Cálculo de itô

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Cálculo de ecuaciones diferenciales estocásticas

Itô integral Y_t()B)azul) of a Brownian motion B ()rojo) con respecto a sí mismo, es decir, el integrador y el integrador son Brownian. Resulta que Y_t()B) =B² − t)/2.

cálculo Itô, que lleva el nombre de Kiyosi Itô, extiende los métodos de cálculo a procesos estocásticos como el movimiento browniano (ver proceso de Wiener). Tiene importantes aplicaciones en finanzas matemáticas y ecuaciones diferenciales estocásticas.

El concepto central es la integral estocástica de Itô, una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos:

{displaystyle Y_{t}=int _{0}^{t}H_{s},dX_{s},}

donde H es un proceso localmente integrable al cuadrado adaptado a la filtración generada por X (Revuz & Yor 1999, Capítulo IV), que es un movimiento browniano o , más generalmente, una semimartingala. El resultado de la integración es entonces otro proceso estocástico. Concretamente, la integral de 0 a cualquier t particular es una variable aleatoria, definida como un límite de una determinada secuencia de variables aleatorias. Las trayectorias del movimiento browniano no cumplen los requisitos para poder aplicar las técnicas estándar de cálculo. Entonces, siendo el integrando un proceso estocástico, la integral estocástica de Itô equivale a una integral con respecto a una función que no es diferenciable en ningún punto y tiene una variación infinita en cada intervalo de tiempo. La idea principal es que la integral se puede definir siempre que el integrando H esté adaptado, lo que en términos generales significa que su valor en el momento t sólo puede depender de la información disponible hasta hasta este momento. En términos generales, se elige una secuencia de particiones del intervalo de 0 a t y se construyen sumas de Riemann. Cada vez que calculamos una suma de Riemann, utilizamos una instancia particular del integrador. Es crucial qué punto de cada uno de los intervalos pequeños se utiliza para calcular el valor de la función. Entonces, el límite se toma en probabilidad ya que la malla de la partición va a cero. Hay que tener en cuenta numerosos detalles técnicos para demostrar que este límite existe y es independiente de la secuencia particular de particiones. Normalmente se utiliza el extremo izquierdo del intervalo.

Los resultados importantes del cálculo de Itô incluyen la fórmula de integración por partes y el lema de Itô, que es una fórmula de cambio de variables. Estas difieren de las fórmulas del cálculo estándar debido a los términos de variación cuadrática.

En finanzas matemáticas, la estrategia de evaluación de la integral descrita se conceptualiza como que primero decidimos qué hacer y luego observamos el cambio en los precios. El integrando es la cantidad de acciones que tenemos, el integrador representa el movimiento de los precios y la integral es cuánto dinero tenemos en total, incluido el valor de nuestras acciones, en un momento dado. Los precios de las acciones y otros activos financieros negociados pueden modelarse mediante procesos estocásticos como el movimiento browniano o, más a menudo, el movimiento browniano geométrico (véase Black-Scholes). Entonces, la integral estocástica de Itô representa el beneficio de una estrategia comercial de tiempo continuo que consiste en mantener una cantidad H_t de la acción en el momento t. . En esta situación, la condición de que se adapte H corresponde a la restricción necesaria de que la estrategia comercial sólo pueda hacer uso de la información disponible en cada momento. Esto evita la posibilidad de obtener ganancias ilimitadas a través de la clarividencia: comprar acciones justo antes de cada repunte en el mercado y vender antes de cada caída. De manera similar, la condición de que H esté adaptado implica que la integral estocástica no divergirá cuando se calcule como un límite de sumas de Riemann (Revuz & Yor 1999, Capítulo IV).

Notación

El proceso Y definido antes como

{displaystyle Y_{t}=int _{0}^{t}H,dXequiv int _{0}^{t}H_{s},dX_{s},}

es en sí mismo un proceso estocástico con parámetro de tiempo t, que a veces también se escribe como Y = H · X (Rogers y Williams 2000). Alternativamente, la integral a menudo se escribe en forma diferencial dY = H dX, que equivale a Y − Y₀ = H · X. Como el cálculo de Itô se ocupa de procesos estocásticos de tiempo continuo, se supone que se da un espacio de probabilidad filtrado subyacente

{displaystyle (Omega{mathcal {F}},({mathcal {F}}_{t})_{tgeq 0},mathbb {P}).}

El álgebra σ ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$ representa la información disponible hasta el momento t, y un proceso X se adapta si X_t es ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$ - Medible. Una moción de Brownian B es entendido como un ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$ -Moción de Brownian, que es sólo un movimiento de Brownian estándar con las propiedades que B_t es ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$ - mensurable y eso B_t+s − B_t es independiente de ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$ para todos s,t ≥ 0 (Revuz " Yor 1999).

