Cuadrar el cuadrado
Elevar al cuadrado el cuadrado es el problema de teselar un cuadrado integral usando solo otros cuadrados integrales. (Un cuadrado integral es un cuadrado cuyos lados tienen una longitud entera). El nombre fue acuñado en una analogía humorística con la cuadratura del círculo. Cuadrar el cuadrado es una tarea fácil a menos que se establezcan condiciones adicionales. La restricción más estudiada es que el cuadrado sea perfecto, lo que significa que los tamaños de los cuadrados más pequeños son todos diferentes. Un problema relacionado es cuadrar el plano, lo que se puede hacer incluso con la restricción de que cada número natural aparece exactamente una vez como el tamaño de un cuadrado en el mosaico. El orden de un cuadrado al cuadrado es su número de cuadrados constituyentes.
Cuadrados cuadrados perfectos
Un "perfecto" cuadrado cuadrado es un cuadrado tal que cada uno de los cuadrados más pequeños tiene un tamaño diferente.
Se registra por primera vez como estudiado por R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone y W. T. Tutte en la Universidad de Cambridge entre 1936 y 1938. Transformaron el mosaico cuadrado en un circuito eléctrico equivalente; lo llamaron "diagrama de Smith" – al considerar los cuadrados como resistencias conectadas a sus vecinos en los bordes superior e inferior, y luego aplicar las leyes de circuito de Kirchhoff y las técnicas de descomposición de circuitos a ese circuito. Los primeros cuadrados cuadrados perfectos que encontraron fueron de orden 69.
El primer cuadrado cuadrado perfecto que se publicó, uno compuesto de lado 4205 y orden 55, fue encontrado por Roland Sprague en 1939.
Martin Gardner publicó un extenso artículo escrito por W. T. Tutte sobre la historia temprana de la cuadratura del cuadrado en su columna Juegos Matemáticos en noviembre de 1958.
Cuadrados cuadrados simples
Un "sencillo" cuadrado al cuadrado es aquel en el que ningún subconjunto de más de uno de los cuadrados forma un rectángulo o un cuadrado; de lo contrario, es "compuesto".
En 1978, A. J. W. Duijvestijn descubrió un cuadrado cuadrado perfecto simple de lado 112 con el menor número de cuadrados usando una búsqueda por computadora. Su mosaico usa 21 cuadrados y se ha demostrado que es mínimo. Este cuadrado cuadrado forma el logotipo de Trinity Mathematical Society. También aparece en la portada del Journal of Combinatorial Theory.
Duijvestijn también encontró dos cuadrados cuadrados perfectos simples de lados 110 pero cada uno con 22 cuadrados. Theophilus Harding Willcocks, un matemático aficionado y compositor de ajedrez mágico, encontró otro. En 1999, I. Gambini demostró que estos tres son los cuadrados cuadrados perfectos más pequeños en términos de longitud de lado.
El cuadrado cuadrado compuesto perfecto con la menor cantidad de cuadrados fue descubierto por T.H. Willcocks en 1946 y tiene 24 plazas; sin embargo, no fue hasta 1982 que Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico y P. Leeuw demostraron matemáticamente que era el ejemplo de orden más bajo.
Sra. Edredón de Perkins
Cuando la limitación de todos los cuadrados que son diferentes tamaños se relaja, un cuadrado cuadrado cuadrado de tal manera que las longitudes laterales de los cuadrados más pequeños no tienen un divisor común más grande que 1 se llama "la colcha de la Sra. Perkins". En otras palabras, el mayor divisor común de todas las longitudes laterales más pequeñas debe ser 1. El Problema de la colcha de la Sra. Perkins pide una colcha de la Sra. Perkins con las piezas más pequeñas para un dado n× × n{displaystyle ntimes n} cuadrado. El número de piezas requeridas es al menos log2 n{displaystyle log _{2}n}, y en la mayoría 6log2 n{displaystyle 6log _{2}n}. Las búsquedas de ordenadores han encontrado soluciones exactas para pequeños valores n{displaystyle n} (pequeño para necesitar hasta 18 piezas). Para n=1,2,3,...... {displaystyle n=1,2,3,dots} el número de piezas requeridas es:
No más de dos tamaños diferentes
Para cualquier entero n{displaystyle n} a excepción de 2, 3, y 5, es posible diseccionar un cuadrado en n{displaystyle n} cuadrados de uno o dos tamaños diferentes.
