Controlador PID

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Mecanismo de retroalimentación del circuito de control

A controlador proporcional-integral-derivativo ()Controlador PID o controlador de tres plazos) es un mecanismo de control que emplea la retroalimentación ampliamente utilizada en sistemas de control industrial y una variedad de otras aplicaciones que requieren un control continuamente modulado. Un controlador PID calcula continuamente valor de error $e(t)$ como la diferencia entre un punto deseado (SP) y una variable de proceso medido (PV) y aplica una corrección basada en términos proporcionales, integrales y derivados (denotados) P, I, y D respectivamente), por lo tanto el nombre.

En términos prácticos, PID aplica automáticamente una corrección precisa y receptiva a una función de control. Un ejemplo cotidiano es el control de crucero de un automóvil, donde subir una colina reduciría la velocidad si se aplicara una potencia constante del motor. El algoritmo PID del controlador restablece la velocidad medida a la velocidad deseada con un retraso y un exceso mínimos al aumentar la potencia de salida del motor de manera controlada.

El primer análisis teórico y aplicación práctica de PID fue en el campo de los sistemas de gobierno automático para barcos, desarrollado a partir de principios de la década de 1920. Luego se usó para el control automático de procesos en la industria manufacturera, donde se implementó ampliamente en controladores neumáticos y luego electrónicos. Hoy en día, el concepto PID se usa universalmente en aplicaciones que requieren un control automático preciso y optimizado.

Funcionamiento básico

Un diagrama de bloque de un controlador PID en un bucle de retroalimentación. r()t) es el valor de proceso deseado o el punto (SP), y Sí.()t) es el valor de proceso medido (PV).

La característica distintiva del controlador PID es la capacidad de utilizar los tres términos de control de influencia proporcional, integral y derivada en la salida del controlador para aplicar control preciso y óptimo. El diagrama de bloques de la derecha muestra los principios de cómo se generan y aplican estos términos. Muestra un controlador PID, que calcula continuamente un valor de error $e(t)$ como la diferencia entre un punto deseado ${displaystyle {text{SP}}=r(t)}$ y una variable de proceso medido ${displaystyle {text{PV}}=y(t)}$ : ${displaystyle e(t)=r(t)-y(t)}$ , y aplica una corrección basada en términos proporcionales, integrales y derivados. El controlador intenta minimizar el error con el tiempo ajustando un control variable $u(t)$ , como la apertura de una válvula de control, a un nuevo valor determinado por una suma ponderada de los términos de control.

En este modelo:

Término P es proporcional al valor actual del error SP − PV $e(t)$ . Por ejemplo, si el error es grande, la salida de control será proporcionalmente grande utilizando el factor de ganancia "K_p". Utilizando el control proporcional por sí solo se producirá un error entre el punto establecido y el valor del proceso porque el controlador requiere un error para generar la respuesta proporcional de salida. En condiciones de proceso estable se alcanza un equilibrio, con un "offset" SP-PV constante.
Término I cuentas de valores anteriores del error SP - PV e integra a lo largo del tiempo para producir I termino. Por ejemplo, si hay un error residual SP − PV después de la aplicación de control proporcional, el término integral busca eliminar el error residual añadiendo un efecto de control debido al valor acumulativo histórico del error. Cuando se elimina el error, el término integral dejará de crecer. Esto resultará en el efecto proporcional disminuyendo a medida que el error disminuye, pero esto se compensa por el creciente efecto integral.
Término D es una mejor estimación de la tendencia futura del error SP − PV, basado en su tasa actual de cambio. A veces se llama "control anticipatorio", ya que está tratando efectivamente de reducir el efecto del error SP - PV ejerciendo una influencia de control generada por la tasa de cambio de error. Cuanto más rápido sea el cambio, mayor será el efecto de control o amortiguación.

Afinación: el equilibrio de estos efectos se logra mediante la afinación en bucle para producir la función de control óptima. Las constantes de afinación se muestran a continuación como "K" y deben derivarse para cada aplicación de control, ya que dependen de las características de respuesta del lazo completo externo al controlador. Estos dependen del comportamiento del sensor de medición, el elemento de control final (como una válvula de control), cualquier retraso de la señal de control y el proceso en sí. Los valores aproximados de las constantes generalmente se pueden ingresar inicialmente conociendo el tipo de aplicación, pero normalmente se refinan o ajustan "reforzando" el proceso en la práctica introduciendo un cambio de consigna y observando la respuesta del sistema.

Acción de control: el modelo matemático y el ciclo práctico anterior utilizan una acción de control directa para todos los términos, lo que significa que un error positivo creciente da como resultado un control positivo creciente. Corrección de salida. El sistema se denomina acción inversa si es necesario aplicar una acción correctiva negativa. Por ejemplo, si la válvula en el circuito de flujo tenía una apertura de válvula del 100% al 0% para una salida de control del 0% al 100%, lo que significa que la acción del controlador debe invertirse. Algunos esquemas de control de procesos y elementos de control final requieren esta acción inversa. Un ejemplo sería una válvula para agua de refrigeración, donde el modo a prueba de fallos, en caso de pérdida de señal, sería el 100% de apertura de la válvula; por lo tanto, la salida del controlador al 0 % debe provocar la apertura de la válvula al 100 %.

Forma matemática

La función de control general ${displaystyle u(t)=K_{text{p}}e(t)+K_{text{i}}int _{0}^{t}e(tau),mathrm {d} tau +K_{text{d}}{frac {mathrm {d} e(t)}{mathrm {d} t}},}$

Donde ${displaystyle K_{text{p}}}$ , ${displaystyle K_{text{i}}}$ , y ${displaystyle K_{text{d}}}$ , todos los no negativos, denotan los coeficientes para los términos proporcionales, integrales y derivados respectivamente (a veces denotados P, I, y D).

En el formulario estándar de la ecuación (ver más adelante en el artículo), ${displaystyle K_{text{i}}}$ y ${displaystyle K_{text{d}}}$ son reemplazados respectivamente por ${displaystyle K_{text{p}}/T_{text{i}}}$ y ${displaystyle K_{text{p}}T_{text{d}}}$ ; la ventaja de este ser que ${displaystyle T_{text{i}}}$ y ${displaystyle T_{text{d}}}$ tienen algún significado físico comprensible, ya que representan un tiempo de integración y un tiempo derivado respectivamente. ${displaystyle K_{text{p}}T_{text{d}}}$ es la constante del tiempo con la que el controlador intentará acercarse al punto establecido. ${displaystyle K_{text{p}}/T_{text{i}}}$ determina cuánto tiempo el controlador tolerará la salida siendo consistentemente por encima o por debajo del punto establecido.

{displaystyle u(t)=K_{text{p}}left(e(t)+{frac {1}{T_{text{i}}}}int _{0}^{t}e(tau),mathrm {d} tau +T_{text{d}}{frac {mathrm {d} e(t)}{mathrm {d} t}}right)}

Uso selectivo de términos de control

Aunque un controlador PID tiene tres términos de control, algunas aplicaciones necesitan solo uno o dos términos para proporcionar el control adecuado. Esto se logra poniendo a cero los parámetros no utilizados y se denomina controlador PI, PD, P o I en ausencia de otras acciones de control. Los controladores PI son bastante comunes en aplicaciones donde la acción derivativa sería sensible al ruido de medición, pero el término integral suele ser necesario para que el sistema alcance su valor objetivo.

Aplicabilidad

El uso del algoritmo PID no garantiza un control óptimo del sistema o su estabilidad de control (ver § Limitaciones, a continuación). Pueden ocurrir situaciones en las que haya retrasos excesivos: la medición del valor del proceso se retrasa o la acción de control no se aplica con la suficiente rapidez. En estos casos, se requiere que la compensación de adelanto-retardo sea efectiva. La respuesta del controlador se puede describir en términos de su capacidad de respuesta a un error, el grado en que el sistema sobrepasa un punto de ajuste y el grado de cualquier oscilación del sistema. Pero el controlador PID es ampliamente aplicable ya que se basa solo en la respuesta de la variable de proceso medida, no en el conocimiento o en un modelo del proceso subyacente.

