Convergencia uniforme

En el campo matemático del análisis, convergencia uniforme es un modo de convergencia de funciones más fuerte que la convergencia de puntos. Una secuencia de funciones ${displaystyle (f_{n})}$ convergencias uniformes a una función limitante ${displaystyle f}$ en un set ${displaystyle E}$ si, dado cualquier número positivo arbitrariamente pequeño ${displaystyle epsilon }$, un número ${displaystyle N}$ se puede encontrar tal que cada una de las funciones ${displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},ldots }$ difiere de ${displaystyle f}$ por no más que ${displaystyle epsilon }$ en cada punto ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle E}$. Descrito de manera informal, si ${displaystyle f_{n}$ convergencias a ${displaystyle f}$ uniformemente, entonces la tasa a la que ${displaystyle f_{n}(x)}$ enfoques ${displaystyle f(x)}$ es "uniform" a lo largo de su dominio en el siguiente sentido: para garantizar que ${displaystyle f_{n}(x)}$ cae dentro de una cierta distancia ${displaystyle epsilon }$ de ${displaystyle f(x)}$, no necesitamos saber el valor de ${displaystyle xin E}$ en cuestión - se puede encontrar un único valor ${displaystyle N=N(epsilon)}$ independiente ${displaystyle x}$, tal que elegir ${displaystyle ngeq N}$ se asegurará de que ${displaystyle f_{n}(x)}$ está dentro ${displaystyle epsilon }$ de ${displaystyle f(x)}$ para todos ${displaystyle xin E}$. En contraste, convergencia puntual de ${displaystyle f_{n}$ a ${displaystyle f}$ mera garantía para cualquier ${displaystyle xin E}$ dado por adelantado, podemos encontrar ${displaystyle N=N(epsilonx)}$ ()${displaystyle N}$ puede depender del valor ${displaystyle x}$Así que, para ese particular ${displaystyle x}$, ${displaystyle f_{n}(x)}$ cae dentro ${displaystyle epsilon }$ de ${displaystyle f(x)}$ siempre ${displaystyle ngeq N}$.

La diferencia entre la convergencia uniforme y la convergencia puntual no fue plenamente apreciada a principios de la historia del cálculo, lo que llevó a casos de razonamiento defectuoso. El concepto, que fue formalizado por Karl Weierstrass, es importante porque varias propiedades de las funciones ${displaystyle f_{n}$, como continuidad, Riemann integrador, y, con hipótesis adicionales, diferenciabilidad, se transfieren al límite ${displaystyle f}$ si la convergencia es uniforme, pero no necesariamente si la convergencia no es uniforme.

Historia

En 1821, Augustin-Louis Cauchy publicó una prueba de que una suma convergente de funciones continuas es siempre continua, a la que Niels Henrik Abel en 1826 encontró supuestos contraejemplos en el contexto de las series de Fourier, argumentando que la prueba de Cauchy tenía que ser incorrecto En ese momento no existían nociones completamente estándar de convergencia, y Cauchy manejó la convergencia utilizando métodos infinitesimales. Cuando se expresa en lenguaje moderno, lo que Cauchy demostró es que una secuencia uniformemente convergente de funciones continuas tiene un límite continuo. El hecho de que un límite de funciones continuas meramente convergente puntualmente converja en una función continua ilustra la importancia de distinguir entre diferentes tipos de convergencia cuando se manejan secuencias de funciones.

El término convergencia uniforme fue probablemente utilizado por primera vez por Christoph Gudermann, en un documento de 1838 sobre funciones elípticas, donde empleó la frase "convergencia de manera uniforme" cuando el "mode de convergencia" de una serie ${textstyle sum _{n=1}{infty }(x,phipsi)}$ es independiente de las variables ${displaystyle phi }$ y ${displaystyle psi.}$ Aunque pensó que era un "hecho notable" cuando una serie converge de esta manera, no dio una definición formal, ni usó la propiedad en ninguna de sus pruebas.

