Conjetura de Hodge

Características topológicas de un espacio X{displaystyle X}, como un agujero (marcado por A{displaystyle A}) se detectan generalmente utilizando singular (co)homología, donde la presencia de una clase no cero [α α ]▪ ▪ Hcantark()X){displaystyle [alpha]in H_{text{sing} {k}(X)} indica el espacio X{displaystyle X} tiene una (dimensión) k{displaystyle k}Agujero. Tal clase está representada por un (co)chain de simplices, representados por el polígono rojo construido a partir de 1-simplices (segmentos de línea) a la izquierda. Esta clase detecta el agujero A{displaystyle A} al rodearlo. En este caso, hay en realidad un ecuación polinómica cuyo conjunto cero, representado en verde a la derecha, también detecta el agujero al bucle alrededor. El Conjetura de Hodge generaliza esta declaración a dimensiones superiores.

En matemáticas, la conjetura de Hodge es un importante problema no resuelto en geometría algebraica y geometría compleja que relaciona la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular con sus subvariedades.

En términos simples, la conjetura de Hodge afirma que la información topológica básica, como el número de agujeros en ciertos espacios geométricos, variedades algebraicas complejas, se puede entender estudiando las posibles formas agradables que se encuentran dentro de esos espacios, que parecen conjuntos cero de ecuaciones polinómicas. Los últimos objetos se pueden estudiar usando álgebra y el cálculo de funciones analíticas, y esto permite comprender indirectamente la forma y estructura amplias de espacios a menudo de dimensiones superiores que de otro modo no se pueden visualizar fácilmente.

Más específicamente, la conjetura establece que ciertas clases de cohomología de De Rham son algebraicas; es decir, son sumas de duales de Poincaré de las clases de homología de subvariedades. Fue formulado por el matemático escocés William Vallance Douglas Hodge como resultado de un trabajo entre 1930 y 1940 para enriquecer la descripción de la cohomología de De Rham para incluir una estructura adicional que está presente en el caso de variedades algebraicas complejas. Recibió poca atención antes de que Hodge lo presentara en un discurso durante el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950, celebrado en Cambridge, Massachusetts. La conjetura de Hodge es uno de los Problemas del Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute, con un premio de $ 1,000,000 para quien pueda probar o refutar la conjetura de Hodge.

Motivación

Vamos X ser un complejo conjunto compacto de dimensión compleja n. Entonces... X es un manifold suave orientado de dimensión real 2n{displaystyle 2n}, por lo que sus grupos de cohomología se encuentran en grados cero a 2n{displaystyle 2n}. Assume X es un doble Kähler, por lo que hay una descomposición en su cohomología con coeficientes complejos

Hn()X,C)=⨁ ⨁ p+q=nHp,q()X),{displaystyle H^{n}(X,mathbb {C}=bigoplus ¿Qué?

Donde Hp,q()X){displaystyle H^{p,q}(X)} es el subgrupo de clases de cohomología que están representadas por formas armónicas de tipo ()p,q){displaystyle (p,q)}. Es decir, estas son las clases de cohomología representadas por formas diferenciales que, en alguna elección de coordenadas locales z1,...... ,zn{displaystyle z_{1},ldotsz_{n}, se puede escribir como una función armónica tiempos

dzi1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dzip∧ ∧ dz̄ ̄ j1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dz̄ ̄ jq.{displaystyle dz_{i_{1}wedge cdots wedge dz_{i_{p}wedge d{bar {z}_{j_{1}wedge cdots wedge d{bar {Z}_{j_{q}}

Dado que X es una variedad compacta orientada, X tiene una clase fundamental, por lo que X se puede integrar.

Vamos Z ser un complejo submanifold de X de la dimensión k, y dejar i:: Z→ → X{displaystyle icolon Zto X} ser el mapa de inclusión. Elija una forma diferencial α α {displaystyle alpha } tipo ()p,q){displaystyle (p,q)}. Podemos integrarnos α α {displaystyle alpha } sobre Z usando la función pullback iAlternativa Alternativa {displaystyle i^{*},

∫ ∫ ZiAlternativa Alternativa α α .{displaystyle int Alfa.

Para evaluar esta integral, elija un punto Z y llámalo z=()z1,...... ,zk){displaystyle z=(z_{1},ldotsz_{k}}. La inclusión de Z dentro X significa que podemos elegir una base local z1,...... ,zk{displaystyle z_{1},ldotsz_{k} on X y han zk+1=⋯ ⋯ =zn=0{displaystyle z_{k+1}=cdots =z_{n}=0}. Si k}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■k{displaystyle p fielk}k}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb947fde218624dfc9e604486e04d48cac77641" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.569ex; height:2.509ex;"/>, entonces α α {displaystyle alpha } debe contener algunos dzi{displaystyle dz_{i} Donde zi{displaystyle z_{i} tira de nuevo a cero en Z. Lo mismo es cierto para dz̄ ̄ j{displaystyle ♪ {Z}_{j} si k}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">q■k{displaystyle q confianzak}k}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0a560ed4a24f7881bea11730083eddbe4d9751" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.379ex; height:2.509ex;"/>. En consecuencia, esta integral es cero si ()p,q)ل ل ()k,k){displaystyle (p,q)neq (k,k)}.

La conjetura de Hodge entonces (vagamente) pregunta:

Que clases de cohomología en Hk,k()X){displaystyle H^{k,k}(X)} vienen de subvarieties complejas Z?

Enunciado de la conjetura de Hodge

Dejar

Hdgk⁡ ⁡ ()X)=H2k()X,Q)∩ ∩ Hk,k()X).{displaystyle operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,mathbb {Q})cap H^{k,k}(X).}

Llamamos a esto el grupo de clases Hodge de grado 2k en X.

La declaración moderna de la conjetura de Hodge es

Conjetura de Hodge. Vamos X ser un complejo proyector complejo no fijo. Entonces cada clase de Hodge en X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvarieties complejas de X.

Una variedad compleja proyectiva es una variedad compleja que se puede incrustar en un espacio proyectivo complejo. Debido a que el espacio proyectivo lleva una métrica de Kähler, la métrica de Fubini-Study, tal variedad es siempre una variedad de Kähler. Por el teorema de Chow, una variedad compleja proyectiva es también una variedad algebraica proyectiva suave, es decir, es el conjunto cero de una colección de polinomios homogéneos.

Reformulación en términos de ciclos algebraicos

Otra forma de expresar la conjetura de Hodge involucra la idea de un ciclo algebraico. Un ciclo algebraico sobre X es una combinación formal de subvariedades de X; es decir, es algo de la forma

.. iciZi.{displaystyle sum _{i}c_{i}Z_{i}

Los coeficientes generalmente se toman como integrales o racionales. Definimos la clase de cohomología de un ciclo algebraico como la suma de las clases de cohomología de sus componentes. Este es un ejemplo del mapa de clase de ciclo de la cohomología de De Rham, consulte Cohomología de Weil. Por ejemplo, la clase de cohomología del ciclo anterior sería

.. ici[Zi].{displaystyle sum _{i}c_{i}[Z_{i}}

Esta clase de cohomología se llama algebraica. Con esta notación, la conjetura de Hodge se convierte en

Vamos X ser un complejo de proyecto. Entonces cada clase de Hodge en X es algebraico.

La suposición en la conjetura Hodge que X ser algebraico (proyecto complejo de proyecto) no se puede debilitar. En 1977, Steven Zucker mostró que es posible construir un contraejemplo a la conjetura Hodge como tori complejo con cohomología racional analítica de tipo ()p,p){displaystyle (p,p)}, que no es algebraico proyecto. (véase el apéndice B de Zucker (1977))

Casos conocidos de la conjetura de Hodge

Baja dimensión y codimensión

El primer resultado de la conjetura de Hodge se debe a Lefschetz (1924). De hecho, es anterior a la conjetura y proporcionó parte de la motivación de Hodge.

Theorem (Teorema de Lefschetz en (1,1) clases) Cualquier elemento H2()X,Z)∩ ∩ H1,1()X){displaystyle H^{2}(X,mathbb {Z})cap H^{1,1}(X)} es la clase de cohomología de un divisor X{displaystyle X}. En particular, la conjetura Hodge es verdadera para H2{displaystyle H^{2}.

Se puede dar una demostración muy rápida utilizando la cohomología de haces y la secuencia exacta exponencial. (La clase de cohomología de un divisor resulta ser igual a su primera clase de Chern). La prueba original de Lefschetz procedía de las funciones normales, que fueron introducidas por Henri Poincaré. Sin embargo, el teorema de transversalidad de Griffiths muestra que este enfoque no puede probar la conjetura de Hodge para subvariedades codimensionales superiores.

