Conjunto de halbach

Una matriz Halbach (alemán: [ˈhalbax]) es una disposición especial de imanes permanentes que aumenta el campo magnético en un lado de la matriz mientras cancela el campo casi a cero en el otro lado. Esto se logra teniendo un patrón de magnetización que gira espacialmente.

El patrón de rotación de los imanes permanentes (en la cara frontal; a la izquierda, arriba, derecha, abajo) puede continuar indefinidamente y tener el mismo efecto. El efecto de esta disposición es más o menos similar al de muchos imanes de herradura colocados uno al lado del otro, con polos similares en contacto.

El principio fue inventado por primera vez por James (Jim) M. Winey de Magnepan en 1970, para el caso ideal de magnetización en rotación continua, inducida por una bobina unilateral en forma de franja.

El efecto también fue descubierto por John C. Mallinson en 1973, y estos "flujos unilaterales" Las estructuras fueron inicialmente descritas por él como una "curiosidad", aunque en ese momento reconoció en este descubrimiento el potencial para mejoras significativas en la tecnología de las cintas magnéticas.

El físico Klaus Halbach, mientras estaba en el Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley durante la década de 1980, inventó de forma independiente la matriz Halbach para enfocar los rayos de los aceleradores de partículas.

Matrices lineales

Magnetización

Aunque esta distribución de flujo magnético parece algo contradictorio para aquellos familiarizados con simples imanes de barras o solenoides, la razón de esta distribución de flujo se puede visualizar intuitivamente utilizando el diagrama original de Mallinson (tenga en cuenta que usa el negativo Y componente, a diferencia del diagrama en el artículo de Mallinson). El diagrama muestra el campo de una tira de material ferromagnético con magnetización alterna en la dirección y (arriba a la izquierda) y en la dirección x (arriba a la derecha). Tenga en cuenta que el campo sobre el plano está en la dirección misma para ambas estructuras, pero el campo debajo del plano está en direcciones opuestas . El efecto de superponer ambas estructuras se muestra en la figura.

El punto crucial es que el flujo cancelar debajo del avión y reforzarse sobre el avión. De hecho, cualquier patrón de magnetización donde estén los componentes de magnetización ${displaystyle pi /2}$ fuera de la fase uno con el otro resultará en un flujo unilateral. La transformación matemática que cambia la fase de todos los componentes de alguna función por ${displaystyle pi /2}$ se llama un transformado Hilbert; los componentes del vector de magnetización pueden ser por lo tanto cualquier par Hilbert-transform (el más simple de los cuales es simplemente ${displaystyle sin(x)cos(y)}$, como se muestra en el diagrama anterior).

El campo en el lado sin cancelación de la matriz infinita, ideal y que varía continuamente tiene la forma

${displaystyle F(x,y)=F_{0}e^{ikx}e^{-ky}$

donde

${displaystyle F(x,y)}$ es el campo en la forma ${displaystyle F_{x }+iF_{y}$,

${displaystyle F_{0}$ es la magnitud del campo en la superficie de la matriz,

${displaystyle k}$ es el número de onda (es decir, la frecuencia espacial) ${displaystyle 2pi /lambda.}$

Aplicaciones

Las ventajas de las distribuciones de flujo unilaterales son dos:

• El campo es el doble de grande en el lado en el que se limita el flujo (en el caso idealizado).
• No hay campo estrado producido (en el caso ideal) en el lado opuesto. Esto ayuda con el confinamiento de campo, generalmente un problema en el diseño de estructuras magnéticas.

Aunque las distribuciones de flujo unilaterales pueden parecer algo abstractas, tienen una sorprendente cantidad de aplicaciones que van desde el imán del refrigerador hasta aplicaciones industriales como el motor de CC sin escobillas, bobinas móviles, fármacos magnéticos dirigidos a aplicaciones de alta tecnología como el wiggler. imanes utilizados en aceleradores de partículas y láseres de electrones libres.