Posteriormente, el alumno de Gudermann, Karl Weierstrass, que asistió a su curso sobre funciones elípticas en 1839-1840, acuñó el término gleichmäßig konvergent (en alemán: uniformemente convergente ) que usó en su artículo de 1841 Zur Theorie der Potenzreihen, publicado en 1894. Independientemente, Philipp Ludwig von Seidel y George Gabriel Stokes articularon conceptos similares. G. H. Hardy compara las tres definiciones en su artículo "Sir George Stokes and the concept of uniform convergence" y comenta: "El descubrimiento de Weierstrass fue el primero, y solo él se dio cuenta plenamente de su trascendental importancia como una de las ideas fundamentales del análisis."

Bajo la influencia de Weierstrass y Bernhard Riemann, este concepto y cuestiones relacionadas fueron intensamente estudiados a finales del siglo XIX por Hermann Hankel, Paul du Bois-Reymond, Ulisse Dini, Cesare Arzelà y otros.

Definición

Primero definimos la convergencia uniforme para funciones con valores reales, aunque el concepto se generaliza fácilmente a funciones que se asignan a espacios métricos y, de manera más general, a espacios uniformes (ver más abajo).

Suppose ${displaystyle E}$ es un conjunto y ${displaystyle (f_{n}_{nin mathbb {N}}$ es una secuencia de funciones de valor real en ella. Decimos la secuencia ${displaystyle (f_{n}_{nin mathbb {N}}$ es uniformado convergente on ${displaystyle E}$ con límite ${displaystyle f:Eto mathbb {R}$ si por cada ${displaystyle epsilon >0,}$ existe un número natural ${displaystyle N}$ tal que para todos ${displaystyle ngeq N}$ y para todos ${displaystyle xin E}$

${displaystyle tenciónf_{n}(x)-f(x) supuestamente buscadoepsilon.}$

La notación para la convergencia uniforme ${displaystyle f_{n}$ a ${displaystyle f}$ no está bastante estandarizado y diferentes autores han utilizado una variedad de símbolos, incluyendo (en orden de menor popularidad aproximadamente):

${displaystyle F_{n}rightarrows f,quad {underset {ntoinfty}{mathrm {unif lim} }f_{n}=f,quad F_{n}{overset {mathrm {unif.} {longrightarrow }f,quad f=u-lim _{nto infty }f_{n}$

Con frecuencia, no se utiliza ningún símbolo especial y los autores simplemente escriben

${displaystyle f_{n}to fquad mathrm {uniformly}$

para indicar que la convergencia es uniforme. (En contraste, la expresión ${displaystyle f_{n}to f}$ on ${displaystyle E}$ sin un adverbio se toma para significar convergencia puntual en ${displaystyle E}$: para todos ${displaystyle xin E}$, ${displaystyle f_{n}(x)to f(x)}$ como ${displaystyle nto infty }$.)

Desde ${displaystyle mathbb {R}$ es un espacio métrico completo, el criterio Cauchy se puede utilizar para dar una formulación alternativa equivalente para la convergencia uniforme: ${displaystyle (f_{n}_{nin mathbb {N}}$ converge uniformemente en ${displaystyle E}$ (en el sentido anterior) si y sólo si por cada ${displaystyle epsilon }$, existe un número natural ${displaystyle N}$ tales que

${displaystyle xin E,m,ngeq Nimplies TENF_{m}(x)-f_{n}(x)$.

En otra formulación equivalente, si definimos

${displaystyle ¿Por qué?$

entonces ${displaystyle f_{n}$ convergencias a ${displaystyle f}$ uniformemente si y sólo si ${displaystyle d_{n}to 0}$ como ${displaystyle nto infty }$. Así, podemos caracterizar la convergencia uniforme de ${displaystyle (f_{n}_{nin mathbb {N}}$ on ${displaystyle E}$ como (simple) convergencia de ${displaystyle (f_{n}_{nin mathbb {N}}$ en el espacio de función ${displaystyle mathbb {R} {}} {f}}$ con respecto a métrica uniforme (también llamada la métrica supremum), definida por

${displaystyle d(f,g)=sup _{xin E}Upf(x)-g(x) de la vida. }$

Simbólicamente,

${displaystyle f_{n}rightarrows fiff lim _{nto infty }d(f_{n},f)=0}$.