Integración con respecto al movimiento marroniano

La integral Itô se puede definir de una manera similar a la integral Riemann-Stieltjes, que es como un límite en probabilidad de las sumas Riemann; tal límite no necesariamente existe en sentido de trayectoria. Supongamos que B es un proceso de Wiener (Moción de Brown) y que H es un proceso contínuo derecho (càdlàg), adaptado y ligado localmente. Si ${displaystyle {pi _{n}}}$ es una secuencia de particiones de [0, tCon malla va a cero, luego el Itô integral de H con respecto a B hasta el tiempo t es una variable aleatoria

{displaystyle int _{0}^{t}H,dB=lim _{nrightarrow infty }sum _{[t_{i-1},t_{i}]in pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}

Se puede demostrar que este límite converge en probabilidad.

Para algunas aplicaciones, como los teoremas de representación de martingala y los tiempos locales, la integral es necesaria para procesos que no son continuos. Los procesos predecibles forman la clase más pequeña que está cerrada bajo los límites de las secuencias y contiene todos los procesos continuos por la izquierda adaptados. Si H es cualquier proceso predecible tal que ∫₀^t H² ds < ∞ para cada t ≥ 0 entonces se puede definir la integral de H con respecto a B, y H es se dice que es integrable B. Cualquier proceso de este tipo puede aproximarse mediante una secuencia H_n de procesos continuos a la izquierda, adaptados y acotados localmente, en el sentido de que

{displaystyle int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2},dsto 0}

en probabilidad. Entonces, el Itô integral es

{displaystyle int _{0}^{t}H,dB=lim _{nto infty }int _{0}^{t}H_{n},dB}

donde, nuevamente, se puede demostrar que el límite converge en probabilidad. La integral estocástica satisface la isometría de Itô

{displaystyle mathbb {E} left[left(int _{0}^{t}H_{s},dB_{s}right)^{2}right]=mathbb {E} left[int _{0}^{t}H_{s}^{2},dsright]}

que se cumple cuando H está acotado o, más generalmente, cuando la integral del lado derecho es finita.

Procesos de Itô

Una sola realización del proceso Itô con μ = 0 y σ = ≥(t-5), donde ↓ es la onda Ricker. Fuera de la marea de la ola, el movimiento del proceso Itô es estable.

Un proceso Itô se define como un proceso estocástico adaptado que puede expresarse como la suma de una integral con respecto al movimiento browniano y una integral con respecto al tiempo,

{displaystyle X_{t}=X_{0}+int _{0}^{t}sigma _{s},dB_{s}+int _{0}^{t}mu _{s},ds.}

Aquí, B es un movimiento browniano y se requiere que σ sea un proceso B-integrable predecible, y μ sea predecible y (Lebesgue) integrable. Eso es,

<math alttext="{displaystyle int _{0}^{t}(sigma _{s}^{2}+|mu _{s}|),ds∫ ∫ 0t()σ σ s2+Silencioμ μ sSilencio)dsc)JUEGO JUEGO {displaystyle int _{0}{t}(sigma _{2}+ vidasmu _{s} eternas),dsiereinfty }<img alt="{displaystyle int _{0}^{t}(sigma _{s}^{2}+|mu _{s}|),ds

para cada t. La integral estocástica se puede extender a tales procesos de Itô,

{displaystyle int _{0}^{t}H,dX=int _{0}^{t}H_{s}sigma _{s},dB_{s}+int _{0}^{t}H_{s}mu _{s},ds.}

Esto se define para todos los integrandos predecibles y acotados localmente. De manera más general, se requiere que Hσ sea B-integrable y Hμ sea integrable de Lebesgue, de modo que

<math alttext="{displaystyle int _{0}^{t}(H^{2}sigma ^{2}+|Hmu |)ds∫ ∫ 0t()H2σ σ 2+SilencioHμ μ Silencio)dsc)JUEGO JUEGO .{displaystyle int _{0}{t}(H^{2}sigma ^{2}+ AnteriorHmu Silencio)ds realizadosinfty.}<img alt="{displaystyle int _{0}^{t}(H^{2}sigma ^{2}+|Hmu |)ds

Estos procesos predecibles H se denominan integrables X.