Este dispositivo también es un componente clave del tren Inductrack Maglev y del sistema de lanzamiento de cohetes Inductrack, en el que el conjunto Halbach repele los bucles de alambre que forman la vía después de que el tren ha sido acelerado a una velocidad capaz de elevarse.

El ejemplo más simple de un imán de flujo unilateral es un imán de refrigerador. Estos generalmente están compuestos de ferrita en polvo en una carpeta como plástico o goma. El imán extruido está expuesto a un campo giratorio que da a las partículas de ferrita en el compuesto magnético una magnetización que da como resultado una distribución de flujo unilateral. Esta distribución aumenta la fuerza de retención del imán cuando se coloca sobre una superficie permeable, en comparación con la fuerza de retención de, por ejemplo, una magnetización uniforme del compuesto magnético.

Escalar este diseño y agregar una hoja superior proporciona un imán Wiggler, utilizado en sincrotrones y láseres de electrones libres. Los imanes de Wiggler menean u oscilan, un haz de electrones perpendicular al campo magnético. A medida que los electrones se aceleran, irradian energía electromagnética en su dirección de vuelo, y a medida que interactúan con la luz ya emitida, los fotones a lo largo de su línea se emiten en fase, lo que resulta en A " láser como láser " Viga monocromática y coherente.

El diseño que se muestra arriba generalmente se conoce como Halbach Wiggler. Los vectores de magnetización en las láminas magnetizadas giran en los sentidos opuestos entre sí; Arriba, el vector de magnetización de la lámina superior gira en sentido horario, y el vector de magnetización de la lámina inferior gira en sentido antihorario. Este diseño se elige para que los componentes x de los campos magnéticos de las hojas se cancelen, y los componentes y se refuerzan, de modo que el campo está dado por

${displaystyle H_{y}approx cos(kx),}$

donde k es el número de onda de la lámina magnética dada por el espacio entre bloques magnéticos con el mismo vector de magnetización.

matrices lineales variables

Se puede disponer una serie de varillas magnéticas, magnetizadas perpendicularmente a sus ejes, en una matriz de Halbach. Si cada varilla se gira alternativamente 90°, el campo resultante se mueve de un lado del plano de las varillas al otro, como se muestra esquemáticamente en la figura.

Esta disposición permite que el campo se encienda y apague efectivamente por encima o por debajo del plano de las varillas, dependiendo de la rotación de las varillas. Un dispositivo de este tipo constituye un pestillo magnético mecánico eficiente que no requiere energía. Un estudio detallado de esta disposición ha demostrado que cada varilla está sujeta a un fuerte par de las varillas vecinas y, por lo tanto, requiere estabilización mecánica. Sin embargo, una solución simple y eficiente, que proporciona tanto estabilización como la capacidad de girar cada varilla alternativamente, es simplemente proporcionar una disposición de engranajes iguales en cada varilla, como se muestra en la figura.

Cilindro

Un cilindro de Halbach es un cilindro magnetizado compuesto de material ferromagnético que produce (en el caso ideal) un intenso campo magnético confinado completamente dentro del cilindro, con un campo cero en el exterior. Los cilindros también se pueden magnetizar de manera que el campo magnético esté completamente fuera del cilindro, con un campo cero en el interior. En las figuras se muestran varias distribuciones de magnetización.

La dirección de magnetización dentro del material ferromagnético, en el plano perpendicular al eje del cilindro, está dada por

${displaystyle M=M_{r}left[cos left(k-1)left(varphi -{frac {pi) {fnK}sin left(k-1)left(varphi -{frac {pi}right)}{right){widehat {be1}}right){widehat {varphi }right],}} {right]$

donde M_r es la remanencia ferromagnética (A/m). Un valor positivo de k − 1 da un campo magnético interno y uno negativo da un campo magnético externo.

