Centralizador y normalizador

En las matemáticas, especialmente la teoría del grupo, centralizador (también llamado Comutant) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto CG⁡ ⁡ ()S){displaystyle operatorname {C} _{G}(S)} de elementos de G que se comunica con cada elemento S, o equivalentemente, tal que conjugación g{displaystyle g} deja cada elemento S fijo. El normalizador de S dentro G es el conjunto de elementos NG()S){displaystyle mathrm {N} _{G}(S)} de G que satisface la condición más débil de dejar el conjunto S⊆ ⊆ G{displaystyle Ssubseteq G} fijado bajo conjugación. El centralizador y normalizador de S son subgrupos de G. Muchas técnicas en la teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de subconjuntos adecuadosS.

Con una formulación adecuada, las definiciones también se aplican a los semigrupos.

En la teoría de anillos, el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R. Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie.

El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.

Definiciones

Grupo y semigrupo

El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como

CG()S)={}g▪ ▪ G▪ ▪ gs=sgpara todoss▪ ▪ S}={}g▪ ▪ G▪ ▪ gsg− − 1=spara todoss▪ ▪ S},{displaystyle mathrm {C} _{G}(S)=left{gin) Gmid gs=sg{text{ for all }sin Sright}=leftgin Gmid gsg^{-1}=s{text{ for all }sin Sright},}

donde solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G puede suprimirse de la notación. Cuando S = {a} es un conjunto singleton, escribimos C_G(a) en lugar de C_G({a}). Otra notación menos común para el centralizador es Z(a), que es paralela a la notación del centro. Con esta última notación, se debe tener cuidado de evitar confusiones entre el centro de un grupo G, Z(G), y el centralizador de un elemento g en G, Z(g).

El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como

NG()S)={}g▪ ▪ G▪ ▪ gS=Sg}={}g▪ ▪ G▪ ▪ gSg− − 1=S},{displaystyle mathrm {N} _{G}(S)=left{gin) Gmid gS=Sgright=left{gin Gmid gSg^{-1}=Sright}

donde nuevamente solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Las definiciones son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S, entonces debe ser que gs = sg, pero si g está en el normalizador, entonces <span class="nowrap" gs = tg para alguna t en S, con t posiblemente diferente de s. Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S, pero los elementos del normalizador de S solo necesitan conmutar con S como un conjunto. Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal.

Claramente CG()S)⊆ ⊆ NG()S){displaystyle C_{G}(S)subseteq N_{G}(S)} y ambos son subgrupos de G{displaystyle G..

Ring, álgebra sobre un campo, Lie ring y Lie álgebra

Si R es un anillo o un álgebra sobre un campo, y S es un subconjunto de R, entonces el centralizador de S es exactamente como se define para los grupos, con R en lugar de G.

Si L{displaystyle {Mathfrak}} es un álgebra Lie (o anillo Lie) con el producto Lie [x, Sí.], entonces el centralizador de un subconjunto S de L{displaystyle {Mathfrak}} se define como

CL()S)={}x▪ ▪ L▪ ▪ [x,s]=0para todoss▪ ▪ S}.{displaystyle mathrm {C} _{mthfrak {L}={xin {mthfrak {L}mid [x,s]=0{text{ for all }sin S}}

La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces a R se le puede dar el producto de paréntesis [x, y] = xy − yx. Por supuesto entonces xy = yx si y solo si [x, y] = 0. Si denotamos el conjunto R con el producto de paréntesis como L_R, entonces claramente el anillo centralizador de S en R es igual al centralizador de anillo de mentira de S en L_R.

El normalizador de un subconjunto S de un álgebra Lie (o anillo Lie) L{displaystyle {Mathfrak}} es dado por

NL()S)={}x▪ ▪ L▪ ▪ [x,s]▪ ▪ Spara todoss▪ ▪ S}.{displaystyle mathrm {N} _{mathfrak {L}={xin {mathfrak {L}mid [x,s]in S{text{ for all }sin S}}}

Mientras que este es el uso estándar del término "normalizador" en el álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S dentro L{displaystyle {Mathfrak}}. Si S es un subgrupo aditivo de L{displaystyle {Mathfrak}}, entonces NL()S){displaystyle mathrm {N} _{mathfrak {L}(S)} es el subring más grande de Lie (o Lie subalgebra, como el caso puede ser) en que S es un Lie ideal.

