Cuatro vectores

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vector 4-dimensional en relatividad

En relatividad especial, un cuatro vectores (o cuatro vectores) es un objeto con cuatro componentes, que se transforman de una manera específica bajo las transformaciones de Lorentz. Específicamente, un cuadrivector es un elemento de un espacio vectorial cuatridimensional considerado como un espacio de representación de la representación estándar del grupo de Lorentz, el (1/2,1/2) representación. Se diferencia de un vector euclidiano en cómo se determina su magnitud. Las transformaciones que conservan esta magnitud son las transformaciones de Lorentz, que incluyen rotaciones espaciales y aumentos (un cambio de una velocidad constante a otro marco de referencia inercial).

Los cuatro vectores describen, por ejemplo, la posición $x μ$ en el espacio-tiempo modelado como el espacio de Minkowski, el estilo $p μ$ , la amplitud de los cuatro potenciales electromagnéticos $A μ (x)$ en un punto $x$ en el espacio-tiempo, y los elementos del subespacio abarcados por las matrices gamma dentro del Dirac álgebra.

El grupo de Lorentz puede representarse mediante matrices de 4×4 $Λ$ . La acción de una transformación de Lorentz en un cuatro vector contravariante general $X$ (como los ejemplos anteriores), considerado como un vector columna con Las coordenadas cartesianas con respecto a un marco inercial en las entradas, viene dada por

{displaystyle X'=Lambda X,}

(multiplicación de matrices) donde los componentes del objeto primado se refieren al nuevo marco. En relación con los ejemplos anteriores que se dan como vectores contravariantes, también existen los vectores covariantes correspondientes $x μ$ , $p μ$ y $A μ (x)$ . Estos se transforman de acuerdo con la regla

{displaystyle X'=left(Lambda ^{-1}right)^{textrm {T}}X,}

donde $T$ indica la transposición de la matriz. Esta regla es diferente de la regla anterior. Corresponde a la representación dual de la representación estándar. Sin embargo, para el grupo de Lorentz el dual de cualquier representación es equivalente a la representación original. Por lo tanto, los objetos con índices covariantes también son cuatro vectores.

Para ver un ejemplo de un objeto de cuatro componentes con buen comportamiento en relatividad especial que no es un cuatro vector, consulte bispinor. Se define de manera similar, con la diferencia de que la regla de transformación bajo las transformaciones de Lorentz está dada por una representación distinta a la representación estándar. En este caso, la regla dice $X' = Π(Λ) X$ , donde $Π(Λ)$ es una matriz de 4×4 distinta de $Λ. Se aplican comentarios similares a los objetos con menos o más componentes que se comportan bien bajo las transformaciones de Lorentz. Estos incluyen escalares, espinores, tensores y espinores-tensores.$

El artículo considera cuatro vectores en el contexto de la relatividad especial. Aunque el concepto de cuatro vectores también se extiende a la relatividad general, algunos de los resultados establecidos en este artículo requieren modificaciones en la relatividad general.

Notación

Las notaciones en este artículo son: negrita minúscula para vectores tridimensionales, sombreros para vectores unitarios tridimensionales, negrita mayúscula para vectores cuatridimensionales (excepto para el gradiente de cuatro) y notación de índice tensorial.

Álgebra de cuatro vectores

Cuatro-vectores en base a valores reales

Un cuatro vectores A es un vector con una "temporalidad" componente y tres "espaciales" componentes, y se puede escribir en varias notaciones equivalentes:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &=left(A^{0},,A^{1},,A^{2},,A^{3}right)\&=A^{0}mathbf {E} _{0}+A^{1}mathbf {E} _{1}+A^{2}mathbf {E} _{2}+A^{3}mathbf {E} _{3}\&=A^{0}mathbf {E} _{0}+A^{i}mathbf {E} _{i}\&=A^{alpha }mathbf {E} _{alpha }end{aligned}}}

donde A^α es el componente de magnitud y E_α es el componente del vector base; tenga en cuenta que ambos son necesarios para hacer un vector, y que cuando A^α se ve solo, se refiere estrictamente a los componentes del vector.

Los índices superiores indican componentes contravariantes. Aquí, la convención estándar es que los índices latinos toman valores para los componentes espaciales, de modo que i = 1, 2, 3, y los índices griegos toman valores para los componentes espaciales y temporales, por lo que α = 0, 1, 2, 3, usado con la convención de sumatoria. La división entre el componente de tiempo y los componentes espaciales es útil para determinar las contracciones de un vector de cuatro con otras cantidades de tensor, como para calcular los invariantes de Lorentz en productos internos (los ejemplos se dan a continuación), o aumentar y disminuir los índices.