Lo ideal sería que estas estructuras se crearan a partir de un cilindro de material magnético de longitud infinita con una dirección de magnetización que varía continuamente. El flujo magnético producido por este diseño ideal sería perfectamente uniforme y estaría completamente confinado al diámetro interior del cilindro o al exterior del cilindro. Por supuesto, el caso ideal de longitud infinita no es realizable y, en la práctica, la longitud finita de los cilindros produce efectos finales, que introducen no uniformidades en el campo. La dificultad de fabricar un cilindro con una magnetización que varía continuamente también lleva normalmente a que el diseño se rompa en segmentos.

Aplicaciones

Estas estructuras cilíndricas se utilizan en dispositivos como motores de CA sin escobillas, acoplamientos magnéticos y cilindros de alto campo. Tanto los motores sin escobillas como los dispositivos de acoplamiento utilizan disposiciones de campo multipolares:

• Motores o alternadores sin escobillas suelen utilizar diseños cilíndricos en los que todo el flujo se limita al centro del bore (como k= 4 arriba, un rotor de 6 capas) con las bobinas AC también contenidas en el agujero. Tales diseños de motor o alternador autoestables son más eficientes y producen mayor par o salida que los diseños convencionales de motor o alternador.
• Los dispositivos de refrigeración magnética transmiten el par a través de barreras magnéticamente transparentes (es decir, la barrera no es magnética o es magnética pero no afectada por un campo magnético aplicado), por ejemplo, entre contenedores sellados o vasos presurizados. Los acoplamientos de par óptimos consisten en un par de cilindros anidados coaxialmente con cilindros opuestos +k and −k patrones de magnetización de flujo, ya que esta configuración es el único sistema para cilindros infinitamente largos que produce un par. En el estado de energía más bajo, el flujo exterior del cilindro interior coincide exactamente con el flujo interno del cilindro exterior. Rotar un cilindro relativo al otro de este estado resulta en un par restaurador.

Campos uniformes

Para el caso especial de k = 2, el campo dentro del orificio es uniforme y es dado por

${displaystyle H=M_{r}ln left({frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

donde los radios del cilindro interior y exterior son R_i y R_o respectivamente. H está en la dirección y. Esta es la forma más simple del cilindro de Halbach, y se puede ver que si la relación entre los radios exterior e interior es mayor que e, el flujo dentro del orificio en realidad excede la remanencia del material magnético utilizado para crear el cilindro. Sin embargo, se debe tener cuidado de no producir un campo que exceda la coercitividad de los imanes permanentes utilizados, ya que esto puede provocar la desmagnetización del cilindro y la producción de un campo mucho menor que el previsto.

Este diseño cilíndrico es sólo una clase de diseños que producen un campo uniforme dentro de una cavidad dentro de una serie de imanes permanentes. Otras clases de diseño incluyen diseños de cuña, propuestos por Abele y Jensen, en los que se disponen cuñas de material magnetizado para proporcionar un campo uniforme dentro de las cavidades dentro del diseño, como se muestra.

La dirección de magnetización de las cuñas en (A) se puede calcular utilizando un conjunto de reglas dadas por Abele y permite una gran libertad en la forma de la cavidad. Otra clase de diseño es el mangle magnético (B), propuesto por Coey y Cugat, en el que se disponen varillas magnetizadas uniformemente de modo que su magnetización coincida con la de un cilindro Halbach, como se muestra para un diseño de 6 varillas. Este diseño aumenta en gran medida el acceso a la región de campo uniforme, a expensas de que el volumen de campo uniforme sea menor que en los diseños cilíndricos (aunque esta área se puede aumentar aumentando el número de varillas componentes). Al girar las varillas entre sí se obtienen muchas posibilidades, incluido un campo dinámicamente variable y varias configuraciones dipolares. Se puede ver que los diseños que se muestran en (A) y (B) están estrechamente relacionados con el cilindro k = 2 Halbach. Otros diseños muy simples para un campo uniforme incluyen imanes separados con trayectorias de retorno de hierro dulce, como se muestra en la figura (C).