Un resultado importante para el estudio de los procesos de Itô es el lema de Itô. En su forma más simple, para cualquier función dos veces continuamente diferenciable f en los reales y el proceso Itô X como se describió anteriormente, establece que f(X) es en sí mismo un proceso Itô que satisface

{displaystyle df(X_{t})=f^{prime }(X_{t}),dX_{t}+{frac {1}{2}}f^{prime prime }(X_{t})sigma _{t}^{2},dt.}

Esta es la versión de cálculo estocástico de la fórmula de cambio de variables y la regla de la cadena. Difiere del resultado estándar debido al término adicional que involucra la segunda derivada de f, que proviene de la propiedad de que el movimiento browniano tiene variación cuadrática distinta de cero.

Semimartingales como integradoras

(feminine)

La integral de Itô se define con respecto a una semimartingala X. Estos son procesos que se pueden descomponer como X = M + A para una martingala local M y un proceso de variación finita. Un. Ejemplos importantes de tales procesos incluyen el movimiento browniano, que es una martingala, y los procesos de Lévy. Para un proceso H continuo a la izquierda, acotado localmente y adaptado, la integral H · X existe y puede calcularse como un límite de sumas de Riemann. Sea π_n una secuencia de particiones de [0, t] con malla yendo a cero,

{displaystyle int _{0}^{t}H,dX=lim _{nrightarrow infty }sum _{t_{i-1},t_{i}in pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}

Este límite converge en probabilidad. La integral estocástica de los procesos continuos izquierda es lo suficientemente general para estudiar gran parte del cálculo estocástico. Por ejemplo, es suficiente para aplicaciones de Lemma de Itô, cambios de medida a través del teorema de Girsanov, y para el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas. Sin embargo, es insuficiente para otros temas importantes como los teoremas de representación de martingale y los tiempos locales.

La integral se extiende a todos los integrandos predecibles y acotados localmente, de una manera única, de modo que se cumple el teorema de convergencia dominada. Es decir, si H_n →;H y |H_n| ≤ J para un proceso localmente limitado J, entonces

{displaystyle int _{0}^{t}H_{n},dXto int _{0}^{t}H,dX,}

en probabilidad. La unicidad de la extensión desde integrandos continuos por la izquierda hasta integrandos predecibles es el resultado del lema de clases monótonas.

En general, la integral estocástica H · X se puede definir incluso en casos donde el proceso predecible H no está acotado localmente. Si K = 1 / (1 + |H|) entonces K y KH están acotados. La asociatividad de la integración estocástica implica que H es X-integrable, con integral H · X = Y , si y sólo si Y₀ = 0 y K · Y = ( KH) · X. El conjunto de procesos integrables X se denota por L(X).

Propiedades

Las siguientes propiedades se pueden encontrar en trabajos como (Revuz & Yor 1999) y (Rogers & Williams 2000):

La integral estocástica es un proceso de càdlàg. Además, es un semimartingale.
Las discontinuidades de la integral estocástica son dadas por los saltos del integrador multiplicados por el integrador. El salto de un proceso de càdlàg a la vez t es X_t − X_{t -}, y es a menudo denotado por ΔX_t. Con esta notación, Δ(H · X) H ΔX. Una consecuencia particular de esto es que las integrales con respecto a un proceso continuo son siempre continuas.
Associativity. Vamos. J, K ser procesos predecibles, y K Ser X-Inintegrable. Entonces, J es K · X integrador si y sólo si JK es X integrador, en cuyo caso
${displaystyle Jcdot (Kcdot X)=(JK)cdot X}$
Convergencia dominada. Supongamos que H_n → H y Silencio_nSilencio ≤ J, donde J es un X- Proceso integrado. entonces H_n · X → H · X. La convergencia está en probabilidad en cada momento t. De hecho, converge uniformemente en conjuntos compactos en probabilidad.
La integral estocástica se comunica con la operación de tomar covariaciones cuadráticas. Si X y Y son semimartingales entonces cualquier X-El proceso integrado también será [X, Y#-integrable, and [H · X, Y= H [X, Y]. Una consecuencia de esto es que el proceso de variación cuadrática de una integral estocástica es igual a una parte integral de un proceso de variación cuadrática,
${displaystyle [Hcdot X]=H^{2}cdot [X]}$

