}} =+{frac { parcial H}{parcial mathbf {p} }},,

donde el hamiltonianoH=Hizquierda[mathbf {q} (t),mathbf {p} (t),tderecha],,

es una función de la configuración q y los momentos "generalizados" conjugados{displaystyle mathbf {p} ={frac {parcial L}{parcial mathbf {dot {q}} }},,}

en el cual∂/∂q _= (∂/∂ q 1,∂/∂ q 2, …,∂/∂ q norte) es una notación abreviada para un vector de derivadas parciales con respecto a las variables indicadas (ver, por ejemplo, cálculo matricial para esta notación del denominador), y posiblemente el tiempo t,

Estableciendo el hamiltoniano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de 2 N EDO de primer orden acopladas en las coordenadas q i y momentos p i.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es-{frac {S parcial(mathbf {q},t)}{t parcial}}=Hleft(mathbf {q},mathbf {p},tright),.

dóndeS[mathbf {q},t]=int _{t_{1}}^{t_{2}}L(mathbf {q},mathbf {dot {q}},t),dt ,,

es la función principal de Hamilton, también llamada la acción clásica es un funcional de L. En este caso, los momentos están dados por{displaystyle mathbf {p} ={frac {parcial S}{parcial mathbf {q} }},.}

Aunque la ecuación tiene una forma general simple, para un hamiltoniano dado es en realidad una PDE no lineal de primer orden, en N + 1 variables. La acción S permite la identificación de cantidades conservadas para sistemas mecánicos, incluso cuando el problema mecánico en sí mismo no puede resolverse por completo, porque cualquier simetría diferenciable de la acción de un sistema físico tiene una ley de conservación correspondiente, un teorema debido a Emmy Noether.

Todas las ecuaciones clásicas de movimiento se pueden derivar del principio variacional conocido como principio de acción mínima de Hamilton.delta S=0,,

indicando que el camino que toma el sistema a través del espacio de configuración es el que tiene la menor acción S.

Electrodinámica

En electrodinámica, la fuerza sobre una partícula cargada de carga q es la fuerza de Lorentz:mathbf {F} =qleft(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} right),!

La combinación con la segunda ley de Newton da una ecuación diferencial de movimiento de primer orden, en términos de la posición de la partícula:m{frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}=qleft(mathbf {E} +{frac {dmathbf {r} }{dt}} times mathbf {B} right),!

o su impulso:{frac {dmathbf {p} }{dt}}=qleft(mathbf {E} +{frac {mathbf {p} times mathbf {B} }{m}}right) ,!

La misma ecuación se puede obtener utilizando el Lagrangiano (y aplicando las ecuaciones de Lagrange anteriores) para una partícula cargada de masa m y carga q:{displaystyle L={tfrac {1}{2}}mmathbf {dot {r}} cdot mathbf {dot {r}} +qmathbf {A} cdot {dot { mathbf {r} }}-qfi}

donde A y ϕ son los campos de potencial electromagnético escalar y vectorial. El lagrangiano indica un detalle adicional: el momento canónico en la mecánica lagrangiana viene dado por:mathbf {P} ={frac {parcial L}{parcial {dot {mathbf {r} }}}}=m{dot {mathbf {r} }}+qmathbf {A}

en lugar de solo m v, lo que implica que el movimiento de una partícula cargada está determinado fundamentalmente por la masa y la carga de la partícula. La expresión lagrangiana se utilizó por primera vez para derivar la ecuación de fuerza.

Alternativamente, el hamiltoniano (y sustituyendo en las ecuaciones):H={frac {left(mathbf {P} -qmathbf {A} right)^{2}}{2m}}+qphi ,!

puede derivar la ecuación de fuerza de Lorentz.

Relatividad general

Ecuación geodésica de movimiento

Las ecuaciones anteriores son válidas en el espacio-tiempo plano. En el espacio-tiempo curvo, las cosas se vuelven matemáticamente más complicadas ya que no hay una línea recta; esto se generaliza y se reemplaza por una geodésica del espacio-tiempo curvo (la longitud más corta de la curva entre dos puntos). Para variedades curvas con un tensor métrico g, la métrica proporciona la noción de longitud de arco (ver elemento de línea para más detalles). La longitud de arco diferencial viene dada por:ds={sqrt {g_{alpha beta }dx^{alpha }dx^{beta }}}

y la ecuación geodésica es una ecuación diferencial de segundo orden en las coordenadas. La solución general es una familia de geodésicas:{frac {d^{2}x^{mu }}{ds^{2}}}=-Gamma ^{mu }{}_{alpha beta }{frac {dx^{ alfa }}{ds}}{frac {dx^{beta }}{ds}}

donde Γ  αβ es un símbolo de Christoffel de segunda especie, que contiene la métrica (con respecto al sistema de coordenadas).

