Clase de conjugación

Dos gráficos de Cayley de grupos dihedral con clases de conjugación distinguidas por el color.

En matemáticas, especialmente teoría de grupo, dos elementos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ de un grupo conjugado si hay un elemento ${displaystyle g}$ en el grupo tal que ${displaystyle b=gag^{-1}$ Esta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se llaman clases de conjugación. En otras palabras, cada clase de conjugación está cerrada bajo ${displaystyle b=gag^{-1}$ para todos los elementos ${displaystyle g}$ en el grupo.

Los miembros de la misma clase de conjugación no se pueden distinguir usando solo la estructura de grupo y, por lo tanto, comparten muchas propiedades. El estudio de las clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. Para un grupo abeliano, cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento (conjunto singleton).

Las funciones que son constantes para los miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase.

Definición

Vamos ${displaystyle G.$ Sé un grupo. Dos elementos ${displaystyle a,bin G}$ son conjugado si existe un elemento ${displaystyle gin G}$ tales que ${displaystyle gag^{-1}=b,}$ en qué caso ${displaystyle b}$ se llama a conjugado de ${displaystyle a}$ y ${displaystyle a}$ se llama conjugado de ${displaystyle b.}$

En el caso del grupo lineal general ${displaystyle operatorname {GL} (n)}$ de matrices invertibles, la relación conyugal se llama semejanza matriz.

Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y por lo tanto particiones ${displaystyle G.$ en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y a las clases ${displaystyle operatorname {Cl} (a)}$ y ${displaystyle operatorname {Cl} (b)}$ son iguales si ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son conjugados, y se descomponen de otra manera.) La clase de equivalencia que contiene el elemento ${displaystyle ain G}$ es

$${displaystyle operatorname {Cl} (a)=left{gag^{-1}:gin G 'right'$$

${displaystyle a.}$

${displaystyle G.$

Se puede hacer referencia a las clases de conjugación describiéndolas o, más brevemente, mediante abreviaturas como "6A", que significa "cierta clase de conjugación con elementos de orden 6", y &# 34;6B" sería una clase de conjugación diferente con elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad que tiene orden 1. En algunos casos, las clases de conjugación se pueden describir de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico se pueden describir por tipo de ciclo.

Ejemplos

El grupo simétrico ${displaystyle S_{3},}$ consta de las 6 permutaciones de tres elementos, tiene tres clases de conjugación:

1. No hay cambio ${displaystyle (abcto abc)}$. El miembro único tiene orden 1.
2. Transponer dos ${displaystyle (abcto acb,abcto bac,abcto cba)}$. Los 3 miembros tienen orden 2.
3. Permutación cíclica de los tres ${displaystyle (abcto bca,abcto cab)}$. Los dos miembros tienen el orden 3.

Estas tres clases también corresponden a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero.

Cuadro que muestra ${displaystyle bab^{-1}$ para todos los pares ${displaystyle (a,b)}$ con ${displaystyle a,bin S_{4}$ (lista numerada). Cada fila contiene todos los elementos de la clase de conjugación de ${displaystyle a,}$ y cada columna contiene todos los elementos ${displaystyle S_{4}.$

El grupo simétrico ${displaystyle S_{4},}$ consta de 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, enumeradas con su descripción, tipo de ciclo, orden miembro y miembros:

1. Sin cambios. Tipo de ciclo = [1]⁴]. Orden = 1. Miembros = { (1, 2, 3, 4) }. La única fila que contiene esta clase de conjugación se muestra como una fila de círculos negros en la mesa adyacente.
2. Intercambiando dos (otros dos siguen sin cambiar). Tipo de ciclo = [1]²2¹]. Orden = 2. Miembros = (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación se destacan en verde en la tabla adyacente.
3. Una permutación cíclica de tres (otro permanece sin cambios). Tipo de ciclo = [1]¹3¹]. Orden = 3. Miembros = (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). Las 8 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con la impresión normal (sin resaltar la cara o el color) en la tabla adyacente.
4. Una permutación cíclica de los cuatro. Tipo de ciclo = [4]¹]. Orden = 4. Miembros = (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación se destacan en naranja en la tabla adyacente.
5. Intercambiando dos, y también los otros dos. Tipo de ciclo = [2]²]. Orden = 2. Miembros = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). Las 3 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con audaces entradas en la tabla adyacente.

Las rotaciones adecuadas del cubo, que pueden caracterizarse por permutaciones del cuerpo diagonales, también se describen por conjugación en ${displaystyle S_{4}.$

En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétrico ${displaystyle S_{n}$ es igual al número de particiones enteros de ${displaystyle n.}$ Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición ${displaystyle {1,2,ldotsn}$ en ciclos, hasta la permutación de los elementos ${displaystyle {1,2,ldotsn}$

En general, el grupo euclidiano puede estudiarse mediante la conjugación de isometrías en el espacio euclidiano.