Por el teorema de Hard Lefschetz, se puede probar:

Teorema. Si para algunos <math alttext="{displaystyle pp.n2{displaystyle p {n}{2}}<img alt="{displaystyle p la conjetura Hodge sostiene para las clases de Hodge de grado p{displaystyle p}, entonces la conjetura Hodge sostiene para las clases de Hodge de grado 2n− − p{displaystyle 2n-p}.

Combinar los dos teoremas anteriores implica que la conjetura Hodge es verdadera para las clases de grado Hodge 2n− − 2{displaystyle 2n-2}. Esto prueba la conjetura de Hodge cuando X{displaystyle X} tiene dimensión a la mayoría de tres.

El teorema de Lefschetz sobre las clases (1,1) también implica que si todas las clases de Hodge son generadas por las clases de divisores de Hodge, entonces la conjetura de Hodge es verdadera:

Corollario. Si el álgebra HdgAlternativa Alternativa ⁡ ⁡ ()X)=⨁ ⨁ kHdgk⁡ ⁡ ()X){displaystyle operatorname {Hdg} ^{*}(X)=bigoplus nolimits ¿Por qué? [Hdg] ^{k}(X)} se genera por Hdg1⁡ ⁡ ()X){displaystyle operatorname {Hdg} ^{1}(X)}, entonces la conjetura de Hodge es para X{displaystyle X}.

Hipersuperficies

Por el fuerte y débil teorema Lefschetz, la única parte no-trivial de la conjetura Hodge para las hipersuperficies es el grado m parte (es decir, la cohomología media) de un 2m- hipersuperficie dimensional X⊂ ⊂ P2m+1{displaystyle Xsubset mathbf {P} {2m+1}. Si el grado d es 2, es decir, X es un quadric, la conjetura Hodge sostiene para todos m. Para m=2{displaystyle m=2}, es decir, cuatro veces, la conjetura Hodge es conocida por d≤ ≤ 5{displaystyle dleq 5}.

Variedades abelianas

Para la mayoría de las variedades abelianas, el álgebra Hdg*(X) se genera en el grado uno, por lo que se cumple la conjetura de Hodge. En particular, la conjetura de Hodge se cumple para variedades abelianas suficientemente generales, para productos de curvas elípticas y para variedades abelianas simples de dimensión prima. Sin embargo, Mumford (1969) construyó un ejemplo de una variedad abeliana donde Hdg²(X) no es generado por productos de clases de divisores. Weil (1977) generalizó este ejemplo mostrando que siempre que la variedad tiene una multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario, entonces Hdg²(X) no es generado por productos de clases de divisores. Moonen &amperio; Zarhin (1999) demostró que en dimensión menor a 5, o Hdg*(X) se genera en grado uno, o la variedad tiene una multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario. En este último caso, la conjetura de Hodge solo se conoce en casos especiales.

Generalizaciones

La conjetura integral de Hodge

La conjetura original de Hodge era

Conjetura integral de Hodge. Vamos X ser un complejo de proyecto. Entonces cada clase de cohomología en H2k()X,Z)∩ ∩ Hk,k()X){displaystyle H^{2k}(X,mathbb {Z})cap H^{k,k}(X)} es la clase de cohomología de un ciclo algebraico con coeficientes integrales en X.

Ahora se sabe que esto es falso. El primer contraejemplo fue construido por Atiyah & Hirzebruch (1961). Utilizando la teoría K, construyeron un ejemplo de una clase de cohomología de torsión, es decir, una clase de cohomología α tal que nα = 0 para algún entero positivo n, que no es la clase de un ciclo algebraico. Tal clase es necesariamente una clase de Hodge. Totaro (1997) reinterpretó su resultado en el marco del cobordismo y encontró muchos ejemplos de tales clases.

El ajuste más simple de la conjetura de Hodge integral es

Torsión integral de conjetura Hodge modulo. Vamos X ser un complejo de proyecto. Entonces cada clase de cohomología en H2k()X,Z)∩ ∩ Hk,k()X){displaystyle H^{2k}(X,mathbb {Z})cap H^{k,k}(X)} es la suma de una clase de torsión y la clase de cohomología de un ciclo algebraico con coeficientes integrales en X.