Historia

La teoría temprana del PID se desarrolló observando las acciones de los helmsmen en mantener un barco en curso frente a influencias variables como el viento y el estado del mar.

Controlador neumático PID (tres plazos). Las magnitudes de los tres términos (P, I y D) se ajustan por los diales en la parte superior.

Orígenes

El control continuo, antes de que los controladores PID se entendieran e implementaran por completo, tiene uno de sus orígenes en el gobernador centrífugo, que utiliza pesos giratorios para controlar un proceso. Esto fue inventado por Christiaan Huygens en el siglo XVII para regular el espacio entre las ruedas de los molinos de viento en función de la velocidad de rotación y, por lo tanto, compensar la velocidad variable de alimentación del grano.

Con la invención de la máquina de vapor estacionaria de baja presión, surgió la necesidad de un control de velocidad automático, y el "péndulo cónico" de diseño propio de James Watt; gobernador, un conjunto de bolas de acero giratorias unidas a un husillo vertical por brazos de enlace, llegó a ser un estándar de la industria. Esto se basó en el concepto de control de brecha de piedra de molino.

Sin embargo, el control de velocidad del gobernador giratorio todavía era variable en condiciones de carga variable, donde la deficiencia de lo que ahora se conoce como control proporcional solo era evidente. El error entre la velocidad deseada y la velocidad real aumentaría con el aumento de la carga. En el siglo XIX, la base teórica para el funcionamiento de los gobernadores fue descrita por primera vez por James Clerk Maxwell en 1868 en su ahora famoso artículo Sobre los gobernadores. Exploró la base matemática para la estabilidad del control y avanzó de buena manera hacia una solución, pero hizo un llamado a los matemáticos para que examinaran el problema. El problema fue examinado más a fondo en 1874 por Edward Routh, Charles Sturm y en 1895 Adolf Hurwitz, todos los cuales contribuyeron al establecimiento de los criterios de estabilidad del control. En aplicaciones posteriores, los reguladores de velocidad se perfeccionaron aún más, en particular por el científico estadounidense Willard Gibbs, quien en 1872 analizó teóricamente el regulador de péndulo cónico de Watt.

Por esta época, la invención del torpedo Whitehead planteó un problema de control que requería un control preciso de la profundidad de carrera. El uso de un sensor de presión de profundidad solo resultó inadecuado, y un péndulo que medía el paso hacia adelante y hacia atrás del torpedo se combinó con la medición de profundidad para convertirse en el control de péndulo e hidrostato. El control de presión proporcionó solo un control proporcional que, si la ganancia de control era demasiado alta, se volvería inestable y pasaría con una inestabilidad considerable de retención de profundidad. El péndulo agregó lo que ahora se conoce como control derivado, que amortiguó las oscilaciones al detectar el ángulo de inmersión/ascenso del torpedo y, por lo tanto, la tasa de cambio de profundidad. Este desarrollo (nombrado por Whitehead como "El secreto" para no dar ninguna pista sobre su acción) fue alrededor de 1868.

Otro ejemplo temprano de un controlador de tipo PID fue desarrollado por Elmer Sperry en 1911 para el gobierno de barcos, aunque su trabajo era más intuitivo que matemático.

Sin embargo, no fue sino hasta 1922 que el ingeniero ruso-estadounidense Nicolas Minorsky desarrolló por primera vez una ley de control formal para lo que ahora llamamos PID o control de tres términos usando análisis teórico. Minorsky estaba investigando y diseñando la dirección automática de barcos para la Marina de los EE. UU. y basó su análisis en las observaciones de un timonel. Observó que el timonel dirigía el barco basándose no solo en el error de rumbo actual sino también en el error pasado, así como en la tasa de cambio actual; Minorsky le dio un tratamiento matemático a esto. Su objetivo era la estabilidad, no el control general, lo que simplificó significativamente el problema. Si bien el control proporcional proporcionó estabilidad contra pequeñas perturbaciones, fue insuficiente para lidiar con una perturbación constante, en particular un vendaval fuerte (debido a un error de estado estable), que requirió agregar el término integral. Finalmente, se agregó el término derivado para mejorar la estabilidad y el control.

Se llevaron a cabo pruebas en el USS New Mexico, con los controladores controlando la velocidad angular (no el ángulo) del timón. El control PI produjo una guiñada sostenida (error angular) de ±2°. Agregar el elemento D produjo un error de guiñada de ± 1/6 °, mejor de lo que la mayoría de los timoneles podrían lograr.

La Marina finalmente no adoptó el sistema debido a la resistencia del personal. Un trabajo similar fue realizado y publicado por varios otros en la década de 1930.

Control industrial

Control proporcional usando boquilla y amplificador de alta ganancia y retroalimentación negativa

El amplio uso de los controladores de retroalimentación no se volvió factible hasta que se desarrollaron los amplificadores de alta ganancia de banda ancha para utilizar el concepto de retroalimentación negativa. Esto había sido desarrollado en electrónica de ingeniería telefónica por Harold Black a fines de la década de 1920, pero no se publicó hasta 1934. Independientemente, Clesson E Mason de Foxboro Company en 1930 inventó un controlador neumático de banda ancha combinando la boquilla y la aleta neumática de alta ganancia. amplificador, que había sido inventado en 1914, con retroalimentación negativa de la salida del controlador. Esto aumentó drásticamente el rango lineal de operación de la boquilla y el amplificador de aleta, y el control integral también podría agregarse mediante el uso de una válvula de purga de precisión y un fuelle que genera el término integral. El resultado fue el "Stabilog" controlador que daba funciones tanto proporcionales como integrales utilizando fuelles de retroalimentación. El término integral se denominó Reset. Más tarde se añadió el término derivado mediante un fuelle adicional y un orificio ajustable.

Desde aproximadamente 1932 en adelante, el uso de controladores neumáticos de banda ancha aumentó rápidamente en una variedad de aplicaciones de control. La presión de aire se utilizó para generar la salida del controlador y también para alimentar los dispositivos de modulación del proceso, como las válvulas de control operadas por diafragma. Eran dispositivos simples de bajo mantenimiento que funcionaban bien en entornos industriales hostiles y no presentaban riesgos de explosión en lugares peligrosos. Fueron el estándar de la industria durante muchas décadas hasta la llegada de los controladores electrónicos discretos y los sistemas de control distribuido (DCS).

Con estos controladores, se estableció un estándar de señalización de la industria neumática de 3 a 15 psi (0,2 a 1,0 bar), que tenía un cero elevado para garantizar que los dispositivos funcionaran dentro de su característica lineal y representaba el rango de control de 0 a 100 %..

En la década de 1950, cuando los amplificadores electrónicos de alta ganancia se volvieron baratos y confiables, los controladores PID electrónicos se hicieron populares y el estándar neumático fue emulado por señales de bucle de corriente de 10-50 mA y 4-20 mA (este último se convirtió en el estándar de la industria). Los actuadores de campo neumáticos todavía se utilizan ampliamente debido a las ventajas de la energía neumática para las válvulas de control en entornos de plantas de proceso.

Mostrando la evolución de la señalización de control analógico de la neumática a las eras electrónicas

Los bucles actuales utilizados para detectar y controlar señales. Se muestra un moderno posicionador de válvula "smart" electrónico, que incorporará su propio controlador PID.

La mayoría de los controles PID modernos en la industria se implementan como software de computadora en DCS, controladores lógicos programables (PLC) o controladores compactos discretos.

Controladores analógicos electrónicos

Los bucles de control PID analógicos electrónicos a menudo se encontraban dentro de sistemas electrónicos más complejos, por ejemplo, el posicionamiento del cabezal de una unidad de disco, el acondicionamiento de energía de una fuente de alimentación o incluso el circuito de detección de movimiento de un sismómetro moderno. Los controladores analógicos electrónicos discretos han sido reemplazados en gran medida por controladores digitales que utilizan microcontroladores o FPGA para implementar algoritmos PID. Sin embargo, los controladores PID analógicos discretos todavía se utilizan en aplicaciones de nicho que requieren un gran ancho de banda y un bajo nivel de ruido, como los controladores de diodo láser.