La secuencia ${displaystyle (f_{n}_{nin mathbb {N}}$ se dice que localmente convergente con límite ${displaystyle f}$ si ${displaystyle E}$ es un espacio métrico y para cada ${displaystyle xin E}$, existe un ${displaystyle r]$ tales que ${displaystyle (f_{n})}$ converge uniformemente en ${displaystyle B(x,r)cap E.}$ Está claro que la convergencia uniforme implica la convergencia uniforme local, lo que implica una convergencia puntual.

Notas

Intuitivamente, una secuencia de funciones ${displaystyle f_{n}$ converge uniformemente a ${displaystyle f}$ si, dado un pequeño arbitrariamente ${displaystyle epsilon }$, podemos encontrar un ${displaystyle Nin mathbb {N}$ para que las funciones ${displaystyle f_{n}$ con ${displaystyle n confiadoN}$ todos caen dentro de un tubo de ancho ${displaystyle 2epsilon }$ centrado alrededor ${displaystyle f}$ (es decir, entre ${displaystyle f(x)-epsilon }$ y ${displaystyle f(x)+epsilon }$) para el dominio completo de la función.

Note que intercambiar el orden de cuantificadores en la definición de convergencia uniforme moviendo "para todos ${displaystyle xin E}$"en frente de "hay un número natural ${displaystyle N}$" resulta en una definición de convergencia puntual de la secuencia. Para hacer esta diferencia explícita, en el caso de la convergencia uniforme, ${displaystyle N=N(epsilon)}$ sólo puede depender de ${displaystyle epsilon }$, y la elección de ${displaystyle N}$ tiene que trabajar para todos ${displaystyle xin E}$, para un valor específico ${displaystyle epsilon }$ Eso se da. En cambio, en el caso de convergencia puntual, ${displaystyle N=N(epsilonx)}$ puede depender de ambos ${displaystyle epsilon }$ y ${displaystyle x}$, y la elección de ${displaystyle N}$ sólo tiene que trabajar para los valores específicos ${displaystyle epsilon }$ y ${displaystyle x}$ que se dan. Así, la convergencia uniforme implica una convergencia puntual, sin embargo el converso no es verdadero, como ilustra el ejemplo en la sección siguiente.

Generalizaciones

Uno puede extender directamente el concepto a las funciones E → M, dónde (M, d) es un espacio métrico, reemplazando ${displaystyle Silenciof_{n}(x)-f(x)$ con ${displaystyle d(f_{n}(x),f(x)}$.

El escenario más general es la convergencia uniforme de redes de funciones E → X, donde X es un espacio uniforme. Decimos que la red ${displaystyle (f_{alpha })}$ convergencias uniformes con límite f: E → X si y sólo si por cada séquito V dentro X, existe un ${displaystyle alpha ¿Qué?$, tal que para cada x dentro E y todos ${displaystyle alpha geq alpha ¿Qué?$, ${displaystyle (f_{alpha }(x),f(x)}$ está dentro V. En esta situación, el límite uniforme de funciones continuas sigue siendo continuo.

Definición en un escenario hiperreal

La convergencia uniforme admite una definición simplificada en un entorno hiperreal. Así, una secuencia ${displaystyle f_{n}$ convergencias a f uniformemente si para todos x en el dominio de ${displaystyle f^{*}$ y todo infinito n, ${displaystyle f_{n} {}(x)}$ está infinitamente cerca ${displaystyle f^{*}(x)}$ (ver microcontinuidad para una definición similar de continuidad uniforme).

