Cantidad de orden económico

La cantidad económica de pedido (EOQ), también conocida como cantidad de compra financiera o cantidad de compra económica, es la cantidad de pedido que minimiza los costos totales de mantenimiento y los costos de pedido en la gestión de inventario. Es uno de los modelos clásicos de programación de producción más antiguos. El modelo fue desarrollado por Ford W. Harris en 1913, pero el consultor R. H. Wilson lo aplicó extensamente, y a él y a K. Andler se les atribuye el mérito de su análisis en profundidad.

Descripción general

La EOQ se aplica solo cuando la demanda de un producto es constante durante un período de tiempo (como un año) y cada nuevo pedido se entrega en su totalidad cuando el inventario llega a cero. Existe un costo fijo por cada pedido realizado, independientemente de la cantidad de artículos solicitados; Se supone que un pedido contiene solo un tipo de artículo de inventario. También hay un costo por cada unidad almacenada, comúnmente conocido como costo de mantenimiento, a veces expresado como un porcentaje del costo de compra del artículo. Aunque la formulación de la EOQ es sencilla, factores como las tarifas de transporte y los descuentos por cantidad influyen en su aplicación en el mundo real.

La EOQ indica la cantidad óptima de unidades a ordenar para minimizar el costo total asociado con la compra, entrega y almacenamiento del producto.

Los parámetros requeridos para la solución son la demanda total para el año, el costo de compra de cada artículo, el costo fijo para realizar el pedido de un solo artículo y el costo de almacenamiento de cada artículo por año. Tenga en cuenta que la cantidad de veces que se realiza un pedido también afectará el costo total, aunque esta cantidad se puede determinar a partir de otros parámetros.

Variables

• T{displaystyle T} = costo total del inventario anual
• P{displaystyle P} = precio de la unidad de compra, costo de producción de unidad
• Q{displaystyle Q} = cantidad de pedido
• QAlternativa Alternativa {displaystyle Q^{*} = cantidad de pedido óptima
• D{displaystyle D} = cantidad anual de demanda
• K{displaystyle K} = costo fijo por orden, costo de configuración (no por unidad, normalmente costo de pedido y envío y manipulación. Este no es el costo de las mercancías)
• h{displaystyle h} = coste anual de tenencia por unidad, también conocido como costo de carga o de almacenamiento (costo de capital, espacio de almacén, refrigeración, seguro, costo de oportunidad (precio x interés), etc. generalmente no relacionados con el costo de producción de la unidad)

Función de costo total y derivación de la fórmula EOQ

La fórmula EOQ de un solo artículo encuentra el punto mínimo de la siguiente función de costo:

Costo total = costo de compra o costo de producción + costo de pedido + costo de mantenimiento

Dónde:

• Costo de compra: Este es el coste variable de las mercancías: precio de la unidad de compra × cantidad de demanda anual. Este es el P × D
• Costo de pedido: Este es el costo de realizar pedidos: cada pedido tiene un costo fijo K, y tenemos que ordenar los tiempos D/Q al año. Este es K × D/Q
• Costo de retención: la cantidad media en el stock (entre completamente reabastecido y vacío) es Q/2, por lo que este costo es h × Q/2

T=PD+KDQ+hQ2{displaystyle T=PD+K{frac {fnK}+h{f} {}{2}}.

Para determinar el punto mínimo de la curva de costo total, calcule la derivada del costo total con respecto a Q (suponga que todas las demás variables son constantes) y configúrela en 0:

0=− − DKQ2+h2{displaystyle {0}=-{frac {f}{2}}+{frac} {h}{2}}

Al resolver Q se obtiene Q* (la cantidad óptima de pedido):

QAlternativa Alternativa 2=2DKh{displaystyle ¿Qué?

Por lo tanto:

Q* es independiente de P; es función únicamente de K, D, h.

