Conjunción lógica

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Conector lógico

Diagrama de Venn

{displaystyle Aland Bland C}

En lógica, matemáticas y lingüística, Y ( $wedge$ ) es el operador de la verdad-funcional de lógica conjunción; el y de un conjunto de operandos es cierto si y sólo si Todos de sus operandos son verdad. El conector lógico que representa a este operador se escribe típicamente como $wedge$ o $\cdot$ .

$Aland B$ es verdad si y sólo si $A$ es verdad y $B$ es cierto, de lo contrario es falso.

Un operando de una conjunción es un conjunto.

Más allá de la lógica, el término "conjunción" también se refiere a conceptos similares en otros campos:

En lenguaje natural, la denotación de expresiones como el inglés "y".
En lenguajes de programación, la estructura de cortocircuito y control.
En teoría de conjuntos, intersección.
En la teoría de la celosía, la conjunción lógica (más alto límite).
En lógica predicada, cuantificación universal.

Notación

Y es generalmente denotado por un operador de infijo: en matemáticas y lógica, es denotado por $wedge$ , $"$ o $\times$ ; en electrónica, $\cdot$ ; y en los idiomas de programación, &, &&, o and. En la notación prefijo de Jan Łukasiewicz para la lógica, el operador es K, para polaco koniunkcja.

Definición

Conjunción lógica es una operación sobre dos valores lógicos, generalmente los valores de dos proposiciones, que produce un valor de verdadero si y solo si ambos operandos son verdaderos.

La identidad conjuntiva es verdadera, lo que significa que hacer AND en una expresión con verdadero nunca cambiará el valor de la expresión. De acuerdo con el concepto de verdad vacía, cuando la conjunción se define como un operador o una función de aridad arbitraria, la conjunción vacía (Y-ing sobre un conjunto vacío de operandos) a menudo se define como que tiene el resultado verdadero.

Tabla de verdad

Conjunciones de los argumentos a la izquierda — Los verdaderos bits forman un triángulo Sierpinski.

La tabla de la verdad $Aland B$ :

$A$	$B$	$Awedge B$
Cierto.	Cierto.	Cierto.
Cierto.	Falso	Falso
Falso	Cierto.	Falso
Falso	Falso	Falso

Definido por otros operadores

En sistemas donde la conjunción lógica no es una primitiva, puede definirse como

{displaystyle Aland B=neg (Ato neg B)}

{displaystyle Aland B=neg (neg Alor neg B).}

Reglas de introducción y eliminación

Como regla de inferencia, la introducción de conjunciones es una forma de argumento simple clásicamente válida. La forma argumental tiene dos premisas, A y B. Intuitivamente, permite inferir su conjunción.

Por lo tanto, A y B.

o en notación de operador lógico:

A,

B

{displaystyle vdash Aland B}

Aquí hay un ejemplo de un argumento que se ajusta a la forma introducción de conjunción:

A Bob le gustan las manzanas.

A Bob le gustan las naranjas.

Por lo tanto, a Bob le gustan las manzanas y a Bob le gustan las naranjas.

La eliminación de conjunciones es otra forma de argumento simple clásicamente válida. Intuitivamente, permite la inferencia de cualquier conjunción de cualquier elemento de esa conjunción.

A y B.

Por lo tanto, A.

... o alternativamente,

A y B.

Por lo tanto, B.

En notación de operadores lógicos:

{displaystyle Aland B}

vdash A

... o alternativamente,

{displaystyle Aland B}

vdash B

Negación

Definición

Conjunción $Aland B$ se demuestra falso estableciendo $neg A$ o $neg B$ . En términos del lenguaje objeto, esto lee

{displaystyle neg Ato neg (Aland B)}

Esta fórmula puede verse como un caso especial de

{displaystyle (Ato C)to ((Aland B)to C)}

cuando $C$ es una proposición falsa.

Otras estrategias de prueba

Si $A$ implicación $neg B$ , entonces ambos $neg A$ así como $A$ probar la conjunción falsa:

{displaystyle (Ato neg {}B)to neg (Aland B)}

En otras palabras, se puede probar que una conjunción es falsa con solo conocer la relación de sus conjunciones, y no necesariamente conocer sus valores de verdad.

Esta fórmula puede verse como un caso especial de

{displaystyle (Ato (Bto C))to ((Aland B)to C)}

cuando $C$ es una proposición falsa.

Cualquiera de las anteriores son pruebas constructivamente válidas por contradicción.

