Constante de Landau-Ramanujan

En matemáticas y el campo de la teoría de números, el Landau-Ramanujan constant es el número real positivo b que ocurre en un teorema probado por Edmund Landau en 1908, declarando que para grande ${displaystyle x}$, el número de números enteros positivos abajo ${displaystyle x}$ que son la suma de dos números cuadrados se comporta asintoticamente como

${displaystyle {dfrac {bx}}}} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}$

Esta constante b fue redescubierto en 1913 por Srinivasa Ramanujan, en la primera carta que escribió a G.H. Hardy.

Sumas de dos cuadrados

Según el teorema de la suma de dos cuadrados, los números que se pueden expresar como suma de dos cuadrados de números enteros son aquellos para los cuales cada número primo congruente con 3 mod 4 aparece con un exponente par en su factorización prima. Por ejemplo, 45 = 9 + 36 es una suma de dos cuadrados; en su factorización prima, 3² × 5, el 3 primo aparece con exponente par, y el 5 primo es congruente con 1 mod 4, por lo que su exponente puede ser impar.

El teorema de Landau dice que si ${displaystyle N(x)}$ es el número de números enteros positivos menos que ${displaystyle x}$ que son la suma de dos cuadrados, entonces

${displaystyle lim _{xrightarrow infty }left({dfrac {N(x)}{dfrac {x}{sqrt {log(x)}}}}right)=bapprox 0.764223653589220662990698731250092328116790541}$ (secuencia) A064533 en el OEIS),

Donde ${displaystyle b}$ es la constante Landau-Ramanujan.

La constante de Landau-Ramanujan también se puede escribir como un producto infinito: ${displaystyle {begin{aligned}b {1}{sqrt {2}}prod _{pequiv 3{pmod {4}}left(1-{frac {1}{p^{2}}}right)^{-1/2}\\\\cc\cH00} {fnMic {cH00}}}}}p}pcH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cccH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}ccH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cccc {4}}prod _{pequiv 1{pmod {4}}left(1-{frac {1}{2}}} {1/2}end{aligned}}$

Historia

Esta constante fue declarada por Landau en la forma límite arriba; Ramanujan en lugar de aproximarse ${displaystyle N(x)}$ como integral, con la misma constante de proporcionalidad, y con un término de error de crecimiento lento.