Propiedades

• The identity element is always the only element in its class, that is ${displaystyle operatorname {Cl} (e)={e}.}$
• If ${displaystyle G}$ is abelian then ${displaystyle gag^{-1}=a}$ for all ${displaystyle a,gin G}$, i.e. ${displaystyle operatorname {Cl} (a)={a}}$ for all ${displaystyle ain G}$ (and the converse is also true: if all conjugacy classes are singletons then ${displaystyle G}$ is abelian).
• If two elements ${displaystyle a,bin G}$ belong to the same conjugacy class (that is, if they are conjugate), then they have the same order. More generally, every statement about ${displaystyle a}$ can be translated into a statement about ${displaystyle b=gag^{-1},}$ because the map ${displaystyle varphi (x)=gxg^{-1}}$ is an automorphism of ${displaystyle G}$ called an inner automorphism. See the next property for an example.
• If ${displaystyle a}$ and ${displaystyle b}$ are conjugate, then so are their powers ${displaystyle a^{k}}$ and ${displaystyle b^{k}.}$ (Proof: if ${displaystyle a=gbg^{-1}}$ then ${displaystyle a^{k}=left(gbg^{-1}right)left(gbg^{-1}right)cdots left(gbg^{-1}right)=gb^{k}g^{-1}.}$) Thus taking ${displaystyle k}$^th powers gives a map on conjugacy classes, and one may consider which conjugacy classes are in its preimage. For example, in the symmetric group, the square of an element of type (3)(2) (a 3-cycle and a 2-cycle) is an element of type (3), therefore one of the power-up classes of (3) is the class (3)(2) (where ${displaystyle a}$ is a power-up class of ${displaystyle a^{k}}$).
• An element ${displaystyle ain G}$ lies in the center ${displaystyle operatorname {Z} (G)}$ of ${displaystyle G}$ if and only if its conjugacy class has only one element, ${displaystyle a}$ itself. More generally, if ${displaystyle operatorname {C} _{G}(a)}$ denotes the centralizer of ${displaystyle ain G,}$ i.e., the subgroup consisting of all elements ${displaystyle g}$ such that ${displaystyle ga=ag,}$ then the index ${displaystyle left[G:operatorname {C} _{G}left(aright)right]}$ is equal to the number of elements in the conjugacy class of ${displaystyle a}$ (by the orbit-stabilizer theorem).
• Take ${displaystyle sigma in S_{n}}$ and let ${displaystyle m_{1},m_{2},ldotsm_{s}}$ be the distinct integers which appear as lengths of cycles in the cycle type of ${displaystyle sigma }$ (including 1-cycles). Let ${displaystyle k_{i}}$ be the number of cycles of length ${displaystyle m_{i}}$ in ${displaystyle sigma }$ for each ${displaystyle i=1,2,ldotss}$ (so that ${displaystyle sum limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$). Then the number of conjugates of ${displaystyle sigma }$ is:
  $${displaystyle {frac {n!}{left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}right)left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}right)cdots left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}right)}}.}$$

  

Conjugación como acción de grupo

Para cualquier dos elementos ${displaystyle g,xin G,}$ Deja

$${displaystyle gcdot x:=gxg^{-1}$$

${displaystyle G.$

${displaystyle G.}$

Del mismo modo, podemos definir una acción de grupo ${displaystyle G.$ on the set of all subsets of ${displaystyle G,}$ por escrito

$${displaystyle gcdot S:=gSg^{-1}$$

${displaystyle G.}$

Ecuación de clase de conjugación

Si ${displaystyle G.$ es un grupo finito, entonces para cualquier elemento de grupo ${displaystyle a,}$ los elementos de la clase conyugal ${displaystyle a}$ están en una sola correspondencia con los cosets del centralizador ${displaystyle operatorname {C} _{G}(a).}$ Esto se puede ver observando que hay dos elementos ${displaystyle b}$ y ${displaystyle c}$ perteneciente al mismo conjunto (y por lo tanto, ${displaystyle b=cz}$ para algunos ${displaystyle z}$ en el centralizador ${displaystyle operatorname {C} _{G}(a)}$) dar lugar al mismo elemento al conjugar ${displaystyle a}$:

$${displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}}}$$

Así el número de elementos en la clase conyugal ${displaystyle a}$ es el índice ${displaystyle left[G:operatorname {C} {G}(a)right}$ del centralizador ${displaystyle operatorname {C} _{G}(a)}$ dentro ${displaystyle G.$; por lo tanto el tamaño de cada clase conyugal divide el orden del grupo.

Además, si elegimos un único elemento representativo ${displaystyle x_{i}}$ de cada clase de conjugación, nos inferimos de la descomunión de las clases de conjugación que

$${displaystyle Нали ваный нетельный }left[G:operatorname {C} _{G}left(x_{i}right)right],}$$

${displaystyle operatorname {C} _{G}left(x_{i}right)}$

${displaystyle x_{i}$

${displaystyle operatorname {Z} (G)}$

$${displaystyle tenciónG vidas= vidasoperatorname {Z} (G) ¿Por qué? {C} _{G}left(x_{i}right)right],}$$

Conocimiento de los divisores del orden del grupo ${displaystyle SilencioG$ a menudo se puede utilizar para obtener información sobre el orden del centro o de las clases de conjugación.