Ejemplos

Para ${displaystyle xin [0,1)}$, un ejemplo básico de convergencia uniforme se puede ilustrar como sigue: la secuencia ${displaystyle (1/2)^{x+n}$ converge uniformemente, mientras ${displaystyle x^{n}$ No. Específicamente, asuma ${displaystyle epsilon =1/4}$. Cada función ${displaystyle (1/2)^{x+n}$ es menor o igual a ${displaystyle 1/4}$ cuando ${displaystyle ngeq 2}$, independientemente del valor de ${displaystyle x}$. Por otro lado, ${displaystyle x^{n}$ es sólo menor o igual a ${displaystyle 1/4}$ en valores cada vez mayores ${displaystyle n}$ cuando valores de ${displaystyle x}$ son seleccionados más cerca y más cerca de 1 (explicado más en profundidad más abajo).

Dado un espacio topológico X, podemos equipar el espacio de funciones reales acotadas o de valores complejos sobre X con la topología de norma uniforme, con la métrica uniforme definida por

${displaystyle d(f,g)=f-g eterna_{infty }=sup _{xin X} WordPressf(x)-g(x) sobre la vida. }$

Entonces, la convergencia uniforme simplemente significa convergencia en la topología de norma uniforme:

${displaystyle lim _{nto infty }fnn}-fffnh00_nfty }=0}$.

La secuencia de funciones ${displaystyle (f_{n})}$

${displaystyle {begin{cases}f_{n}:[0,1]to [0,1]f_{n}(x)=x^{n}end{cases}$

es un ejemplo clásico de una secuencia de funciones que convergen a una función ${displaystyle f}$ apuntando pero no uniformemente. Para mostrar esto, observamos primero que el límite de punto ${displaystyle (f_{n})}$ como ${displaystyle nto infty }$ es la función ${displaystyle f}$, dado por

${displaystyle f(x)=lim _{nto infty }f_{n}(x)={begin{cases}0, limitxin [0,1);1, limite=1.end{cases}}}$

Convergencia puntual: La convergencia es trivial para ${displaystyle x=0}$ y ${displaystyle x=1}$, desde ${displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ y ${displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$, para todos ${displaystyle n}$. Para ${displaystyle xin (0,1)}$ y dados ${displaystyle epsilon }$, podemos asegurarnos de que ${displaystyle Silenciof_{n}(x)-f(x) supuestamente buscadoepsilon }$ siempre ${displaystyle ngeq N}$ por elegir ${displaystyle N=lceil log epsilon /log xrceil }$ (Aquí los corchetes superiores indican redondeo, ver la función del techo). Por lo tanto, ${displaystyle f_{n}to f}$ punto a punto para todos ${displaystyle xin [0,1]}$. Note que la elección de ${displaystyle N}$ depende del valor ${displaystyle epsilon }$ y ${displaystyle x}$. Además, para una elección fija ${displaystyle epsilon }$, ${displaystyle N}$ (que no se puede definir para ser más pequeño) crece sin límites como ${displaystyle x}$ enfoques 1. Estas observaciones excluyen la posibilidad de una convergencia uniforme.

No-uniformidad de convergencia: La convergencia no es uniforme, porque podemos encontrar un ${displaystyle epsilon }$ así que no importa lo grande que escojamos ${displaystyle N,}$ habrá valores ${displaystyle xin [0,1]}$ y ${displaystyle ngeq N}$ tales que ${displaystyle tenciónf_{n}(x)-f(x)$ Para ver esto, observe primero que independientemente de cuán grande ${displaystyle n}$ se convierte, siempre hay un ${displaystyle x_{0}in [0,1)}$ tales que ${displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$ Así, si elegimos ${displaystyle epsilon =1/4,}$ Nunca podemos encontrar un ${displaystyle N}$ tales que ${displaystyle Silenciof_{n}(x)-f(x) supuestamente buscadoepsilon }$ para todos ${displaystyle xin [0,1]}$ y ${displaystyle ngeq N}$. Explícitamente, cualquier candidato que elijamos ${displaystyle N}$, considerar el valor ${displaystyle F_{N}$ a ${displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}$. Desde

${displaystyle left habitf_{N}(x_{0})-f(x_{0})right WordPress=left WordPressleft[left({frac {1}{2}right)^{frac {1}{N}derecha] {fn}-0derechaurdo={frac} {1}{2} {frac} {4}=epsilon}$

el candidato falla porque hemos encontrado un ejemplo de ${displaystyle xin [0,1]}$ que "escapó" nuestro intento de "confinar" cada uno ${displaystyle f_{n} (ngeq N)}$ para dentro ${displaystyle epsilon }$ de ${displaystyle f}$ para todos ${displaystyle xin [0,1]}$. De hecho, es fácil ver que

${displaystyle lim _{nto infty }fnn}-fffnh00_nfty }=1,}$

contra el requisito de que ${displaystyle "Antes" 0}$ si ${displaystyle ¿Por qué?$.