En los últimos años, estos dipolos de Halbach se han utilizado para realizar experimentos de RMN de campo bajo. En comparación con las geometrías de placa estándar (C) de imanes permanentes disponibles comercialmente (Bruker Minispec), estos, como se explicó anteriormente, ofrecen un diámetro de orificio enorme, sin dejar de tener un campo razonablemente homogéneo.

Derivación en el caso ideal

El método utilizado para encontrar el campo creado por el cilindro es matemáticamente muy similar al utilizado para investigar una esfera uniformemente magnetizada.

Debido a la simetría del arreglo a lo largo del eje del cilindro, el problema se puede tratar como bidimensional. Trabajar en coordenadas planas ${displaystyle (r,theta)}$ con vectores de unidad asociados ${fnMicrosoft Sans Serif} }$ y ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\f}fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft }$, y dejar que el cilindro tiene alcance radial ${displaystyle r_{mathrm {i} Secutor secutor$. Luego la magnetización en las paredes del cilindro, que tiene magnitud ${displaystyle M_{0}$, gira suavemente como

${displaystyle mathbf {M} _{mathrm {cyl}=M_{0}(cos theta ,{hat {mathbf {r} }+sin theta ,{hat {boldsymbol {theta }}}}}}$

mientras la magnetización desaparece fuera de las paredes, eso es para el aburrimiento ${displaystyle r mader_{mathrm {}}$ y alrededores ${displaystyle r confíar_{mathrm {o}}$.

Por definición, la fuerza de campo magnético auxiliar ${displaystyle mathbf {H}$ está relacionado con la magnetización y densidad de flujo magnético ${displaystyle mathbf {B}$ por ${displaystyle mathbf {B} =mu _{0}(mathbf {H} +mathbf {M})}$. Usando la ley de Gauss ${displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0}$, esto es equivalente

${displaystyle nabla cdot mathbf {H} =-nabla cdot mathbf {M}$

()1)

Puesto que el problema es estático no hay corrientes libres y todos los derivados del tiempo desaparecen, por lo que la ley de Ampère también requiere ${displaystyle nabla times mathbf {H} =0implies mathbf {H} =nabla varphi }$, donde ${displaystyle varphi }$ es el potencial de escalar magnético (hasta un signo bajo algunas definiciones). Sustituyendo esto a la Ecuación anterior 1 de gobierno ${displaystyle mathbf {H}$ y ${displaystyle mathbf {M}$, encontramos que necesitamos resolver

${displaystyle nabla ^{2}varphi =-nabla cdot mathbf {M}$

()2)

que tiene la forma de la ecuación de Poisson.

Considere ahora las condiciones de límite en las interfaces de cilindro-aire ${displaystyle r=r_{mathrm {}}$ y ${displaystyle r=r_{mathrm {o}}$. Integración ${displaystyle nabla times mathbf {H} =0}$ sobre un pequeño bucle que rodea el límite y la aplicación del teorema de Stokes requiere que el componente paralelo ${displaystyle mathbf {H}$ es continuo. Esto a su vez requiere que ${displaystyle varphi }$ es continuo a través del límite. (Más adecuadamente esto implica que ${displaystyle varphi }$ debe diferir por un constante a través del límite, pero ya que las cantidades físicas que nos interesan dependen de los gradientes de este potencial, podemos establecer arbitrariamente la constante a cero para comodidad.) Para obtener un segundo conjunto de condiciones, integrar la Ecuación 1 a través de un pequeño volumen que rodea el límite y aplicar el teorema de divergencia para encontrar

${displaystyle left[{frac {partial varphi }{partial r}right]=pm mathbf {M} cdot {hat {mathbf {}}}}}}}$

donde la notación ${displaystyle [f]}$ denota un salto en la cantidad ${displaystyle f}$ a través del límite, y en nuestro caso el signo es negativo ${displaystyle r=r_{mathrm {}}$ y positivo en ${displaystyle r=r_{mathrm {o}}$. La diferencia de signos se debe a la orientación relativa de la magnetización y la superficie normal a la parte del volumen de integración dentro de las paredes del cilindro que están frente a los límites internos y externos.