En relatividad especial, la base espacial E₁, E₂, E₃ y componentes A¹, A², A ³ suelen ser bases y componentes cartesianos:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &=left(A_{t},,A_{x},,A_{y},,A_{z}right)\&=A_{t}mathbf {E} _{t}+A_{x}mathbf {E} _{x}+A_{y}mathbf {E} _{y}+A_{z}mathbf {E} _{z}\end{aligned}}}

aunque, por supuesto, se puede utilizar cualquier otra base y componente, como coordenadas polares esféricas

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &=left(A_{t},,A_{r},,A_{theta },,A_{phi }right)\&=A_{t}mathbf {E} _{t}+A_{r}mathbf {E} _{r}+A_{theta }mathbf {E} _{theta }+A_{phi }mathbf {E} _{phi }\end{aligned}}}

o coordenadas polares cilíndricas,

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &=(A_{t},,A_{r},,A_{theta },,A_{z})\&=A_{t}mathbf {E} _{t}+A_{r}mathbf {E} _{r}+A_{theta }mathbf {E} _{theta }+A_{z}mathbf {E} _{z}\end{aligned}}}

o cualquier otra coordenada ortogonal, o incluso coordenadas curvilíneas generales. Tenga en cuenta que las etiquetas de coordenadas siempre se subíndicen como etiquetas y no son índices que toman valores numéricos. En relatividad general, se deben usar coordenadas curvilíneas locales en una base local. Geométricamente, un vector de cuatro todavía se puede interpretar como una flecha, pero en el espacio-tiempo, no solo en el espacio. En relatividad, las flechas se dibujan como parte del diagrama de Minkowski (también llamado diagrama de espacio-tiempo). En este artículo, los cuatro vectores se denominarán simplemente vectores.

También es costumbre representar las bases por vectores columna:

{displaystyle mathbf {E} _{0}={begin{pmatrix}1\0\0\0end{pmatrix}},,quad mathbf {E} _{1}={begin{pmatrix}0\1\0\0end{pmatrix}},,quad mathbf {E} _{2}={begin{pmatrix}0\0\1\0end{pmatrix}},,quad mathbf {E} _{3}={begin{pmatrix}0\0\0\1end{pmatrix}}}

para que:

{displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}A^{0}\A^{1}\A^{2}\A^{3}end{pmatrix}}}

La relación entre las coordenadas covariante y contravariante es a través del tensor métrico de Minkowski (referido como la métrica), η que aumenta y disminuye los índices de la siguiente manera:

{displaystyle A_{mu }=eta _{mu nu }A^{nu },,}

y en varias notaciones equivalentes los componentes covariantes son:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &=(A_{0},,A_{1},,A_{2},,A_{3})\&=A_{0}mathbf {E} ^{0}+A_{1}mathbf {E} ^{1}+A_{2}mathbf {E} ^{2}+A_{3}mathbf {E} ^{3}\&=A_{0}mathbf {E} ^{0}+A_{i}mathbf {E} ^{i}\&=A_{alpha }mathbf {E} ^{alpha }\end{aligned}}}

donde el índice reducido indica que es covariante. A menudo, la métrica es diagonal, como es el caso de las coordenadas ortogonales (ver elemento de línea), pero no en las coordenadas curvilíneas generales.

Las bases se pueden representar mediante vectores fila:

{displaystyle mathbf {E} ^{0}={begin{pmatrix}1&0&0&0end{pmatrix}},,quad mathbf {E} ^{1}={begin{pmatrix}0&1&0&0end{pmatrix}},,quad mathbf {E} ^{2}={begin{pmatrix}0&0&1&0end{pmatrix}},,quad mathbf {E} ^{3}={begin{pmatrix}0&0&0&1end{pmatrix}}}

{displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}end{pmatrix}}}

La motivación de las convenciones anteriores es que el producto interno es un escalar, consulte los detalles a continuación.

Transformación de Lorentz

Dados dos marcos de referencia inerciales o rotados, un vector de cuatro se define como una cantidad que se transforma de acuerdo con la matriz de transformación de Lorentz Λ:

{displaystyle mathbf {A} '={boldsymbol {Lambda }}mathbf {A} }

En notación de índice, los componentes contravariante y covariante se transforman según, respectivamente:

{displaystyle {A'}^{mu }=Lambda ^{mu }{}_{nu }A^{nu },,quad {A'}_{mu }=Lambda _{mu }{}^{nu }A_{nu }}

▪

▪ μ .

μ

.

() ▪ -1) T

▪ μ .

μ

.

Para conocer los antecedentes de la naturaleza de esta definición de transformación, consulte tensor. Todos los cuatro vectores se transforman de la misma manera, y esto se puede generalizar a tensores relativistas de cuatro dimensiones; ver relatividad especial.

Rotaciones puras sobre un eje arbitrario

Para dos marcos rotados por un ángulo fijo $θ$ alrededor de un eje definido por el vector unitario:

{displaystyle {hat {mathbf {n} }}=left({hat {n}}_{1},{hat {n}}_{2},{hat {n}}_{3}right),,}

sin impulsos, la matriz Λ tiene componentes dados por:

{displaystyle {begin{aligned}Lambda _{00}&=1\Lambda _{0i}=Lambda _{i0}&=0\Lambda _{ij}&=left(delta _{ij}-{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{j}right)cos theta -varepsilon _{ijk}{hat {n}}_{k}sin theta +{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{j}end{aligned}}}

donde δ_ij es el delta de Kronecker, y ε_ijk es el Levi-Civita tridimensional símbolo. Los componentes espaciales de los cuatro vectores se rotan, mientras que los componentes temporales permanecen sin cambios.

