Cuaternio

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Extensión no conmutativa de los números reales

Tabla de multiplicación de cuaternión
	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$- j$
$j$	$j$	$- k$	$-1$	$i$
$k$	$k$	$j$	$- i$	$-1$

Gráfico Cayley Q8 mostrando los seis ciclos de multiplicación por i, j y k. (Si la imagen se abre en los comunes de Wikipedia haciendo clic dos veces en ella, los ciclos pueden ser resaltados por el buceador o haciendo clic en ellos).

En matemáticas, el sistema numérico cuaternión amplía los números complejos. Los cuaterniones fueron descritos por primera vez por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1843 y aplicados a la mecánica en el espacio tridimensional. Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en un espacio tridimensional o, de manera equivalente, como el cociente de dos vectores. La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa.

Los cuaterniones generalmente se representan en la forma

{displaystyle a+b mathbf {i} +c mathbf {j} +d mathbf {k}}

donde $a, b, c$ y $d$ son números reales; y $1, i, j$ y $k$ son los vectores base o elementos base.

Los cuaterniones se usan en matemáticas puras, pero también tienen usos prácticos en matemáticas aplicadas, particularmente para cálculos que involucran rotaciones tridimensionales, como en gráficos tridimensionales por computadora, visión por computadora y análisis de texturas cristalográficas. Se pueden utilizar junto con otros métodos de rotación, como los ángulos de Euler y las matrices de rotación, o como una alternativa a ellos, según la aplicación.

En el lenguaje matemático moderno, las quaterniones forman un álgebra de división associativa de cuatro dimensiones sobre los números reales, y por lo tanto un anillo, siendo ambos un anillo de división y un dominio. El álgebra de las cuaterniones es a menudo denotado por $H$ (por Hamilton), o en pizarra negrita por ${displaystyle mathbb {H}.}$ También puede ser dado por las clasificaciones de álgebra Clifford ${displaystyle operatorname {Cl} _{0,2}(mathbb {R})cong operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(mathbb {R}).}$ De hecho, fue el primer álgebra de división nomutante que se descubrió.

Según el teorema Frobenius, el álgebra $mathbb {H}$ es uno de los dos anillos de división finito-dimensional que contienen un isomorfo subring adecuado a los números reales; el otro son los números complejos. Estos anillos también son álgebras de Euclidean Hurwitz, de los cuales las quaterniones son el álgebra asociativa más grande (y por lo tanto el anillo más grande). Ampliar aún más las cuaterniones produce las octoniones no asociativas, que es el último álgebra de división normal sobre los números reales. (Las sedeniones, la extensión de las octoniones, tienen cero divisores y por lo tanto no puede ser un álgebra de división normal.)

Los cuaterniones unitarios se pueden considerar como una elección de una estructura de grupo en la $S 3$ de 3 esferas que le da al grupo Spin(3), que es isomorfa a SU(2) y también a la cobertura universal de SO(3).

Representación gráfica de productos de unidades de cuaternión como rotación de 90° en los planos de espacio de 4 dimensiones abarcados por dos de

{1} i, j, k}.

El factor izquierdo se puede considerar rotado por el factor derecho para llegar al producto. Visualmente

i \cdot j = () j \cdot i)

In azul:
- $1 \cdot i = i$ (1/i avión)
- $i \cdot j = k$ ()i/k avión)
In rojo:
- $1 \cdot j = j$ (1/j avión)
- $j \cdot i = - k$ ()j/k avión)

Historia

Placa de Quaternion en Brougham (Broom) Bridge, Dublín, que dice:

Aquí mientras caminaba
el 16 de octubre de 1843
Sir William Rowan Hamilton
en un flash de genio descubierto
la fórmula fundamental para
multiplicación de quaternion
$i 2 = j 2 = k 2 = i j k = 1 -$
" cortar en una piedra de este puente

Los cuaterniones fueron introducidos por Hamilton en 1843. Los precursores importantes de este trabajo incluyeron la identidad de cuatro cuadrados de Euler (1748) y Olinde Rodrigues' parametrización de rotaciones generales por cuatro parámetros (1840), pero ninguno de estos escritores trató las rotaciones de cuatro parámetros como un álgebra. Carl Friedrich Gauss también había descubierto los cuaterniones en 1819, pero este trabajo no se publicó hasta 1900.

Hamilton sabía que los números complejos podían ser interpretados como puntos en un plano, y estaba buscando una manera de hacer lo mismo por puntos en el espacio tridimensional. Los puntos en el espacio pueden ser representados por sus coordenadas, que son triples de números, y durante muchos años había sabido agregar y restar triples de números. Sin embargo, durante mucho tiempo, había estado atrapado en el problema de la multiplicación y división. No pudo averiguar cómo calcular el cociente de las coordenadas de dos puntos en el espacio. De hecho, Ferdinand Georg Frobenius demostró más adelante en 1877 que para una división álgebra sobre los números reales para ser finito-dimensional y asociativo, no puede ser tridimensional, y sólo hay tres álgebras de división: ${displaystyle mathbb {R,C} }$ (números complejos) y $mathbb {H}$ (quaternions) que tienen dimensión 1, 2, y 4 respectivamente.

El gran avance en los cuaterniones finalmente se produjo el lunes 16 de octubre de 1843 en Dublín, cuando Hamilton se dirigía a la Royal Irish Academy, donde presidiría una reunión del consejo. Mientras caminaba por el camino de sirga del Royal Canal con su esposa, los conceptos detrás de los cuaterniones iban tomando forma en su mente. Cuando se le ocurrió la respuesta, Hamilton no pudo resistir la tentación de tallar la fórmula de los cuaterniones,

{displaystyle mathbf {i} ^{2}=mathbf {j} ^{2}=mathbf {k} ^{2}=mathbf {i,j,k} =-1}

en la piedra del puente Brougham mientras se detenía en él. Aunque la talla se ha desvanecido desde entonces, ha habido una peregrinación anual desde 1989 llamada Hamilton Walk para científicos y matemáticos que caminan desde el Observatorio de Dunsink hasta el puente Royal Canal en recuerdo del descubrimiento de Hamilton.

Al día siguiente, Hamilton escribió una carta a su amigo y colega matemático, John T. Graves, describiendo el hilo de pensamiento que condujo a su descubrimiento. Esta carta se publicó más tarde en una carta a la Revista Filosófica y Revista de Ciencias de Londres, Edimburgo y Dublín; hamilton afirma:

Y aquí amaneció sobre mí la idea de que debemos admitir, en algún sentido, una cuarta dimensión del espacio con el propósito de calcular con triples... Un circuito eléctrico parecía cerrar, y una chispa destellaba.

Hamilton llamó a un cuádruple con estas reglas de multiplicación un cuaternión, y dedicó la mayor parte del resto de su vida a estudiarlas y enseñarlas. El tratamiento de Hamilton es más geométrico que el enfoque moderno, que enfatiza los cuaterniones. propiedades algebraicas. Fundó una escuela de "cuaternionistas", y trató de popularizar los cuaterniones en varios libros. El último y más largo de sus libros, Elements of Quaternions, tenía 800 páginas; fue editado por su hijo y publicado poco después de su muerte.

Después de la muerte de Hamilton, el físico matemático escocés Peter Tait se convirtió en el principal exponente de los cuaterniones. En ese momento, los cuaterniones eran un tema de examen obligatorio en Dublín. Los temas de física y geometría que ahora se describirían mediante vectores, como la cinemática en el espacio y las ecuaciones de Maxwell, se describieron completamente en términos de cuaterniones. Había incluso una asociación de investigación profesional, la Sociedad Quaternion, dedicada al estudio de los cuaterniones y otros sistemas numéricos hipercomplejos.