Ejemplo de bucle de control

Considere un brazo robótico que se puede mover y posicionar mediante un lazo de control. Un motor eléctrico puede levantar o bajar el brazo, dependiendo de la potencia aplicada hacia adelante o hacia atrás, pero la potencia no puede ser una función simple de la posición debido a la masa de inercia del brazo, las fuerzas debidas a la gravedad, las fuerzas externas en el brazo, como una carga. levantar o trabajar sobre un objeto externo.

La posición sensorial es la variable de proceso (PV).
La posición deseada se llama el punto (SP).
La diferencia entre el PV y el SP es el error (e), que cuantifica si el brazo es demasiado bajo o demasiado alto y por cuánto.
La entrada al proceso (la corriente eléctrica en el motor) es la salida del controlador PID. Se llama la variable manipulada (MV) o la variable de control (CV).

Al medir la posición (PV) y restarla del punto de ajuste (SP), se encuentra el error (e), y a partir de él, el controlador calcula cuánta corriente eléctrica suministrar al motor (MV).

Proporcional

El método obvio es el control proporcional: la corriente del motor se ajusta en proporción al error existente. Sin embargo, este método falla si, por ejemplo, el brazo tiene que levantar diferentes pesos: un mayor peso necesita una mayor fuerza aplicada por el mismo error en el lado inferior, pero una fuerza menor si el error es bajo en el lado superior. Ahí es donde los términos integral y derivada juegan su papel.

Integrales

Un término integral aumenta la acción en relación no sólo al error sino también al tiempo que ha persistido. Entonces, si la fuerza aplicada no es suficiente para llevar el error a cero, esta fuerza aumentará a medida que pasa el tiempo. Un "yo" puro controlador podría llevar el error a cero, pero sería una reacción lenta al principio (porque la acción sería pequeña al principio, dependiendo del tiempo para volverse significativa) y brutal al final (la acción aumenta mientras el error es positivo, incluso si el error ha comenzado a aproximarse a cero).

Aplicar demasiada integral cuando el error es pequeño y decreciente conducirá a un exceso. Después del rebasamiento, si el controlador aplicara una gran corrección en la dirección opuesta y rebasara repetidamente la posición deseada, la salida oscilaría alrededor del punto de referencia en una sinusoide constante, creciente o decreciente. Si la amplitud de las oscilaciones aumenta con el tiempo, el sistema es inestable. Si disminuyen, el sistema es estable. Si las oscilaciones permanecen en una magnitud constante, el sistema es marginalmente estable.

Derivado

Un término derivado no considera la magnitud del error (lo que significa que no puede llevarlo a cero: un controlador D puro no puede llevar el sistema a su punto de referencia), sino la tasa de cambio del error, tratando de llevar esta tasa a cero. Su objetivo es aplanar la trayectoria de error en una línea horizontal, amortiguar la fuerza aplicada y, por lo tanto, reducir el sobreimpulso (error en el otro lado debido a una fuerza aplicada demasiado grande).

Amortiguación de control

Con el fin de lograr una llegada controlada a la posición deseada (SP) de manera oportuna y precisa, el sistema controlado debe amortiguarse de manera crítica. Un sistema de control de posición bien ajustado también aplicará las corrientes necesarias al motor controlado para que el brazo empuje y tire según sea necesario para resistir las fuerzas externas que intentan alejarlo de la posición requerida. El propio punto de ajuste puede ser generado por un sistema externo, como un PLC u otro sistema informático, de modo que varíe continuamente según el trabajo que se espera que realice el brazo robótico. Un sistema de control PID bien ajustado permitirá que el brazo cumpla con estos requisitos cambiantes de la mejor manera posible.

Respuesta a perturbaciones

Si un controlador comienza desde un estado estable con error cero (PV = SP), los cambios posteriores del controlador serán en respuesta a cambios en otras entradas medidas o no medidas al proceso que afectan el proceso y, por lo tanto, el PV. Las variables que afectan el proceso distintas de la MV se conocen como perturbaciones. Generalmente, los controladores se utilizan para rechazar perturbaciones e implementar cambios en el punto de ajuste. Un cambio en la carga del brazo constituye una perturbación para el proceso de control del brazo robótico.

Aplicaciones

En teoría, un controlador se puede usar para controlar cualquier proceso que tenga una salida medible (PV), un valor ideal conocido para esa salida (SP) y una entrada al proceso (MV) que afectará el PV relevante. Los controladores se utilizan en la industria para regular temperatura, presión, fuerza, velocidad de alimentación, velocidad de flujo, composición química (concentraciones de componentes), peso, posición, velocidad y prácticamente todas las demás variables para las que existe una medición.

Teoría del controlador

Esta sección describe la forma paralela o no interaccionante del controlador PID. Para otras formas, consulte la sección Nomenclatura alternativa y formas.

El esquema de control PID es nombrado después de sus tres términos de corrección, cuya suma constituye la variable manipulada (MV). Los términos proporcionales, integrales y derivados se resumen para calcular la salida del controlador PID. Definición $u(t)$ como la salida del controlador, la forma final del algoritmo PID es

{displaystyle u(t)=mathrm {MV} (t)=K_{text{p}}e(t)+K_{text{i}}int _{0}^{t}e(tau),dtau +K_{text{d}}{frac {de(t)}{dt}},}

dónde

{displaystyle K_{text{p}}}

es la ganancia proporcional, un parámetro de ajuste,

{displaystyle K_{text{i}}}

es la ganancia integral, un parámetro de ajuste,

{displaystyle K_{text{d}}}

es la ganancia derivada, un parámetro de ajuste,

{displaystyle e(t)=mathrm {SP} -mathrm {PV} (t)}

es el error (SP es el punto y PV(t) es la variable proceso),

t

es el tiempo o el tiempo instantáneo (el presente),

tau

es la variable de integración (tomas sobre los valores del tiempo 0 al presente

t

Equivalentemente, la función de transferencia en el dominio de Laplace del controlador PID es

{displaystyle L(s)=K_{text{p}}+K_{text{i}}/s+K_{text{d}}s,}

Donde $s$ es la frecuencia compleja.

Término proporcional

Respuesta del PV al cambio gradual del tiempo SP vs, por tres valores K_p ()K_i y K_d mantenido constante)

El término proporcional produce un valor de salida que es proporcional al valor de error actual. La respuesta proporcional se puede ajustar multiplicando el error por una constante K_p, denominada constante de ganancia proporcional.

El término proporcional viene dado por

{displaystyle P_{text{out}}=K_{text{p}}e(t).}

Una ganancia proporcional alta da como resultado un gran cambio en la salida para un cambio dado en el error. Si la ganancia proporcional es demasiado alta, el sistema puede volverse inestable (consulte la sección sobre sintonización de bucle). Por el contrario, una pequeña ganancia da como resultado una pequeña respuesta de salida a un gran error de entrada y un controlador con menor capacidad de respuesta o sensibilidad. Si la ganancia proporcional es demasiado baja, la acción de control puede ser demasiado pequeña al responder a las perturbaciones del sistema. La teoría del ajuste y la práctica industrial indican que el término proporcional debería aportar la mayor parte del cambio de salida.

Error de estado estacionario

El error de estado estable es la diferencia entre el resultado final deseado y el real. Debido a que se requiere un error distinto de cero para impulsarlo, un controlador proporcional generalmente opera con un error de estado estable. El error de estado estacionario (SSE) es proporcional a la ganancia del proceso e inversamente proporcional a la ganancia proporcional. El SSE se puede mitigar agregando un término de polarización compensatoria a la salida AND del punto de referencia o se puede corregir dinámicamente agregando un término integral.

Término integral

Respuesta del PV al cambio gradual del tiempo SP vs, por tres valores K_i ()K_p y K_d mantenido constante)

La contribución del término integral es proporcional tanto a la magnitud del error como a la duración del error. La integral en un controlador PID es la suma del error instantáneo en el tiempo y da la compensación acumulada que debería haberse corregido previamente. Luego, el error acumulado se multiplica por la ganancia integral (K_i) y se suma a la salida del controlador.