Solo para el caso de rotaciones sobre el eje z, la parte espacial de la matriz de Lorentz se reduce a la matriz de rotación sobre el eje z:

{displaystyle {begin{pmatrix}{A'}^{0}\{A'}^{1}\{A'}^{2}\{A'}^{3}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0&0&0\0&cos theta &-sin theta &0\0&sin theta &cos theta &0\0&0&0&1\end{pmatrix}}{begin{pmatrix}A^{0}\A^{1}\A^{2}\A^{3}end{pmatrix}}.}

Aumentos puros en una dirección arbitraria

Configuración estándar de sistemas de coordenadas; para un impulso de Lorentz en el x- dirección.

Para dos marcos que se mueven a tres velocidades relativas constantes v (no a cuatro velocidades, ver más abajo), es conveniente indicar y definir la velocidad relativa en unidades de c por:

{displaystyle {boldsymbol {beta }}=(beta _{1},,beta _{2},,beta _{3})={frac {1}{c}}(v_{1},,v_{2},,v_{3})={frac {1}{c}}mathbf {v} ,.}

Entonces sin rotaciones, la matriz Λ tiene componentes dadas por:

{displaystyle {begin{aligned}Lambda _{00}&=gamma\Lambda _{0i}=Lambda _{i0}&=-gamma beta _{i},\Lambda _{ij}=Lambda _{ji}&=(gamma -1){frac {beta _{i}beta _{j}}{beta ^{2}}}+delta _{ij}=(gamma -1){frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+delta _{ij},\end{aligned}}}

{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{boldsymbol {beta }}cdot {boldsymbol {beta }}}}},,}

δ ij

Para el caso de un impulso en la dirección x únicamente, la matriz se reduce a;

{displaystyle {begin{pmatrix}A'^{0}\A'^{1}\A'^{2}\A'^{3}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}cosh phi &-sinh phi &0&0\-sinh phi &cosh phi &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix}}{begin{pmatrix}A^{0}\A^{1}\A^{2}\A^{3}end{pmatrix}}}

Donde se ha utilizado la expresión de rapidez $ϕ$ , escrita en términos de funciones hiperbólicas:

{displaystyle gamma =cosh phi }

Esta matriz de Lorentz ilustra el impulso como una rotación hiperbólica en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, análoga a la rotación circular anterior en un espacio tridimensional.

Propiedades

Linealidad

Los cuatro vectores tienen las mismas propiedades de linealidad que los vectores euclidianos en tres dimensiones. Se pueden añadir de la forma habitual de entrada:

{displaystyle mathbf {A} +mathbf {B} =left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}right)+left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}right)=left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}right)}

{displaystyle lambda mathbf {A} =lambda left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}right)=left(lambda A^{0},lambda A^{1},lambda A^{2},lambda A^{3}right)}

Entonces la resta es la operación inversa de la suma, definida de entrada por:

{displaystyle mathbf {A} +(-1)mathbf {B} =left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}right)+(-1)left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}right)=left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}right)}

Tensor de Minkowski

Aplicando el tensor de Minkowski $η μν$ a dos cuatro vectores $A$ y $B$ , escribiendo el resultado en notación de producto escalar, tenemos, usando la notación de Einstein:

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =A^{mu }B^{nu }mathbf {E} _{mu }cdot mathbf {E} _{nu }=A^{mu }eta _{mu nu }B^{nu }}

en relatividad especial. Tenga en cuenta que el producto punto de los vectores base es la métrica de Minkowski, a diferencia del delta de Kronecker como en el espacio euclidiano. Es conveniente reescribir la definición en forma matricial:

{displaystyle mathbf {Acdot B} ={begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}eta _{00}&eta _{01}&eta _{02}&eta _{03}\eta _{10}&eta _{11}&eta _{12}&eta _{13}\eta _{20}&eta _{21}&eta _{22}&eta _{23}\eta _{30}&eta _{31}&eta _{32}&eta _{33}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}B^{0}\B^{1}\B^{2}\B^{3}end{pmatrix}}}

. μ

μ

.

A

B

A

B

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =A^{mu }eta _{mu nu }B^{nu }=A_{nu }B^{nu }=A^{mu }B_{mu }}

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} ={begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}B^{0}\B^{1}\B^{2}\B^{3}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}A^{0}\A^{1}\A^{2}\A^{3}end{pmatrix}}}

A

B

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =A_{mu }eta ^{mu nu }B_{nu }}

Aplicando el tensor de Minkowski a un A de cuatro vectores consigo mismo obtenemos:

{displaystyle mathbf {Acdot A} =A^{mu }eta _{mu nu }A^{nu }}

Las siguientes son dos opciones comunes para el tensor métrico en la base estándar (básicamente coordenadas cartesianas). Si se utilizan coordenadas ortogonales, habría factores de escala a lo largo de la parte diagonal de la parte espacial de la métrica, mientras que para las coordenadas curvilíneas generales, toda la parte espacial de la métrica tendría componentes que dependerían de la base curvilínea utilizada.

Base estándar, firma (+−−−)

En la firma métrica (+−−−), al evaluar la suma sobre los índices se obtiene:

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}

{displaystyle mathbf {Acdot B} ={begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}1&0&0&0\0&-1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}B^{0}\B^{1}\B^{2}\B^{3}end{pmatrix}}}

Es un tema recurrente en la relatividad especial tomar la expresión

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}

{displaystyle mathbf {A} 'cdot mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =mathbf {A} 'cdot mathbf {B} '}

{displaystyle C=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}}

Considerando que las cantidades físicas en relatividad son cuatro vectores, esta ecuación tiene la apariencia de una "ley de conservación", pero no hay "conservación" involucrado. El significado principal del producto interno de Minkowski es que para dos cuatro vectores cualquiera, su valor es invariable para todos los observadores; un cambio de coordenadas no da como resultado un cambio en el valor del producto interno. Los componentes de los cuatro vectores cambian de un marco a otro; A y A′ están conectados por una transformación de Lorentz, y de manera similar para B y B′, aunque el interior Los productos son los mismos en todos los marcos. Sin embargo, este tipo de expresión se explota en cálculos relativistas a la par de las leyes de conservación, ya que las magnitudes de los componentes se pueden determinar sin realizar explícitamente ninguna transformación de Lorentz. Un ejemplo particular es con la energía y el momento en la relación energía-momento derivada del vector de cuatro momentos (ver también más abajo).

En esta firma tenemos:

{displaystyle mathbf {Acdot A} =left(A^{0}right)^{2}-left(A^{1}right)^{2}-left(A^{2}right)^{2}-left(A^{3}right)^{2}}

Con la firma (+ – – –), cuatro vencedores pueden clasificarse como espacio si $<math alttext="{displaystyle mathbf {Acdot A} A\cdot \cdot A.0{displaystyle mathbf {Acdot A} <img alt="{mathbf {Acdot A}}$ , tiempo como si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A⋅ ⋅ A■0{displaystyle mathbf {Acdot A}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dee7cc985036875d865eb2f46af309840cbd83" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.979ex; height:2.176ex;"/>$ , y los vectores nulos si ${mathbf {Acdot A}}=0$ .

Base estándar, (−+++) firma

Algunos autores definen η con el signo opuesto, en cuyo caso tenemos la firma métrica (−+++). Evaluando la sumatoria con esta firma:

{displaystyle mathbf {Acdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}

mientras que la forma matricial es:

{displaystyle mathbf {Acdot B} =left({begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}end{matrix}}right)left({begin{matrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{matrix}}right)left({begin{matrix}B^{0}\B^{1}\B^{2}\B^{3}end{matrix}}right)}

Tenga en cuenta que en este caso, en un cuadro:

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}

mientras que en otro:

{displaystyle mathbf {A} 'cdot mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}

para que:

{displaystyle -C=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}}

que es equivalente a la expresión anterior para C en términos de A y B. Cualquiera de las dos convenciones funcionará. Con la métrica de Minkowski definida de las dos formas anteriores, la única diferencia entre los componentes de cuatro vectores covariantes y contravariantes son los signos, por lo tanto, los signos dependen de la convención de signos que se utilice.

Tenemos:

{displaystyle mathbf {Acdot A} =-left(A^{0}right)^{2}+left(A^{1}right)^{2}+left(A^{2}right)^{2}+left(A^{3}right)^{2}}

Con la firma (—+++), cuatro-vectores pueden clasificarse como espacio si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A⋅ ⋅ A■0{displaystyle mathbf {Acdot A}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dee7cc985036875d865eb2f46af309840cbd83" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.979ex; height:2.176ex;"/>$ , tiempo como si $<math alttext="{displaystyle mathbf {Acdot A} A\cdot \cdot A.0{displaystyle mathbf {Acdot A} <img alt="{mathbf {Acdot A}}$ , y null si ${mathbf {Acdot A}}=0$ .

Vectores duales

La aplicación del tensor de Minkowski a menudo se expresa como el efecto del vector dual de un vector sobre el otro:

{displaystyle mathbf {Acdot B} =A^{*}(mathbf {B})=A{_{nu }}B^{nu }.}

Aquí las A_νs son las componentes del vector dual A* de A en el dual base y se denominan coordenadas covariantes de A, mientras que los componentes originales A^ν se denominan coordenadas contravariantes.

Cálculo de cuatro vectores

Derivados y diferenciales

En la relatividad especial (pero no en la relatividad general), la derivada de un cuadrivector con respecto a un escalar λ (invariante) es en sí misma un cuatrivector. También es útil tomar la diferencial del cuatro vector, dA y dividirla por la diferencial del escalar, dλ:

{displaystyle {underset {text{differential}}{dmathbf {A} }}={underset {text{derivative}}{frac {dmathbf {A} }{dlambda }}}{underset {text{differential}}{dlambda }}}

donde los componentes contravariantes son:

{displaystyle dmathbf {A} =left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}right)}

mientras que los componentes covariantes son:

{displaystyle dmathbf {A} =left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}right)}

En la mecánica relativista, a menudo se toma la diferencial de un vector de cuatro y se divide por la diferencial en el tiempo adecuado (ver más abajo).

Cuatro-vectores fundamentales

Cuatro posiciones

Un punto en el espacio de Minkowski es una posición temporal y espacial, denominada "evento", o a veces la posición de cuatro vectores o de cuatro posiciones o de cuatro posiciones, descrita en algún marco de referencia por un conjunto de cuatro coordenadas:

{displaystyle mathbf {R} =left(ct,mathbf {r} right)}

donde r es el vector de posición del espacio tridimensional. Si r es una función de la coordenada temporal t en el mismo cuadro, es decir, r = r( t), esto corresponde a una secuencia de eventos a medida que varía t. La definición R⁰ = ct asegura que todas las coordenadas tengan las mismas unidades (de distancia). Estas coordenadas son los componentes del cuatro vectores de posición para el evento.

El cuatro vectores de desplazamiento se define como una "flecha" vinculando dos eventos:

{displaystyle Delta mathbf {R} =left(cDelta t,Delta mathbf {r} right)}

Para el diferencial de cuatro posiciones en una recta universal tenemos, usando una notación normal:

{displaystyle |dmathbf {R} |^{2}=mathbf {dRcdot dR} =dR^{mu }dR_{mu }=c^{2}dtau ^{2}=ds^{2},,}

definiendo el elemento de línea diferencial ds y el incremento de tiempo propio diferencial dτ, pero esta "norma" es también:

{displaystyle |dmathbf {R} |^{2}=(cdt)^{2}-dmathbf {r} cdot dmathbf {r} ,,}

para que:

{displaystyle (cdtau)^{2}=(cdt)^{2}-dmathbf {r} cdot dmathbf {r} ,.}

Al considerar los fenómenos físicos, las ecuaciones diferenciales surgen naturalmente; sin embargo, al considerar los derivados del espacio y del tiempo de las funciones, no está claro qué marco de referencia se toman estos derivados con respecto. Se está de acuerdo en que los derivados del tiempo se toman con respecto al tiempo adecuado $tau$ . Como el tiempo adecuado es un invariante, esto garantiza que el tiempo adecuado-derivativo de cualquier cuatro-vector es en sí mismo un cuatro-vector. Es entonces importante encontrar una relación entre este derivado de tiempo adecuado y otro tiempo (utilizando el tiempo de coordenadas) t de un marco de referencia inercial). Esta relación se proporciona tomando el intervalo invariable invariable anterior, luego dividiendo por (cdt)² para obtener:

{displaystyle left({frac {cdtau }{cdt}}right)^{2}=1-left({frac {dmathbf {r} }{cdt}}cdot {frac {dmathbf {r} }{cdt}}right)=1-{frac {mathbf {u} cdot mathbf {u} }{c^{2}}}={frac {1}{gamma (mathbf {u})^{2}}},,}

donde u = dr/dt es la coordenada 3-velocidad de un objeto medida en el mismo marco que las coordenadas x, y, z, y la coordenada de tiempo t, y

{displaystyle gamma (mathbf {u})={frac {1}{sqrt {1-{frac {mathbf {u} cdot mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}

es el factor de Lorentz. Esto proporciona una relación útil entre los diferenciales en el tiempo de coordenadas y el tiempo propio:

{displaystyle dt=gamma (mathbf {u})dtau ,.}

Esta relación también se puede encontrar a partir de la transformación de tiempo en las transformaciones de Lorentz.

Importantes cuatro-vectores en la teoría de la relatividad se pueden definir aplicando este diferencial ${frac {d}{dtau }}$ .

Cuatro gradientes

Teniendo en cuenta que las derivadas parciales son operadores lineales, se puede formar un gradiente de cuatro a partir de la derivada de tiempo parcial $\partial$ / $\partial$ t y el gradiente espacial ∇. Usando la base estándar, en índice y notaciones abreviadas, los componentes contravariantes son:

{displaystyle {begin{aligned}{boldsymbol {partial }}&=left({frac {partial }{partial x_{0}}},,-{frac {partial }{partial x_{1}}},,-{frac {partial }{partial x_{2}}},,-{frac {partial }{partial x_{3}}}right)\&=(partial ^{0},,-partial ^{1},,-partial ^{2},,-partial ^{3})\&=mathbf {E} _{0}partial ^{0}-mathbf {E} _{1}partial ^{1}-mathbf {E} _{2}partial ^{2}-mathbf {E} _{3}partial ^{3}\&=mathbf {E} _{0}partial ^{0}-mathbf {E} _{i}partial ^{i}\&=mathbf {E} _{alpha }partial ^{alpha }\&=left({frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}},,-nabla right)\&=left({frac {partial _{t}}{c}},-nabla right)\&=mathbf {E} _{0}{frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}}-nabla \end{aligned}}}

Tenga en cuenta que los vectores base se colocan delante de los componentes, para evitar confusiones entre tomar la derivada del vector base o simplemente indicar que la derivada parcial es un componente de este vector de cuatro. Los componentes covariantes son:

{displaystyle {begin{aligned}{boldsymbol {partial }}&=left({frac {partial }{partial x^{0}}},,{frac {partial }{partial x^{1}}},,{frac {partial }{partial x^{2}}},,{frac {partial }{partial x^{3}}}right)\&=(partial _{0},,partial _{1},,partial _{2},,partial _{3})\&=mathbf {E} ^{0}partial _{0}+mathbf {E} ^{1}partial _{1}+mathbf {E} ^{2}partial _{2}+mathbf {E} ^{3}partial _{3}\&=mathbf {E} ^{0}partial _{0}+mathbf {E} ^{i}partial _{i}\&=mathbf {E} ^{alpha }partial _{alpha }\&=left({frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}},,nabla right)\&=left({frac {partial _{t}}{c}},nabla right)\&=mathbf {E} ^{0}{frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}}+nabla \end{aligned}}}

Dado que este es un operador, no tiene una "longitud", pero al evaluar el producto interno del operador consigo mismo se obtiene otro operador:

{displaystyle partial ^{mu }partial _{mu }={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-nabla ^{2}={frac {{partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-nabla ^{2}}

llamó al operador D'Alembert.

Cinemática

Cuatro velocidades

La velocidad de cuatro de una partícula se define por:

{displaystyle mathbf {U} ={frac {dmathbf {X} }{dtau }}={frac {dmathbf {X} }{dt}}{frac {dt}{dtau }}=gamma (mathbf {u})left(c,mathbf {u} right),}

Geométricamente, U es un vector normalizado tangente a la línea de universo de la partícula. Usando el diferencial de las cuatro posiciones, se puede obtener la magnitud de las cuatro velocidades:

{displaystyle |mathbf {U} |^{2}=U^{mu }U_{mu }={frac {dX^{mu }}{dtau }}{frac {dX_{mu }}{dtau }}={frac {dX^{mu }dX_{mu }}{dtau ^{2}}}=c^{2},,}

en resumen, la magnitud de la velocidad de cuatro para cualquier objeto es siempre una constante fija:

{displaystyle |mathbf {U} |^{2}=c^{2}}

La norma también es:

{displaystyle |mathbf {U} |^{2}={gamma (mathbf {u})}^{2}left(c^{2}-mathbf {u} cdot mathbf {u} right),,}

para que:

{displaystyle c^{2}={gamma (mathbf {u})}^{2}left(c^{2}-mathbf {u} cdot mathbf {u} right),,}

lo que se reduce a la definición del factor de Lorentz.

Las unidades de cuatro velocidades son m/s en el SI y 1 en el sistema de unidades geometrizado. Cuatro velocidades es un vector contravariante.

Cuatro aceleraciones

La cuatro aceleración viene dada por:

{displaystyle mathbf {A} ={frac {dmathbf {U} }{dtau }}=gamma (mathbf {u})left({frac {d{gamma }(mathbf {u})}{dt}}c,{frac {d{gamma }(mathbf {u})}{dt}}mathbf {u} +gamma (mathbf {u})mathbf {a} right).}

donde a = du/dt es la coordenada 3-aceleración. Dado que la magnitud de U es una constante, las cuatro aceleraciones son ortogonales a las cuatro velocidades, es decir, el producto interno de Minkowski de las cuatro aceleraciones y las cuatro velocidades es cero:

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {U} =A^{mu }U_{mu }={frac {dU^{mu }}{dtau }}U_{mu }={frac {1}{2}},{frac {d}{dtau }}left(U^{mu }U_{mu }right)=0,}

lo cual es cierto para todas las líneas de mundo. El significado geométrico de cuatro aceleraciones es el vector de curvatura de la línea universal en el espacio de Minkowski.

Dinámica

Cuatro impulsos

Para una partícula masiva de masa en reposo (o masa invariable) m₀, el cuatro impulso está dado por:

{displaystyle mathbf {P} =m_{0}mathbf {U} =m_{0}gamma (mathbf {u})(c,mathbf {u})=left({frac {E}{c}},mathbf {p} right)}

donde la energía total de la partícula en movimiento es:

{displaystyle E=gamma (mathbf {u})m_{0}c^{2}}

y el momento relativista total es:

{displaystyle mathbf {p} =gamma (mathbf {u})m_{0}mathbf {u} }

Tomando el producto interno del cuatro impulso consigo mismo:

{displaystyle |mathbf {P} |^{2}=P^{mu }P_{mu }=m_{0}^{2}U^{mu }U_{mu }=m_{0}^{2}c^{2}}

y también:

{displaystyle |mathbf {P} |^{2}={frac {E^{2}}{c^{2}}}-mathbf {p} cdot mathbf {p} }

lo que conduce a la relación energía-cantidad de movimiento:

{displaystyle E^{2}=c^{2}mathbf {p} cdot mathbf {p} +left(m_{0}c^{2}right)^{2},.}

Esta última relación es útil para la mecánica relativista, esencial en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos relativista, todas con aplicaciones a la física de partículas.

Cuatro fuerzas

La fuerza cuádruple que actúa sobre una partícula se define de manera análoga a la fuerza 3 como la derivada temporal de la cantidad de movimiento 3 en la segunda ley de Newton:

{displaystyle mathbf {F} ={frac {dmathbf {P} }{dtau }}=gamma (mathbf {u})left({frac {1}{c}}{frac {dE}{dt}},{frac {dmathbf {p} }{dt}}right)=gamma (mathbf {u})left({frac {P}{c}},mathbf {f} right)}

donde P es la potencia transferida para mover la partícula, y f es la fuerza tripartita que actúa sobre la partícula. Para una partícula de masa invariante constante m₀, esto es equivalente a

{displaystyle mathbf {F} =m_{0}mathbf {A} =m_{0}gamma (mathbf {u})left({frac {d{gamma }(mathbf {u})}{dt}}c,left({frac {d{gamma }(mathbf {u})}{dt}}mathbf {u} +gamma (mathbf {u})mathbf {a} right)right)}

Un invariante derivado de las cuatro fuerzas es:

{displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {U} =F^{mu }U_{mu }=m_{0}A^{mu }U_{mu }=0}

del resultado anterior.

Termodinámica

Flujo de cuatro calores

El campo vectorial de flujo de cuatro calores es esencialmente similar al campo vectorial de flujo de calor 3d q, en el marco local del fluido:

{displaystyle mathbf {Q} =-k{boldsymbol {partial }}T=-kleft({frac {1}{c}}{frac {partial T}{partial t}},nabla Tright)}

donde T es la temperatura absoluta y k es la conductividad térmica.

Flujo numérico de cuatro bariones

El flujo de bariones es:

{displaystyle mathbf {S} =nmathbf {U} }

n

U

Cuatro-entropía

El vector de cuatro entropías está definido por:

{displaystyle mathbf {s} =smathbf {S} +{frac {mathbf {Q} }{T}}}

s

T

Electromagnetismo

Los siguientes son ejemplos de cuatro vectores en electromagnetismo.

Cuatro corrientes

La cuatro corrientes electromagnéticas (o más correctamente una densidad de cuatro corrientes) se define por

{displaystyle mathbf {J} =left(rho c,mathbf {j} right)}

j***

Cuatro potenciales

El cuatro potencial electromagnético (o más correctamente un potencial vectorial de cuatro EM) definido por

{displaystyle mathbf {A} =left({frac {phi }{c}},mathbf {a} right)}

a

φ

El potencial cuádruple no se determina de manera única, ya que depende de la elección del calibre.

En la ecuación de onda para el campo electromagnético:

En vacío, ${displaystyle ({boldsymbol {partial }}cdot {boldsymbol {partial }})mathbf {A} =0}$
Con una fuente de cuatro corrientes y la condición de medidor Lorenz ${displaystyle ({boldsymbol {partial }}cdot mathbf {A})=0}$ , ${displaystyle ({boldsymbol {partial }}cdot {boldsymbol {partial }})mathbf {A} =mu _{0}mathbf {J} }$

Olas

Cuatro frecuencias

Una onda plana fotónica se puede describir mediante la definición de cuatro frecuencias como

{displaystyle mathbf {N} =nu left(1,{hat {mathbf {n} }}right)}

Donde $.$ es la frecuencia de la onda y ${hat {mathbf {n} }}$ es un vector unitario en la dirección de viaje de la ola. Ahora:

{displaystyle |mathbf {N} |=N^{mu }N_{mu }=nu ^{2}left(1-{hat {mathbf {n} }}cdot {hat {mathbf {n} }}right)=0}

por lo que la frecuencia de cuatro de un fotón es siempre un vector nulo.

Vector de cuatro ondas

Las cantidades recíprocas al tiempo $t$ y al espacio $r$ son la frecuencia angular $ω$ y el vector de onda angular $k$ , respectivamente. Forman los componentes del vector de cuatro ondas o del cuatro vector de ondas:

{displaystyle mathbf {K} =left({frac {omega }{c}},{vec {mathbf {k} }}right)=left({frac {omega }{c}},{frac {omega }{v_{p}}}{hat {mathbf {n} }}right),.}

Un paquete de ondas de luz casi monocromática se puede describir mediante:

{displaystyle mathbf {K} ={frac {2pi }{c}}mathbf {N} ={frac {2pi }{c}}nu left(1,{hat {mathbf {n} }}right)={frac {omega }{c}}left(1,{hat {mathbf {n} }}right)~.}

Las relaciones de De Broglie mostraron entonces que el vector de cuatro ondas se aplicaba tanto a las ondas de materia como a las ondas de luz:

{displaystyle mathbf {P} =hbar mathbf {K} =left({frac {E}{c}},{vec {p}}right)=hbar left({frac {omega }{c}},{vec {k}}right)~.}

E=hbar omega

vec{p} = hbar vec{k}

▪

2 π

El cuadrado de la norma es:

{displaystyle |mathbf {K} |^{2}=K^{mu }K_{mu }=left({frac {omega }{c}}right)^{2}-mathbf {k} cdot mathbf {k} ,,}

{displaystyle |mathbf {K} |^{2}={frac {1}{hbar ^{2}}}|mathbf {P} |^{2}=left({frac {m_{0}c}{hbar }}right)^{2},,}

{displaystyle left({frac {omega }{c}}right)^{2}-mathbf {k} cdot mathbf {k} =left({frac {m_{0}c}{hbar }}right)^{2}~.}

Tenga en cuenta que para partículas sin masa, en cuyo caso $m 0 = 0$ , tenemos:

{displaystyle left({frac {omega }{c}}right)^{2}=mathbf {k} cdot mathbf {k} ,,}

. k Ø \cdot / c

ω / c

{displaystyle {hat {mathbf {n} }}~.}

Teoría cuántica

Corriente de cuatro probabilidades

En la mecánica cuántica, la corriente de cuatro probabilidades o corriente de cuatro probabilidades es análoga a la corriente de cuatro probabilidades electromagnética:

{displaystyle mathbf {J} =(rho c,mathbf {j})}

***

j

Reemplazando la energía por el operador de energía y el momento por el operador de momento en el operador de cuatro momentos, se obtiene el operador de cuatro momentos, utilizado en ecuaciones de ondas relativistas.

Cuatro giros

El cuatro espín de una partícula se define en el sistema de reposo de una partícula como

{displaystyle mathbf {S} =(0,mathbf {s})}

s

La norma al cuadrado es el (negativo de) la magnitud al cuadrado del espín, y según la mecánica cuántica tenemos

{displaystyle |mathbf {S} |^{2}=-|mathbf {s} |^{2}=-hbar ^{2}s(s+1)}

Este valor es observable y cuantificado, con $s$ el número cuántico de espín (no la magnitud del vector de espín).

Otras formulaciones

Cuatro-vectores en el álgebra del espacio físico

También se puede definir un A de cuatro vectores usando las matrices de Pauli como base, de nuevo en varias notaciones equivalentes:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &=left(A^{0},,A^{1},,A^{2},,A^{3}right)\&=A^{0}{boldsymbol {sigma }}_{0}+A^{1}{boldsymbol {sigma }}_{1}+A^{2}{boldsymbol {sigma }}_{2}+A^{3}{boldsymbol {sigma }}_{3}\&=A^{0}{boldsymbol {sigma }}_{0}+A^{i}{boldsymbol {sigma }}_{i}\&=A^{alpha }{boldsymbol {sigma }}_{alpha }\end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} &=A^{0}{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}+A^{1}{begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}}+A^{2}{begin{pmatrix}0&-i\i&0end{pmatrix}}+A^{3}{begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}\&={begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}end{pmatrix}}end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}|mathbf {A} |&={begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}end{vmatrix}}\&=left(A^{0}+A^{3}right)left(A^{0}-A^{3}right)-left(A^{1}-iA^{2}right)left(A^{1}+iA^{2}right)\&=left(A^{0}right)^{2}-left(A^{1}right)^{2}-left(A^{2}right)^{2}-left(A^{3}right)^{2}end{aligned}}}

Esta idea de usar las matrices de Pauli como vectores base se emplea en el álgebra del espacio físico, un ejemplo de álgebra de Clifford.

Cuatro-vectores en álgebra del espacio-tiempo

En el álgebra del espacio-tiempo, otro ejemplo del álgebra de Clifford, las matrices gamma también pueden formar una base. (También se denominan matrices de Dirac, debido a su aparición en la ecuación de Dirac). Hay más de una forma de expresar las matrices gamma, detalladas en ese artículo principal.

La notación de barra de Feynman es una forma abreviada de un A de cuatro vectores contraído con las matrices gamma:

{displaystyle mathbf {A} !!!!/=A_{alpha }gamma ^{alpha }=A_{0}gamma ^{0}+A_{1}gamma ^{1}+A_{2}gamma ^{2}+A_{3}gamma ^{3}}

El cuatro impulso contraído con las matrices gamma es un caso importante en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica relativista de campos. En la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de ondas relativistas, términos de la forma:

{displaystyle mathbf {P} !!!!/=P_{alpha }gamma ^{alpha }=P_{0}gamma ^{0}+P_{1}gamma ^{1}+P_{2}gamma ^{2}+P_{3}gamma ^{3}={dfrac {E}{c}}gamma ^{0}-p_{x}gamma ^{1}-p_{y}gamma ^{2}-p_{z}gamma ^{3}}

E

() p x, p Sí., p z)

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