Propiedades

Semigrupos

Vamos S.{displaystyle S' denota el centralizador de S{displaystyle S. en el semigrupo A{displaystyle A}; i.e. S.={}x▪ ▪ A▪ ▪ sx=xspara todoss▪ ▪ S}.{displaystyle S'={xin Amid sx=xs{text{ for every }sin S} Entonces... S.{displaystyle S' forma un subsemigroup y S.=S′′=S′′′′′{displaystyle S'=S''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''; es decir, un participante es su propio bicommutante.

Grupos

Fuente:

• El centralizador y normalizador de S ambos subgrupos G.
• Claramente, C_G()S⊆ N_G()S). De hecho, C_G()S) es siempre un subgrupo normal de N_G()S), siendo el núcleo del homomorfismo N_G()S) → Bij(S) y el grupo N_G()S)/C_G()S) actúa por conjugación como un grupo de bijeones sobre S. E.g. el grupo Weyl de un grupo compacto de Lie G con un torus T se define como W()G,T) = N_G()T)/C_G()T), y especialmente si el toro es maximal (es decir, C_G()T) T) es una herramienta central en la teoría de los grupos de Lie.
• C_G(C)_G()S) S, pero C_G()S) no necesita contener S. La retención ocurre exactamente cuando S es abeliano.
• Si H es un subgrupo G, entonces N_G()H) contiene H.
• Si H es un subgrupo G, entonces el subgrupo más grande G en que H es normal que el subgrupo N_G(H).
• Si S es un subconjunto de G tales que todos los elementos S se comunican entre sí, luego el subgrupo más grande G cuyo centro contiene S es el subgrupo C_G(S).
• Subgrupo H de un grupo G se llama subgrupo autonormalizador de G si N_G()H) H.
• El centro de G es exactamente C_G(G) and G es un grupo abeliano si y sólo si C_G(G) = Z(G) G.
• Para conjuntos de singleton, C_G()a) = N_G()a).
• Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G, T ⊆ C_G()S) si S ⊆ C_G()T).
• Para un subgrupo H de grupo G, el N/C theorem declara que el grupo factor N_G()H)/C_G()H) es isomorfo a un subgrupo de Aut(H), el grupo de automorfismos de H. Desde N_G()G) G y C_G()G.G), el teorema N/C implica también que G/Z(G) es isomorfo a Inn(G), el subgrupo de Aut(G) que consiste en todos los automorfismos internos de G.
• Si definimos un homomorfismo de grupo T: G → InnG) por T()x)g) T_x()g) xgx⁻¹, entonces podemos describir N_G()S) y C_G()S) en términos de la acción del grupo de Inn(G) on G: el estabilizador de S in InnG) es T(N_G()S)), y el subgrupo de Inn(G) fijación S El punto es T(C)_G()S)).
• Subgrupo H de un grupo G se dice que C-closed o self-bicommutant si H C_G()S) para algunos subconjuntos S ⊆ G. Si es así, entonces de hecho, H C_G(C)_G()H).

Anillos y álgebras sobre un campo

Fuente:

• Centralizadores en anillos y en álgebras sobre un campo son subrings y subalgebras sobre un campo, respectivamente; centralizadores en anillos de Lie y en álgebras de Lie son subrings Lie y subalgebras Lie, respectivamente.
• El normalizador de S en un anillo Lie contiene el centralizador de S.
• C_R(C)_R()S) S pero no es necesariamente igual. El teorema de doble centralizador se ocupa de situaciones donde se produce la igualdad.
• Si S es un subgrupo aditivo de un anillo Lie A, entonces N_A()S) es el subing de Lie más grande de A en que S es un Lie ideal.
• Si S es un subring de Lie de un anillo Lie A, entonces S ⊆ N_A()S).