Conjetura de Kepler

La conjetura de Kepler, que lleva el nombre del matemático y astrónomo del siglo XVII Johannes Kepler, es un teorema matemático sobre el empaquetado de esferas en el espacio euclidiano tridimensional. Afirma que ninguna disposición de esferas de igual tamaño que llenen el espacio tiene una densidad promedio mayor que la de las disposiciones de empaquetamiento cerrado cúbico (cúbico centrado en las caras) y de empaquetamiento cerrado hexagonal. La densidad de estos arreglos ronda el 74,05%.

En 1998, Thomas Hales, siguiendo un enfoque sugerido por Fejes Tóth (1953), anunció que tenía una prueba de la conjetura de Kepler. Hales' La prueba es una prueba por agotamiento que implica la verificación de muchos casos individuales mediante complejos cálculos informáticos. Los árbitros dijeron que estaban "99% seguros" de la corrección de Hales' prueba y la conjetura de Kepler fue aceptada como teorema. En 2014, el equipo del proyecto Flyspeck, encabezado por Hales, anunció la finalización de una prueba formal de la conjetura de Kepler utilizando una combinación de los asistentes de prueba Isabelle y HOL Light. En 2017, la prueba formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics, Pi.

Fondo

Imagínese llenar un recipiente grande con pequeñas esferas del mismo tamaño: digamos una jarra de porcelana de un galón con canicas idénticas. La "densidad" del arreglo es igual al volumen total de todas las canicas, dividido por el volumen de la jarra. Maximizar el número de canicas en la jarra significa crear una disposición de canicas apiladas entre los lados y el fondo de la jarra, que tenga la mayor densidad posible, de modo que las canicas queden juntas lo más juntas posible.

El experimento muestra que dejar caer las canicas al azar, sin ningún esfuerzo para colocarlas bien juntas, logrará una densidad de alrededor del 65%. Sin embargo, se puede lograr una mayor densidad disponiendo cuidadosamente las canicas de la siguiente manera:

1. Para la primera capa de mármoles, organizarlos en una celosía hexagonal (el patrón de panal)
2. Ponga la siguiente capa de mármoles en las brechas de mentira más bajas que puede encontrar arriba y entre los mármoles en la primera capa, independientemente del patrón
3. Continúe con el mismo procedimiento de llenado de las lagunas más bajas de la capa anterior, para las capas tercera y restante, hasta que los mármoles lleguen al borde superior de la jarra.

En cada paso hay al menos dos opciones sobre cómo colocar la siguiente capa, por lo que este método no planificado de apilar las esferas crea un número infinito e incontable de empaquetamientos igualmente densos. Los más conocidos se denominan empaquetamiento cerrado cúbico y empaque cerrado hexagonal. Cada uno de estos arreglos tiene una densidad promedio de

π π 32=0,40480489...... {fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin {3{sqrt {2}}=0.740480489ldots

La conjetura de Kepler dice que esto es lo mejor que se puede hacer: ningún otro arreglo de canicas tiene una densidad promedio más alta: a pesar de que hay sorprendentemente muchos arreglos diferentes posibles que siguen el mismo procedimiento que los pasos. 1–3, ningún embalaje (según el procedimiento o no) puede contener más canicas en la misma jarra.

Orígenes

La conjetura fue expuesta por primera vez por Johannes Kepler (1611) en su artículo 'Sobre el copo de nieve de seis puntas'. Había comenzado a estudiar la disposición de esferas como resultado de su correspondencia con el matemático y astrónomo inglés Thomas Harriot en 1606. Harriot era amigo y asistente de Sir Walter Raleigh, quien le había pedido que encontrara fórmulas para contar balas de cañón apiladas, una tarea que lo que a su vez llevó a un conocido matemático de Raleigh a preguntarse cuál era la mejor manera de apilar balas de cañón. Harriot publicó un estudio de varios patrones de apilamiento en 1591 y desarrolló una versión temprana de la teoría atómica.

Siglo XIX

Kepler no tenía una prueba de la conjetura, y el siguiente paso lo dio Carl Friedrich Gauss (1831), quien demostró que la conjetura de Kepler es verdadera si las esferas deben estar dispuestas en una red regular.

Esto significaba que cualquier disposición de embalaje que refutara la conjetura de Kepler tendría que ser irregular. Pero eliminar todos los posibles arreglos irregulares es muy difícil, y esto es lo que hizo que la conjetura de Kepler fuera tan difícil de demostrar. De hecho, hay disposiciones irregulares que son más densas que la disposición cúbica cerrada en un volumen suficientemente pequeño, pero ahora se sabe que cualquier intento de extender estas disposiciones para llenar un volumen mayor siempre reduce su densidad.

Después de Gauss, no se hicieron más avances hacia la demostración de la conjetura de Kepler en el siglo XIX. En 1900, David Hilbert lo incluyó en su lista de veintitrés problemas matemáticos no resueltos; forma parte del decimoctavo problema de Hilbert.

Siglo XX

El siguiente paso hacia una solución lo dio László Fejes Tóth. Fejes Tóth (1953) demostró que el problema de determinar la densidad máxima de todos los arreglos (regulares e irregulares) podía reducirse a un número finito (pero muy grande) de cálculos. Esto significaba que, en principio, era posible una prueba por agotamiento. Como se dio cuenta Fejes Tóth, una computadora lo suficientemente rápida podría convertir este resultado teórico en una aproximación práctica al problema.

Mientras tanto, se intentó encontrar un límite superior para la densidad máxima de cualquier posible disposición de esferas. El matemático inglés Claude Ambrose Rogers (ver Rogers (1958)) estableció un valor límite superior de aproximadamente el 78%, y los esfuerzos posteriores de otros matemáticos redujeron este valor ligeramente, pero aún era mucho mayor que la densidad cúbica de empaquetamiento cerrado de aproximadamente el 74%.