El término integral viene dado por

{displaystyle I_{text{out}}=K_{text{i}}int _{0}^{t}e(tau),dtau.}

El término integral acelera el movimiento del proceso hacia el punto de ajuste y elimina el error de estado estable residual que ocurre con un controlador proporcional puro. Sin embargo, debido a que el término integral responde a errores acumulados del pasado, puede causar que el valor presente sobrepase el valor del punto de referencia (vea la sección sobre ajuste de lazo).

Término derivado

Respuesta del PV al cambio gradual del tiempo SP vs, por tres valores K_d ()K_p y K_i mantenido constante)

La derivada del error del proceso se calcula determinando la pendiente del error a lo largo del tiempo y multiplicando esta tasa de cambio por la ganancia derivada K_d. La magnitud de la contribución del término derivado a la acción de control general se denomina ganancia derivada, K_d.

El término derivado viene dado por

{displaystyle D_{text{out}}=K_{text{d}}{frac {de(t)}{dt}}.}

La acción derivada predice el comportamiento del sistema y, por lo tanto, mejora el tiempo de asentamiento y la estabilidad del sistema. Una derivada ideal no es causal, por lo que las implementaciones de los controladores PID incluyen un filtrado de paso bajo adicional para el término derivado para limitar la ganancia y el ruido de alta frecuencia. Sin embargo, la acción derivada rara vez se usa en la práctica, según una estimación en solo el 25% de los controladores implementados, debido a su impacto variable en la estabilidad del sistema en aplicaciones del mundo real.

Afinación de bucle

Afinar un lazo de control es el ajuste de sus parámetros de control (banda/ganancia proporcional, ganancia/restablecimiento integral, ganancia/velocidad derivativa) a los valores óptimos para la respuesta de control deseada. La estabilidad (sin oscilación ilimitada) es un requisito básico, pero más allá de eso, diferentes sistemas tienen un comportamiento diferente, diferentes aplicaciones tienen diferentes requisitos y los requisitos pueden entrar en conflicto entre sí.

Aunque solo hay tres parámetros y es simple de describir en principio, el ajuste PID es un problema difícil porque debe satisfacer criterios complejos dentro de las limitaciones del control PID. En consecuencia, existen varios métodos para sintonizar bucles y técnicas más sofisticadas son objeto de patentes; esta sección describe algunos métodos manuales tradicionales para la afinación de bucles.

Diseñar y ajustar un controlador PID parece ser conceptualmente intuitivo, pero puede ser difícil en la práctica si se deben lograr objetivos múltiples (y a menudo conflictivos), como transitorios cortos y alta estabilidad. Los controladores PID a menudo brindan un control aceptable utilizando ajustes predeterminados, pero el rendimiento generalmente se puede mejorar con un ajuste cuidadoso y el rendimiento puede ser inaceptable con un ajuste deficiente. Por lo general, los diseños iniciales deben ajustarse repetidamente a través de simulaciones por computadora hasta que el sistema de circuito cerrado funcione o se comprometa según lo deseado.

Algunos procesos tienen un grado de no linealidad, por lo que los parámetros que funcionan bien en condiciones de carga completa no funcionan cuando el proceso se inicia sin carga. Esto se puede corregir mediante la programación de ganancia (usando diferentes parámetros en diferentes regiones operativas).

Estabilidad

Si los parámetros del controlador PID (las ganancias de los términos proporcional, integral y derivativo) se eligen incorrectamente, la entrada del proceso controlado puede ser inestable; es decir, su salida es divergente, con o sin oscilación, y está limitada únicamente por saturación o rotura mecánica. La inestabilidad es causada por un exceso de ganancia, particularmente en presencia de un retraso significativo.

Por lo general, se requiere la estabilización de la respuesta y el proceso no debe oscilar para ninguna combinación de condiciones de proceso y puntos de referencia, aunque a veces es aceptable o deseable una estabilidad marginal (oscilación limitada).

Matemáticamente, los orígenes de la inestabilidad se pueden ver en el dominio de Laplace.

La función de transferencia de ciclo total es:

H(s)={frac {K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}}

Donde $K(s)$ es la función de transferencia PID y $G(s)$ es la función de transferencia de planta. Un sistema es inestable donde la función de transferencia de bucle cerrado se divierte para algunos $s$ . Esto sucede en situaciones donde $K(s)G(s)=-1$ . Típicamente, esto sucede cuando $|K(s)G(s)|=1$ con un cambio de fase de 180 grados. Estabilidad se garantiza cuando $<math alttext="{displaystyle K(s)G(s)K()s)G()s).1{displaystyle K(s)G(s) <img alt="K(s)G(s)$ para frecuencias que sufren cambios de fase alta. Un formalismo más general de este efecto se conoce como el criterio de estabilidad de Nyquist.

Comportamiento óptimo

El comportamiento óptimo en un cambio de proceso o cambio de punto de ajuste varía según la aplicación.

Dos requisitos básicos son la regulación (rechazo de perturbaciones: mantenerse en un punto de referencia determinado) y el seguimiento de comandos (implementación de cambios en el punto de referencia). Estos términos se refieren a qué tan bien la variable controlada rastrea el valor deseado. Los criterios específicos para el seguimiento de comandos incluyen el tiempo de subida y el tiempo de establecimiento. Algunos procesos no deben permitir un rebasamiento de la variable de proceso más allá del punto de ajuste si, por ejemplo, esto no sería seguro. Otros procesos deben minimizar la energía gastada para alcanzar un nuevo punto de ajuste.

Descripción general de los métodos de ajuste

Existen varios métodos para sintonizar un lazo PID. Los métodos más efectivos generalmente implican desarrollar algún tipo de modelo de proceso y luego elegir P, I y D en función de los parámetros del modelo dinámico. Los métodos de sintonización manual pueden consumir mucho tiempo, especialmente en sistemas con ciclos de tiempo prolongados.

La elección del método depende en gran medida de si el bucle se puede desconectar para ajustarlo y del tiempo de respuesta del sistema. Si el sistema se puede desconectar, el mejor método de sintonización a menudo implica someter el sistema a un cambio de paso en la entrada, medir la salida como una función del tiempo y usar esta respuesta para determinar los parámetros de control.

Elegir un método de sintonización
Método	Ventajas	Desventajas
Ajuste manual	No se requieren matemáticas; en línea.	Requiere personal experimentado.
Ziegler-Nichols	Método probado; en línea.	Trastorno del proceso, ensayo y terror, afinación muy agresiva.
Tyreus Luyben	Método probado; en línea.	Trastorno del proceso, ensayo y terror, afinación muy agresiva.
Herramientas de software	Ajuste consistente; en línea o fuera de línea – puede emplear el diseño del sistema de control automatizado por computadora (CAutoD) técnicas; puede incluir el análisis de válvulas y sensores; permite la simulación antes de descargar; puede soportar el ajuste de estado no fijo (NSS).	Algunos costos o entrenamiento implicados.
Cohen-Coon	Buenos modelos de proceso.	Algunas matemáticas; offline; sólo bueno para los procesos de primer orden.
Åström-Hägglund	Se puede utilizar para la afinación automática; la amplitud es mínima por lo que este método tiene un proceso más bajo alterado	El proceso en sí mismo es inherentemente oscilatorio.

Afinación manual

Si el sistema debe permanecer en línea, un método de sintonización es el primer set $K_{i}$ y $K_{d}$ valores a cero. Aumentar el $K_{p}$ hasta la salida del bucle oscila; luego se establece $K_{p}$ a aproximadamente la mitad de ese valor para una respuesta tipo "desintegración de la amplitud del cuarto". Luego aumentar $K_{i}$ hasta que cualquier compensación se corrija en tiempo suficiente para el proceso, pero no hasta que un valor demasiado grande cause inestabilidad. Finalmente, aumento $K_{d}$ , si es necesario, hasta que el bucle sea aceptablemente rápido para llegar a su referencia después de una perturbación de carga. Demasiado. $K_{d}$ causa una respuesta excesiva y una solución excesiva. Un afinamiento rápido de PID generalmente supera ligeramente para alcanzar el punto de ajuste más rápidamente; sin embargo, algunos sistemas no pueden aceptar overshoot, en cuyo caso se requiere un sistema de cierre cerrado con overdamped, que a su vez requiere un $K_{p}$ considerablemente menos de la mitad de la $K_{p}$ que estaba causando oscilación.