El valor óptimo Q* también se puede encontrar reconociendo que

T=DKQ+hQ2+PD=h2Q()Q− − 2DK/h)2+2hDK+PD,{displaystyle T={frac {K}{Q}+{frac} {hQ}{2}}+PD={frac {h}{2Q}(Q-{sqrt {2DK/h}})^{2}+{sqrt {2hDK}+PD,}

donde el término cuadrático no negativo desaparece para Q=2DK/h,{textstyle Q={sqrt {2DK/h}} que proporciona el coste mínimo Tmin=2hDK+PD.{displaystyle T_{min}={sqrt {2hDK}+PD.}

Ejemplo

• Cantidad anual del requisito (D) = 10000 unidades
• Costo por orden (K) = 40
• Costo por unidad (P)= 50
• Costo anual por unidad = 4
• Intereses de mercado = 2%

Cantidad del orden económico = 2D⋅ ⋅ Kh{fnMicroc} {2Dcdot K} {h}} =2⋅ ⋅ 10000⋅ ⋅ 404+50⋅ ⋅ 2% % =2⋅ ⋅ 10000⋅ ⋅ 405{displaystyle ={sqrt {frac {2cdot 10000cdot 40}{4+50cdot 2cdot 10000cdot 40}{5}} = 400 unidades

Número de órdenes anuales (basadas en EOQ) =10000400=25{displaystyle ={frac {10000}{400}=25}

Costo total =P⋅ ⋅ D+K()D/EOQ)+h()EOQ/2){displaystyle =Pcdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)}

Costo total =50⋅ ⋅ 10000+40⋅ ⋅ ()10000/400)+5⋅ ⋅ ()400/2)=502000{displaystyle =50cdot 10000+40cdot (10000/400)+5cdot (400/2)=502000}

Si comprobamos el costo total para cualquier cantidad de pedido que no sea 400(=EOQ), veremos que el costo es mayor. Por ejemplo, suponiendo 500 unidades por orden, entonces

Costo total =50⋅ ⋅ 10000+40⋅ ⋅ ()10000/500)+5⋅ ⋅ ()500/2)=502050{displaystyle =50cdot 10000+40cdot (10000/500)+5cdot (500/2)=502050}

Del mismo modo, si elegimos 300 para la cantidad de pedido, entonces

Costo total =50⋅ ⋅ 10000+40⋅ ⋅ ()10000/300)+5⋅ ⋅ ()300/2)=502083.33{displaystyle =50cdot 10000+40cdot (10000/300)+5cdot (300/2)=502083.33}

Esto ilustra que la cantidad económica del pedido siempre es lo mejor para la empresa.

Extensiones del modelo EOQ

Descuentos por cantidad

Una extensión importante del modelo EOQ es dar cabida a descuentos por cantidad. Hay dos tipos principales de descuentos por cantidad: (1) todas las unidades y (2) incrementales. A continuación se muestra un ejemplo numérico:

• Descuento por unidad adicional: Unidades 1–100 cuestan $30 cada uno; Unidades 101–199 cuestan $28 cada uno; Unidades 200 y cuestan $26 cada uno. Así que cuando se ordenan 150 unidades, el costo total es de $30*100 + $28*50.
• Todas las unidades de descuento: un pedido de 1–1000 unidades cuesta $50 cada uno; un pedido de 1001–5000 unidades cuesta $45 cada uno; un pedido de más de 5000 unidades cuesta $40 cada uno. Así que cuando se ordenan 1500 unidades, el costo total es $45*1500.

Para encontrar la cantidad óptima de pedido bajo diferentes esquemas de descuento por cantidad, se deben utilizar algoritmos; Estos algoritmos se desarrollan bajo el supuesto de que la política EOQ sigue siendo óptima con descuentos por cantidad. Perera et al. (2017) establecen esta optimización y caracterizan completamente la optimización (s,S) dentro del entorno EOQ bajo estructuras de costos generales.

Diseño de programas de descuento por cantidad óptima

En presencia de un cliente estratégico, que responde óptimamente a los horarios de descuento, el diseño de un esquema de descuento de cantidad óptima por el proveedor es complejo y tiene que ser hecho cuidadosamente. Esto es particularmente así cuando la demanda en el cliente es en sí misma incierta. Un efecto interesante llamado el "reverso bullwhip" tiene lugar donde un aumento de la incertidumbre de la demanda del consumidor realmente reduce la incertidumbre de la cantidad de pedido en el proveedor.