Desde mediados de la década de 1880, los cuaterniones comenzaron a ser desplazados por el análisis vectorial, desarrollado por Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside y Hermann von Helmholtz. El análisis vectorial describió los mismos fenómenos que los cuaterniones, por lo que tomó prestadas algunas ideas y terminología generosamente de la literatura sobre cuaterniones. Sin embargo, el análisis vectorial era conceptualmente más simple y notacionalmente más limpio, y eventualmente los cuaterniones fueron relegados a un papel menor en matemáticas y física. Un efecto secundario de esta transición es que el trabajo de Hamilton es difícil de comprender para muchos lectores modernos. Las definiciones originales de Hamilton no son familiares y su estilo de escritura era prolijo y difícil de seguir.

Sin embargo, los cuaterniones han revivido desde finales del siglo XX, principalmente debido a su utilidad para describir rotaciones espaciales. Las representaciones de rotaciones por cuaterniones son más compactas y rápidas de calcular que las representaciones por matrices. Además, a diferencia de los ángulos de Euler, no son susceptibles de "bloqueo de cardán". Por esta razón, los cuaterniones se utilizan en gráficos por computadora, visión por computadora, robótica, teoría de control, procesamiento de señales, control de actitud, física, bioinformática, dinámica molecular, simulaciones por computadora y mecánica orbital. Por ejemplo, es común que los sistemas de control de actitud de las naves espaciales se controlen en términos de cuaterniones. Los cuaterniones han recibido otro impulso de la teoría de números debido a sus relaciones con las formas cuadráticas.

Cuaterniones en física

PR El ensayo de Girard de 1984 El grupo de cuaterniones y la física moderna analiza algunos roles de los cuaterniones en la física. El ensayo muestra cómo varios grupos de covarianza física, a saber, $SO(3)$ , el grupo de Lorentz, el grupo de la teoría general de la relatividad, el álgebra de Clifford $SU (2)$ y el grupo conforme, pueden relacionarse fácilmente con el grupo cuaternión en el álgebra moderna. Girard comenzó discutiendo las representaciones grupales y representando algunos grupos espaciales de cristalografía. Procedió a la cinemática del movimiento de un cuerpo rígido. A continuación, utilizó cuaterniones complejos (bicuaterniones) para representar el grupo de Lorentz de la relatividad especial, incluida la precesión de Thomas. Citó a cinco autores, comenzando con Ludwik Silberstein, quien usó una función potencial de una variable de cuaternión para expresar las ecuaciones de Maxwell en una sola ecuación diferencial. En cuanto a la relatividad general, expresó el vector de Runge-Lenz. Mencionó los bicuaterniones de Clifford (bicuaterniones divididos) como un ejemplo del álgebra de Clifford. Finalmente, invocando el recíproco de un bicuaternión, Girard describió mapas conformes en el espacio-tiempo. Entre las cincuenta referencias, Girard incluyó a Alexander Macfarlane y su Boletín de la Sociedad Quaternion. En 1999 mostró cómo las ecuaciones de la relatividad general de Einstein podrían formularse dentro de un álgebra de Clifford que está directamente relacionada con los cuaterniones.

El descubrimiento de 1924 de que en la mecánica cuántica el espín de un electrón y otras partículas de materia (conocidas como espinores) se puede describir usando cuaterniones (en la forma de las famosas matrices de espín de Pauli) fomentó su interés; los cuaterniones ayudaron a comprender cómo se pueden distinguir las rotaciones de electrones de 360° de las de 720° (el 'truco de las placas'). A partir de 2018, su uso no ha superado a los grupos de rotación.

Definición

Un cuaternión es una expresión de la forma

{displaystyle a+b,mathbf {i} +c,mathbf {j} +d,mathbf {k} }

donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , son números reales y $i$ , $j$ , $k$ , son símbolos que pueden interpretarse como vectores unitarios que apuntan a lo largo de los tres ejes espaciales. En la práctica, si uno de $a$ , $b$ , $c$ , $d$ es 0, se omite el término correspondiente; si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son todos cero, el cuaternión es el cuaternión cero, denotado 0; si uno de $b$ , $c$ , $d$ es igual a 1, el término correspondiente se escribe simplemente $i, j$ o $k$ .

Hamilton describe una cuaternión ${displaystyle q=a+b,mathbf {i} +c,mathbf {j} +d,mathbf {k} }$ , como consta de una parte de escalar y una parte vectorial. La cuaternión ${displaystyle b,mathbf {i} +c,mathbf {j} +d,mathbf {k} }$ se llama Partida vectorial (a veces parte imaginaria) de $q$ , y $a$ es parte escalar (a veces parte real) de $q$ . Una cuaternión que iguala su parte real (es decir, su parte vectorial es cero) se llama una scalar o quaternion real, y se identifica con el número real correspondiente. Es decir, los números reales son embebido en las cuaterniones. (Más adecuadamente, el campo de números reales es isomorfo a un subconjunto de las quaterniones. El campo de los números complejos es también isomorfo a tres subconjuntos de quaternions.) Una cuaternión que iguala su parte vectorial se llama vector quaternion.

El conjunto de quaternions se hace un espacio vectorial de 4 dimensiones sobre los números reales, con ${displaystyle left{1,mathbf {i}mathbf {j}mathbf {k} right}}$ como base, por el componente

{displaystyle {begin{aligned}&(a_{1}+b_{1},mathbf {i} +c_{1},mathbf {j} +d_{1},mathbf {k})+(a_{2}+b_{2},mathbf {i} +c_{2},mathbf {j} +d_{2},mathbf {k})\[3mu]&qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2}),mathbf {i} +(c_{1}+c_{2}),mathbf {j} +(d_{1}+d_{2}),mathbf {k}end{aligned}}}

y la multiplicación escalar por componentes

{displaystyle lambda (a+b,mathbf {i} +c,mathbf {j} +d,mathbf {k})=lambda a+(lambda b),mathbf {i} +(lambda c),mathbf {j} +(lambda d),mathbf {k}.}

Una estructura de grupo multiplicativa, llamada producto de Hamilton, denotada por yuxtaposición, se puede definir en los cuaterniones de la siguiente manera:

La verdadera cuaternión $1$ es el elemento de identidad.
El real quaternions commute with all other quaternions, that is $aq = qa$ para cada quaternion $q$ y cada verdadera cuaternión $a$ . En terminología algebraica esto es decir que el campo de las quaterniones reales son el centro de este álgebra de cuaternión.
El producto se da por primera vez para los elementos de base (ver la siguiente subsección), y luego se extiende a todas las quaternions utilizando la propiedad distributiva y la propiedad central de las quaternions reales. El producto Hamilton no es comunicativo, pero es asociativo, por lo tanto las quaternions forman un álgebra asociativa sobre los números reales.
Además, cada quaternión no cero tiene un inverso con respecto al producto Hamilton: ${displaystyle (a+b,mathbf {i} +c,mathbf {j} +d,mathbf {k})^{-1}={frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}},(a-b,mathbf {i} -c,mathbf {j} -d,mathbf {k}).}$

Así, los cuaterniones forman un álgebra de división.