En este ejemplo se puede ver fácilmente que la convergencia puntual no preserva la diferenciabilidad o continuidad. Mientras que cada función de la secuencia es suave, es decir eso para todos n, ${displaystyle f_{n}in C^{infty}([0,1]}$, el límite ${displaystyle lim _{nto infty }f_{n}$ ni siquiera es continuo.

Función exponencial

La expansión de la serie de la función exponencial puede demostrar ser convergente uniformemente en cualquier subconjunto ligado ${displaystyle Ssubset mathbb {C}$ usando la prueba Weierstrass M.

Theorem (Weierstrass M-test). Vamos ${displaystyle (f_{n})}$ ser una secuencia de funciones ${displaystyle F_{n}:Eto mathbb {C}$ y dejar ${displaystyle M_{n}$ ser una secuencia de números reales positivos tal que ${displaystyle Silenciof_{n}(x) M_{n}$ para todos ${displaystyle xin E}$ y ${displaystyle n=1,2,3,ldots }$ Si ${textstyle sum _{n}M_{n}}$ converge, entonces ${textstyle sum _{n}f_{n}}$ converge uniformemente en ${displaystyle E}$.

La función exponencial compleja se puede expresar como la serie:

${displaystyle sum _{n=0} {infty}{frac {z^{n} {n}}}}}$

Cualquier subconjunto atado es un subconjunto de algún disco ${displaystyle D_{R}$ de radio ${displaystyle R,}$ centrado en el origen en el plano complejo. La prueba de Weierstrass M requiere que encontremos un límite superior ${displaystyle M_{n}$ en los términos de la serie, con ${displaystyle M_{n}$ independiente de la posición en el disco:

${displaystyle lefttención{frac {Z^{n} {n}}justo en la vidaleq M_{n},forall zin D_{R}.$

Para hacer esto, notamos

${displaystyle left forever{frac {n}}justo para siempreleq {fnMicrosoft Sans Serif}leq {frac {fn} {fn}}}}$

y tomar ${displaystyle M_{n}={tfrac {R^{n} {n}}}}$

Si ${displaystyle sum _{n=0} {infty }M_{n}$ es convergente, entonces la prueba M afirma que la serie original es convergente uniformemente.

La prueba de la razón se puede usar aquí:

${displaystyle lim _{nto infty}{frac {M_{n+1} {M_{n}}=lim _{nto infty {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}f}}}}f}f}}}f}f}f}}}}}}} { {n}{(n+1)}=lim _{nto infty {R}{n+1}=0}$

que significa la serie sobre ${displaystyle M_{n}$ es convergente. Así la serie original converge uniformemente para todos ${displaystyle zin D_{R},}$ y desde ${displaystyle Ssubset D_{R}$, la serie también converge uniformemente ${displaystyle S.}$

Propiedades

• Cada secuencia convergente uniformemente es convergente localmente.
• Cada secuencia convergente localmente es compactamente convergente.
• Para espacios locales compactos coinciden la convergencia uniforme local y la convergencia compacta.
• Una secuencia de funciones continuas en los espacios métricos, con el espacio métrico de imagen siendo completo, es convergente uniformemente si y sólo si es Cauchy uniformemente.
• Si ${displaystyle S.$ es un intervalo compacto (o en general un espacio topológico compacto), y ${displaystyle (f_{n})}$ es una secuencia creciente de monotonía (mediante ${displaystyle f_{n}(x)leq f_{n+1}(x)}$ para todos n y x) de continuo funciones con un límite de punta ${displaystyle f}$ que también es continuo, entonces la convergencia es necesariamente uniforme (teorema de Dini). La convergencia uniforme también está garantizada si ${displaystyle S.$ es un intervalo compacto y ${displaystyle (f_{n})}$ es una secuencia equicontinua que converge a punto.