Costos de pedidos pendientes y artículos múltiples

Se pueden realizar varias extensiones al modelo EOQ, incluidos los costos de pedidos pendientes y artículos múltiples. En el caso de que se permitan pedidos pendientes, los costos de mantenimiento de inventario por ciclo son:

IC∫ ∫ 0T1()Q− − s− − λ λ t)dt=IC2λ λ ()Q− − s)2,{displaystyle ICint limits ¿Qué?

donde s es el número de backorders cuando la cantidad de pedido Q se entrega y λ λ {displaystyle lambda } es la tasa de demanda. El coste de backorder por ciclo es:

π π s+π π ^ ^ ∫ ∫ 0T2λ λ tdt=π π s+12π π ^ ^ λ λ T22=π π s+π π ^ ^ s22λ λ ,{displaystyle pi s+{hat {pi}int limits Lambda tdt. S+{frac {1}{hat {pi}lambda T_{2} {2}=pi S+{frac {hat {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?

Donde π π {displaystyle pi} y π π ^ ^ {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}f}f}f {f}f}f {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}f}f}f}f}f}f}fnfnfnfnf}\fnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\\fn\fnfn\fnfn } son gastos de backorder, T2=T− − T1{displaystyle T_{2}=T-T_{1}, T siendo la longitud del ciclo y T1=()Q− − s)/λ λ {displaystyle T_{1}=(Q-s)/lambda }. El coste medio anual de la variable es la suma de los costos de pedido, conteniendo los costos de inventario y los costos de backorder:

K=λ λ QA+12QIC()Q− − s)2+1Q[π π λ λ s+12π π ^ ^ s2]{fnMicrosoft}={fnMicroc} {fnMicrode {fnMicroc {1}{2Q}IC(Q-s)^{2}+{frac {1}{Q}}[pilambda s+{frac {1}{2}{hat {pi }s^{2}}}}}}}}}

Para minimizar K{displaystyle {fnMithcal}} imponer los derivados parciales iguales a cero:

∂ ∂ K∂ ∂ Q=− − 1Q2[λ λ A+12IC()Q− − s)2+π π λ λ s+12π π ^ ^ s2]+ICQ()Q− − s)=0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {fnMitcal {} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}}} {fnMitcal {f}}}}}} {fnMitcal {f}}} {f}} {f}}}} {fnMicroc}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}}}} { {1}{2}}left[{lambda }A+{frac} {1}{2}IC(Q-s)}{2}+pi lambda s+{frac {1}{2}{hat {pi - Sí.

∂ ∂ K∂ ∂ s=− − ICQ()Q− − s)+1Qπ π λ λ +1Qπ π ^ ^ s=0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {fnK} {fnMitcal} {fnMitcal}} {fnMicrosoft}} {fn}} {fnMitcal}}} {fnMitcal}}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}}}} {fnMitcal}}}}}}}}}} { S}=-{frac {IC} {Q} {fnMic {1}}pi} lambda +{frac {} {fn} {fnK} {fnK}} {fnK}} {f}} {f}} {f}} {fn}} {f}}}} {fn}} {f}}} {f}}} {f} {f}}}} {f}} {f} {f}} {f} {f}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f}f}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }s=0}

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera se obtiene la siguiente ecuación cuadrática:

[π π ^ ^ 2+π π ^ ^ IC]s2+2π π π π ^ ^ λ λ s+()π π λ λ )2− − 2λ λ AIC=0{displaystyle [{hat {fnfnfnh00} }{2}+{hat {fnh} - ¿Qué? {hat {pi}lambda s+(pilambda)}{2}-2lambda AIC=0}