En las coordenadas planas, la divergencia de un campo vectorial ${displaystyle mathbf {F} =F_{r}{hat {mathbf {r} - ¿Qué? }$ es dado por

${displaystyle nabla cdot mathbf {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}} {f}} {fn}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f} {f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}}}}f}f}f}f}f}f} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}}}}}}}} }{partial theta }}$

()3)

Del mismo modo, el gradiente de un campo de escalar ${displaystyle f}$ es dado por

${displaystyle nabla f={frac {partial f}{partial {fnK} {fnK} {fnK}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {fn}} {f}}}} {fn}} {fnf}}} {fnH} {f}f}f}f}} {f}f}f} {f}f}}}}}f}f}f}f}f}f}f} {f}f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f {fnK} {f} {f}} {f} {f}} {f} {f} {f} {f}} {fnuncio {theta }}}$

()4)

Combinando estas dos relaciones, el Laplacian ${displaystyle nabla ^{2}f=nabla cdot (nabla f)}$ se convierte en

${f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f} {f} {f}m}}m}b}b}m}f} {f}f}f}}m} {f}f} {f}}} {f}f}f}f}f} {f}}f}}}}}}f}}}}}f}}f}f} {f} {f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}}f}}}}}f}}}}}f}}}}f}f}}}}}}}}f}f}}f}f}f}f}}}f}}}}}}}}}f}f}}}f}}f}}f}}}}}}}} {2}}}$

()5)

Utilizando la ecuación 3, la divergencia de magnetización en las paredes del cilindro es

${displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathbf {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn} {fn} {f} {fn0}fn} {f}fn}}}}f}}}} {\f}fn}}}f}fn}f}\\f}f}fn}\f}fn}fn}fn}fn}fn}\\fn}fn}\fn} {fn}fn}fn}\fn}\\fn}\fn}fn}fn}fn} {fn}fn}fn}fn}\fn}}}\\fn [M_{0}sin theta][5pt] {} {fn}fn}[5pt] } {r} 'end {aligned}$

Por lo tanto, la ecuación 2, que es la que queremos resolver, se convierte al usar la ecuación 5

${fnMicroc {f}{frac {partial }{partial r}left(r{frac {partial varphi }{partial r}right)+{frac {1}{2}}}}}{frac {partial }{2}varphi }{2} {f} {f} {f} {f}}}}}}}f}f}}f}f}f} {f}}f}f}f} {f}f} {f}f}}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} ^{2}={begin{cases}0 curvar observador_{mathrm {I} },\\fnMic {2M_{0}cos theta } {r} {} {mathrm {i} âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa {0}$

()6)

Busque una solución particular de esta ecuación en las paredes del cilindro. Con el beneficio de la vista trasera, considerar ${displaystyle varphi _{mathrm {p}=rln rcos theta }$, porque entonces tenemos

${fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}fn}fn}fnfn}fnfnfn\fnfnK} {fnfnfnK}fn}}}fnfnfnfn}fnfn}}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fnfnKfn}fn}fn}fn}}fnfnfnfn}fnKfnKfn}fn}fnK\\fnKfn}fn}fn}fn}fn}fnKfn}fn}}\\fnK}}}}}fn {fnMicroc {} {fn} {fnMicroc {} {fn} {fn}{partial }{partial r}}}left[r{frac {partial }{theial r} {ln rcos theta)theta][5pt]} {fnMicrosoft]}} {f}}}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnMien]fnMien] {fn} {fnfn1fn1fn1fn1fn1fn1}[5pt] } {frac {cos theta } {ln r+1+1)[5pt] - ¿Qué? {2cos theta } {r}end{aligned}}$

y también

${displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{2}{frac {partial ^{2}varphi {fnMicrom {} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}} {f}} {fnK}}} {fnMicrom}} {fnMicrom}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}} {f}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp {2}} {frac {2} {frac}{2}{frac {partial ^{2}{partial theta ^{2}}} {ln rcos theta)\[5pt] } {r} 'end {aligned}$

Por lo tanto ${displaystyle nabla ^{2}varphi {fnMicrosoft Sans Serif}= {2cos theta } {r}}$, y comparación con la ecuación 6 muestra que ${displaystyle -M_{0}varphi - ¿Qué? }$ es la solución específica adecuada.