Aplicaciones

A la continuidad

Se asume la contraejecución a un fortalecimiento del teorema de convergencia uniforme, en el que se asume la convergencia puntual, en lugar de la convergencia uniforme. Las funciones verdes continuas ${displaystyle sin ^{n}(x)}$ converger a la función roja no continua. Esto sólo puede suceder si la convergencia no es uniforme.

Si ${displaystyle E}$ y ${displaystyle M}$ son espacios topológicos, entonces tiene sentido hablar de la continuidad de las funciones ${displaystyle F_{n},f:Eto M}$. Si además asumimos que ${displaystyle M}$ es un espacio métrico, entonces (uniforme) convergencia de la ${displaystyle f_{n}$ a ${displaystyle f}$ también está bien definido. El siguiente resultado indica que la continuidad se mantiene mediante una convergencia uniforme:

Este teorema se demuestra mediante el "ε/3 truco", y es el ejemplo arquetípico de este truco: demostrar una desigualdad dada (ε), uno usa las definiciones de continuidad y convergencia uniforme para producir 3 desigualdades (ε/3), y luego las combina a través de la desigualdad triangular para producir la desigualdad deseada.

Este teorema es importante en la historia del análisis real y de Fourier, ya que muchos matemáticos del siglo XVIII tenían la comprensión intuitiva de que una secuencia de funciones continuas siempre converge en una función continua. La imagen de arriba muestra un contraejemplo, y muchas funciones discontinuas podrían, de hecho, escribirse como una serie de Fourier de funciones continuas. La afirmación errónea de que el límite puntual de una secuencia de funciones continuas es continua (establecido originalmente en términos de series convergentes de funciones continuas) se conoce infamemente como el "teorema erróneo de Cauchy". El teorema del límite uniforme muestra que se necesita una forma más fuerte de convergencia, la convergencia uniforme, para asegurar la preservación de la continuidad en la función límite.

Más precisamente, este teorema establece que el límite uniforme de las funciones uniformemente continuas es uniformemente continua; para un espacio localmente compacto, la continuidad es equivalente a la continuidad uniforme local y, por lo tanto, el límite uniforme de las funciones continuas es continuo.

A diferenciabilidad

Si ${displaystyle S.$ es un intervalo y todas las funciones ${displaystyle f_{n}$ son diferentes y convergen a un límite ${displaystyle f}$, a menudo es deseable determinar la función derivada ${displaystyle f'}$ tomando el límite de la secuencia ${displaystyle f'_{n}$. Sin embargo, esto no es posible en general: incluso si la convergencia es uniforme, la función límite no necesita ser diferente (no incluso si la secuencia consiste en funciones análisis en todas partes, ver función Weierstrass), e incluso si es diferente, el derivado de la función límite no necesita ser igual al límite de los derivados. Considerar por ejemplo ${displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{sin(nx)}$ con límite uniforme ${displaystyle F_{n}rightarrows fequiv 0}$. Claramente, ${displaystyle f'}$ es también idéntico cero. Sin embargo, los derivados de la secuencia de funciones son dados por ${displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}cos nx,}$ y la secuencia ${displaystyle f'_{n}$ no converge ${displaystyle f',}$ o incluso a cualquier función en absoluto. Para asegurar una conexión entre el límite de una secuencia de funciones diferenciables y el límite de la secuencia de derivados, se requiere la convergencia uniforme de la secuencia de derivados más la convergencia de la secuencia de funciones al menos un punto:

Si ${displaystyle (f_{n})}$ es una secuencia de funciones diferentes en ${displaystyle [a,b]}$ tales que ${displaystyle lim _{nto infty }f_{n}(x_{0}}$ existe (y es finito) para algunos ${displaystyle x_{0}in [a,b]$ y la secuencia ${displaystyle (f'_{n})}$ converge uniformemente en ${displaystyle [a,b]}$, entonces ${displaystyle f_{n}$ converge uniformemente a una función ${displaystyle f}$ on ${displaystyle [a,b]}$, y ${displaystyle f'(x)=lim _{nto infty }f'_{n}(x)}$ para ${displaystyle xin [a,b]$.