Efectos de los diferentes parámetros de PID (K_p,K_i,K_d) en la respuesta paso de un sistema

Efectos de *creciente* un parámetro independientemente
Parámetro	Hora de levantarse	Overshoot	Tiempo de solución	Error Steady-state	Estabilidad
$K_{p}$	Disminución	Aumento	Cambios pequeños	Disminución	Degradación
$K_{i}$	Disminución	Aumento	Aumento	Eliminar	Degradación
$K_{d}$	Cambios menores	Disminución	Disminución	Ningún efecto en la teoría	Mejorar si $K_{d}$ pequeño

Método Ziegler-Nichols

Otro método de afinación heurista se conoce como el método Ziegler-Nichols, introducido por John G. Ziegler y Nathaniel B. Nichols en la década de 1940. Como en el método anterior, el $K_{i}$ y $K_{d}$ Las ganancias se establecen primero a cero. La ganancia proporcional se aumenta hasta alcanzar la ganancia final, $K_{u}$ , en el que la salida del bucle comienza a oscilar constantemente. $K_{u}$ y el período de oscilación $T_{u}$ se utilizan para establecer las ganancias como sigue:

Método Ziegler-Nichols
Tipo de control	$K_{p}$	$K_{i}$	$K_{d}$
P	$0.50{K_{u}}$	—	—
PI	$0.45{K_{u}}$	${displaystyle 0.54{K_{u}}/T_{u}}$	—
PID	$0.60{K_{u}}$	${displaystyle 1.2{K_{u}}/T_{u}}$	${displaystyle 3{K_{u}}{T_{u}}/40}$

Estas ganancias se aplican a la forma ideal y paralela del controlador PID. Cuando se aplica a la forma PID estándar, sólo los beneficios integrales y derivados $K_{i}$ y $K_{d}$ dependen del período de oscilación $T_{u}$ .

Parámetros Cohen-Coon

Este método se desarrolló en 1953 y se basa en un modelo de demora de primer orden + tiempo. Similar al método Ziegler-Nichols, se desarrolló un conjunto de parámetros de ajuste para dar una respuesta cerrada con una relación de decaimiento $tfrac{1}{4}$ . Argumentablemente el mayor problema con estos parámetros es que un pequeño cambio en los parámetros de proceso podría potencialmente causar que un sistema de cierre cerrado se vuelva inestable.

Método de retransmisión (Åström–Hägglund)

Publicado en 1984 por Karl Johan Åström y Tore Hägglund, el método de relé opera temporalmente el proceso mediante el control bang-bang y mide las oscilaciones resultantes. La salida se conmuta (como si fuera un relé, de ahí el nombre) entre dos valores de la variable de control. Los valores deben elegirse para que el proceso cruce el punto de ajuste, pero no es necesario que sean 0% y 100%; eligiendo valores adecuados, se pueden evitar oscilaciones peligrosas.

Mientras la variable de proceso esté por debajo del punto de ajuste, la salida de control se establece en el valor más alto. Tan pronto como se eleva por encima del punto de referencia, la salida de control se establece en el valor más bajo. Idealmente, la forma de onda de salida es casi cuadrada, pasando el mismo tiempo por encima y por debajo del punto de ajuste. El período y la amplitud de las oscilaciones resultantes se miden y se utilizan para calcular la ganancia y el período finales, que luego se introducen en el método de Ziegler-Nichols.

Específicamente, el período final $T_{u}$ se supone que es igual al período observado, y la ganancia final se calcula como ${displaystyle K_{u}=4b/pi a,}$ Donde $a$ es la amplitud de la oscilación variable proceso, y $b$ es la amplitud del cambio de salida de control que lo causó.

Existen numerosas variantes en el método de retransmisión.

Primer pedido con modelo de tiempo muerto

La función de transferencia para un proceso de primer orden, con tiempo muerto, es:

${displaystyle y(s)={frac {k_{p}e^{-theta s}}{tau _{p}s+1}}*u(s)}$

donde k_p es la ganancia del proceso, τ_p es la constante de tiempo, θ es el tiempo muerto y u(s) es una entrada de cambio de paso. La conversión de esta función de transferencia al dominio del tiempo da como resultado:

${displaystyle y(t)=k_{p}Delta uleft(1-e^{frac {-t-theta }{tau _{p}}}right)}$

utilizando los mismos parámetros que se encuentran arriba.

Cuando se usa este método, es importante aplicar una entrada de cambio de paso lo suficientemente grande como para que se pueda medir la salida; sin embargo, un cambio de paso demasiado grande puede afectar la estabilidad del proceso. Además, un cambio de paso mayor garantiza que la salida no cambie debido a una perturbación (para obtener los mejores resultados, intente minimizar las perturbaciones al realizar la prueba de paso).

Una forma de determinar los parámetros para el proceso de primer orden es usar el método del 63,2 %. En este método, la ganancia del proceso (k_p) es igual al cambio en la salida dividido por el cambio en la entrada. El tiempo muerto (θ) es la cantidad de tiempo entre el momento en que se produjo el cambio de paso y el momento en que la salida cambió por primera vez. La constante de tiempo (τ_p) es la cantidad de tiempo que tarda la salida en alcanzar el 63,2 % del nuevo valor de estado estable después del cambio de paso. Una desventaja de usar este método es que puede llevar un tiempo alcanzar un nuevo valor de estado estable si el proceso tiene constantes de tiempo grandes.

Software de ajuste

La mayoría de las instalaciones industriales modernas ya no ajustan los bucles utilizando los métodos de cálculo manual que se muestran arriba. En su lugar, se utiliza software de optimización de lazo y sintonización PID para garantizar resultados uniformes. Estos paquetes de software recopilan datos, desarrollan modelos de procesos y sugieren ajustes óptimos. Algunos paquetes de software pueden incluso desarrollar ajustes mediante la recopilación de datos de los cambios de referencia.

La sintonización matemática del bucle PID induce un impulso en el sistema y luego utiliza la respuesta de frecuencia del sistema controlado para diseñar los valores del bucle PID. En bucles con tiempos de respuesta de varios minutos, se recomienda el ajuste matemático del bucle, ya que la prueba y el error pueden tardar días en encontrar un conjunto estable de valores de bucle. Los valores óptimos son más difíciles de encontrar. Algunos controladores de bucle digitales ofrecen una función de autoajuste en la que se envían al proceso cambios muy pequeños en el punto de ajuste, lo que permite que el propio controlador calcule los valores de ajuste óptimos.

Otro enfoque calcula los valores iniciales a través del método Ziegler-Nichols y utiliza una técnica de optimización numérica para encontrar mejores coeficientes PID.

Hay otras fórmulas disponibles para ajustar el bucle de acuerdo con diferentes criterios de rendimiento. Muchas fórmulas patentadas ahora están integradas en los módulos de software y hardware de ajuste de PID.

Los avances en el software de ajuste de bucles PID automatizados también ofrecen algoritmos para ajustar bucles PID en un escenario dinámico o de estado no estacionario (NSS). El software modela la dinámica de un proceso, a través de una perturbación, y calcula los parámetros de control PID en respuesta.

Limitaciones

Si bien los controladores PID son aplicables a muchos problemas de control y, a menudo, funcionan satisfactoriamente sin ninguna mejora o solo un ajuste aproximado, pueden funcionar de manera deficiente en algunas aplicaciones y, en general, no brindan un control óptimo. La dificultad fundamental con el control PID es que es un sistema de control de retroalimentación, con parámetros constantes y sin conocimiento directo del proceso, por lo que el rendimiento general es reactivo y un compromiso. Si bien el control PID es el mejor controlador en un observador sin un modelo del proceso, se puede obtener un mejor rendimiento modelando abiertamente al actor del proceso sin recurrir a un observador.

Los controladores PID, cuando se usan solos, pueden dar un rendimiento deficiente cuando las ganancias del lazo PID deben reducirse para que el sistema de control no se exceda, oscile o se desvíe del valor del punto de ajuste de control. También tienen dificultades en presencia de no linealidades, pueden compensar la regulación versus el tiempo de respuesta, no reaccionan al comportamiento cambiante del proceso (digamos, el proceso cambia después de que se ha calentado) y tienen retraso en responder a grandes perturbaciones.