Propiedades

conmutatividad: sí

$Aland B$	$Leftrightarrow$	${displaystyle Bland A}$
	$Leftrightarrow$

asociatividad: sí

$~A$	${displaystyle ~~~land ~~~}$	${displaystyle (Bland C)}$	$Leftrightarrow$			$(Aland B)$	${displaystyle ~~~land ~~~}$	$~C$
	${displaystyle ~~~land ~~~}$		$Leftrightarrow$		$Leftrightarrow$		${displaystyle ~~~land ~~~}$

distributividad: con varias operaciones, especialmente con o

$~A$	$land$	${displaystyle (Blor C)}$	$Leftrightarrow$			$(Aland B)$	$lor$	${displaystyle (Aland C)}$
	$land$		$Leftrightarrow$		$Leftrightarrow$		$lor$

otros

con exclusiva o:

$~A$	$land$	$(Boplus C)$	$Leftrightarrow$			$(Aland B)$	$oplus$	${displaystyle (Aland C)}$
	$land$		$Leftrightarrow$		$Leftrightarrow$		$oplus$

con nonimplicación material:

$~A$	$land$	$(Bnrightarrow C)$	$Leftrightarrow$			$(Aland B)$	$nrightarrow$	${displaystyle (Aland C)}$
	$land$		$Leftrightarrow$		$Leftrightarrow$		$nrightarrow$

con sí mismo:

$~A$	$land$	${displaystyle (Bland C)}$	$Leftrightarrow$			$(Aland B)$	$land$	${displaystyle (Aland C)}$
	$land$		$Leftrightarrow$		$Leftrightarrow$		$land$

Idempotencia: sí

$~A~$	${displaystyle ~land ~}$	$~A~$	$Leftrightarrow$	$A~$
	${displaystyle ~land ~}$		$Leftrightarrow$

monotonicidad: sí

$Arightarrow B$	$Rightarrow$			${displaystyle (Aland C)}$	$rightarrow$	${displaystyle (Bland C)}$
	$Rightarrow$		$Leftrightarrow$		$rightarrow$

preservación de la verdad: sí
Cuando todas las entradas son verdaderas, la salida es verdadera.

$Aland B$	$Rightarrow$	$Aland B$
	$Rightarrow$
		(para ser probado)

preservación de la falsedad: sí
Cuando todas las entradas son falsas, la salida es falsa.

$Aland B$	$Rightarrow$	$Alor B$
	$Rightarrow$
(para ser probado)

Espectro de Walsh: (1,-1,-1,1)

No linealidad: 1 (la función está doblada)

Si usa valores binarios para verdadero (1) y falso (0), entonces la conjunción lógica funciona exactamente como una multiplicación aritmética normal.

Aplicaciones en ingeniería informática

Y puerta lógica

En la programación informática de alto nivel y la electrónica digital, la conjunción lógica suele representarse mediante un operador infijo, normalmente como una palabra clave como "Y", una multiplicación algebraica, o el símbolo de y comercial & (a veces duplicado como en &&). Muchos lenguajes también proporcionan estructuras de control de cortocircuito correspondientes a la conjunción lógica.

La conjunción lógica se usa a menudo para operaciones bit a bit, donde 0 corresponde a falso y 1 a verdadero:

0 AND 0 = 0,
0 AND 1 = 0,
1 AND 0 = 0,
1 AND 1 = 1.

La operación también se puede aplicar a dos palabras binarias vistas como cadenas de bits de igual longitud, tomando el AND bit a bit de cada par de bits en las posiciones correspondientes. Por ejemplo:

11000110 AND 10100011 = 10000010.

Esto se puede usar para seleccionar parte de una cadena de bits usando una máscara de bits. Por ejemplo, 10011101 AND 00001000 = 00001000 extractos el quinto bit de una cadena de bits de 8 bits.

En las redes informáticas, las máscaras de bits se utilizan para derivar la dirección de red de una subred dentro de una red existente a partir de una dirección IP dada, mediante la operación AND de la dirección IP y la máscara de subred.

Conjunción lógica "Y" también se usa en operaciones SQL para formar consultas de bases de datos.

La correspondencia Curry-Howard relaciona la conjunción lógica con los tipos de productos.

Correspondencia de teoría de conjuntos

La pertenencia de un elemento de un conjunto de intersección en la teoría de conjuntos se define en términos de una conjunción lógica: x ∈ A ∩ B si y solo si (x ∈ A) ∧ (x ∈ B). A través de esta correspondencia, la intersección de la teoría de conjuntos comparte varias propiedades con la conjunción lógica, como la asociatividad, la conmutatividad y la idempotencia.

Lenguaje natural

Al igual que con otras nociones formalizadas en la lógica matemática, la conjunción lógica y está relacionada con la conjunción gramatical y en los lenguajes naturales, pero no es igual a ella.

Inglés "y" tiene propiedades no capturadas por la conjunción lógica. Por ejemplo, "y" a veces implica orden con el sentido de "entonces". Por ejemplo, "Se casaron y tuvieron un hijo" en el discurso común significa que el matrimonio vino antes que el hijo.

La palabra "y" también puede implicar una partición de una cosa en partes, como "La bandera estadounidense es roja, blanca y azul". Aquí no se quiere decir que la bandera sea a la vez roja, blanca y azul, sino que tiene una parte de cada color.

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