Ejemplo

Considere un finito ${displaystyle p}$- Grupo ${displaystyle G.$ (es decir, un grupo con orden ${displaystyle p^{n}$ Donde ${displaystyle p}$ es un número primo y ${displaystyle n confiado0}$). Vamos a probar que cada finito ${displaystyle p}$- el grupo tiene un centro no-trivial.

Desde el orden de cualquier clase de conjugación ${displaystyle G.$ debe dividir el orden ${displaystyle G,}$ sigue que cada clase de conjugación ${displaystyle H_{i}$ que no está en el centro también tiene orden alguna potencia ${displaystyle p^{k_{i}}}$ Donde ${displaystyle - No.$ Pero entonces la ecuación de clases requiere eso ${textstyle Новывые }= "Antes" {Z} (G) ¿Qué?$ De esto vemos que ${displaystyle p}$ debe dividirse ${displaystyle Silenciooperatorname {Z} (G)$ Así que... ${displaystyle Silenciooperatorname {Z} (G)$

En particular, cuando ${displaystyle n=2,}$ entonces ${displaystyle G.$ es un grupo abeliano ya que cualquier elemento de grupo no-trivial es de orden ${displaystyle p}$ o ${displaystyle p^{2}$ Si algún elemento ${displaystyle a}$ de ${displaystyle G.$ es de orden ${displaystyle p^{2},}$ entonces ${displaystyle G.$ es isomorfo al grupo cíclico de orden ${displaystyle p^{2},}$ por lo tanto abeliano. Por otro lado, si cada elemento no-trivial ${displaystyle G.$ es de orden ${displaystyle p,}$ por la conclusión anterior ${displaystyle Silenciooperatorname {Z} (G)$ entonces ${fnMicrosoft Sans Serif}$ o ${displaystyle p^{2}$ Sólo tenemos que considerar el caso cuando ${fnMicrosoft Sans Serif}$ entonces hay un elemento ${displaystyle b}$ de ${displaystyle G.$ que no está en el centro de ${displaystyle G.}$ Note que ${displaystyle operatorname {C} _{G}(b)}$ Incluye ${displaystyle b}$ y el centro que no contiene ${displaystyle b}$ pero al menos ${displaystyle p}$ elementos. De ahí el orden ${displaystyle operatorname {C} _{G}(b)}$ es estrictamente mayor que ${displaystyle p,}$ por lo tanto, ${displaystyle left durableoperatorname {C} _{G}(b)right perpetua=p^{2}$ por lo tanto, ${displaystyle b}$ es un elemento del centro de ${displaystyle G,}$ una contradicción. Por lo tanto ${displaystyle G.$ es abeliano y de hecho isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos cada uno de orden ${displaystyle p.}$

Conjugación de subgrupos y subconjuntos generales

Más generalmente, dado cualquier subconjunto ${displaystyle Ssubseteq G}$ ()${displaystyle S.$ no necesariamente un subgrupo), definir un subconjunto ${displaystyle Tsubseteq G}$ ser conyugal ${displaystyle S.$ si existe ${displaystyle gin G}$ tales que ${displaystyle T=gSg^{-1}$ Vamos ${displaystyle operatorname {Cl} (S)}$ ser el conjunto de todos los subconjuntos ${displaystyle Tsubseteq G}$ tales que ${displaystyle T}$ es conjugado ${displaystyle S.}$

Un teorema usado frecuentemente es que, dada cualquier subconjunto ${displaystyle Ssubseteq G,}$ el índice de ${displaystyle operatorname {N} (S)}$ (el normalizador de ${displaystyle S.$En ${displaystyle G.$ iguala el orden ${displaystyle operatorname {Cl} (S)}$:

$${displaystyle Silenciooperatorname {Cl} (S) habit=[G:N(S)].}$$

Esto sigue desde entonces, si ${displaystyle g,hin G,}$ entonces ${displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}$ si ${displaystyle g^{-1}hin operatorname {N} (S),}$ en otras palabras, si y sólo si ${displaystyle g{text{ y}h}$ están en el mismo conjunto de ${displaystyle operatorname {N} (S).}$

Usando ${displaystyle S={a},}$ esta fórmula generaliza la que se dio anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación.

Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos ${displaystyle G.}$ Los subgrupos pueden dividirse así en clases de conjugación, con dos subgrupos pertenecientes a la misma clase si y sólo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos, pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos diferentes que son isomorfos, pero nunca son conjugados.

Interpretación geométrica

Las clases de conjugación en el grupo fundamental de un espacio topológico conectado por caminos se pueden considerar como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.

Clase de conjugación y representaciones irreducibles en grupo finito

En cualquier grupo finito, el número de representaciones irreducibles distintas (no isomorfas) sobre los números complejos es precisamente el número de clases de conjugación.