Conjetura de la suma de potencias de Euler

La conjetura de Euler es una conjetura refutada en matemáticas relacionada con el último teorema de Fermat. Fue propuesto por Leonhard Euler en 1769. Establece que para todos los números enteros n y k mayor que 1, si la suma de n muchos késima potencia de enteros positivos es en sí misma una késima potencia, entonces n es mayor o igual que k:

ak
1 + ak
2 +... + ak
n = b^k ⇒ n ≥ k

La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es el caso especial n = 2: si a k
1 + a k
2 = b^k, luego 2 ≥ k.

Aunque la conjetura se cumple para el caso k = 3 (que se deriva del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutado por k = 4 y k = 5. Se desconoce si la conjetura falla o se cumple para cualquier valor k ≥ 6.

Antecedentes

Euler era consciente de la igualdad 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴ que implican sumas de cuatro cuartas potencias; esto, sin embargo, no es un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número de Platón 3³ + 4³ + 5³ = 6³ o el taxi número 1729. La solución general de la ecuación

x13+x23=x33+x43{displaystyle x_{1}{3}+x_{2}{3}=x_{3}{3}+x_{4}}{3}}}}

es

x1=1− − ()a− − 3b)()a2+3b2),x2=()a+3b)()a2+3b2)− − 1{displaystyle x_{1}=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}),quad x_{2}=(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1}

x3=()a+3b)− − ()a2+3b2)2,x4=()a2+3b2)2− − ()a− − 3b){displaystyle x_{3}=(a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2},quad x_{4}=(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)}

donde a y b son números enteros.

Contraejemplos

La conjetura de Euler fue refutada por L. J. Lander y T. R. Parkin en 1966 cuando, a través de una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600, encontraron un contraejemplo para k = 5. Esto se publicó en un artículo que constaba de solo dos oraciones. Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que los sumandos no tienen todos un factor común):

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966),

(2-20)⁵ + 5027⁵ + 6237⁵ + 14068⁵ = 14132⁵ (Scher " Seidl, 1996) y

55⁵ + 3183⁵ + 28969⁵ + 85282⁵ = 85359⁵ (Frye, 2004).

En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una secuencia infinita de contraejemplos para el caso k = 4. Su contraejemplo más pequeño fue

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴.

Un caso particular de Elkies' las soluciones pueden reducirse a la identidad

(85)v² + 484v −313)⁴ + (68)v² − 586v + 10)⁴ + (2u)⁴ = (357)v² 20 - 4v + 363)⁴

dónde

u² = 22030 + 28849v − 56158v² + 36941v³ − 31790v⁴.

Esta es una curva elíptica con un punto racional en v₁ = −31/467. A partir de este punto racional inicial, se puede computar una colección infinita de otros. Sustituyendo v₁ en la identidad y eliminando los factores comunes se obtiene el ejemplo numérico citado anteriormente.

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴

para k = 4 mediante una búsqueda directa en la computadora usando técnicas sugeridas por Elkies. Esta solución es la única con valores de las variables por debajo de 1.000.000.

Generalizaciones

Una interpretación del número de Platón, 33 + 43 + 53 = 63

En 1967, L. J. Lander, T. R. Parkin y John Selfridge conjeturaron que si

.. i=1naik=.. j=1mbjk{displaystyle sum ¿Qué? ¿Qué?,

donde a_i ≠ b_j son enteros positivos para todos los 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m, luego m + n ≥ k. En el caso especial m = 1, la conjetura establece que si

.. i=1naik=bk{displaystyle sum ¿Qué?

(bajo las condiciones dadas arriba) entonces n ≥ k − 1.

El caso especial puede describirse como el problema de dar una partición de un poder perfecto en pocos poderes similares. Para k = 4, 5, 7, 8 y n = k o k − 1, hay muchas soluciones conocidas. Algunas de ellas se enumeran a continuación. A partir de 2002 no hay soluciones para k=6{displaystyle k=6} cuyo término final es ≤ 730000.

Consulte OEIS: A347773 para obtener más información.

K = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³ (Plato número 216)

Este es el caso. a = 1, b = 0 de la fórmula de Srinivasa Ramanujan

()3a2+5ab− − 5b2)3+()4a2− − 4ab+6b2)3+()5a2− − 5ab− − 3b2)3=()6a2− − 4ab+4b2)3.{displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})} {3}}

Un cubo como la suma de tres cubos también se puede parametizar como

a3()a3+b3)3=b3()a3+b3)3+a3()a3− − 2b3)3+b3()2a3− − b3)3{}=b^{3}(2a^{3})} {3} {3}=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3})^{3})}

o como

a3()a3+2b3)3=a3()a3− − b3)3+b3()a3− − b3)3+b3()2a3+b3)3.{fnMicrosoft Sans Serif}(a^{3}+2b^{3}=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3} [2a^{3})}} {3} {3}}} {3}}}} {3}}}}}}} {3}}}}}}}}} {3}}}}}}}} {3}}}}}}}} {3}}}}}}}}}} {3}}}}}}}}}} {3}}}}}}}}}}}}}}+b^{3}+b}}}}}}}}}}}} {3}}}}}} {3} {3}}}}} {3}}}}}}} {3} {3}}}}}}}} {3}}}}}}}}}}}}}

Número 2 100 000³ se puede expresar como la suma de tres cubos de nueve maneras diferentes.

K = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ (R. Frye, 1988)

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴ (R. Norrie, 1911)

Esta es la solución más pequeña al problema de R. Norrie.

K = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966)

19⁵ + 43⁵ + 46⁵ + 47⁵ + 67⁵ = 72⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, más pequeño, 1967)

21⁵ + 23⁵ + 37⁵ + 79⁵ + 84⁵ = 94⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, segundo más pequeño, 1967)

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵ (Sastry, 1934, Third smallest)

K = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷ (M. Dodrill, 1999)

K = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸ (S. Chase, 2000)