Si π π ^ ^ =0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}f}f}f {f}f}f {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}f}f}f}f}f}f}fnfnfnfnf}\fnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\\fn\fnfn\fnfn }=0} o s=0 o s=JUEGO JUEGO {displaystyle s=infty} es óptimo. En el primer caso el lote óptimo es dado por la clásica fórmula EOQ, en el segundo caso un pedido nunca se coloca y el coste anual mínimo se da por π π λ λ {displaystyle pi lambda }. Si {sqrt {frac {2AIC}{lambda }}}=delta }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ■2AICλ λ =δ δ {displaystylepi }{sqrt {frac {2AIC}{lambda }=delta }{sqrt {frac {2AIC}{lambda }}}=delta }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af687cc4885ec52ae23ee69c4032058d18235a4" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.581ex; height:6.176ex;"/> o K_{w}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π λ λ ■Kw{displaystyle pi lambda .K_{w}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da10d6d7267224f6ef8d63943b676e167df13b7" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.168ex; height:2.509ex;"/> sAlternativa Alternativa =0{displaystyle s^{*}=0} es óptimo, si <math alttext="{displaystyle pi π π c)δ δ {displaystylepi }<img alt="{displaystyle pi entonces no debería haber ningún sistema de inventario. Si π π ^ ^ ل ل 0{displaystyle {hat {pi}neq 0} resolver los rendimientos de la ecuación cuadrática anterior:

sAlternativa Alternativa =[π π ^ ^ +IC]− − 1()− − π π λ λ +[()2λ λ AIC)()1+ICπ π ^ ^ )− − ICπ π ^ ^ ()π π λ λ )2]1/2){fnMicrosoft Sans Serif}= {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f} {f}fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}}}f}f}fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}f}f}f}f}}f}f}}fnfnf}f}fnfnf}fnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn ################################################################################################################################################################################################################################################################

QAlternativa Alternativa =[π π ^ ^ +ICπ π ^ ^ ]1/2[2λ λ AIC− − ()π π λ λ )2IC()π π ^ ^ +IC)]1/2{displaystyle Q^{*}=left[{frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f} {fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {f}f}f}fnMis {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}f}fnMis {f}fnf}fn\fnfnfnfnfnfnfnMis {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnf}fn ¿Qué? {fnMicroc {2fnMicrosoft] A}{IC}-{frac {pilambda)}{2}{IC({hat {pihat {pi - Sí.

Si hay fondos, el punto de reordenamiento es: rhAlternativa Alternativa =μ μ − − mQAlternativa Alternativa − − sAlternativa Alternativa {displaystyle ¿Qué? - ¿Qué?; con m siendo el mayor entero m≤ ≤ τ τ T{displaystyle mleq {fnMicroc}tau } {T}} y μ la demanda de tiempo de plomo.

Además, el intervalo de orden económico se puede determinar a partir de la EOQ y el modelo de cantidad de producción económica (que determina la cantidad de producción óptima) se puede determinar de manera similar.

También se ha utilizado una versión del modelo, el modelo de Baumol-Tobin, para determinar la función de demanda de dinero, donde las tenencias de saldos monetarios de una persona pueden verse de forma paralela a las tenencias de saldos monetarios de una empresa. s tenencias de inventario.

Malakooti (2013) ha introducido los modelos de EOQ multicriterios en los que los criterios podrían minimizar el costo total, la cantidad de pedido (inventario) y la escasez.

Trippi y Lewin desarrollaron una versión que tiene en cuenta el valor temporal del dinero.

Calidad imperfecta

Otra importante extensión del modelo EOQ es considerar artículos con calidad imperfecta. Salameh y Jaber (2000) fueron los primeros en estudiar los artículos imperfectos en un modelo EOQ muy a fondo. Consideran un problema de inventario en el que la demanda es determinista y hay una fracción de artículos imperfectos en el lote y son analizados por el comprador y vendidos por ellos al final del círculo a precio de descuento.

Críticas

El modelo EOQ y su hermano, el modelo de cantidad de producción económica (EPQ), han sido criticados por "su conjunto restrictivo de supuestos". Guga y Musa utilizan el modelo para un estudio de caso empresarial albanés y concluyen que el modelo es "perfecto teóricamente, pero no muy adecuado desde la perspectiva práctica de esta empresa". Sin embargo, James Cargal señala que la fórmula se desarrolló cuando los cálculos empresariales se realizaban "a mano", o utilizando tablas logarítmicas o una regla de cálculo. El uso de hojas de cálculo y software especializado permite una mayor versatilidad en el uso de la fórmula y la adopción de "supuestos que son más realistas" que en el modelo original.