En 1990, Wu-Yi Hsiang afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler. La prueba fue elogiada por la Encyclopædia Britannica y la Science y Hsiang también fue honrado en reuniones conjuntas de AMS-MAA. Wu-Yi Hsiang (1993, 2001) afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler utilizando métodos geométricos. Sin embargo, Gábor Fejes Tóth (hijo de László Fejes Tóth) afirmó en su reseña del artículo: "En lo que respecta a los detalles, mi opinión es que muchas de las afirmaciones clave no tienen pruebas aceptables". Hales (1994) hizo una crítica detallada del trabajo de Hsiang, a la que respondió Hsiang (1995). El consenso actual es que la prueba de Hsiang es incompleta.

Hales' prueba

Siguiendo el enfoque sugerido por Fejes Tóth (1953), Thomas Hales, entonces en la Universidad de Michigan, determinó que la densidad máxima de todos los arreglos se podía encontrar minimizando una función con 150 variables. En 1992, con la ayuda de su estudiante de posgrado Samuel Ferguson, se embarcó en un programa de investigación para aplicar sistemáticamente métodos de programación lineal para encontrar un límite inferior del valor de esta función para cada una de un conjunto de más de 5.000 configuraciones diferentes de esferas. Si se pudiera encontrar un límite inferior (para el valor de la función) para cada una de estas configuraciones que fuera mayor que el valor de la función para la disposición cúbica cerrada, entonces se demostraría la conjetura de Kepler. Encontrar límites inferiores para todos los casos implicó resolver alrededor de 100.000 problemas de programación lineal.

Al presentar el progreso de su proyecto en 1996, Hales dijo que el final estaba a la vista, pero que podría llevar "uno o dos años" completar. En agosto de 1998, Hales anunció que la prueba estaba completa. En esa etapa, constaba de 250 páginas de notas y 3 gigabytes de programas informáticos, datos y resultados.

A pesar de la naturaleza inusual de la prueba, los editores de Annals of Mathematics acordaron publicarla, siempre que fuera aceptada por un panel de doce árbitros. En 2003, después de cuatro años de trabajo, el jefe del panel de árbitros, Gábor Fejes Tóth, informó que el panel estaba "99% seguro" de la exactitud de la prueba, pero no pudieron certificar la exactitud de todos los cálculos informáticos.

Hales (2005) publicó un artículo de 100 páginas que describe en detalle la parte no informática de su prueba. Hales &amperio; Ferguson (2006) y varios artículos posteriores describieron las partes computacionales. Hales y Ferguson recibieron el Premio Fulkerson por trabajos destacados en el área de matemáticas discretas en 2009.

Una prueba formal

En enero de 2003, Hales anunció el inicio de un proyecto colaborativo para producir una prueba formal completa de la conjetura de Kepler. El objetivo era eliminar cualquier incertidumbre restante sobre la validez de la prueba mediante la creación de una prueba formal que pueda verificarse mediante software de verificación de pruebas automatizada como HOL Light e Isabelle. Este proyecto se llamó Flyspeck, una ampliación del acrónimo FPK que significa Prueba formal de Kepler. Al principio, Hales estimó que producir una prueba formal completa requeriría unos 20 años de trabajo. Hales publicó un "plano" para la prueba formal en 2012; La finalización del proyecto se anunció el 10 de agosto de 2014. En enero de 2015, Hales y 21 colaboradores publicaron un artículo titulado "Una prueba formal de la conjetura de Kepler" en arXiv, afirmando haber probado la conjetura. En 2017, la prueba formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics.

Problemas relacionados

El teorema de Thue

El embalaje hexagonal regular es el círculo más denso que empaca en el avión (1890). La densidad es π.√12.

El análogo 2-dimensional de la conjetura Kepler; la prueba es elemental. Henk y Ziegler atribuyen este resultado a Lagrange, en 1773 (ver referencias, pag. 770).

Una prueba simple de Chau y Chung de 2010 utiliza la triangulación Delaunay para el conjunto de puntos que son centros de círculos en un embalaje de círculo saturado.

Conjetura de panal hexagonal

La partición más eficiente del plano en áreas iguales es el revestimiento hexagonal regular.

Relacionado con el teorema de Thue.

Conjetura de Dodecahedral

El volumen del poliedro Voronoi de una esfera en un embalaje de esferas iguales es al menos el volumen de un dodecaedro regular con inradius 1. La prueba de McLaughlin, por la que recibió el Premio Morgan de 1999.

Un problema relacionado, cuya prueba utiliza técnicas similares a la prueba de Hales de la conjetura Kepler. Conjetura de L. Fejes Tóth en la década de 1950.

El problema de Kelvin

¿Cuál es la espuma más eficiente en 3 dimensiones? Esto fue conjeturado para ser resuelto por la estructura Kelvin, y esto fue ampliamente creído durante más de 100 años, hasta que fue refutado en 1993 por el descubrimiento de la estructura Weaire-Phelan. El sorprendente descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan y la invención de la conjetura de Kelvin es una razón para la precaución en aceptar la prueba de Hales de la conjetura de Kepler.

Embalaje de esfera en dimensiones superiores

En 2016, Maryna Viazovska anunció pruebas de los embalajes de esferas óptimas en las dimensiones 8 y 24. Sin embargo, la pregunta de embalaje de la esfera óptima en dimensiones distintas de 1, 2, 3, 8 y 24 sigue abierta.

Conjetura de embalaje de Ulam

Se desconoce si hay un sólido convexo cuya densidad óptima de embalaje es inferior a la de la esfera.