Ahora considere la ecuación homogénea para la Ecuación 6, a saber ${displaystyle nabla ^{2}varphi _{mathrm {h}=0}$. Esto tiene la forma de la ecuación de Laplace. A través del método de separación de variables, se puede demostrar que la solución homogénea general cuya gradiente es periódica en ${displaystyle theta }$ (como que todas las cantidades físicas son de valor único)

${displaystyle varphi _{mathrm {h} }=A_{0}+B_{0}theta ¿Por qué?$

Donde ${fnMicrosoft Sans Serif}$ son constantes arbitrarias. La solución deseada será la suma de las soluciones particulares y homogéneas que satisfacen las condiciones del límite. De nuevo con el beneficio de la retrospectiva, vamos a establecer la mayoría de las constantes a cero inmediatamente y afirmar que la solución es

${displaystyle varphi ={begin{cases}alpha rcos theta > ilser_{mathrm {i},\\beta rcos theta -M_{0}rln rcos theta ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}$

donde ahora ${displaystyle alphabeta}$ son constantes por determinar. Si podemos elegir las constantes de tal manera que las condiciones de límite estén satisfechas, entonces por el teorema de singularidad para la ecuación de Poisson, debemos haber encontrado la solución.

Las condiciones de continuidad dan

${displaystyle alpha =beta - ¿Qué?$

()7)

en el límite interior y

${displaystyle beta -M_{0}ln r_{mathrm {o}=0}$

()8)

en el límite exterior. El gradiente potencial tiene componente radial no-vanishing ${displaystyle beta cos theta -M_{0}ln rcos theta -M_{0}cos theta }$ en las paredes del cilindro y ${displaystyle alpha cos theta }$ en el bore, y así las condiciones en el derivado potencial se vuelven

${displaystyle (beta cos theta -M_{0}ln r_{mathrm {i}cos theta -M_{0}cos theta)-alpha cos theta =-M_{0}cos theta implies beta -M_{0}ln r_{mathrm Alfa =0implies alpha =beta - ¿Qué?$

en el límite interior y

${displaystyle 0-(beta cos theta -M_{0}ln r_{mathrm {0}cos theta -M_{0}cos theta)=M_{0}cos theta implies beta - ¿Qué?$

en el límite exterior. Note que estos son idénticos a las Ecuaciones 7 y 8Así que la suposición fue consistente. Por lo tanto tenemos ${displaystyle beta =M_{0}ln r_{mathrm {o}}$ y ${displaystyle alpha =M_{0}ln left({frac {r_{mathrm {o}}{r_{mathrm {}}}}right)}}$, dando la solución

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {m} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicros}} {m} {m}m} {m} {m} {m}}}}} {m} {m}} {m} {m}}}}}}} {mmmm} {mm} {mm}} {}}}}}}}}}}}}}} {mmm} {m} {m} {m} {m}} {m} {m} {m} {mmm} {m}}}}} {m} {m} {m} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