Equivalentemente, después de dividir H2k()X,Z)∩ ∩ Hk,k()X){displaystyle H^{2k}(X,mathbb {Z})cap H^{k,k}(X)} por clases de torsión, cada clase es la imagen de la clase de cohomología de un ciclo algebraico integral. Esto también es falso. Kollár (1992) encontró un ejemplo de una clase Hodge α que no es algebraico, pero que tiene un múltiple integral que es algebraico.

Rosenschon & Srinivas (2016) ha demostrado que para obtener una conjetura de Hodge integral correcta, es necesario reemplazar los grupos de Chow, que también pueden expresarse como grupos de cohomología motívica, por una variante conocida como étale (o Lichtenbaum) cohomología motívica. Muestran que la conjetura racional de Hodge es equivalente a una conjetura integral de Hodge para esta cohomología motívica modificada.

La conjetura de Hodge para las variedades de Kähler

Una generalización natural de la conjetura de Hodge preguntaría:

Conjetura de Hodge para variedades Kähler, versión ingenua. Vamos X ser un complejo Kähler. Entonces cada clase de Hodge en X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvarieties complejas de X.

Esto es demasiado optimista, porque no hay suficientes subvariedades para que esto funcione. Un posible sustituto es hacer en su lugar una de las dos preguntas siguientes:

Conjetura de Hodge para variedades Kähler, versión del paquete vector. Vamos X ser un complejo Kähler. Entonces cada clase de Hodge en X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de Chern de paquetes vectoriales en X.

Conjetura de Hodge para variedades Kähler, versión de hoja coherente. Vamos X ser un complejo Kähler. Entonces cada clase de Hodge en X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de Chern de cuchillas coherentes en X.

Voisin (2002) demostró que las clases de haces coherentes de Chern dan estrictamente más clases de Hodge que las clases de haces vectoriales de Chern y que las clases de haces coherentes de Chern son insuficientes para generar todas las clases de Hodge. En consecuencia, las únicas formulaciones conocidas de la conjetura de Hodge para las variedades de Kähler son falsas.

La conjetura generalizada de Hodge

Hodge hizo una conjetura adicional más fuerte que la conjetura integral de Hodge. Digamos que una clase de cohomología en X es de co-nivel c (coniveau c) si es el avance de una clase de cohomología en un c -subvariedad codimensional de X. Las clases de cohomología de co-nivel al menos c filtran la cohomología de X, y es fácil ver que el paso césimo del filtración N^cH ^k(X, Z) satisface

NcHk()X,Z)⊆ ⊆ Hk()X,Z)∩ ∩ ()Hk− − c,c()X)⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Hc,k− − c()X)).{displaystyle N^{c} H^{k}(X,mathbf {Z})subseteq H^{k}(X,mathbf {Z})cap (H^{k-c,c}(X)oplus cdots oplus H^{c,k-c}(X)). }

La declaración original de Hodge fue

Conjetura generalizada de Hodge, versión de Hodge. NcHk()X,Z)=Hk()X,Z)∩ ∩ ()Hk− − c,c()X)⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Hc,k− − c()X)).{displaystyle N^{c} H^{k}(X,mathbf {Z})=H^{k}(X,mathbf {Z})cap (H^{k-c,c}(X)oplus cdots oplus H^{c,k-c}(X)). }

Grothendieck (1969) observó que esto no puede ser cierto, incluso con coeficientes racionales, porque el lado derecho no siempre es una estructura de Hodge. Su forma corregida de la conjetura de Hodge es

Conjetura de Hodge generalizada. N^cH^k()X, Q) es la estructura sub-Hodge más grande H^k()X, Z) contenida en Hk− − c,c()X)⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Hc,k− − c()X).{displaystyle H^{k-c,c}(X)oplus cdots oplus H^{c,k-c}(X). }

Esta versión está abierta.

Algebraicidad de Hodge loci

La evidencia más fuerte a favor de la conjetura de Hodge es el resultado de algebraicidad de Cattani, Deligne & Kaplan (1995). Supongamos que variamos la estructura compleja de X sobre una base simplemente conexa. Entonces la cohomología topológica de X no cambia, pero la descomposición de Hodge sí cambia. Se sabe que si la conjetura de Hodge es cierta, entonces el lugar geométrico de todos los puntos de la base donde la cohomología de una fibra es una clase de Hodge es de hecho un subconjunto algebraico, es decir, se corta mediante ecuaciones polinómicas. Cattani, Deligne &amperio; Kaplan (1995) demostró que esto siempre es cierto, sin asumir la conjetura de Hodge.