Dada la distribución de masa-energía proporcionada por el tensor de tensión-energía T , las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden no lineales en la métrica, e implican que la curvatura del espacio-tiempo es equivalente a un campo gravitatorio (ver principio de equivalencia). La masa que cae en un espacio-tiempo curvo es equivalente a una masa que cae en un campo gravitatorio, porque la gravedad es una fuerza ficticia. La aceleración relativa de una geodésica a otra en el espacio-tiempo curvo viene dada por la ecuación de desviación geodésica:{frac {D^{2}xi ^{alpha }}{ds^{2}}}=-R^{alpha }{}_{beta gamma delta }{frac {dx^ {alpha }}{ds}}xi ^{gamma }{frac {dx^{delta }}{ds}}

donde ξ = x 2 − x 1 es el vector de separación entre dos geodésicas,D/ds(no solod/ds) es la derivada covariante, y R βγδ es el tensor de curvatura de Riemann, que contiene los símbolos de Christoffel. En otras palabras, la ecuación de desviación geodésica es la ecuación de movimiento de masas en un espacio-tiempo curvo, análoga a la ecuación de fuerza de Lorentz para cargas en un campo electromagnético.

Para el espacio-tiempo plano, la métrica es un tensor constante, por lo que los símbolos de Christoffel desaparecen y la ecuación geodésica tiene soluciones de líneas rectas. Este es también el caso límite cuando las masas se mueven según la ley de la gravedad de Newton.

Objetos giratorios

En relatividad general, el movimiento de rotación se describe mediante el tensor de momento angular relativista, incluido el tensor de espín, que entra en las ecuaciones de movimiento bajo derivadas covariantes con respecto al tiempo propio. Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de objetos giratorios que se mueven en un campo gravitatorio.

Análogos de ondas y campos.

A diferencia de las ecuaciones de movimiento para describir la mecánica de partículas, que son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas, las ecuaciones análogas que gobiernan la dinámica de ondas y campos son siempre ecuaciones diferenciales parciales, ya que las ondas o campos son funciones del espacio y el tiempo. Para una solución particular, se deben especificar las condiciones de contorno junto con las condiciones iniciales.

A veces, en los siguientes contextos, las ecuaciones de onda o de campo también se denominan "ecuaciones de movimiento".

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones que describen la dependencia espacial y la evolución temporal de los campos se denominan ecuaciones de campo. Éstos incluyen

Esta terminología no es universal: por ejemplo, aunque las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el campo de velocidad de un fluido, no se les suele llamar "ecuaciones de campo", ya que en este contexto representan el momento del fluido y se denominan "ecuaciones de momento". " en cambio.

Ecuaciones de onda

Las ecuaciones del movimiento ondulatorio se denominan ecuaciones ondulatorias. Las soluciones a una ecuación de onda dan la evolución temporal y la dependencia espacial de la amplitud. Las condiciones de contorno determinan si las soluciones describen ondas viajeras u ondas estacionarias.

De ecuaciones clásicas de movimiento y ecuaciones de campo; Se pueden derivar ecuaciones mecánicas, de ondas gravitatorias y de ondas electromagnéticas. La ecuación de onda lineal general en 3D es:{frac {1}{v^{2}}}{frac {parcial ^{2}X}{parcial t^{2}}}=nabla ^{2}X

donde X = X (r, t) es cualquier amplitud de campo mecánico o electromagnético, digamos:

yv es la velocidad de fase . Las ecuaciones no lineales modelan la dependencia de la velocidad de fase con la amplitud, reemplazando v por v (X). Existen otras ecuaciones de onda lineales y no lineales para aplicaciones muy específicas, véase, por ejemplo, la ecuación de Korteweg-de Vries.

Teoría cuántica

En la teoría cuántica aparecen los conceptos de onda y campo.

En mecánica cuántica, en la que las partículas también tienen propiedades ondulatorias según la dualidad onda-partícula, el análogo de las ecuaciones clásicas del movimiento (ley de Newton, ecuación de Euler-Lagrange, ecuación de Hamilton-Jacobi, etc.) es la ecuación de Schrödinger en su forma más general:ihbar {frac {parcial Psi }{parcial t}}={hat {H}}Psi ,,

donde Ψ es la función de onda del sistema, Ĥ es el operador cuántico hamiltoniano, en lugar de una función como en la mecánica clásica, y ħ es la constante de Planck dividida por 2 π. Configurar el hamiltoniano e insertarlo en la ecuación da como resultado una ecuación de onda, la solución es la función de onda en función del espacio y el tiempo. La ecuación de Schrödinger en sí misma se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi cuando se considera el principio de correspondencia, en el límite de que ħ se vuelve cero.

A lo largo de todos los aspectos de la teoría cuántica, relativista o no relativista, existen varias formulaciones alternativas a la ecuación de Schrödinger que gobiernan la evolución temporal y el comportamiento de un sistema cuántico, por ejemplo: