Conjetura de Goldbach

La conjetura de Goldbach es uno de los problemas sin resolver más antiguos y conocidos de la teoría de números y de todas las matemáticas. Establece que todo número natural par mayor que 2 es la suma de dos números primos.

Se ha demostrado que la conjetura es válida para todos los números enteros inferiores a 4 × 10¹⁸, pero sigue sin probarse a pesar de un esfuerzo considerable.

Historia

El 7 de junio de 1742, el matemático alemán Christian Goldbach escribió una carta a Leonhard Euler (carta XLIII), en la que proponía la siguiente conjetura:

Goldbach estaba siguiendo la convención ahora abandonada de considerar que 1 es un número primo, de modo que una suma de unidades sería una suma de números primos. Luego propuso una segunda conjetura en el margen de su carta, que implica la primera:

Eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
Cada entero mayor de 2 puede ser escrito como la suma de tres primos.

Euler respondió en una carta fechada el 30 de junio de 1742 y le recordó a Goldbach una conversación anterior que habían tenido ("... entonces Ew vormals mit mir communicirt haben..."), en el que Goldbach había señalado que la primera de esas dos conjeturas se derivaría del enunciado

Esto es, de hecho, equivalente a su segunda conjetura marginal. En la carta del 30 de junio de 1742, Euler afirmaba:

Dass... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.
Eso... cada entero es una suma de dos primos, considero un teorema completamente seguro, aunque no puedo probarlo.

Cada una de las tres conjeturas anteriores tiene un análogo natural en términos de la definición moderna de número primo, bajo la cual se excluye el 1. Una versión moderna de la primera conjetura es:

Una versión moderna de la conjetura marginal es:

Y una versión moderna de la antigua conjetura de Goldbach que Euler le recordó es:

Estas versiones modernas podrían no ser totalmente equivalentes a las declaraciones originales correspondientes. Por ejemplo, si hubiera un entero N=p+1{displaystyle N=p+1} más de 4, para p{displaystyle p} a prime, que no se podría expresar como la suma de dos primos en el sentido moderno, entonces sería un contraexample a la versión moderna de la tercera conjetura (sin ser un contraejemplo a la versión original). La versión moderna es probablemente más fuerte (pero para confirmar que, uno tendría que probar que la primera versión, aplicada libremente a cualquier entero positivo n{displaystyle n}, no podría descartar la existencia de un contraejemplo específico N{displaystyle N}). En todo caso, las declaraciones modernas tienen las mismas relaciones entre sí que las declaraciones anteriores. Es decir, las declaraciones segunda y tercera moderna son equivalentes, y o bien implica la primera declaración moderna.

La tercera declaración moderna (equivalente a la segunda) es la forma en que se suele expresar la conjetura en la actualidad. También se conoce como "fuerte", "par" o "binario" Conjetura de Goldbach. Una forma más débil de la segunda afirmación moderna, conocida como "la conjetura débil de Goldbach", la "conjetura extraña de Goldbach" o la "conjetura ternaria de Goldbach"., afirma que

Harald Helfgott propuso una prueba para la conjetura débil en 2013. La prueba de Helfgott aún no ha aparecido en una publicación revisada por pares, aunque fue aceptada para su publicación en la serie Annals of Mathematics Studies en 2015 y ha estado en revisión y revisión desde entonces. La conjetura débil sería un corolario de la conjetura fuerte: si n − 3 es una suma de dos primos, entonces n es una suma de tres números primos. Sin embargo, la implicación inversa y, por lo tanto, la fuerte conjetura de Goldbach siguen sin probarse.

Resultados verificados

Para valores pequeños de n, la conjetura de Goldbach fuerte (y por lo tanto la conjetura de Goldbach débil) se puede verificar directamente. Por ejemplo, en 1938, Nils Pipping verificó laboriosamente la conjetura hasta n ≤ 10⁵. Con la llegada de las computadoras, se han verificado muchos más valores de n; T. Oliveira e Silva realizó una búsqueda informática distribuida que verificó la conjetura de n ≤ 4 × 10¹⁸ (y comprobó dos veces hasta 4 × 10¹⁷ ) a partir de 2013. Un registro de esta búsqueda es que 3325581707333960528 es el número más pequeño que no se puede escribir como una suma de dos primos donde uno es menor que 9781.

Justificación heurística

Suma de dos primos en las intersecciones de tres líneas

Las consideraciones estadísticas que se centran en la distribución probabilística de los números primos presentan evidencia informal a favor de la conjetura (tanto en la forma débil como en la fuerte) para enteros suficientemente grandes: cuanto mayor es el entero, más formas hay disponibles para ese número para ser representado como la suma de otros dos o tres números, y el más "probable" resulta que al menos una de estas representaciones consiste enteramente en números primos.