Multiplicación de elementos básicos

Mesa de multiplicación
×	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$- j$
$j$	$j$	$- k$	$-1$	$i$
$k$	$k$	$j$	$- i$	$-1$

La multiplicación por $1$ de los elementos básicos $i, j$ , y $k$ se define por el hecho de que $1$ es una identidad multiplicativa, es decir,

{displaystyle mathbf {i} ,1=1,mathbf {i} =mathbf {i}qquad mathbf {j} ,1=1,mathbf {j} =mathbf {j}qquad mathbf {k} ,1=1,mathbf {k} =mathbf {k} ,.}

Los productos de otros elementos básicos son

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {i} ^{2}&=mathbf {j} ^{2}=mathbf {k} ^{2}=-1,\[5mu]mathbf {i,j} &=-mathbf {j,i} =mathbf {k}qquad mathbf {j,k} =-mathbf {k,j} =mathbf {i}qquad mathbf {k,i} =-mathbf {i,k} =mathbf {j}.end{aligned}}}

Combinando estas reglas,

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {i,j,k} &=-1.end{aligned}}}

Centro

El centro de un anillo no conmutativo es el subanillo de elementos $c$ tales que $cx = xc$ para cada $x$ . El centro del álgebra de cuaterniones es el subcampo de los cuaterniones reales. De hecho, es parte de la definición que los cuaterniones reales pertenecen al centro. Por el contrario, si $q = a + b i + c j + d k$ pertenece al centro, entonces

{displaystyle 0=mathbf {i} ,q-q,mathbf {i} =2c,mathbf {ij} +2d,mathbf {ik} =2c,mathbf {k} -2d,mathbf {j} ,,}

y $c = d = 0$ . Un cálculo similar con $j$ en lugar de $i$ muestra que uno tiene también $b = 0$ . Por lo tanto, $q = a$ es un cuaternión real.

Los cuaterniones forman un álgebra de división. Esto significa que la no conmutatividad de la multiplicación es la única propiedad que hace que los cuaterniones sean diferentes de un cuerpo. Esta no conmutatividad tiene algunas consecuencias inesperadas, entre ellas que una ecuación polinomial sobre los cuaterniones puede tener más soluciones distintas que el grado del polinomio. Por ejemplo, la ecuación $z 2 + 1 = 0$ , tiene infinitas soluciones de cuaterniones, que son los cuaterniones $z = b i + c j + d k$ tal que $b 2 + c 2 + d 2 = 1$ . Así estas "raíces de –1" forman una esfera unitaria en el espacio tridimensional de los cuaterniones vectoriales.

Producto Hamilton

Para dos elementos $a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k$ y $a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k$ , su producto, llamado producto Hamilton ( $a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k$ ) ( $a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k$ ), está determinado por los productos de los elementos básicos y el Ley distributiva. La ley distributiva permite expandir el producto para que sea una suma de productos de elementos básicos. Esto da la siguiente expresión:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}mathbf {k} \{}+{}&b_{1}a_{2}mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}mathbf {ik} \{}+{}&c_{1}a_{2}mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}mathbf {jk} \{}+{}&d_{1}a_{2}mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}mathbf {k} ^{2}end{alignedat}}}

Ahora los elementos básicos se pueden multiplicar usando las reglas dadas arriba para obtener:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})mathbf {i} \{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})mathbf {j} \{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})mathbf {k} end{alignedat}}}

El producto de dos cuaterniones de rotación será equivalente a la rotación $a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k$ seguido de la rotación $a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k$ .

Partes escalares y vectoriales

Una cuaternión de la forma $a + 0 i + 0 j + 0 k$ , donde $a$ es un número real, se llama scalar, y una cuaternión de la forma $0 + b i + c j + d k$ , donde $b, c$ , y $d$ son números reales, y al menos uno de $b, c$ o $d$ no es cero, se llama un vector quaternion. Si $a + b i + c j + d k$ es cualquier quaternion, entonces $a$ se llama parte escalar y $b i + c j + d k$ se llama Partida vectorial. A pesar de que cada cuaternión puede ser vista como un vector en un espacio vectorial cuatridimensional, es común referirse al vector parte como vectores en el espacio tridimensional. Con esta convención, un vector es el mismo que un elemento del espacio vectorial ${displaystyle mathbb {R} ^{3}.}$

Hamilton también llamó a los cuaterniones vectoriales cuaterniones rectos ya los números reales (considerados como cuaterniones con parte vectorial cero) cuaterniones escalares.

Si un cuaternión se divide en una parte escalar y una parte vectorial, es decir,

{displaystyle mathbf {q} =(r, {vec {v}}),~~mathbf {q} in mathbb {H}~~rin mathbb {R}~~{vec {v}}in mathbb {R} ^{3},}

entonces las fórmulas para la suma y la multiplicación son

{displaystyle {begin{aligned}(r_{1}, {vec {v}}_{1})+(r_{2}, {vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2}, {vec {v}}_{1}+{vec {v}}_{2}),\[5mu](r_{1}, {vec {v}}_{1})(r_{2}, {vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{vec {v}}_{1}cdot {vec {v}}_{2}, r_{1}{vec {v}}_{2}+r_{2}{vec {v}}_{1}+{vec {v}}_{1}times {vec {v}}_{2}),end{aligned}}}

Donde $cdot$ "y" $times$ "denotar respectivamente el producto del punto y el producto de la cruz.

Conjugación, la norma y recíproca

(feminine)

La conjugación de las cuaterniones es análoga a la conjugación de números complejos y a la transposición (también conocida como reversal) de elementos de álgebras Clifford. Para definirlo, dejemos ${displaystyle q=a+b,mathbf {i} +c,mathbf {j} +d,mathbf {k} }$ ser una cuaternión. El conjugado de $q$ es la quaternion ${displaystyle q^{*}=a-b,mathbf {i} -c,mathbf {j} -d,mathbf {k} }$ . Es denotado por $q Alternativa$ , q^t, ${tilde {q}}$ , o q. La conjugación es una involución, lo que significa que es su propio inverso, por lo que conjugar un elemento dos veces devuelve el elemento original. El conjugado de un producto de dos quaternions es el producto de los conjugados en el orden inverso. Eso es, si $p$ y $q$ son quaternions, entonces $() pq) Alternativa = q Alternativa p Alternativa$ , no $p Alternativa q Alternativa$ .

La conjugación de un cuaternión, en marcado contraste con la configuración compleja, se puede expresar con la multiplicación y suma de cuaterniones:

{displaystyle q^{*}=-{frac {1}{2}}(q+,mathbf {i} ,q,mathbf {i} +,mathbf {j} ,q,mathbf {j} +,mathbf {k} ,q,mathbf {k}).}

La conjugación se puede utilizar para extraer las partes escalares y vectoriales de un cuaternión. La parte escalar de $p$ es $1 / 2 (p + p *)$ , y la parte vectorial de $p$ es $1 / 2 (p - p *)$ .

La raíz cuadrada del producto de un cuaternión con su conjugado se llama su norma y se denota $|| q ||$ (Hamilton llamó a esta cantidad el tensor de q, pero esto entra en conflicto con el significado moderno de "tensor&# 34;). En fórmulas, esto se expresa de la siguiente manera:

{displaystyle lVert qrVert ={sqrt {,qq^{*}~}}={sqrt {,q^{*}q~}}={sqrt {,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}

Este es siempre un número real no negativo, y es el mismo que la norma euclidiana en $mathbb {H}$ considerado como el espacio vectorial ${mathbb R}^{4}$ . Multiplying a quaternion by a real number scales its norm by the absolute value of the number. Eso es, si $α$ es real, entonces

{displaystyle lVert alpha qrVert =left|alpha right|,lVert qrVert ~.}

Este es un caso especial del hecho de que la norma es multiplicativa, lo que significa que

{displaystyle lVert pqrVert =lVert prVert ,lVert qrVert }

para dos cuaterniones $p$ y $q$ . La multiplicatividad es una consecuencia de la fórmula para el conjugado de un producto. Alternativamente se sigue de la identidad

{displaystyle det {begin{pmatrix}a+ib&id+c\id-c&a-ibend{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}

(donde $i$ denota la unidad imaginaria habitual) y, por lo tanto, de la propiedad multiplicativa de los determinantes de matrices cuadradas.