A la integrabilidad

Del mismo modo, uno a menudo quiere intercambiar integrales y limitar procesos. Para la integral de Riemann, esto se puede hacer si se supone una convergencia uniforme:

Si ${displaystyle (f_{n}_{n=1} {infty}$ es una secuencia de funciones integradas Riemann definidas en un intervalo compacto ${displaystyle Yo...$ que convergen uniformemente con el límite ${displaystyle f}$, entonces ${displaystyle f}$ es Riemann integrado y su integral puede ser calculado como el límite de las integrales de ${displaystyle f_{n}$:

$${displaystyle int ¿Por qué? _{I}f_{n}$$

De hecho, para una familia uniformemente convergente de funciones ligadas en un intervalo, las integrales Riemann superior e inferior convergen a las integrales Riemann superior e inferior de la función límite. Esto sigue porque, para n suficientemente grande, el gráfico de ${displaystyle f_{n}$ está dentro ε del gráfico f, y por lo tanto la suma superior y la suma inferior ${displaystyle f_{n}$ cada uno dentro ${displaystyle varepsilon TENI$ del valor de las sumas superiores e inferiores de ${displaystyle f}$, respectivamente.

Se pueden obtener teoremas mucho más fuertes a este respecto, que no requieren mucho más que convergencia puntual, si se abandona la integral de Riemann y se usa la integral de Lebesgue en su lugar.

A la analiticidad

Usando el Teorema de Morera, se puede demostrar que si una secuencia de funciones analíticas converge uniformemente en una región S del plano complejo, entonces el límite es analítico en S. Este ejemplo demuestra que las funciones complejas son más bien- comportado que las funciones reales, ya que el límite uniforme de las funciones analíticas en un intervalo real ni siquiera necesita ser diferenciable (ver función de Weierstrass).

A la serie

Decimos eso ${textstyle sum _{n=1}{infty }f_{n}$ convergencias:

Con esta definición viene el siguiente resultado:

Vamos x₀ que figuran en el conjunto E y cada uno f_n ser continuo x₀. Si ${textstyle f=sum _{n=1}{infty }f_{n}$ converge uniformemente en E entonces f es continuo x₀ dentro E. Supongamos que ${displaystyle E=[a,b]$ y cada uno f_n es integrado en E. Si ${textstyle sum _{n=1}{infty }f_{n}$ converge uniformemente en E entonces f es integrado en E y la serie de integrales de f_n es igual a integral de la serie de f_n.

Convergencia casi uniforme

Si el dominio de las funciones es un espacio de medida E entonces la noción relacionada convergencia casi uniforme se puede definir. Decimos una secuencia de funciones ${displaystyle (f_{n})}$ converge casi uniformemente en E si por cada ${displaystyle delta >0}$ existe un conjunto mensurable ${displaystyle E_{delta }$ con medida inferior a ${displaystyle delta }$ tal que la secuencia de funciones ${displaystyle (f_{n})}$ converge uniformemente en ${displaystyle Esetminus E_{delta }$. En otras palabras, la convergencia casi uniforme significa que hay conjuntos de medidas arbitrariamente pequeñas para los cuales la secuencia de funciones converge uniformemente en su complemento.

Tenga en cuenta que la convergencia casi uniforme de una secuencia no significa que la secuencia converja uniformemente en casi todas partes, como podría inferirse del nombre. Sin embargo, el teorema de Egorov garantiza que en un espacio de medida finita, una secuencia de funciones que converge en casi todas partes también converge casi uniformemente en el mismo conjunto.

La convergencia casi uniforme implica casi en todas partes convergencia y convergencia en la medida.

Notas