Condición de Courant-Friedrichs-Lewy

En matemáticas, la condición de convergencia de Courant-Friedrichs-Lewy es una condición necesaria para la convergencia al resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales parciales (generalmente PDE hiperbólicas). Surge en el análisis numérico de esquemas explícitos de integración temporal, cuando estos se utilizan para la solución numérica. Como consecuencia, el paso de tiempo debe ser menor que un cierto límite superior, dado un incremento espacial fijo, en muchas simulaciones informáticas explícitas de marcha en el tiempo; de lo contrario, la simulación produce resultados incorrectos o inestables. La afección lleva el nombre de Richard Courant, Kurt Friedrichs y Hans Lewy, quienes la describieron en su artículo de 1928.

Descripción heurística

El principio detrás de la condición es que, por ejemplo, si una onda se mueve a través de una cuadrícula espacial discreta y queremos calcular su amplitud en pasos de tiempo discretos de igual duración, entonces esta duración debe ser menor que el tiempo para la onda para viajar a puntos adyacentes de la cuadrícula. Como corolario, cuando se reduce la separación de los puntos de la cuadrícula, el límite superior para el paso de tiempo también disminuye. En esencia, el dominio numérico de dependencia de cualquier punto en el espacio y el tiempo (según lo determinado por las condiciones iniciales y los parámetros del esquema de aproximación) debe incluir el dominio analítico de dependencia (donde las condiciones iniciales tienen un efecto sobre el valor exacto de la solución en ese punto) para asegurar que el esquema pueda acceder a la información requerida para formar la solución.

Declaración

Para hacer una declaración razonablemente formalmente precisa de la condición, es necesario definir las siguientes cantidades:

• Coordinación espacial: una de las coordenadas del espacio físico en el que se plantea el problema
• Dimensión espacial del problema: el número n{displaystyle n} de dimensiones espaciales, es decir, el número de coordenadas espaciales del espacio físico donde se plantea el problema. Valores típicos n=1{displaystyle n=1}, n=2{displaystyle n=2} y n=3{displaystyle n=3}.
• Hora: la coordinación, actuando como parámetro, que describe la evolución del sistema, distinta de las coordenadas espaciales

Las coordenadas espaciales y el tiempo son variables independientes de valores discretos, que se colocan a distancias regulares llamadas longitud del intervalo y paso de tiempo, respectivamente. Usando estos nombres, la condición CFL relaciona la duración del paso de tiempo en función de la longitud de los intervalos de cada coordenada espacial y de la velocidad máxima a la que la información puede viajar en el espacio físico.

Desde el punto de vista operativo, la condición CFL se prescribe comúnmente para aquellos términos de la aproximación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales parciales generales que modelan el fenómeno de advección.

El caso unidimensional

Para el caso único, la ecuación modelo de tiempo continuo (que generalmente se resuelve para w{displaystyle w}) es:

∂ ∂ w∂ ∂ t=u∂ ∂ w∂ ∂ x.{fnMicrosoft {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMicroc}fnMicrosoft} {f} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {f}} {fn}}}}}}}}} {f}fnMicroc {fn} {fnMicroc {f} {fnMicroc}}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} #

La condición CFL tiene entonces la siguiente forma:

C=uΔ Δ tΔ Δ x≤ ≤ Cmax{displaystyle C={frac {u,Delta ################################################################################################################################################################################################################################################################

donde el número sin dimensiones C{displaystyle C} se llama Número de valor,

• u{displaystyle u} es la magnitud de la velocidad (cuya dimensión es longitud/tiempo)
• Δ Δ t{displaystyle Delta t} es el paso del tiempo (cuya dimensión es el tiempo)
• Δ Δ x{displaystyle Delta x} es el intervalo de longitud (cuya dimensión es longitud).

El valor de Cmax{displaystyle C_{max } cambia con el método utilizado para resolver la ecuación discretada, especialmente dependiendo de si el método es explícito o implícito. Si se utiliza un solucionador explícito (time-marching) Cmax=1{displaystyle C_{max }=1}. Los solvers implícitos (matrix) generalmente son menos sensibles a la inestabilidad numérica y valores más grandes de Cmax{displaystyle C_{max } puede ser tolerado.

El caso dos y general n-dimensional

En el caso bidimensional, la condición CFL se convierte en

C=uxΔ Δ tΔ Δ x+uSí.Δ Δ tΔ Δ Sí.≤ ≤ Cmax{displaystyle C={frac {u_{x}Delta # Delta x}+{frac {u_{y}, Delta t} {Delta y}leq C_{max }

con los significados obvios de los símbolos involucrados. Por analogía con el caso bidimensional, la condición general de la CFL para n{displaystyle n}- el caso dimensional es el siguiente:

C=Δ Δ t(). . i=1nuiΔ Δ xi)≤ ≤ Cmax.{displaystyle C=Delta tleft(sum _{i=1}{n}{frac {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF} {cHFF}} {cH}} {ccH00}}} {f}}} {cH}}} {cH}}} {\cH}}}} {\\cH00}}}}} {\\\\\\\\\cHFF}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Delta x_{i}}right)leq C_{max }

La longitud del intervalo no es necesaria para ser la misma para cada variable espacial Δ Δ xi,i=1,... ... ,n{displaystyle Delta x_{i},i=1,ldotsn}. Este "grado de libertad" se puede utilizar para optimizar un poco el valor del paso del tiempo para un problema particular, variar los valores del intervalo diferente para mantenerlo no demasiado pequeño.