Esta norma permite definir la distancia $d (p, q)$ entre $p$ y $q$ como la norma de su diferencia:

{displaystyle d(p,q)=lVert p-qrVert ~.}

Esto hace $mathbb {H}$ un espacio métrico. La adición y la multiplicación son continuas con respecto a la topología métrica asociada. Esto sigue con exactamente la misma prueba que para los números reales $mathbb {R}$ del hecho de que $mathbb {H}$ es un álgebra normal.

Unidad cuaternión

Un cuaternión unitario es un cuaternión de norma uno. Dividir un cuaternión distinto de cero $q$ por su norma produce un cuaternión unitario $U q$ llamado el versor de $q$ :

{displaystyle mathbf {U} q={frac {q}{lVert qrVert }}.}

Cada quaternión tiene una descomposición polar ${displaystyle q=lVert qrVert cdot mathbf {U} q}$ .

Usar la conjugación y la norma hace posible definir la reciproca de una quaternión no cero. El producto de una cuaternión con su reciproco debe ser igual 1, y las consideraciones anteriores implican que el producto de $q$ y ${displaystyle q^{*}/leftVert qright|^{2}}$ es 1 (para cualquier orden de multiplicación). Así que... recíproco de $q$ se define como

{displaystyle q^{-1}={frac {q^{*}}{lVert qrVert ^{2}}}.}

Esto hace posible dividir dos cuaterniones $p$ y $q$ de dos maneras diferentes (cuando $q$ no es cero). Es decir, su cociente puede ser $p q -1$ o $q -1 p$ ; en general, esos productos son diferentes, dependiendo del orden de multiplicación, excepto por el caso especial de que $p$ y $q$ son múltiplos escalares entre sí (que incluye el caso donde $p = 0$ ). Por lo tanto, la notación $p / q$ es ambiguo porque no especifica si $q$ divide a la izquierda o a la derecha (ya sea $q - 1$ multiplica $p$ a la izquierda o a la derecha).

Propiedades algebraicas

Gráfico de Cayley

Q 8

. Las flechas rojas representan la multiplicación a la derecha por

i

, y las flechas verdes representan la multiplicación en la derecha por

j

El set $mathbb {H}$ de todas las quaternions es un espacio vectorial sobre los números reales con dimensión 4. La multiplicación de las quaterniones es asociativa y distribuye sobre la adición de vectores, pero con la excepción del subconjunto de escalar, no es conmutativa. Por lo tanto, las quaterniones $mathbb {H}$ son un álgebra no comercial, asociativa sobre los números reales. Aunque $mathbb {H}$ contiene copias de los números complejos, no es un álgebra asociativa sobre los números complejos.

Debido a que es posible dividir quaternions, forman un álgebra de división. Esta es una estructura similar a un campo excepto por la no-commutatividad de la multiplicación. Las álgebras de división asociativa de Finite-dimensional sobre los números reales son muy raras. El teorema Frobenius declara que hay exactamente tres: $mathbb {R}$ , $mathbb {C}$ , y $mathbb {H}$ . La norma hace que las cuaterniones en un álgebra normal, y álgebras de división ordenada sobre los números reales también son muy raras: El teorema de Hurwitz dice que sólo hay cuatro: $mathbb {R}$ , $mathbb {C}$ , $mathbb {H}$ , y $mathbb {O}$ (las octoniones). Las quaternions son también un ejemplo de un álgebra de composición y de un álgebra de Banach unitaria.

Gráfico tridimensional de Q₈. Las flechas rojas, verdes y azules representan la multiplicación por

i

j

, y

k

, respectivamente. La multiplicación por números negativos se omite para la claridad.

Debido a que el producto de cualquier vector de dos bases es más o menos otro vector de base, el conjunto ${\pm1, \pm i \pm j \pm k}$ forma un grupo bajo multiplicación. Este grupo no-abeliano se llama el grupo de cuaternión y es denotado $Q 8$ . El anillo de grupo real $Q 8$ es un anillo ${displaystyle mathbb {R} [mathrm {Q} _{8}]}$ que es también un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre ${mathbb R}.$ Tiene un vector de base para cada elemento ${displaystyle mathrm {Q} _{8}.}$ Las quaterniones son isomorfas al anillo cociente de ${displaystyle mathbb {R} [mathrm {Q} _{8}]}$ por el ideal generado por los elementos $1 + (-1)$ , $i + (- i)$ , $j + (- j)$ , y $k + (- k)$ . Aquí el primer término en cada una de las diferencias es uno de los elementos de base $1, i, j$ , y $k$ , y el segundo mandato es uno de los elementos de base $, 1, - i, - j$ , y $- k$ , no los inversos aditivos de $1, i, j$ , y $k$ .

Cuaterniones y la geometría del espacio

La parte vectorial de una cuaternión se puede interpretar como un vector de coordenadas en ${displaystyle mathbb {R} ^{3};}$ por lo tanto, las operaciones algebraicas de las cuaterniones reflejan la geometría de ${displaystyle mathbb {R} ^{3}.}$ Operaciones como el punto vectorial y los productos cruzados pueden definirse en términos de cuaterniones, lo que permite aplicar técnicas de cuaternión dondequiera que surjan vectores espaciales. Una aplicación útil de las cuaterniones ha sido interponer las orientaciones de los marcos clave en los gráficos de la computadora.

Para el resto de esta sección, $i$ , $j$ , y $k$ denotará los tres vectores de base imaginaria de $mathbb {H}$ y una base para ${displaystyle mathbb {R} ^{3}.}$ Replacing $i$ por $- i$ , $j$ por $- j$ , y $k$ por $- k$ envía un vector a su inverso aditivo, por lo que el inverso aditivo de un vector es el mismo que su conjugado como una cuaternión. Por esta razón, la conjugación se llama a veces espacial inversa.

Para dos quaternions vectoriales $p = b 1 i + c 1 j + d 1 k$ y $q = b 2 i + c 2 j + d 2 k$ su producto de punto, por analogía con vectores en ${displaystyle mathbb {R} ^{3},}$ es

{displaystyle pcdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}~.}

También se puede expresar sin componentes como

{displaystyle pcdot q=textstyle {frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=textstyle {frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}

Esto es igual a las partes escalares de los productos $pq *, qp *, p * q y q * p$ . Tenga en cuenta que sus partes vectoriales son diferentes.

