Constante del catalán

En matemáticas, la constante catalana G, está definida por

${displaystyle G=beta (2)=sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{n}{(2n+1)}{2}={frac}={frac {1}{1} {2}}-{frac {1}{3}}}+{frac {1}{5^{2}}}}-{frac {1}{7}}}{2}frac {1}{9}{9}} {2}}}}}}} {cdots}}} {cdots}}} {cdots}}}} {cdots}}}} {cdots}}} {cdots} {1} {cdots} {cdots} {} {}}}}}}}}} {c}}}}}}} {1} {1} {1} {cdots} {c} {1} {cdots} {cdots}}}}}}}}}}}}}}}}} {c} {cdot} {cdots}} {1}}}}}}}}}}} {$

donde β es la función beta de Dirichlet. Su valor numérico es aproximadamente (secuencia A006752 en el OEIS)

G = 0.915965594177219015054603514932384110774...

No se sabe si G es irracional, y mucho menos trascendental. G ha sido llamada "probablemente la constante más básica cuya irracionalidad y trascendencia (aunque fuertemente sospecha) siguen sin probarse".

La constante catalana lleva el nombre de Eugène Charles Catalan, quien encontró series de convergencia rápida para su cálculo y publicó una memoria sobre ella en 1865.

Usos

En topología de baja dimensión, la constante catalana es 1/4 del volumen de un octaedro hiperbólico ideal y, por lo tanto, 1/4 del volumen hiperbólico del complemento del enlace de Whitehead. Es 1/8 del volumen del complemento de los anillos borromeos.

En combinatoria y mecánica estadística, surge en relación con el conteo de mosaicos de dominó, árboles de expansión y ciclos hamiltonianos de gráficos de cuadrícula.

En teoría de números, la constante catalana aparece en una fórmula conjeturada para el número asintotico de primos de la forma ${displaystyle n^{2}+1}$ Según Hardy y Littlewood's Conjecture F. Sin embargo, es un problema sin resolver (uno de los problemas de Landau) si hay incluso infinitamente muchos primos de esta forma.

La constante catalana también aparece en el cálculo de la distribución de masa de las galaxias espirales.

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de la constante G del catalán ha aumentado de forma espectacular durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de los ordenadores como a las mejoras algorítmicas.

Identidades integrales

Como escribe Seán Stewart, "Existe una fuente rica y aparentemente interminable de integrales definidas que puede equipararse o expresarse en términos de la constante catalana." Algunas de estas expresiones incluyen:

$${displaystyle {begin{aligned}G&=-{frac {1}{pi i}}int _{0}^{frac {pi }{2}}ln ln tan xln tan x,dx\[3pt]G&=iint _{[0,1]^{2}}!{frac {1}{1+x^{2}y^{2}}},dx,dy\[3pt]G&=int _{0}^{1}int _{0}^{1-x}{frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}},dy,dx\[3pt]G&=int _{1}^{infty }{frac {ln t}{1+t^{2}}},dt\[3pt]G&=-int _{0}^{1}{frac {ln t}{1+t^{2}}},dt\[3pt]G&=int _{0}^{frac {pi }{4}}{frac {t}{sin tcos t}},dt\[3pt]G&={frac {1}{4}}int _{-{frac {pi }{2}}}^{frac {pi }{2}}{frac {t}{sin t}},dt\[3pt]G&=int _{0}^{frac {pi }{4}}ln cot t,dt\[3pt]G&=int _{frac {pi }{4}}^{frac {pi }{2}}ln tan t,dt\[3pt]G&={frac {1}{2}}int _{0}^{frac {pi }{2}}ln left(sec t+tan tright),dt\[3pt]G&=int _{0}^{1}{frac {arccos t}{sqrt {1+t^{2}}}},dt\[3pt]G&=int _{0}^{1}{frac {operatorname {arcsinh} t}{sqrt {1-t^{2}}}},dt\[3pt]G&={frac {1}{2}}int _{0}^{infty }{frac {arctan t}{t{sqrt {1+t^{2}}}}},dt\[3pt]G&=int _{0}^{infty }operatorname {arccot} e^{t},dt\[3pt]G&={frac {1}{4}}int _{0}^{{pi ^{2}}/{4}}csc {sqrt {t}},dt\[3pt]G&={frac {1}{16}}left(pi ^{2}+4int _{1}^{infty }operatorname {arccsc} ^{2}t,dtright)\[3pt]G&={frac {1}{2}}int _{0}^{infty }{frac {t}{cosh t}},dt\[3pt]G&={frac {pi }{2}}int _{1}^{infty }{frac {left(t^{4}-6t^{2}+1right)ln ln t}{left(1+t^{2}right)^{3}}},dt\[3pt]G&=1+lim _{alpha to {1^{-}}}!left{int _{0}^{alpha }!{frac {left(1+6t^{2}+t^{4}right)arctan {t}}{tleft(1-t^{2}right)^{2}}},dt+2operatorname {artanh} {alpha }-{frac {pi alpha }{1-alpha ^{2}}}right}\[3pt]G&=1-{frac {1}{8}}iint _{mathbb {R} ^{2}}!!{frac {xsin left(2xy/pi right)}{,left(x^{2}+pi ^{2}right)cosh xsinh y,}},dx,dy\[3pt]G&=int _{0}^{infty }int _{0}^{infty }{frac {{sqrt[{4}]{x}}left({sqrt {x}}{sqrt {y}}-1right)}{(x+1)^{2}{sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}log(xy)}}dxdyend{aligned}}}$$

donde las últimas tres fórmulas están relacionadas con las integrales de Malmsten.