Número de formas de escribir un número uniforme n como la suma de dos primos (secuencia A002375 en el OEIS)

Una versión muy cruda del argumento heurístico probabilístico (para la forma fuerte de la conjetura de Goldbach) es la siguiente. El teorema número primo afirma que un entero m seleccionado al azar tiene aproximadamente un 1/In⁡ ⁡ m{displaystyle 1/ln m} la oportunidad de ser la primera. Así si n es un gran incluso entero y m es un número entre 3 y n/2, entonces uno podría esperar la probabilidad de m y n−m a la vez ser primo para ser 1/[In⁡ ⁡ mIn⁡ ⁡ ()n− − m)]{fnMicrosoft Sans Serif}}. Si uno persigue esta heurística, uno podría esperar el número total de maneras de escribir un gran incluso entero n como la suma de dos primas impares para ser

.. m=3n/21In⁡ ⁡ m1In⁡ ⁡ ()n− − m).. n2()In⁡ ⁡ n)2.{displaystyle sum - ¿Qué? {1} {fn m} {fnnnn}approx {fn}{2(nnn)}}} {fn} {fn}}} {fn}} {fnfnfnfn}} {fnfnfnfnfnfnK}} {fnfnfnfnfnnfnfnfnnnnnhnhnnnnnnnfnfnfnfnnnnnnnnnnnnnnnnnnfnfnfnnnfnfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfnfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn}}}}}}}}}

Desde In⁡ ⁡ n≪ ≪ n{displaystyle ln nll {fn}, esta cantidad va al infinito como n aumenta, y uno esperaría que cada grande incluso entero no sólo tiene una representación como la suma de dos primos, pero de hecho muchas representaciones de este tipo.

Este argumento heurístico es en realidad algo inexacto, porque supone que los eventos de m y n−m ser primo son estadísticamente independientes entre sí. Por ejemplo, si m es extraño, entonces n−m también es extraño, y si m es incluso, entonces n−m es incluso, una relación no-trivial porque, además del número 2, sólo números extraños pueden ser primos. Del mismo modo, si n es divisible por 3, y m era ya una primera diferencia de 3, entonces n−m también sería coprime a 3 y, por lo tanto, sería ligeramente más probable que sea primo que un número general. Perseguir este tipo de análisis más cuidadosamente, G. H. Hardy y John Edensor Littlewood en 1923 conjeturado (como parte de su Hardy-Littlewood primera tuple conjetura) que para cualquier fijo c≥ 2, el número de representaciones de un entero grande n como la suma de c primos n=p1+⋯ ⋯ +pc{displaystyle n=p_{1}+cdots # con p1≤ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ≤ pc{displaystyle p_{1}leq cdots leq P_{c} debe ser asintoticamente igual a

()∏ ∏ ppγ γ c,p()n)()p− − 1)c)∫ ∫ 2≤ ≤ x1≤ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ≤ xc:x1+⋯ ⋯ +xc=ndx1⋯ ⋯ dxc− − 1In⁡ ⁡ x1⋯ ⋯ In⁡ ⁡ xc,{displaystyle left(prod ¿Por qué? x_{c}:x_{1}+cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {c1}cdots ln x_{c}}}

donde el producto está sobre todos los productos p, y γ γ c,p()n){displaystyle gamma _{c,p}(n)} es el número de soluciones a la ecuación n=q1+⋯ ⋯ +qcmodp{displaystyle n=q_{1}+cdots ¿Qué? en aritmética modular, sujeto a las limitaciones q1,...... ,qcل ل 0modp{displaystyle q_{1},ldotsq_{c}neq 0mod p}. Esta fórmula ha sido rigurosamente probada para ser asintoticamente válida para c≥ 3 de la obra de Ivan Matveevich Vinogradov, pero sigue siendo sólo una conjetura cuando c=2{displaystyle c=2}. En este último caso, la fórmula anterior simplifica a 0 cuando n es extraño, y

2▪ ▪ 2()∏ ∏ p▪ ▪ n;p≥ ≥ 3p− − 1p− − 2)∫ ∫ 2ndx()In⁡ ⁡ x)2.. 2▪ ▪ 2()∏ ∏ p▪ ▪ n;p≥ ≥ 3p− − 1p− − 2)n()In⁡ ⁡ n)2{displaystyle 2Pi _{2}left(prod _{pmid n;pgeq 3}{frac} {p-1}{p-2}right)int ################################################################################################################################################################################################################################################################ {p-1}{2}}} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}} {fn}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

cuando n es incluso, donde ▪ ▪ 2{displaystyle Pi _{2} es Hardy-Littlewood gemelo de primera constante

▪ ▪ 2:=∏ ∏ pprimep≥ ≥ 3()1− − 1()p− − 1)2).. 0,60161815846869573927812110014...... {displaystyle Pi _{2}:=prod _{textstyle {p;{rm {prime}atop pgeq 3}}left(1-{frac {1}{(p-1)^{2}}right)approx 0.660161815846869573927812110014dots }

Esto a veces se conoce como la conjetura de Goldbach extendida. La conjetura fuerte de Goldbach es, de hecho, muy similar a la conjetura de los primos gemelos, y se cree que las dos conjeturas tienen una dificultad aproximadamente comparable.

El cometa de Goldbach; puntos rojos, azules y verdes corresponden respectivamente los valores 0, 1 y 2 modulo 3 del número.

La función de partición de Goldbach es la función que asocia a cada número par el número de formas en que se puede descomponer en una suma de dos números primos. Su gráfico parece un cometa, por lo que se llama cometa de Goldbach.

El cometa de Goldbach sugiere límites superiores e inferiores estrictos en el número de representaciones de un número par como la suma de dos números primos, y también que el número de estas representaciones depende en gran medida del valor del módulo 3 del número.

Resultados rigurosos

La fuerte conjetura de Goldbach es mucho más difícil que la débil conjetura de Goldbach. Usando el método de Vinogradov, Nikolai Chudakov, Johannes van der Corput, y Theodor Estermann demostraron que casi todos los números pueden ser escritos como la suma de dos primos (en el sentido de que la fracción de números hasta algunos N{displaystyle N} que puede ser escrito tiende hacia 1 como N{displaystyle N} aumentos). En 1930, Lev Schnirelmann demostró que cualquier número natural superior a 1 puede ser escrito como la suma de no más que C números primos, donde C es una constante efectivamente computable; vea la densidad Schnirelmann. La constante de Schnirelmann es el número más bajo C con esta propiedad. Schnirelmann mismo obtuvo C.800000. This result was subsequently enhanced by many author, such as Olivier Ramaré, who in 1995 showed that every even number n ≥ 4 es de hecho la suma de la mayoría de 6 primos. El resultado más conocido actualmente se deriva de la prueba de la débil conjetura de Goldbach por Harald Helfgott, que implica directamente que cada número n ≥ 4 es la suma de los 4 mejores.

En 1924, Hardy y Littlewood mostraron bajo la suposición de la hipótesis generalizada de Riemann que el número de números hasta X violar la conjetura de Goldbach es mucho menos que X()1/2)+c{displaystyle X^{(1/2)+c} para pequeños c.

En 1948, utilizando la teoría de cribas, Alfréd Rényi demostró que todo número par lo suficientemente grande se puede escribir como la suma de un primo y un casi primo con como máximo K factores. Chen Jingrun demostró en 1973 utilizando los métodos de la teoría tamiz que todo número par lo suficientemente grande se puede escribir como la suma de dos números primos o de un número primo y un semiprimo (el producto de dos números primos). Consulte el teorema de Chen para obtener más información.

En 1975, Hugh Montgomery y Robert Charles Vaughan demostraron que "la mayoría" incluso los números son expresibles como la suma de dos primos. Más precisamente, mostraron que existen constantes positivas c y C tal que para todos los números suficientemente grandes N, cada número menos que N es la suma de dos primos, con CN1− − c{displaystyle CN^{1-c} excepciones. En particular, el conjunto de incluso enteros que no son la suma de dos primos tiene densidad cero.

En 1951, Yuri Linnik demostró la existencia de una constante K tal que todo número par suficientemente grande es la suma de dos primos y como mucho K potencias de 2. Roger Heath-Brown y Jan-Christoph Schlage-Puchta descubrieron en 2002 que K = 13 funciona.

Problemas relacionados

Aunque la conjetura de Goldbach implica que todo número entero positivo mayor que uno puede escribirse como una suma de tres números primos como máximo, no siempre es posible encontrar dicha suma usando un algoritmo codicioso que usa el número primo más grande posible en cada paso. La secuencia de Pillai rastrea los números que requieren la mayor cantidad de números primos en sus representaciones codiciosas.

Existen problemas similares a la conjetura de Goldbach en los que los números primos se reemplazan por otros conjuntos particulares de números, como los cuadrados:

• Fue probado por Lagrange que cada entero positivo es la suma de cuatro cuadrados. Vea el problema de Waring y el problema relacionado de Waring-Goldbach en sumas de poderes de los primos.
• Hardy y Littlewood enumerados como su Conjetura I: "Cada número extraño grande (n 5) es la suma de un primo y el doble de un primo" (Revista Matemática, 66.1 (1993): 45 a 47). Esta conjetura se conoce como conjetura de Lemoine y también se llama Conjetura de Levy.
• La conjetura de Goldbach para números prácticos, una secuencia de números primos de enteros, fue declarada por Margenstern en 1984, y probada por Melfi en 1996: cada número es una suma de dos números prácticos.
• Un fortalecimiento de la conjetura de Goldbach propuesta por Harvey Dubner afirma que cada entero mayor de 4.208 es la suma de dos primos gemelos. Sólo 34 incluso números enteros menos de 4,208 no son la suma de dos primos gemelos. Dubner ha verificado computacionalmente que esta lista está completa hasta 2×10¹⁰. Una prueba de esta conjetura más fuerte no sólo implicaría la conjetura de Goldbach, sino también la conjetura principal gemela.

En la cultura popular

Conjetura de Goldbach (en chino: 哥德巴赫猜想) es el título de la biografía del matemático y teórico de números chino. Chen Jingrun, escrito por Xu Chi.

La conjetura es un punto central en la trama de la novela de 1992 El tío Petros y la conjetura de Goldbach del autor griego Apostolos Doxiadis, en el cuento "Sesenta millones de billones de combinaciones& #34; de Isaac Asimov y también en la novela de misterio de 2008 No One You Know de Michelle Richmond.

La conjetura de Goldbach forma parte del argumento de la película española de 2007 La habitación de Fermat.