Conjunto no medible

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En matemáticas, a conjunto no mensurable es un conjunto que no puede ser asignado un "volumen" significativo. La existencia matemática de tales conjuntos se interpreta para proporcionar información sobre las nociones de longitud, área y volumen en la teoría de conjunto formal. En la teoría del conjunto Zermelo-Fraenkel, el axioma de elección implica que subconjuntos no mensurables de ${displaystyle mathbb {R}$ existen.

La noción de conjunto no mensurable ha sido fuente de gran controversia desde su introducción. Históricamente, esto llevó a Borel y Kolmogorov a formular la teoría de la probabilidad en conjuntos que están obligados a ser mensurables. Los conjuntos medibles en la línea son uniones contables iteradas e intersecciones de intervalos (llamados conjuntos de Borel) conjuntos nulos más-menos. Estos conjuntos son lo suficientemente ricos como para incluir todas las definiciones imaginables de conjunto que surgen en las matemáticas estándar, pero requieren mucho formalismo para demostrar que los conjuntos son mensurables.

En 1970, Robert M. Solovay construyó el modelo de Solovay, que muestra que es consistente con la teoría de conjuntos estándar sin opciones incontables, que todos los subconjuntos de los reales son mensurables. Sin embargo, el resultado de Solovay depende de la existencia de un cardenal inaccesible, cuya existencia y consistencia no pueden probarse dentro de la teoría de conjuntos estándar.

Construcciones históricas

La primera indicación de que podría haber un problema al definir la longitud de un conjunto arbitrario provino del teorema de Vitali. Una construcción combinatoria más reciente que es similar a la construcción de Robin Thomas de un conjunto mensurable que no es de Lebesgue con algunas propiedades adicionales apareció en American Mathematical Monthly.

Uno esperaría que la medida de la unión de dos conjuntos disjuntos fuera la suma de la medida de los dos conjuntos. Una medida con esta propiedad natural se llama finitamente aditiva. Si bien una medida finitamente aditiva es suficiente para la mayor parte de la intuición de área y es análoga a la integración de Riemann, se considera insuficiente para la probabilidad, porque los tratamientos modernos convencionales de secuencias de eventos o variables aleatorias exigen aditividad contable.

En este sentido, el plano es similar a la línea; hay una medida finitamente aditiva, que extiende la medida de Lebesgue, que es invariante en todas las isometrías. Para dimensiones más altas el panorama empeora. La paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski muestran que una bola tridimensional de radio 1 se puede diseccionar en 5 partes que se pueden volver a ensamblar para formar dos bolas de radio 1.

Ejemplo

Considerar ${displaystyle S,}$ el conjunto de todos los puntos en el círculo de unidad, y la acción sobre ${displaystyle S.$ por grupo ${displaystyle G.$ consiste en todas las rotaciones racionales (rotaciones por ángulos que son múltiplos racionales de ${displaystyle pi}$ ). Aquí. ${displaystyle G.$ es contable (más específicamente, ${displaystyle G.$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Q}$ ) mientras ${displaystyle S.$ es incontable. Por lo tanto ${displaystyle S.$ se rompe en incontables órbitas bajo ${displaystyle G.$ (la órbita de ${displaystyle sin S}$ es el conjunto contable ${displaystyle {se^{iqpi}:qin mathbb {Q}}$ ). Usando el axioma de elección, podríamos elegir un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto incontable ${displaystyle Xsubset S}$ con la propiedad que todo lo racional traduce (copias traducidas del formulario ${displaystyle e^{iqpi }X:={e^{iqpi }x:xin X}$ para algunos racionales ${displaystyle q}$ ) de ${displaystyle X}$ por ${displaystyle G.$ son dos veces disjoint (significante, descomunal de ${displaystyle X}$ y del otro). El conjunto de las particiones traduce el círculo en una colección contable de conjuntos desjoint, que son todos pares congruentes (por rotaciones racionales). El set ${displaystyle X}$ será no mensurable para cualquier medida de probabilidad aditiva de rotación invariable ${displaystyle S.$ Si ${displaystyle X}$ tiene una medida cero, la aditividad contable implicaría que todo el círculo tiene una medida cero. Si ${displaystyle X}$ tiene una medida positiva, la aditividad contable demostraría que el círculo tiene una medida infinita.

Definiciones consistentes de medida y probabilidad

La paradoja de Banach-Tarski muestra que no hay manera de definir el volumen en tres dimensiones a menos que se haga una de las siguientes cinco concesiones:

El volumen de un conjunto puede cambiar cuando se gira.
El volumen de la unión de dos conjuntos disjoint puede ser diferente de la suma de sus volúmenes.
Algunos conjuntos podrían ser etiquetados "no mensurables", y uno tendría que comprobar si un conjunto es "measurable" antes de hablar de su volumen.
Los axiomas de ZFC (Zermelo–Fraenkel establecer teoría con el axioma de la elección) podrían tener que ser alterados.
El volumen ${displaystyle [0,1]$ es ${displaystyle 0}$ o ${displaystyle infty }$ .

La teoría de la medida estándar toma la tercera opción. Se define una familia de conjuntos mensurables, que es muy rica, y casi cualquier conjunto definido explícitamente en la mayoría de las ramas de las matemáticas estará entre esta familia. Generalmente es muy fácil demostrar que un subconjunto específico dado del plano geométrico es mensurable. La suposición fundamental es que una secuencia infinita contable de conjuntos disjuntos satisface la fórmula de la suma, una propiedad llamada σ-aditividad.

En 1970, Solovay demostró que la existencia de un conjunto no mensurable para la medida de Lebesgue no es demostrable dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia de un axioma adicional (como el axioma de elección), mediante mostrando que (suponiendo la consistencia de un cardinal inaccesible) existe un modelo de ZF, llamado modelo de Solovay, en el que la elección contable se cumple, cada conjunto es medible según Lebesgue y en el que falla el axioma completo de elección.

El axioma de elección equivale a un resultado fundamental de la topología de conjuntos de puntos, el teorema de Tychonoff, y también a la conjunción de dos resultados fundamentales del análisis funcional, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Krein-Milman.. También afecta en gran medida al estudio de grupos infinitos, así como a la teoría de los anillos y del orden (ver Teorema del ideal primo de Boole). Sin embargo, los axiomas de determinabilidad y elección dependiente juntos son suficientes para la mayoría de las teorías de medidas geométricas, teorías de potenciales, series de Fourier y transformadas de Fourier, al tiempo que hacen que todos los subconjuntos de la línea real sean medibles según Lebesgue.