La mejora más significativa es incorporar control feed-forward con conocimiento sobre el sistema y usar el PID solo para controlar el error. Alternativamente, los PID se pueden modificar de formas menores, como cambiando los parámetros (ya sea programando ganancias en diferentes casos de uso o modificándolos de manera adaptativa en función del rendimiento), mejorando la medición (mayor tasa de muestreo, precisión y exactitud, y paso bajo). filtrar si es necesario), o conectar en cascada varios controladores PID.

Linealidad y simetría

Los controladores PID funcionan mejor cuando el lazo a controlar es lineal y simétrico. Por lo tanto, se degrada su desempeño en sistemas no lineales y asimétricos.

Una válvula no lineal, por ejemplo, en una aplicación de control de flujo, dará como resultado una sensibilidad de bucle variable, lo que requerirá una acción amortiguada para evitar la inestabilidad. Una solución es el uso de la característica no lineal de la válvula en el algoritmo de control para compensar esto.

Una aplicación asimétrica, por ejemplo, es el control de temperatura en los sistemas HVAC que usan solo calefacción activa (a través de un elemento de calefacción), donde solo hay refrigeración pasiva disponible. Cuando se desea bajar la temperatura controlada, la salida de calefacción está apagada, pero no hay enfriamiento activo debido a la salida de control. Por lo tanto, cualquier rebasamiento del aumento de la temperatura solo puede corregirse lentamente; no puede ser forzado hacia abajo por la salida de control. En este caso, el controlador PID podría ajustarse para sobreamortiguarse, para evitar o reducir el sobreimpulso, pero esto reduce el rendimiento al aumentar el tiempo de establecimiento de una temperatura en aumento hasta el punto de ajuste. La degradación inherente de la calidad del control en esta aplicación podría resolverse mediante la aplicación de enfriamiento activo.

Ruido en término derivado

Un problema con el término derivado es que amplifica la medición de frecuencia más alta o el ruido del proceso que puede causar grandes cambios en la salida. Suele ser útil filtrar las mediciones con un filtro de paso bajo para eliminar los componentes de ruido de alta frecuencia. Como el filtrado de paso bajo y el control derivado pueden cancelarse entre sí, la cantidad de filtrado es limitada. Por lo tanto, la instrumentación de bajo ruido puede ser importante. Se puede utilizar un filtro de mediana no lineal, que mejora la eficiencia de filtrado y el rendimiento práctico. En algunos casos, la banda diferencial se puede apagar con poca pérdida de control. Esto es equivalente a usar el controlador PID como controlador PI.

Modificaciones al algoritmo

El algoritmo PID básico presenta algunos desafíos en las aplicaciones de control que se han abordado mediante modificaciones menores al formulario PID.

Liquidación integral

Un problema común que resulta de las implementaciones ideales de PID es la liquidación integral. Después de un gran cambio en el punto de ajuste, el término integral puede acumular un error mayor que el valor máximo de la variable de regulación (windup), por lo que el sistema se sobrepasa y continúa aumentando hasta que este error acumulado se deshace. Este problema puede ser abordado por:

Desactivar la integración hasta que el PV haya entrado en la región controlable
Evitar que el término integral se acumule por encima o por debajo de los límites predeterminados
Vuelta a calcular el plazo integral para limitar la salida del regulador dentro de límites factibles.

Exceso por perturbaciones conocidas

Por ejemplo, un lazo PID se usa para controlar la temperatura de un horno de resistencia eléctrica donde el sistema se ha estabilizado. Ahora, cuando se abre la puerta y se coloca algo frío en el horno, la temperatura cae por debajo del punto de ajuste. La función integral del controlador tiende a compensar el error introduciendo otro error en la dirección positiva. Este exceso se puede evitar congelando la función integral después de abrir la puerta durante el tiempo que el circuito de control normalmente necesita para recalentar el horno.

Controlador PI

Bloque básico de un controlador PI

Un controlador PI (controlador proporcional-integral) es un caso especial del controlador PID en el que no se utiliza la derivada (D) del error.

La salida del controlador viene dada por

K_{P}Delta +K_{I}int Delta ,dt

Donde $Delta$ es el error o desviación del valor medido real (PV) del punto (SP).

{displaystyle Delta =SP-PV.}

Un controlador PI se puede modelar fácilmente en software como Simulink o Xcos usando un "diagrama de flujo" caja que involucra a los operadores de Laplace:

C={frac {G(1+tau s)}{tau s}}

dónde

G=K_{P}

= ganancia proporcional

{displaystyle {frac {G}{tau }}=K_{I}}

= ganancia integral

Establecer un valor para $G$ a menudo es un intercambio entre disminuir el exceso de solución y aumentar el tiempo de solución.

La falta de acción derivativa puede hacer que el sistema sea más estable en el estado estable en el caso de datos con ruido. Esto se debe a que la acción derivativa es más sensible a los términos de mayor frecuencia en las entradas.

Sin la acción derivativa, un sistema controlado por PI responde menos a las alteraciones de estado reales (sin ruido) y relativamente rápidas, por lo que el sistema tardará más en alcanzar el punto de ajuste y en responder a las perturbaciones que un PID bien ajustado. el sistema puede ser.

Banda muerta

Muchos lazos PID controlan un dispositivo mecánico (por ejemplo, una válvula). El mantenimiento mecánico puede ser un costo importante y el desgaste conduce a la degradación del control en forma de fricción estática o contragolpe en la respuesta mecánica a una señal de entrada. La tasa de desgaste mecánico es principalmente una función de la frecuencia con la que se activa un dispositivo para realizar un cambio. Cuando el desgaste es una preocupación importante, el lazo PID puede tener una banda muerta de salida para reducir la frecuencia de activación de la salida (válvula). Esto se logra modificando el controlador para mantener su salida constante si el cambio fuera pequeño (dentro del rango de banda muerta definido). La salida calculada debe salir de la banda muerta antes de que cambie la salida real.

Cambio de paso de consigna

Los términos proporcional y derivativo pueden producir un movimiento excesivo en la salida cuando un sistema se somete a un incremento instantáneo del error, como un gran cambio en el punto de ajuste. En el caso del término derivado, esto se debe a que se toma la derivada del error, que es muy grande en el caso de un cambio de paso instantáneo. Como resultado, algunos algoritmos PID incorporan algunas de las siguientes modificaciones:

Montaje de punto: En esta modificación, el punto de ajuste se mueve gradualmente de su antiguo valor a un valor recién especificado utilizando una función de rampa diferencial lineal o de primera orden. Esto evita la discontinuidad presente en un simple cambio de paso.
Derivativo de la variable de proceso: En este caso el controlador PID mide el derivado de la variable de proceso medido (PV), en lugar del derivado del error. Esta cantidad es siempre continua (es decir, nunca tiene un cambio de paso como resultado del cambio de punto). Esta modificación es un caso sencillo de ponderación de punto.
Peso de punto: La ponderación de punto añade factores ajustables (generalmente entre 0 y 1) al punto en el error en el elemento proporcional y derivativo del controlador. El error en el término integral debe ser el verdadero error de control para evitar errores de control de estado fijo. Estos dos parámetros adicionales no afectan la respuesta a las perturbaciones de carga y el ruido de medición y se pueden ajustar para mejorar la respuesta del punto de control.

Realimentación

El rendimiento del sistema de control se puede mejorar combinando el control de retroalimentación (o de lazo cerrado) de un controlador PID con el control de retroalimentación (o de lazo abierto). El conocimiento sobre el sistema (como la aceleración y la inercia deseadas) se puede transmitir y combinar con la salida PID para mejorar el rendimiento general del sistema. El valor de realimentación por sí solo a menudo puede proporcionar la mayor parte de la salida del controlador. El controlador PID principalmente tiene que compensar cualquier diferencia o error que quede entre el punto de referencia (SP) y la respuesta del sistema al control de lazo abierto. Dado que la salida de alimentación directa no se ve afectada por la retroalimentación del proceso, nunca puede hacer que el sistema de control oscile, mejorando así la respuesta del sistema sin afectar la estabilidad. La alimentación directa se puede basar en el punto de ajuste y en perturbaciones adicionales medidas. La ponderación del punto de ajuste es una forma simple de avance.