En consecuencia, el campo magnético viene dado por

${displaystyle mathbf {H} =nabla varphi ={begin{cases}M_{0}ln left({frac {mathrm {o} {}{r_{mathrm {i}}}}right)cos theta ,{hat {mathbf {r}} {}}}}}}}}}}}}}derech}sigualgo)}sigualgo)h}sh}cccccc]cccccccccccccccccccccccccc]ccccccccccccccccccccccccccccc }-M_{0}ln left({frac {r_{mathrm {o} {fnMicrosoft Sans Serif}}derecho)sin theta ,{hat {boldsymbol {theta {fnfnfncH00}cH0}cos theta left[ln left({frac {r_{mathrm {o} - Sí. {fnfn} {fnfnfnK}} {fnfnfnh}}derecha)sin theta ,{hat {boldsymbol {thetat] {fnMicrosoft Sans Serif}$

mientras que la densidad del flujo magnético se puede encontrar en todas partes utilizando la definición anterior ${displaystyle mathbf {B} =mu _{0}(mathbf {H} +mathbf {M})}$. En el bore, donde la magnetización desaparece, esto reduce a ${displaystyle mathbf {B} _{mathrm {bore} }={frac {1}{mu ¿Qué?$. De ahí la magnitud de la densidad del flujo hay

${displaystyle B_{mathrm {bore}=left permanentlymathbf {B} _{s} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fn} {fn}f}fnK}f} +sin ^{2}theta }{frac {M_{0}{mu} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnK} {fnK}} {fnMicroc {f}{f}} {m}} {m}} {fn}} {fn}}}} {fn0}}} {fnK}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {r}}}}}}} {justo}}}}}}}}}}}} {justo}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {correcto}}}} {correcto}} {correcto}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {justo}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { ################################################################################################################################################################################################################################################################ } {r_{mathrm {}}}right)$

que es independiente de la posición. De manera similar, fuera del cilindro la magnetización también desaparece y, dado que allí desaparece el campo magnético, también desaparece la densidad de flujo. De hecho, el campo es uniforme dentro y cero fuera del cilindro de Halbach ideal, con una magnitud que depende de sus dimensiones físicas.

Variando el campo

Los cilindros Halbach generan un campo estático. Sin embargo, los cilindros se pueden encajar y, al girar un cilindro con respecto al otro, se puede lograr la cancelación del campo y el ajuste de la dirección. Como el campo exterior de un cilindro es bastante pequeño, la rotación relativa no requiere fuerzas fuertes. En el caso ideal de cilindros infinitamente largos, no se requeriría ninguna fuerza para girar un cilindro con respecto al otro.

Esfera

Si los patrones de distribución magnética bidimensionales del cilindro de Halbach se extienden a tres dimensiones, el resultado es la esfera de Halbach. Estos diseños tienen un campo extremadamente uniforme dentro del interior del diseño, ya que no se ven afectados por los "efectos finales" prevalece en el diseño de cilindros de longitud finita. La magnitud del campo uniforme para una esfera también aumenta a 4/3 de la cantidad para el diseño cilíndrico ideal con los mismos radios interior y exterior. Sin embargo, para una estructura esférica, el acceso a la región de campo uniforme generalmente está restringido a un orificio estrecho en la parte superior e inferior del diseño.

La ecuación para el campo en una esfera de Halbach es

${displaystyle B={frac {4}{3}B_{0}ln left({frac {R_{text{o}} {R_{text{i}}right).}$

Es posible obtener campos más altos optimizando el diseño esférico para tener en cuenta el hecho de que está compuesto de dipolos puntuales (y no de dipolos lineales). Esto da como resultado que la esfera se estire hasta adoptar una forma elíptica y que tenga una distribución no uniforme de la magnetización sobre las partes componentes. Utilizando este método, así como piezas polares blandas dentro del diseño, Bloch et al. logró 4,5 T en un volumen de trabajo de 20 mm³ en 1998, y esto se incrementó aún más hasta 5 T en 2002, aunque con un volumen de trabajo menor de 0,05 mm³. Como los materiales duros dependen de la temperatura, la refrigeración de todo el conjunto magnético puede aumentar aún más el campo dentro del área de trabajo, como lo demuestran Kumada et al.. Este grupo también informó sobre el desarrollo de un cilindro dipolo Halbach de 5,16 T. en 2003.