Cuadrar el plano
En 1975, Solomon Golomb planteó la cuestión de si todo el plano se puede teselar mediante cuadrados, uno de cada longitud de arista entera, a lo que llamó conjetura de teselado heterogéneo. Este problema fue publicado más tarde por Martin Gardner en su columna de Scientific American y apareció en varios libros, pero desafió la solución durante más de 30 años.
En Tilings and Patterns, publicado en 1987, Branko Grünbaum y G. C. Shephard afirmaron que en todas las teselaciones integrales perfectas del plano conocidas hasta ese momento, los tamaños de los cuadrados crecían exponencialmente. Por ejemplo, el plano se puede enlosar con diferentes cuadrados integrales, pero no para cada número entero, tomando recursivamente cualquier cuadrado cuadrado perfecto y agrandándolo para que el mosaico anteriormente más pequeño ahora tenga el tamaño del cuadrado cuadrado original, luego reemplazando este mosaico con una copia del cuadrado original al cuadrado.
En 2008, James Henle y Frederick Henle demostraron que esto, de hecho, se puede hacer. Su prueba es constructiva y procede "inflando" una región en forma de L formada por dos cuadrados uno al lado del otro y nivelados horizontalmente de diferentes tamaños para un mosaico perfecto de una región rectangular más grande, luego se une al cuadrado del tamaño más pequeño que aún no se ha utilizado para obtener otra región en forma de L más grande. Los cuadrados agregados durante el procedimiento de inflado tienen tamaños que aún no han aparecido en la construcción y el procedimiento está configurado para que las regiones rectangulares resultantes se expandan en las cuatro direcciones, lo que conduce a un mosaico de todo el plano.
Cubicando el cubo
Cubicar el cubo es el análogo en tres dimensiones de elevar al cuadrado el cuadrado: es decir, dado un cubo C, el problema de dividirlo en un número finito de cubos más pequeños, no hay dos congruentes.
A diferencia del caso de elevar al cuadrado el cuadrado, un problema difícil pero solucionable, no existe un cubo cúbico perfecto y, más generalmente, no hay disección de un cuboide rectangular C en un número finito de cubos desiguales.
Para probar esto, comenzamos con la siguiente afirmación: para cualquier disección perfecta de un rectángulo en cuadrados, el cuadrado más pequeño de esta disección no se encuentra en un borde del rectángulo. De hecho, cada cuadrado de esquina tiene un cuadrado de borde adyacente más pequeño, y el cuadrado de borde más pequeño es adyacente a cuadrados más pequeños que no están en el borde.
Suponga ahora que hay una disección perfecta de un paralelepípedo rectangular en cubos. Haz una cara de C su base horizontal. La base está dividida en un rectángulo cuadrado perfecto R por los cubos que descansan sobre él. El cuadrado más pequeño s1 en R está rodeado por más grande, y por lo tanto más alto, cubos. Por lo tanto, la cara superior del cubo en s1 se divide en un cuadrado cuadrado perfecto por los cubos que descansan sobre él. Sea s2 el cuadrado más pequeño de esta disección. Según la afirmación anterior, esto está rodeado por los 4 lados por cuadrados que son más grandes que s2 y, por lo tanto, más altos.
La secuencia de cuadrados s1, s2,... es infinita y los cubos correspondientes son infinitos en número. Esto contradice nuestra suposición original.
Si un hipercubo de 4 dimensiones pudiera ser perfectamente hipercubo, entonces sus 'caras' serían cubos cúbicos perfectos; esto es imposible. De manera similar, no hay solución para todos los cubos de dimensiones superiores.