Por ejemplo, en la mayoría de los sistemas de control de movimiento, para acelerar una carga mecánica bajo control, se requiere más fuerza del actuador. Si se utiliza un controlador PID de lazo de velocidad para controlar la velocidad de la carga y comandar la fuerza que aplica el actuador, entonces es beneficioso tomar la aceleración instantánea deseada, escalar ese valor adecuadamente y agregarlo a la salida del PID. controlador de bucle de velocidad. Esto significa que cada vez que se acelera o desacelera la carga, se ordena una cantidad proporcional de fuerza desde el actuador, independientemente del valor de retroalimentación. El lazo PID en esta situación usa la información de retroalimentación para cambiar la salida combinada para reducir la diferencia restante entre el punto de ajuste del proceso y el valor de retroalimentación. Trabajando juntos, el controlador de avance de bucle abierto combinado y el controlador PID de bucle cerrado pueden proporcionar un sistema de control con mayor capacidad de respuesta.

Funcionamiento sin problemas

Los controladores PID a menudo se implementan con un "bumpleless" característica de inicialización que vuelve a calcular el término del acumulador integral para mantener una salida de proceso consistente a través de cambios de parámetros. Una implementación parcial es almacenar la ganancia integral multiplicada por el error en lugar de almacenar el error y posmultiplicarlo por la ganancia integral, lo que evita una salida discontinua cuando se cambia la ganancia I, pero no las ganancias P o D.

Otras mejoras

Además de la alimentación directa, los controladores PID a menudo se mejoran a través de métodos como la programación de ganancia PID (cambio de parámetros en diferentes condiciones de funcionamiento), lógica difusa o lógica verbal computacional. Pueden surgir otros problemas de aplicación práctica de la instrumentación conectada al controlador. Se requiere una tasa de muestreo, precisión de medición y exactitud de medición lo suficientemente altas para lograr un rendimiento de control adecuado. Otro método nuevo para mejorar el controlador PID es aumentar el grado de libertad mediante el uso del orden fraccional. El orden del integrador y el diferenciador agrega mayor flexibilidad al controlador.

Control en cascada

Una ventaja distintiva de los controladores PID es que se pueden usar dos controladores PID juntos para lograr un mejor rendimiento dinámico. Esto se denomina control PID en cascada. Dos controladores están en cascada cuando están dispuestos de manera que uno regula el punto de consigna del otro. Un controlador PID actúa como controlador de bucle externo, que controla el parámetro físico principal, como el nivel o la velocidad del fluido. El otro controlador actúa como controlador de bucle interno, que lee la salida del controlador de bucle externo como punto de referencia, por lo general, controlando un parámetro de cambio más rápido, caudal o aceleración. Se puede demostrar matemáticamente que la frecuencia de trabajo del controlador aumenta y la constante de tiempo del objeto se reduce mediante el uso de controladores PID en cascada.

Por ejemplo, un baño de circulación con control de temperatura tiene dos controladores PID en cascada, cada uno con su propio sensor de temperatura de termopar. El controlador externo controla la temperatura del agua mediante un termopar ubicado lejos del calentador, donde lee con precisión la temperatura de la mayor parte del agua. El término de error de este controlador PID es la diferencia entre la temperatura deseada del baño y la temperatura medida. En lugar de controlar el calentador directamente, el controlador PID externo establece un objetivo de temperatura del calentador para el controlador PID interno. El controlador PID interno controla la temperatura del calentador mediante un termopar conectado al calentador. El término de error del controlador interno es la diferencia entre este punto de ajuste de temperatura del calentador y la temperatura medida del calentador. Su salida controla el calentador real para permanecer cerca de este punto de referencia.

Los términos proporcional, integral y diferencial de los dos controladores serán muy diferentes. El controlador PID externo tiene una constante de tiempo prolongada: toda el agua del tanque necesita calentarse o enfriarse. El bucle interno responde mucho más rápido. Cada controlador se puede ajustar para que coincida con la física del sistema que controla (transferencia de calor y masa térmica de todo el tanque o solo del calentador), lo que brinda una mejor respuesta total.

Nomenclatura y formas alternativas

Forma estándar versus paralela (ideal)

La forma del controlador PID más frecuentemente encontrada en la industria, y la más relevante para sintonizar algoritmos es la formulario estándar. En esta forma $K_{p}$ la ganancia se aplica a $I_{mathrm {out} }$ , y $D_{mathrm {out} }$ términos, rendimiento:

{displaystyle u(t)=K_{p}left(e(t)+{frac {1}{T_{i}}}int _{0}^{t}e(tau),dtau +T_{d}{frac {d}{dt}}e(t)right)}

dónde

T_{i}

es tiempo integral

T_{d}

es tiempo derivado

En esta forma estándar, los parámetros tienen un significado físico claro. En particular, la suma interior produce un nuevo valor de error único que se compensa por errores futuros y pasados. El término de error proporcional es el error actual. El término componentes derivados intenta predecir el valor del error $T_{d}$ segundos (o muestras) en el futuro, asumiendo que el control de bucle permanece sin cambios. El componente integral ajusta el valor de error para compensar la suma de todos los errores pasados, con la intención de eliminarlos completamente en $T_{i}$ segundos (o muestras). El valor de error único compensado resultante es entonces escalado por la ganancia única $K_{p}$ para calcular la variable de control.

En la forma paralela, que se muestra en la sección de teoría del controlador

{displaystyle u(t)=K_{p}e(t)+K_{i}int _{0}^{t}e(tau),dtau +K_{d}{frac {d}{dt}}e(t)}

los parámetros de ganancia están relacionados con los parámetros del formulario estándar a través de ${displaystyle K_{i}=K_{p}/T_{i}}$ y ${displaystyle K_{d}=K_{p}T_{d}}$ . Esta forma paralela, donde los parámetros se tratan como simples ganancias, es la forma más general y flexible. Sin embargo, también es la forma donde los parámetros tienen la relación más débil con los comportamientos físicos y generalmente se reserva para el tratamiento teórico del controlador PID. La forma estándar, a pesar de ser ligeramente más compleja matemáticamente, es más común en la industria.

Ganancia recíproca, también conocida como banda proporcional

En muchos casos, la salida variable manipulada por el controlador PID es una fracción sin dimensiones entre 0 y 100% de algún valor máximo posible, y la traducción a unidades reales (como la tasa de bombeo o las vatios de potencia de calentador) está fuera del controlador PID. La variable proceso, sin embargo, está en unidades dimensionadas como la temperatura. Es común en este caso expresar la ganancia $K_{p}$ no como "salida por grado", sino más bien en la forma recíproca de un banda proporcional ${displaystyle 100/K_{p}}$ , que es "de acuerdo por salida completa": el rango sobre el cual la salida cambia de 0 a 1 (0% a 100%). Más allá de esta gama, la salida es saturada, completa o completa. Cuanto más estrecha sea esta banda, mayor será la ganancia proporcional.

Basar la acción derivada en PV

En la mayoría de los sistemas de control comerciales, la acción derivada se basa en la variable del proceso en lugar del error. Es decir, un cambio en el punto de ajuste no afecta la acción derivativa. Esto se debe a que la versión digitalizada del algoritmo produce un gran pico no deseado cuando se cambia el punto de ajuste. Si el punto de referencia es constante, los cambios en el PV serán los mismos que los cambios en el error. Por lo tanto, esta modificación no afecta la forma en que el controlador responde a las perturbaciones del proceso.

Basar la acción proporcional en PV

La mayoría de los sistemas de control comerciales ofrecen la opción de basar también la acción proporcional únicamente en la variable del proceso. Esto significa que solo la acción integral responde a los cambios en el punto de ajuste. La modificación del algoritmo no afecta la forma en que el controlador responde a las perturbaciones del proceso. Basar la acción proporcional en PV elimina el cambio instantáneo y posiblemente muy grande en la salida causado por un cambio repentino en el punto de referencia. Según el proceso y el ajuste, esto puede ser beneficioso para la respuesta a un paso de punto de referencia.

mathrm {MV(t)} =K_{p}left(,{-PV(t)}+{frac {1}{T_{i}}}int _{0}^{t}{e(tau)},{dtau }-T_{d}{frac {d}{dt}}PV(t)right)

King describe un método eficaz basado en gráficos.