El producto vectorial de $p$ y $q$ relativo a la orientación determinada por la base ordenada $i, j$ y $k$ es

{displaystyle ptimes q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})mathbf {k} ,.}

(Recuerde que la orientación es necesaria para determinar el signo). Esto es igual a la parte vectorial del producto $pq$ (como cuaterniones), así como la parte vectorial de $- q * p * . También tiene la fórmula$

{displaystyle ptimes q=textstyle {tfrac {1}{2}}(pq-qp).}

Para el conmutador, $[p, q] = pq - qp$ , de dos cuaterniones vectoriales se obtiene

{displaystyle [p,q]=2ptimes q.}

En general, sean $p$ y $q$ cuaterniones y escribe

{displaystyle {begin{aligned}p&=p_{text{s}}+p_{text{v}},\[5mu]q&=q_{text{s}}+q_{text{v}},end{aligned}}}

donde $p s$ y $q s$ son las partes escalares, y $p v$ y $q v$ son las partes vectoriales de $p$ y $q$ . Entonces tenemos la fórmula

{displaystyle pq=(pq)_{text{s}}+(pq)_{text{v}}=(p_{text{s}}q_{text{s}}-p_{text{v}}cdot q_{text{v}})+(p_{text{s}}q_{text{v}}+q_{text{s}}p_{text{v}}+p_{text{v}}times q_{text{v}}).}

Esto demuestra que la no conmutatividad de la multiplicación de cuaterniones proviene de la multiplicación de cuaterniones vectoriales. También muestra que dos cuaterniones conmutan si y solo si sus partes vectoriales son colineales. Hamilton demostró que este producto calcula el tercer vértice de un triángulo esférico a partir de dos vértices dados y sus longitudes de arco asociadas, que también es un álgebra de puntos en geometría elíptica.

Se pueden identificar cuaternones de unidad con rotaciones en $mathbb {R} ^{3}$ y fueron llamados versos por Hamilton. Vea también Quaternions y rotación espacial para más información sobre modelar rotaciones tridimensionales utilizando cuaternones.

Ver Hanson (2005) para la visualización de cuaterniones.

Representaciones de matrices

Así como los números complejos pueden ser representados como matrices, por lo que pueden quaternions. Hay al menos dos formas de representar las cuaterniones como matrices de tal manera que la adición y multiplicación de la cuaternión corresponden a la adición de matriz y multiplicación de matriz. Una es utilizar 2 × 2 matrices complejas, y la otra es utilizar 4 × 4 matrices reales. En cada caso, la representación dada es una familia de representaciones linealmente relacionadas. En la terminología del álgebra abstracta, estos son homomorfismos inyectables de $mathbb {H}$ a los anillos de matriz $M(2, C)$ y $M(4) R)$ , respectivamente.

Usando matrices complejas de 2 × 2, el cuaternión $a + bi + cj + dk$ se puede representar como

{displaystyle {begin{bmatrix}a+bi&c+di\-c+di&a-biend{bmatrix}}.}

Tenga en cuenta que la "i" de los números complejos es distinta de la "i" de los cuaterniones.

Esta representación tiene las siguientes propiedades:

Construcciones a dos de $b$ , $c$ y $d$ a cero produce una representación de números complejos. Por ejemplo, establecer $c = d = 0$ produce una matriz diagonal compleja representación de números complejos, y el ajuste $b = d = 0$ produce una representación de matriz real.
La norma de una cuaternión (la raíz cuadrada del producto con su conjugado, como con números complejos) es la raíz cuadrada del determinante de la matriz correspondiente.
El conjugado de una cuaternión corresponde a la transposición conjugada de la matriz.
Por restricción, esta representación produce un isomorfismo entre el subgrupo de las quaternions unitarias y su imagen SU(2). Topológicamente, las quaterniones de la unidad son las 3-sphere, por lo que el espacio subyacente de SU(2) es también un 3-sphere. El grupo $SU(2)$ es importante para describir el giro en la mecánica cuántica; vea las matrices Pauli.
Hay una fuerte relación entre las unidades de cuaternión y las matrices Pauli. Obtenga las ocho matrices de la unidad de cuaternión tomando $a, b, c$ y $d$ , establecer tres de ellos a cero y el cuarto a 1 o −1. Multiplying any two Pauli matrices always yields a quaternion unit matriz, all of them except for −1. Uno obtiene −1 vía $i 2 = j 2 = k 2 = # = 1 -$ ; por ejemplo, la última igualdad es ${displaystyle ijk=sigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}sigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}=-1.}$

Usando matrices reales de 4 × 4, ese mismo cuaternión se puede escribir como

{displaystyle {begin{aligned}{begin{bmatrix}a&-b&-c&-d\b&a&-d&c\c&d&a&-b\d&-c&b&aend{bmatrix}}&=a{begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{bmatrix}}+b{begin{bmatrix}0&-1&0&0\1&0&0&0\0&0&0&-1\0&0&1&0end{bmatrix}}\[10mu]&qquad +c{begin{bmatrix}0&0&-1&0\0&0&0&1\1&0&0&0\0&-1&0&0end{bmatrix}}+d{begin{bmatrix}0&0&0&-1\0&0&-1&0\0&1&0&0\1&0&0&0end{bmatrix}}.end{aligned}}}

Sin embargo, la representación de los cuaterniones en $M(4, R)$ no es única. Por ejemplo, el mismo cuaternión también se puede representar como

{displaystyle {begin{aligned}{begin{bmatrix}a&d&-b&-c\-d&a&c&-b\b&-c&a&-d\c&b&d&aend{bmatrix}}&=a{begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{bmatrix}}+b{begin{bmatrix}0&0&-1&0\0&0&0&-1\1&0&0&0\0&1&0&0end{bmatrix}}\[10mu]&qquad +c{begin{bmatrix}0&0&0&-1\0&0&1&0\0&-1&0&0\1&0&0&0end{bmatrix}}+d{begin{bmatrix}0&1&0&0\-1&0&0&0\0&0&0&-1\0&0&1&0end{bmatrix}}.end{aligned}}}

Existen 48 representaciones de matrices distintas de esta forma en las que una de las matrices representa la parte escalar y las otras tres son todas asimétricas. Más precisamente, hay 48 conjuntos de cuádruples de matrices con estas restricciones de simetría tales que una función que envía $1, i, j$ , y $k$ a las matrices en el cuádruple es un homomorfismo, es decir, envía sumas y productos de cuaterniones a sumas y productos de matrices. En esta representación, el conjugado de un cuaternión corresponde a la transpuesta de la matriz. La cuarta potencia de la norma de un cuaternión es el determinante de la matriz correspondiente. Al igual que con la representación compleja de 2 × 2 anterior, los números complejos se pueden producir nuevamente restringiendo los coeficientes de manera adecuada; por ejemplo, como matrices diagonales de bloque con dos bloques de 2 × 2 configurando $c = d = 0$ .

Cada representación matricial de 4×4 de cuaterniones corresponde a una tabla de multiplicar de unidades de cuaterniones. Por ejemplo, la última representación matricial dada arriba corresponde a la tabla de multiplicar

×	a	d	−b	−c
a	a	d	−b	−c
−d	−d	a	c	−b
b	b	−c	a	−d
c	c	b	d	a

que es isomorfo - a través ${displaystyle {amapsto 1,bmapsto i,cmapsto j,dmapsto k}}$ a

×	1	k	−i	−j
1	1	k	−i	−j
−k	−k	1	j	−i
i	i	−j	1	−k
j	j	i	k	1

Restringiendo cualquier tabla de multiplicar para que tenga la identidad en la primera fila y columna y para que los signos de los encabezados de las filas sean opuestos a los de los encabezados de las columnas, entonces hay 3 opciones posibles para la segunda columna (ignorar el signo), 2 opciones posibles para la tercera columna (ignorando el signo) y 1 opción posible para la cuarta columna (ignorando el signo); eso hace 6 posibilidades. Luego, la segunda columna se puede elegir para que sea positiva o negativa, la tercera columna se puede elegir para que sea positiva o negativa, y la cuarta columna se puede elegir para que sea positiva o negativa, dando 8 posibilidades para el signo. Multiplicando las posibilidades de las posiciones de las letras y sus signos, se obtiene 48. Luego, se reemplaza $1$ con $a$ , $i$ con $b$ , $j$ con $c$ y $k$ con $d$ y eliminando los encabezados de fila y columna se obtiene una representación matricial de $a + b i + c j + d k$ .

Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Los cuaterniones también se usan en una de las pruebas del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange en la teoría de números, que establece que todo número entero no negativo es la suma de cuatro cuadrados enteros. Además de ser un teorema elegante por derecho propio, el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange tiene aplicaciones útiles en áreas de las matemáticas fuera de la teoría de números, como la teoría del diseño combinatorio. La prueba basada en cuaterniones utiliza cuaterniones de Hurwitz, un subanillo del anillo de todos los cuaterniones para los que existe un análogo del algoritmo euclidiano.

Cuaterniones como pares de números complejos

Los cuaterniones se pueden representar como pares de números complejos. Desde esta perspectiva, los cuaterniones son el resultado de aplicar la construcción de Cayley-Dickson a los números complejos. Esta es una generalización de la construcción de los números complejos como pares de números reales.

Vamos ${mathbb C}^{2}$ ser un espacio vectorial bidimensional sobre los números complejos. Elija una base compuesta por dos elementos $1$ y $j$ . Un vector en ${mathbb C}^{2}$ se puede escribir en términos de los elementos de base $1$ y $j$ como

{displaystyle (a+bi)1+(c+di)mathbf {j} ,.}

Si definimos $j 2 = 1 -$ y $i j = j i$ , entonces podemos multiplicar dos vectores usando la ley distributiva. Uso $k$ como una notación abreviada para el producto $i j$ conduce a las mismas reglas para la multiplicación como las quaternions habituales. Por lo tanto, el vector anterior de números complejos corresponde a la cuaternión $a + b + c j + d k$ . Si escribimos los elementos de ${mathbb C}^{2}$ como pares ordenados y cuaterniones como cuádruples, entonces la correspondencia es

{displaystyle (a+bi, c+di)leftrightarrow (a,b,c,d).}

Raíces cuadradas

Raíces cuadradas de −1

En los números complejos, ${displaystyle mathbb {C}}$ sólo hay dos números, i and −i, cuyo cuadrado es -1. In $mathbb {H}$ hay infinitamente muchas raíces cuadradas de menos uno: la solución de cuaternión para la raíz cuadrada de −1 es la esfera unidad en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}.}$ Para ver esto, vamos $q = a + b i + c j + d k$ ser una cuaternión, y asumir que su cuadrado es −1. En términos de $a, b, c$ , y $d$ , esto significa

{displaystyle {begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{vphantom {x^{|}}}\[3mu]2ab&=0,\[3mu]2ac&=0,\[3mu]2ad&=0.end{aligned}}}

Para satisfacer las últimas tres ecuaciones, $a = 0$ o $b, c$ y $d$ son todos 0 Esto último es imposible porque a es un número real y la primera ecuación implicaría que $a 2 = -1$ . Por lo tanto, $a = 0$ y $b 2 + c 2 + d 2 = 1$ . En otras palabras: un cuaternión se eleva al cuadrado de −1 si y solo si es un cuaternión vectorial con norma 1. Por definición, el conjunto de todos estos vectores forma la esfera unitaria.

Solo los cuaterniones reales negativos tienen un número infinito de raíces cuadradas. Todos los demás tienen solo dos (o uno en el caso de 0).

Como unión de planos complejos

Cada par de raíces cuadradas de −1 crea una copia distinta de los números complejos dentro de los cuaterniones. Si $q 2 = -1$ , entonces se determina la copia por la función

{displaystyle a+b{sqrt {-1,}}mapsto a+bq,.}

Este es un homomorfismo de anillo inyectable $mathbb {C}$ a ${displaystyle mathbb {H}}$ que define un isomorfismo de campo $mathbb{C}$ sobre su imagen. Las imágenes de las incrustaciones correspondientes a $q$ and − $q$ son idénticos.

Cada quaternión no real genera un subalgebra de las quaterniones que es isomorfo a ${displaystyle mathbb {C}}$ y por lo tanto es un subespacio plano ${displaystyle mathbb {H} colon }$ escribir $q$ como la suma de su parte escalar y su parte vectorial:

{displaystyle q=q_{s}+{vec {q}}_{v}.}

Descomponga aún más la parte del vector como el producto de su norma y su versor:

{displaystyle q=q_{s}+lVert {vec {q}}_{v}rVert cdot mathbf {U} {vec {q}}_{v}=q_{s}+{frac {q_{v}}{|q_{v}|}}.}

(Nota que esto no es lo mismo que $q_{s}+lVert qrVert cdot mathbf {U} q$ .) El reversor de la parte vectorial de $q$ , $mathbf {U} {vec {q}}_{v}$ , es un reversor derecho con –1 como su cuadrado. Una verificación directa muestra que

{displaystyle a+b{sqrt {-1,}}mapsto a+bmathbf {U} {vec {q}}_{v}}

define un homomorfismo inyector de álgebras normed de $mathbb {C}$ en las cuaterniones. Bajo este homomorfismo, $q$ es la imagen del número complejo $q_{s}+lVert {vec {q}}_{v}rVert i$ .

As $mathbb {H}$ es la unión de las imágenes de todos estos homomorfismos, esto permite ver las cuaterniones como una unión de planos complejos intersectando en la línea real. Cada uno de estos planos complejos contiene exactamente un par de puntos antipodal de la esfera de las raíces cuadradas de menos uno.

Subanillos conmutativos

La relación de las cuaterniones entre sí dentro de los complejos subplanos $mathbb {H}$ también se pueden identificar y expresar en términos de subings conmutativos. Específicamente, desde dos quaternions $p$ y $q$ (es decir, $p q = q p$ ) sólo si se encuentran en el mismo complejo subplano de $mathbb {H}$ , el perfil de $mathbb {H}$ como una unión de planos complejos surge cuando se busca encontrar todos los subringos conmutativos del anillo de cuaternión.

Raíces cuadradas de cuaterniones arbitrarios

Cualquier quaternion ${displaystyle mathbf {q} =(r,,{vec {v}})}$ (representado aquí en la representación del escalar-vector) tiene al menos una raíz cuadrada ${displaystyle {sqrt {mathbf {q} }}=(x,,{vec {y}})}$ que resuelve la ecuación ${displaystyle {sqrt {mathbf {q} }}^{2}=(x,,{vec {y}})^{2}=mathbf {q} }$ . Mirar las partes del escalar y del vector en esta ecuación produce por separado dos ecuaciones, que cuando se resuelve da las soluciones

{displaystyle {sqrt {mathbf {q} }}={sqrt {(r,,{vec {v}},)}}=pm left({sqrt {frac {|mathbf {q} |+r}{2}}}, {frac {vec {v}}{|{vec {v}}|}}{sqrt {frac {|mathbf {q} |-r}{2}}}right),}

Donde ${textstyle |{vec {v}}|={sqrt {{vec {v}}cdot {vec {v}}}}={sqrt {-{vec {v}}^{2}}}}$ es la norma ${vec {v}}$ y ${textstyle |mathbf {q} |={sqrt {mathbf {q} ^{*}mathbf {q} }}=r^{2}+|{vec {v}}|^{2}}$ es la norma $mathbf q$ . Para cualquier quaternión escalar $mathbf q$ , esta ecuación proporciona las raíces cuadradas correctas ${textstyle {frac {vec {v}}{|{vec {v}}|}}}$ se interpreta como un vector de unidad arbitraria.

