Cuasi-empirismo en matemáticas

El cuasi-empirismo en matemáticas es el intento en la filosofía de las matemáticas de dirigir a los filósofos' atención a la práctica matemática, en particular, las relaciones con la física, las ciencias sociales y las matemáticas computacionales, más que únicamente a los problemas de los fundamentos de las matemáticas. De interés para esta discusión son varios temas: la relación del empirismo (ver Penelope Maddy) con las matemáticas, cuestiones relacionadas con el realismo, la importancia de la cultura, la necesidad de aplicación, etc.

Argumentos principales

Un argumento principal con respecto al cuasi-empirismo es que, si bien las matemáticas y la física se consideran campos de estudio estrechamente relacionados, esto puede reflejar un sesgo cognitivo humano. Se afirma que, a pesar de la aplicación rigurosa de los métodos empíricos apropiados o la práctica matemática en cualquiera de los campos, esto sería insuficiente para refutar enfoques alternativos.

Eugene Wigner (1960) señaló que esta cultura no tiene por qué limitarse a las matemáticas, la física o incluso a los humanos. Afirmó además que "El milagro de la idoneidad del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni merecemos. Deberíamos estar agradecidos por ello y esperar que siga siendo válido en futuras investigaciones y que se extienda, para bien o para mal, para nuestro placer, aunque quizás también para nuestro desconcierto, a amplias ramas del saber." Wigner usó varios ejemplos para demostrar por qué 'desconcierto' es una descripción apropiada, como mostrar cómo las matemáticas se suman al conocimiento situacional en formas que no serían posibles de otro modo o que están tan fuera del pensamiento normal que pasan desapercibidas. La capacidad predictiva, en el sentido de describir fenómenos potenciales antes de la observación de los mismos, que puede ser sustentada por un sistema matemático, sería otro ejemplo.

Siguiendo a Wigner, Richard Hamming (1980) escribió sobre las aplicaciones de las matemáticas como un tema central de este tema y sugirió que el uso exitoso a veces puede triunfar sobre la demostración, en el siguiente sentido: donde un teorema tiene una veracidad evidente a través de la aplicabilidad, luego la evidencia que muestra que la prueba del teorema es problemática resultaría más en tratar de reafirmar el teorema que en tratar de rehacer las aplicaciones o negar los resultados obtenidos hasta la fecha. Hamming tenía cuatro explicaciones para la 'eficacia' que vemos con las matemáticas y definitivamente vimos este tema como digno de discusión y estudio.

1. "Veamos lo que buscamos". ¿Por qué 'quasi' es apropos en referencia a esta discusión.
2. "Elegimos el tipo de matemáticas para usar." Nuestro uso y modificación de las matemáticas son esencialmente situacionales y goles.
3. "La ciencia en realidad responde comparativamente a pocos problemas". Lo que aún necesita ser visto es un conjunto más grande.
4. "La evolución del hombre proporcionó el modelo." Puede haber límites atribuibles al elemento humano.

Para Willard Van Orman Quine (1960), la existencia es sólo existencia en una estructura. Esta posición es relevante para el cuasi-empirismo porque Quine cree que la misma evidencia que respalda la teorización sobre la estructura del mundo es la misma evidencia que respalda la teorización sobre estructuras matemáticas.

Hilary Putnam (1975) afirmó que las matemáticas habían aceptado pruebas informales y pruebas por autoridad, y habían cometido y corregido errores a lo largo de su historia. Además, afirmó que el sistema de Euclides para probar teoremas geométricos era exclusivo de los griegos clásicos y no evolucionó de manera similar en otras culturas matemáticas en China, India y Arabia. Esta y otras evidencias llevaron a muchos matemáticos a rechazar la etiqueta de platónicos, junto con la ontología de Platón, que, junto con los métodos y la epistemología de Aristóteles, había servido como ontología fundacional para el mundo occidental desde sus inicios. Putnam y otros (1983) argumentaron que una verdadera cultura internacional de las matemáticas sería necesariamente al menos 'cuasi'-empírica (abrazando el 'método científico' para el consenso, si no para la experimentación).

Imre Lakatos (1976), quien realizó su trabajo original sobre este tema para su disertación (1961, Cambridge), abogó por los 'programas de investigación' como un medio para apoyar una base para las matemáticas y los experimentos mentales considerados como apropiados para el descubrimiento matemático. Lakatos puede haber sido el primero en utilizar 'cuasi-empiricismo' en el contexto de este tema.

Aspectos operativos

Varios trabajos recientes se relacionan con este tema. Se aplica el trabajo de Gregory Chaitin y Stephen Wolfram, aunque sus posiciones pueden considerarse controvertidas. Chaitin (1997/2003) sugiere una aleatoriedad subyacente a las matemáticas y Wolfram (A New Kind of Science, 2002) argumenta que la indecidibilidad puede tener relevancia práctica, es decir, ser más que una abstracción.

Otra adición relevante serían las discusiones sobre computación interactiva, especialmente aquellas relacionadas con el significado y uso del modelo de Turing (tesis de Church-Turing, máquinas de Turing, etc.).

Estos trabajos son fuertemente computacionales y plantean otro conjunto de problemas. Para citar a Chaitin (1997/2003):

Ahora todo ha ido a la topsia. Se ha ido topsy-turvy, no por ningún argumento filosófico, no por los resultados de Gödel o los resultados de Turing o por mis propios resultados de incompleta. ¡Se ha ido a la topsia por una razón muy simple, el ordenador!

La colección de "Indecidibles" en Wolfram (A New Kind of Science, 2002) es otro ejemplo.

El artículo de Wegner de 2006 "Principles of Problem Solving" sugiere que la computación interactiva puede ayudar a las matemáticas a formar un marco más apropiado (empírico) que el que se puede fundar solo con el racionalismo. Relacionado con este argumento está que la función (incluso recursivamente relacionada ad infinitum) es una construcción demasiado simple para manejar la realidad de las entidades que resuelven (mediante computación o algún tipo de analogía) sistemas n-dimensionales (sentido general de la palabra).