Forma de Laplace

A veces es útil escribir el regulador PID en forma de transformada de Laplace:

G(s)=K_{p}+{frac {K_{i}}{s}}+K_{d}{s}={frac {K_{d}{s^{2}}+K_{p}{s}+K_{i}}{s}}

Tener el controlador PID escrito en forma de Laplace y tener la función de transferencia del sistema controlado facilita la determinación de la función de transferencia de bucle cerrado del sistema.

Serie/forma interactiva

Otra representación del controlador PID es la serie, o forma interactuante

{displaystyle G(s)=K_{c}({frac {1}{tau _{i}{s}}}+1)(tau _{d}{s}+1)}

donde los parámetros se relacionan con los parámetros del formulario estándar mediante

K_{p}=K_{c}cdot alpha

T_{i}=tau _{i}cdot alpha

, y

T_{d}={frac {tau _{d}}{alpha }}

con

alpha =1+{frac {tau _{d}}{tau _{i}}}

Esta forma consiste esencialmente en un controlador PD y PI en serie. Como se requiere la integral para calcular el sesgo del controlador, este formulario brinda la capacidad de rastrear un valor de sesgo externo que se requiere para la implementación adecuada de esquemas de control avanzado de varios controladores.

Implementación discreta

El análisis para diseñar una implementación digital de un controlador PID en un dispositivo microcontrolador (MCU) o FPGA requiere la forma estándar del controlador PID para ser discretized. Las aproximaciones para derivados de primera orden se hacen por diferencias finitas atrasadas. $u(t)$ y $e(t)$ se discretizan con un período de muestreo $Delta t$ , k es el índice de muestra.

La diferenciación de ambos lados de la ecuación PID usando la notación de Newton da como resultado:

${displaystyle {dot {u}}(t)=K_{p}{dot {e}}(t)+K_{i}e(t)+K_{d}{ddot {e}}(t)}$

Los términos derivados se aproximan como,

{displaystyle {dot {f}}(t_{k})={dfrac {df(t_{k})}{dt}}={dfrac {f(t_{k})-f(t_{k-1})}{Delta t}}}

Entonces,

{displaystyle {frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{Delta t}}=K_{p}{frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{frac {{dot {e}}(t_{k})-{dot {e}}(t_{k-1})}{Delta t}}}

Aplicar la diferencia hacia atrás nuevamente da,

{displaystyle {frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{Delta t}}=K_{p}{frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{frac {{frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{Delta t}}-{frac {e(t_{k-1})-e(t_{k-2})}{Delta t}}}{Delta t}}}

Al simplificar y reagrupar los términos de la ecuación anterior, finalmente se obtiene un algoritmo para una implementación del controlador PID discretizado en una MCU:

{displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+left(K_{p}+K_{i}Delta t+{dfrac {K_{d}}{Delta t}}right)e(t_{k})+left(-K_{p}-{dfrac {2K_{d}}{Delta t}}right)e(t_{k-1})+{dfrac {K_{d}}{Delta t}}e(t_{k-2})}

{displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+K_{p}left[left(1+{dfrac {Delta t}{T_{i}}}+{dfrac {T_{d}}{Delta t}}right)e(t_{k})+left(-1-{dfrac {2T_{d}}{Delta t}}right)e(t_{k-1})+{dfrac {T_{d}}{Delta t}}e(t_{k-2})right]}

S.T. $T_{i}=K_{p}/K_{i},T_{d}=K_{d}/K_{p}$

Nota: Este método resuelve de hecho ${displaystyle u(t)=K_{text{p}}e(t)+K_{text{i}}int _{0}^{t}e(tau),mathrm {d} tau +K_{text{d}}{frac {mathrm {d} e(t)}{mathrm {d} t}}+u_{0}}$ Donde $u_{0}$ es una constante independiente de t. Esta constante es útil cuando quieres tener un control de inicio y parar en el bucle de regulación. Por ejemplo, establecer Kp, Ki y Kd a 0 mantendrá la constante u(t). Asimismo, cuando desea iniciar una regulación en un sistema donde el error ya está cerca de 0 con u(t) non null, evita enviar la salida a 0.

Pseudocódigo

Aquí hay un grupo de pseudocódigo muy simple y explícito que el profano puede entender fácilmente:

Kp - ganancia proporcional
Ki - ganancia integral
Kd - ganancia derivada
dt - tiempo de intervalo de bucle (se asume escala razonable)

anterior_error:= 0
integral:= 0
Loop:
error:= setpoint − measure_value
proporcional:= error;
integral:= integral + error × dt
derivado:= (error - anterior_error) / dt
salida:= Kp × proporcional + Ki × integral + Kd × derivado
anterior_error:= error
espera(dt)
Goo Loop

Aquí hay un bucle de software más complicado y mucho menos explícito que implementa un algoritmo PID:

A0:= Kp + Ki*dt + Kd/dt
A1:= -Kp - 2*Kd/dt
A2:= Kd/dt
error[2]:= 0 // e(t-2)
error[1]:= 0 // e(t-1)
error[0]:= 0 // e(t)
salida:= u0 // Normalmente el valor actual del actuador

Loop:
error[2]:= error[1]
error[1]:= error[0]
error[0]:= punto − mide_valor
salida:= salida + error A0 *[0] + error A1 *[1] + error A2 *[2]
espera(dt)
Goo Loop

Aquí, Kp es un número sin dimensión, Ki se expresa en $s^{-1}$ y Kd se expresa en s. Al hacer una regulación donde el actuador y el valor medido no están en la misma unidad (ex. regulación de temperatura usando un motor controlando una válvula), Kp, Ki y Kd pueden ser corregidos por un factor de conversión de unidad. También puede ser interesante utilizar Ki en su forma recíproca (tiempo de integración). La implementación anterior permite realizar un controlador solo I que puede ser útil en algunos casos.

En el mundo real, esto se convierte de D a A y se pasa al proceso bajo control como la variable manipulada (MV). El error actual se almacena en otro lugar para su reutilización en la siguiente diferenciación, luego el programa espera hasta que hayan pasado dt segundos desde el inicio, y el ciclo comienza de nuevo, leyendo nuevos valores para el PV y el punto de ajuste y calculando un nuevo valor para el error.

Tenga en cuenta que para el código real, el uso de "wait(dt)" podría ser inapropiado porque no tiene en cuenta el tiempo que tarda el propio algoritmo durante el ciclo o, lo que es más importante, cualquier preferencia que retrase el algoritmo.

Un problema común al usar $K_{d}$ es la respuesta al derivado de un borde ascendente o cayendo del punto como se muestra a continuación:

Un recorrido típico es filtrar la acción derivada usando un filtro de paso bajo de tiempo constante ${displaystyle tau _{d}/N}$ Donde $<math alttext="{displaystyle 3<=N3.N.10{displaystyle 3 won=N 0} <img alt="{displaystyle 3<=N$ :

Una variante del algoritmo anterior que usa un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR) para la derivada:

A0:= Kp + Ki*dt
A1:= -Kp
error[2]:= 0 // e(t-2)
error[1]:= 0 // e(t-1)
error[0]:= 0 // e(t)
salida:= u0 // Normalmente el valor actual del actuador
A0d = Kd/dt
A1d = - 2.0*Kd/dt
A2d = Kd/dt
N:= 5
tau:= Kd / (Kp*N) // IIR tiempo de filtro constante
alfa = dt / (2*tau)
D0:= 0
d1:= 0
Fd0:= 0
fd1:= 0
Loop:
error[2]:= error[1]
error[1]:= error[0]
error[0]:= punto − mide_valor
// PI
salida:= salida + error A0 *[0] + error A1 *[1]
// Filtrado D
d1 = d0
d0 = A0d * error[0] + A1d * error[1] + A2d * error[2]
fd1 = fd0
fd0 = (alfa) / (alfa + 1)) * (d0 + d1) - (alfa - 1) / (alfa + 1)) * fd1
salida:= salida + fd0
espera(dt)
Goo Loop

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