Conjunto infinito

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En la teoría de conjuntos, un conjunto infinito es un conjunto que no es un conjunto finito. Los conjuntos infinitos pueden ser contables o incontables.

Propiedades

El conjunto de los números naturales (cuya existencia está postulada por el axioma del infinito) es infinito. Es el único conjunto que los axiomas exigen directamente que sea infinito. La existencia de cualquier otro conjunto infinito se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), pero solo mostrando que se sigue de la existencia de los números naturales.

Un conjunto es infinito si y solo si para cada número natural, el conjunto tiene un subconjunto cuya cardinalidad es ese número natural.

Si se cumple el axioma de elección, entonces un conjunto es infinito si y solo si incluye un subconjunto infinito contable.

Si un conjunto de conjuntos es infinito o contiene un elemento infinito, entonces su unión es infinita. El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito. Cualquier superconjunto de un conjunto infinito es infinito. Si un conjunto infinito se divide en un número finito de subconjuntos, al menos uno de ellos debe ser infinito. Cualquier conjunto que se pueda mapear sobre un conjunto infinito es infinito. El producto cartesiano de un conjunto infinito y un conjunto no vacío es infinito. El producto cartesiano de un número infinito de conjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos dos elementos, es vacío o infinito; si se cumple el axioma de elección, entonces es infinito.

Si un conjunto infinito es un conjunto bien ordenado, entonces debe tener un subconjunto no vacío ni trivial que no tenga el elemento mayor.

En ZF, un conjunto es infinito si y solo si el conjunto potencia de su conjunto potencia es un conjunto infinito de Dedekind, que tiene un subconjunto propio equinumero a si mismo. Si el axioma de elección también es cierto, entonces los conjuntos infinitos son precisamente los conjuntos infinitos de Dedekind.

Si un conjunto infinito es un conjunto bien ordenable, entonces tiene muchos buenos ordenamientos que no son isomorfos.

Las ideas importantes discutidas por David Burton en su libro La historia de las matemáticas: una introducción incluyen cómo definir "elementos" o partes de un conjunto, cómo definir elementos únicos en el conjunto y cómo probar el infinito. Burton también analiza pruebas para diferentes tipos de infinito, incluidos conjuntos contables e incontables. Los temas utilizados al comparar conjuntos infinitos y finitos incluyen conjuntos ordenados, cardinalidad, equivalencia, planos de coordenadas, conjuntos universales, mapeo, subconjuntos, continuidad y trascendencia. Las ideas establecidas de Cantor estaban influenciadas por la trigonometría y los números irracionales. Otras ideas clave en la teoría de conjuntos infinitos mencionadas por Burton, Paula, Narli y Rodger incluyen números reales como π, números enteros y el número de Euler.

Tanto Burton como Rogers usan conjuntos finitos para comenzar a explicar conjuntos infinitos usando conceptos de prueba como mapeo, prueba por inducción o prueba por contradicción. Los árboles matemáticos también se pueden usar para comprender conjuntos infinitos. Burton también analiza pruebas de conjuntos infinitos, incluidas ideas como uniones y subconjuntos.

En el capítulo 12 de La historia de las matemáticas: una introducción, Burton enfatiza cómo matemáticos como Zermelo, Dedekind, Galileo, Kronecker, Cantor y Bolzano investigaron e influyeron en la teoría de conjuntos infinitos. Muchos de estos matemáticos debatieron el infinito o agregaron ideas de conjuntos infinitos. Las posibles influencias históricas, como la forma en que la historia de Prusia en la década de 1800, dieron como resultado un aumento en el conocimiento matemático académico, incluida la teoría de los conjuntos infinitos de Cantor.

Una posible aplicación de la teoría de conjuntos infinitos es la genética y la biología.

Ejemplos

Conjuntos infinitos contables

El conjunto de todos los enteros, {..., -1, 0, 1, 2,...} es un conjunto numerable infinito. El conjunto de todos los números enteros pares también es un conjunto infinito numerable, incluso si es un subconjunto propio de los números enteros.

El conjunto de todos los números racionales es un conjunto numerable infinito ya que existe una biyección para el conjunto de los enteros.

Conjuntos infinitos incontables

El conjunto de todos los números reales es un conjunto incontablemente infinito. El conjunto de todos los números irracionales es también un conjunto incontablemente infinito.