Por lo tanto, quaternions no-cero, no-scalar, o cuaternones escalar positivo, tienen exactamente dos raíces, mientras que 0 tiene exactamente una raíz (0), y las cuaterniones escalar negativas tienen infinitamente muchas raíces, que son las cuaterniones vectoriales situadas en ${displaystyle {0}times S^{2}({sqrt {-r}})}$ , es decir, donde la parte escalar es cero y la parte vectorial se encuentra en la 2-sfera con radio ${displaystyle {sqrt {-r}}}$ .

Funciones de una variable cuaternión

Los conjuntos Julia y Mandelbrot se pueden extender a las Quaternions, pero deben utilizar secciones transversales para ser visualmente renderizadas en 3 dimensiones. Este juego de Julia está en la sección transversal

x y

avión.

Al igual que las funciones de una variable compleja, las funciones de una variable de cuaternión sugieren modelos físicos útiles. Por ejemplo, los campos eléctricos y magnéticos originales descritos por Maxwell eran funciones de una variable de cuaternión. Los ejemplos de otras funciones incluyen la extensión del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia en un espacio de 4 dimensiones.

Funciones exponenciales, logarítmicas y de potencia

Dado un cuaternión,

{displaystyle q=a+bmathbf {i} +cmathbf {j} +dmathbf {k} =a+mathbf {v}}

la exponencial se calcula como

{displaystyle exp(q)=sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}left(cos |mathbf {v} |+{frac {mathbf {v} }{|mathbf {v} |}}sin |mathbf {v} |right),}

y el logaritmo es

{displaystyle ln(q)=ln |q|+{frac {mathbf {v} }{|mathbf {v} |}}arccos {frac {a}{|q|}}.}

Se sigue que la descomposición polar de un cuaternión se puede escribir

{displaystyle q=|q|e^{{hat {n}}varphi }=|q|left(cos(varphi)+{hat {n}}sin(varphi)right),}

donde el ángulo $varphi$

{displaystyle a=|q|cos(varphi)}

y el vector de unidad ${hat {n}}$ se define por:

{displaystyle mathbf {v} ={hat {n}}|mathbf {v} |={hat {n}}|q|sin(varphi),.}

Cualquier cuaternión unidad puede expresarse en forma polar como:

{displaystyle q=exp {({hat {n}}varphi)}.}

La potencia de un cuaternión elevado a un exponente arbitrario (real) $x$ viene dada por:

{displaystyle q^{x}=|q|^{x}e^{{hat {n}}xvarphi }=|q|^{x}left(cos(xvarphi)+{hat {n}},sin(xvarphi)right)~.}

Norma geodésica

La distancia geodésica $d g (p, q)$ entre cuaterniones unitarios $p$ y $q$ se define como:

{displaystyle d_{text{g}}(p,q)=lVert ln(p^{-1}q)rVert.}

y equivale al valor absoluto de la mitad del ángulo subtendido por $p$ y $q$ a lo largo de un gran arco de la esfera $S 3$ . Este ángulo también se puede calcular a partir del producto escalar del cuaternión sin el logaritmo como:

{displaystyle arccos(2(pcdot q)^{2}-1).}

Grupos de rotación tridimensionales y tetradimensionales

La palabra "conjugación", además del significado dado anteriormente, también puede significar tomar un elemento $a$ a $rar -1$ donde $r$ es algún cuaternión distinto de cero. Todos los elementos que son conjugados a un elemento dado (en este sentido de la palabra conjugado) tienen la misma parte real y la misma norma de la parte vectorial. (Así, el conjugado en el otro sentido es uno de los conjugados en este sentido).

Así, el grupo multiplicador de quaternions no cero actúa por conjugación en la copia de $mathbb {R} ^{3}$ consistente en cuaternones con parte real igual a cero. Conjugación por una cuaternión unidad (una cuaternión de valor absoluto 1) con parte real $Porque... φ)$ es una rotación por un ángulo $2 φ$ , el eje de la rotación es la dirección de la parte vectorial. Las ventajas de las cuaterniones son:

Evitar el bloqueo gimbal, un problema con sistemas tales como ángulos Euler.
Más rápido y más compacto que las matrices.
Representación no lineal (comparada con ángulos Euler, por ejemplo).
Los pares de quaternions unitarios representan una rotación en el espacio 4D (ver Rotaciones en 4 dimensiones Espacio euclidiano: Álgebra de rotaciones 4D).

El conjunto de todos los cuaterniones unitarios (versores) forma una $S 3$ de 3 esferas y un grupo (una Lie group) bajo multiplicación, cubriendo el grupo $SO(3,ℝ)$ de matrices ortogonales reales 3×3 de determinante 1 ya que dos cuaterniones unitarios corresponden a cada rotación bajo la correspondencia anterior. Ver truco del plato.

La imagen de un subgrupo de versores es un grupo de puntos y, a la inversa, la preimagen de un grupo de puntos es un subgrupo de versos. La preimagen de un grupo de puntos finitos recibe el mismo nombre, con el prefijo binario. Por ejemplo, la preimagen del grupo icosaédrico es el grupo icosaédrico binario.

Los versos' group es isomorfo a $SU(2)$ , el grupo de matrices unitarias complejas de 2×2 de determinante 1.

Sea $A$ el conjunto de cuaterniones de la forma $a + b i + c j + d k$ donde $a, b, c,$ y $d$ son todos enteros o todos semienteros. El conjunto $A$ es un anillo (de hecho, un dominio) y una red y se denomina anillo de cuaterniones de Hurwitz. Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo, y son los vértices de una celda regular de 24 con el símbolo de Schläfli ${3,4,3}.$ Corresponden a la doble cubierta del grupo de simetría rotacional del tetraedro regular. De manera similar, los vértices de una celda regular de 600 con el símbolo de Schläfli ${3,3,5$ } pueden tomarse como la unidad icosiana, correspondiente a la doble cubierta del grupo de simetría rotacional de el icosaedro regular. La doble cubierta del grupo de simetría rotacional del octaedro regular corresponde a los cuaterniones que representan los vértices de la celda disfenoidal de 288.

Álgebras de cuaterniones

Los cuaterniones se pueden generalizar en otras álgebras denominadas álgebras de cuaterniones. Tome $F$ como cualquier campo con una característica diferente de 2, y $a$ y $b$ para ser elementos de $F$ ; se puede definir un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre $F$ con base $1, i, j,$ y $i j$ , donde $i 2 = a$ , $j 2 = b$ y $i j = - j i$ (entonces $(i j) 2 = - a b$ ).

Las álgebras de cuaterniones son isomorfas al álgebra de matrices de 2×2 sobre $F$ o forman álgebras de división sobre $F$ , dependiendo de la elección de $a$ y $b$ .

