Condición inicial

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En matemáticas y particularmente en sistemas dinámicos, una condición inicial, en algunos contextos llamada valor semilla, es un valor de una variable en evolución en algún momento designado como el tiempo inicial (típicamente denotado t = 0). Para un sistema de orden k (el número de desfases en tiempo discreto, o el orden de la derivada mayor en tiempo continuo) y dimensión n (es decir, con n variables evolutivas diferentes, que en su conjunto se pueden denotar mediante un n -dimensional vector de coordenadas), generalmente se necesitan nk condiciones iniciales para rastrear las variables del sistema a lo largo del tiempo.

Tanto en las ecuaciones diferenciales en tiempo continuo como en las ecuaciones en diferencias en tiempo discreto, las condiciones iniciales afectan el valor de las variables dinámicas (variables de estado) en cualquier momento futuro. En tiempo continuo, el problema de encontrar una solución de forma cerrada para las variables de estado en función del tiempo y de las condiciones iniciales se denomina problema de valor inicial. Existe un problema correspondiente para situaciones de tiempo discreto. Si bien no siempre es posible obtener una solución de forma cerrada, los valores futuros de un sistema de tiempo discreto se pueden encontrar iterando hacia adelante un período de tiempo por iteración, aunque el error de redondeo puede hacer que esto no sea práctico en horizontes largos.

Sistema lineal

Tiempo discreto

Una ecuación de diferencia de matriz lineal de forma homogénea (que no tiene un término constante) $X_{{t+1}}=AX_{t}$ tiene una solución de forma cerrada $X_{t}=A^{t}X_{0}$ predicada en el vector $X_{0}$ de condiciones iniciales en las variables individuales que se apilan en el vector; $X_{0}$ se denomina vector de condiciones iniciales o simplemente la condición inicial, y contiene nk elementos de información, siendo n la dimensión del vector X y siendo k = 1 el número de desfases de tiempo en el sistema. Las condiciones iniciales en este sistema lineal no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento futuro de la variable de estado X; que el comportamiento es estable o inestable según los valores propios de la matriz Apero no en base a las condiciones iniciales.

Alternativamente, un proceso dinámico en una sola variable x que tiene múltiples retrasos de tiempo es $x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+cdots +a_{k}x_{tk}.$

Aquí la dimensión es n = 1 y el orden es k, por lo que el número necesario de condiciones iniciales para rastrear el sistema a través del tiempo, ya sea iterativamente o mediante una solución de forma cerrada, es nk = k. Nuevamente las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa de la evolución de largo plazo de la variable. La solución de esta ecuación se encuentra usando su ecuación característica $lambda ^{k}-a_{1}lambda ^{{k-1}}-a_{2}lambda ^{{k-2}}-cdots -a_{{k-1}}lambda -a_{k}=0$ para obtener las k soluciones de esta última, que son los valores característicos $lambda _{1},puntos,lambda _{k},$ para usar en la ecuación solución $x_{t}=c_{1}lambda_{1}^{t}+cdots +c_{k}lambda_{k}^{t}.$

Aquí las constantes $c_{1},puntos,c_{k}$ se encuentran resolviendo un sistema de k ecuaciones diferentes basadas en esta ecuación, cada una usando uno de los k valores diferentes de t $x_{t}$ para los cuales se conoce la condición inicial específica.

Tiempo continuo

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con n variables apiladas en un vector X es ${frac{dX}{dt}}=AX.$

Su comportamiento a lo largo del tiempo se puede rastrear con una solución de forma cerrada condicionada a un vector de condición inicial $X_{0}$ . El número de piezas iniciales de información requeridas es la dimensión n del sistema multiplicada por el orden k = 1 del sistema, o n. Las condiciones iniciales no afectan el comportamiento cualitativo (estable o inestable) del sistema.

Una sola ecuación lineal de orden k en una sola variable x es ${frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+ cdots +a_{1}{frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.$

Aquí el número de condiciones iniciales necesarias para obtener una solución de forma cerrada es la dimensión n = 1 veces el orden k, o simplemente k. En este caso, las k piezas iniciales de información normalmente no serán diferentes valores de la variable x en diferentes puntos en el tiempo, sino los valores de x y sus primeras k – 1 derivadas, todo en algún punto en el tiempo, como el tiempo cero. Las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento del sistema. La ecuación característica de esta ecuación dinámica es $lambda ^{k}+a_{{k-1}}lambda ^{{k-1}}+cdots +a_{1}lambda +a_{0}=0,$ cuyas soluciones son los valores característicos que $lambda _{1},puntos,lambda _{k};$ se utilizan en la ecuación solución $x(t)=c_{1}e^{{lambda_{1}t}}+cdots +c_{k}e^{{lambda_{k}t}}.$

Esta ecuación y sus primeras k – 1 derivadas forman un sistema de k ecuaciones que pueden resolverse para los k parámetros $c_{1},puntos,c_{k},$ dadas las condiciones iniciales conocidas en x y los valores de sus k – 1 derivadas en algún momento t.

Sistemas no lineales

Los sistemas no lineales pueden exhibir una variedad de comportamiento sustancialmente más rica que los sistemas lineales. En particular, las condiciones iniciales pueden afectar si el sistema diverge al infinito o si converge a uno u otro atractor del sistema. Cada atractor, una región de valores (posiblemente desconectada) a la que se acercan algunos caminos dinámicos pero nunca salen, tiene una cuenca de atracción (posiblemente desconectada) tal que las variables de estado con condiciones iniciales en esa cuenca (y en ningún otro lugar) evolucionarán hacia ese atractor. Incluso las condiciones iniciales cercanas podrían estar en cuencas de atracción de diferentes atractores (ver, por ejemplo, el método de Newton # Cuencas de atracción).

Además, en aquellos sistemas no lineales que muestran un comportamiento caótico, la evolución de las variables exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales: los valores iterados de dos puntos cualesquiera muy cercanos en el mismo atractor extraño, mientras que cada uno permanece en el atractor, divergirán entre sí a lo largo del tiempo. tiempo. Por lo tanto, incluso en un solo atractor, los valores precisos de las condiciones iniciales marcan una diferencia sustancial para las posiciones futuras de las iteraciones. Esta característica hace que la simulación precisa de valores futuros sea difícil e imposible en horizontes largos, porque rara vez es posible establecer las condiciones iniciales con precisión exacta y porque el error de redondeo es inevitable incluso después de unas pocas iteraciones desde una condición inicial exacta.

Leyes empíricas y condiciones iniciales

Toda ley empírica tiene la cualidad inquietante de que uno no conoce sus limitaciones. Hemos visto que hay regularidades en los acontecimientos del mundo que nos rodea que pueden formularse en términos de conceptos matemáticos con una precisión asombrosa. Hay, por otro lado, aspectos del mundo respecto de los cuales no creemos en la existencia de regularidades precisas. A estas las llamamos condiciones iniciales.

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