Si K(k) es la integral elíptica completa de primera clase, en función del módulo elíptico k, entonces

$${displaystyle G={tfrac}{2}int ¿Qué?$$

Si E(k) es la integral elíptica completa de segunda especie, en función del módulo elíptico k, entonces

$${displaystyle G=-{tfrac {1}{2}+int _{0}mathrm {E}(k),dk}$$

Con la función gamma Γ(x + 1) = x!

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {f}int}int _{0}{1}Gammaleft(1+{frac {x}{2}right)Gamma left(1-{frac {x}right)dx\\\\\\\\\fnMicrocH0}fnMinMicrocH0} {fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}\\\fn}\\\\fnK}fnMicroc}fnMinMinMinMinMinMinMinMicroc}fnMicroc}fnMicrocfnMicroc}\\\\\\\f}\ ¿Qué? {1}{2}Gamma (1+y)Gamma (1-y),dyend{aligned}}$$

La integral

$${displaystyle G=operatorname {Ti} _{2}(1)=int ¿Qué?.$$

Relación con otras funciones especiales

G aparece en valores de la segunda función poligamma, también llamada función trigamma, en argumentos fraccionarios:

$${displaystyle {begin{aligned}psi ################################################################################################################################################################################################################################################################ ^{2}+8G\\psia ################################################################################################################################################################################################################################################################ ^{2}-8G.end{aligned}}$$

Simon Plouffe ofrece una colección infinita de identidades entre la función trigamma, π² y Catalan& #39;s constante; estos son expresables como caminos en un gráfico.

La constante de Catalan se presenta con frecuencia en relación con la función de Clausen, la integral inversa tangente, la integral inversa del seno, la función G de Barnes, así como integrales y series sumables en términos de las funciones antes mencionadas.

Como ejemplo particular, expresando primero la integral de tangente inversa en su forma cerrada, en términos de funciones de Clausen, y luego expresando esas funciones de Clausen en términos de Barnes G-, se obtiene la siguiente expresión (consulte la función Clausen para obtener más información):

$${fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {3}{8}right)Gleft({frac {7}{8}right)}{} {fnMicroc {8}}derecho)} {f}}derecho)Gleft({frac}{8}derech}derech] log left({frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicroc {fnK}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicroc} {fnMicroc}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {gnun} {gnun} {gnun}} {sigualgomam}} {m}} {sigualgomam}}}}}}}}}} {sigualgomam}}}}}}}}}}}}} {m}}}}} Gamma left({frac {1}right)}right)+{frac {pi) }{2}log left({frac {1+{sqrt {2}}{2left(2-{sqrt {2}right)}right). }$$

Si se define el Lerch trascendente Φ(z,s,α) (relacionado con la función zeta de Lerch) por

$${displaystyle Phi (z,s,alpha)=sum _{n=0}{infty }{frac {z^{n}{(n+alpha)}}}}}$$

$${displaystyle G={tfrac {1}{4}Phi left(-1,2,{tfrac {1}{2}right). }$$

Serie de convergencia rápida

Las siguientes dos fórmulas involucran series rápidamente convergentes y, por lo tanto, son apropiadas para el cálculo numérico:

$${displaystyle {begin{aligned}G limit=3sum {2}{2} {2} {2} {2}} {2}} {2}}} {2}}} {2}} {2}} {2}}} {2} {0}$$

$${displaystyle G={frac {}{8}}log left(2+{sqrt {3}right)+{frac {3}{8}}sum _{n=0}{infty }{frac {1}{2n+1)}{2}{binom}{binom}{binom}{ {2n}}}}}}$$

Las bases teóricas de esta serie son dadas por Broadhurst, para la primera fórmula, y Ramanujan, para la segunda fórmula. Los algoritmos de evaluación rápida de la constante catalana fueron construidos por E. Karatsuba. Usando estas series, calcular la constante de catalán es ahora tan rápido como calcular la constante de Apery, ${displaystyle zeta (3)}$.

Otras series que convergen rápidamente, debido a Guillera y Pilehrood y empleadas por el software y-cruncher, incluyen:

${displaystyle G={frac {1}{2}sum _{k=0}{infty }{frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)}{3}{3}{binom}{binom}{c} {cc}} {ccc}}ccH0} {ccH0}}}}} {cH00}}}}}}ccccccccccccccH00}ccH00}ccH00}cccH00}}}ccccccH00}}cH00}}cH00}ccH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cccH00}cH00}}}ccc {2K} {}}} {}}}} {}}}} {}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}}}}} {}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${displaystyle G={frac {1}{64}sum _{k=1}{infty }{frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{3}(2k-1){binom {6k}{3k}{binom} {6k}{4k}{binom} {4k}{2k}}}}$

${displaystyle G=-{frac}{1024}sum ¿Qué?$

Todas estas series tienen complejidad de tiempo ${displaystyle O(nlog(n)}}$.

Fracción continua

G se puede expresar de la siguiente forma

${displaystyle G={cfrac {1}{1+{cfrac {1}{8+{frac {3^{4}{16+{cfrac {5}{4}{24+{cfrac {7^{4}{32+{cfrac {9^{4}{40+ddots {}}}}}}} {}}}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

La simple fracción continua es dada por

${displaystyle G={cfrac {1}{1+{cfrac {1}{10+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{8+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{88+ddots {}}}}}}} {}}}}}}}}$