Cuaterniones como parte par de Cl3,0(R)

La utilidad de las cuaterniones para computaciones geométricas se puede generalizar a otras dimensiones identificando las cuaterniones como la parte uniforme ${displaystyle operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(mathbb {R})}$ del álgebra Clifford ${displaystyle operatorname {Cl} _{3,0}(mathbb {R}).}$ Este es un álgebra multivector asociativa construido a partir de elementos de base fundamentales $σ1, σ2, σ3$ usando las reglas del producto

{displaystyle sigma _{1}^{2}=sigma _{2}^{2}=sigma _{3}^{2}=1,}

{displaystyle sigma _{i}sigma _{j}=-sigma _{j}sigma _{i}qquad (jneq i).}

Si se toman estos elementos básicos básicos para representar vectores en el espacio 3D, resulta que la reflexión de un vector $r$ en un plano perpendicular a un vector unitario $w$ se puede escribir:

{displaystyle r^{prime }=-w,r,w.}

Dos reflejos hacen una rotación en un ángulo dos veces el ángulo entre los dos planos de reflexión, por lo que

{displaystyle r^{prime prime }=sigma _{2}sigma _{1},r,sigma _{1}sigma _{2}}

corresponde a una rotación de 180° en el plano que contiene σ₁ y σ₂. Esto es muy similar a la fórmula del cuaternión correspondiente,

{displaystyle r^{prime prime }=-mathbf {k} ,r,mathbf {k}.}

De hecho, las dos estructuras ${displaystyle operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(mathbb {R})}$ y $mathbb {H}$ son isomorfos. Una identificación natural es

{displaystyle 1mapsto 1,,quad mathbf {k} mapsto sigma _{2}sigma _{1},,quad mathbf {i} mapsto sigma _{3}sigma _{2},,quad mathbf {j} mapsto sigma _{1}sigma _{3},,}

y es sencillo confirmar que esto preserva las relaciones de Hamilton

{displaystyle mathbf {i} ^{2}=mathbf {j} ^{2}=mathbf {k} ^{2}=mathbf {i,j,k} =-1~.}

En esta imagen, los llamados "cuaterniones vectoriales" (es decir, cuaterniones imaginarios puros) no corresponden a vectores sino a bivectores: cantidades con magnitud y orientaciones asociadas con planos 2D particulares en lugar de direcciones 1D. La relación con los números complejos también se vuelve más clara: en 2D, con dos direcciones vectoriales $σ 1$ y $σ 2$ , solo hay un elemento base bivector $σ 1 σ 2$ , entonces solo un imaginario. Pero en 3D, con tres direcciones vectoriales, hay tres elementos básicos bivectoriales $σ 1 σ 2$ , $σ 2 σ 3$ , $σ 3 σ 1$ , entonces tres imaginarios.

Este razonamiento se extiende más allá. En el álgebra Clifford ${displaystyle operatorname {Cl} _{4,0}(mathbb {R}),}$ hay seis elementos de base bivector, ya que con cuatro direcciones vectoriales básicas diferentes, seis pares diferentes y por lo tanto se pueden definir seis planos linealmente independientes. Las rotaciones en tales espacios utilizando estas generalizaciones de cuaternones, llamadas rotores, pueden ser muy útiles para aplicaciones que implican coordenadas homogéneas. Pero es sólo en 3D que el número de bivectores de base equivale al número de vectores de base, y cada bivector puede ser identificado como un pseudovector.

Hay varias ventajas al colocar cuaterniones en este entorno más amplio:

Los rotores son una parte natural del álgebra geométrica y se entienden fácilmente como la codificación de una doble reflexión.
En álgebra geométrica, un rotor y los objetos que actúa en vivo en el mismo espacio. Esto elimina la necesidad de cambiar las representaciones y de codificar nuevas estructuras y métodos de datos, que se requiere tradicionalmente cuando aumenta el álgebra lineal con cuaternones.
Los rotores son universalmente aplicables a cualquier elemento del álgebra, no sólo vectores y otras cuaterniones, sino también líneas, planos, círculos, esferas, rayos, etc.
En el modelo conformado de geometría euclidiana, los rotores permiten la codificación de rotación, traducción y escalado en un solo elemento del álgebra, actuando universalmente en cualquier elemento. En particular, esto significa que los rotores pueden representar rotaciones alrededor de un eje arbitrario, mientras que los quaternions se limitan a un eje a través del origen.
Las transformaciones codificadas por rotores hacen que la interpolación sea particularmente sencilla.
Los rotores llevan naturalmente a espacios pseudo-euclidianos, por ejemplo, el espacio Minkowski de la relatividad especial. En tales espacios los rotores se pueden utilizar para representar eficientemente los impulsos de Lorentz, e interpretar fórmulas que involucran las matrices gamma.

Para obtener más detalles sobre los usos geométricos de las álgebras de Clifford, consulte Álgebra geométrica.

Grupo Brauer

Los cuaterniones son "esencialmente" el único álgebra simple central (CSA) (no trivial) sobre los números reales, en el sentido de que cada CSA sobre los números reales es equivalente de Brauer a los números reales o los cuaterniones. Explícitamente, el grupo de Brauer de los números reales consta de dos clases, representadas por los números reales y los cuaterniones, donde el grupo de Brauer es el conjunto de todos los CSA, hasta la relación de equivalencia de que un CSA sea un anillo matricial sobre otro. Según el teorema de Artin-Wedderburn (específicamente, la parte de Wedderburn), las CSA son todas álgebras matriciales sobre un álgebra de división y, por lo tanto, los cuaterniones son el único álgebra de división no trivial sobre los números reales.

CSA: anillos de dimensión finita sobre un campo, que son álgebras simples (no tienen ideales bilaterales no triviales, al igual que con los campos) cuyo centro es exactamente el campo: son un análogo no conmutativo de los campos de extensión, y son más restrictivas que las extensiones de anillo generales. El hecho de que los cuaterniones sean el único CSA no trivial sobre los números reales (hasta la equivalencia) puede compararse con el hecho de que los números complejos son la única extensión de campo finito no trivial de los números reales.

Citas

Lo considero como una inelegancia, o imperfección, en cuaterniones, o más bien en el estado al que se ha desarrollado hasta ahora, cuando se hace o parece necesario recurrir a $x, y, z,$ etc.
—William Rowan Hamilton (circa 1848)

Se dice que el tiempo sólo tiene una dimensión, y el espacio para tener tres dimensiones.... La cuaternión matemática de ambos elementos; en lenguaje técnico se puede decir que es "tiempo más espacio", o "espacio más tiempo": y en este sentido tiene, o al menos implica una referencia a, cuatro dimensiones.... Y cómo el Uno del Tiempo, del Espacio los Tres, podría en la Cadena de Símbolos ceñidos ser.
—William Rowan Hamilton (circa 1853)

Quaternions vino de Hamilton después de que su muy buen trabajo hubiera sido hecho; y, aunque bellamente ingenioso, han sido un mal sin mezcla para aquellos que los han tocado de cualquier manera, incluyendo a Clerk Maxwell.
—W. Thompson, Lord Kelvin (1892)

Más tarde llegué a ver que, en lo que respecta al análisis vectorial que requirí, la cuaternión no sólo no era necesaria, sino que era un mal positivo de ninguna magnitud inconsiderable; y que por su evitación el establecimiento de análisis vectorial se hizo bastante simple y su trabajo también simplificado, y que podía ser convenientemente armonizado con el trabajo cartesiano ordinario.
—Oliver Heaviside (1893)

Ni matrices ni cuaterniones y vectores ordinarios fueron desterrados de estos diez capítulos [adicionales]. Para, a pesar del poder indiscutible del Cálculo del Tensor moderno, esos lenguajes matemáticos antiguos continúan, en mi opinión, ofreciendo ventajas visibles en el campo restringido de la relatividad especial. Además, en la ciencia, así como en la vida cotidiana, la maestría de más de un idioma también es preciosa, ya que amplía nuestras opiniones, es propicio a la crítica con respecto a la hipostasía [fundación débil] de la materia expresada por palabras o símbolos matemáticos.
—Ludwik Silberstein (1924)

... las quaterniones parecen exudar un aire de decadencia del siglo XIX, como una especie poco exitosa en la lucha por la vida de las ideas matemáticas. Los matemáticos, por cierto, todavía mantienen un lugar cálido en sus corazones para las propiedades algebraicas notables de las cuaterniones, pero, por desgracia, ese entusiasmo significa poco para el científico físico más duro.
—Simon L. Altmann (1986)

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