Integración por partes

Al igual que con el cálculo ordinario, la integración por partes es un resultado importante en el cálculo estocástico. La fórmula de integración por partes para la integral de Itô difiere del resultado estándar debido a la inclusión de un término de covariación cuadrática. Este término proviene del hecho de que el cálculo de Itô trata con procesos con variación cuadrática distinta de cero, lo que sólo ocurre para procesos de variación infinita (como el movimiento browniano). Si X y Y son semimartingalas entonces

{displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+int _{0}^{t}X_{s-},dY_{s}+int _{0}^{t}Y_{s-},dX_{s}+[X,Y]_{t}}

El resultado es similar al teorema de integración por partes para la integral de Riemann-Stieltjes, pero tiene un término de variación cuadrática adicional.

Itô's lemma

El lema de Itô es la versión de la regla de la cadena o fórmula de cambio de variables que se aplica a la integral de Itô. Es uno de los teoremas más poderosos y utilizados con frecuencia en el cálculo estocástico. Para una semimartingala continua n-dimensional X = (X¹,...,Xⁿ) y la función dos veces continuamente diferenciable f de Rⁿ a R, establece que f(X) es una semimartingala y,

{displaystyle df(X_{t})=sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t}),dX_{t}^{i}+{frac {1}{2}}sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t}),d[X^{i},X^{j}]_{t}.}

XⁱX^j

{displaystyle f,}

Integradoras de martingala

(feminine)

Martingalas locales

Una propiedad importante de la integral de Itô es que conserva la propiedad de la martingala local. Si M es una martingala local y H es un proceso predecible acotado localmente, entonces H · M también es un proceso local. martingala. Para integrandos que no están acotados localmente, hay ejemplos en los que H · M no es una martingala local. Sin embargo, esto sólo puede ocurrir cuando M no es continuo. Si M es una martingala local continua, entonces un proceso predecible H es M-integrable si y sólo si

<math alttext="{displaystyle int _{0}^{t}H^{2},d[M]∫ ∫ 0tH2d[M]c)JUEGO JUEGO ,{displaystyle int _{0}H^{2},d[M] buscadoinfty}<img alt="{displaystyle int _{0}^{t}H^{2},d[M]

para cada t, y H · M es siempre una martingala local.

La afirmación más general para una martingala local discontinua M es que si (H² · [M ])^1/2 es integrable localmente, entonces H · M existe y es una martingala local.

Martingalas cuadradas integrables

Para integrandos acotados, la integral estocástica de Itô preserva el espacio de martingalas cuadradas integrables, que es el conjunto de martingalas càdlàg M tales que E[M_t²] es finito para todo t. Para cualquier martingala cuadrada integrable M, el proceso de variación cuadrática [M] es integrable, y la isometría de Itô establece que

{displaystyle mathbb {E} left[(Hcdot M_{t})^{2}right]=mathbb {E} left[int _{0}^{t}H^{2},d[M]right].}

Esta igualdad se cumple de manera más general para cualquier martingala M tal que H² · [M]_t es integrable. La isometría de Itô se utiliza a menudo como un paso importante en la construcción de la integral estocástica, al definir H · M como la extensión única de esta isometría de una determinada clase de integrandos simples para todos los procesos acotados y predecibles.

P-Martingalas integrables

Para cualquier p > 1, y integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de martingalas p-integrables. Estas son martingalas càdlàg tales que E(|M_t|^p) es finita para todo t . Sin embargo, esto no siempre es cierto en el caso en que p = 1. Hay ejemplos de integrales de procesos predecibles acotados con respecto a martingalas que no son martingalas en sí mismas.

El proceso máximo de un proceso càdlàg M se escribe como M*_t = sup_{s ≤t} |M_s|. Para cualquier p ≥ 1 e integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de martingalas càdlàg M tal que E[(M*_t)^p] es finito para todo t. Si p > 1 entonces esto es lo mismo que el espacio de martingalas p-integrables, por las desigualdades de Doob.

Las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy establecen que, para cualquier p ≥ 1 dado, existen constantes positivas c, C que dependen de p, pero no de M o de t tal que

{displaystyle cmathbb {E} left[[M]_{t}^{frac {p}{2}}right]leq mathbb {E} left[(M_{t}^{*})^{p}right]leq Cmathbb {E} left[[M]_{t}^{frac {p}{2}}right]}

para todas las martingalas locales càdlàg M. Se utilizan para mostrar que si (M*_t)^p es integrable y H es un proceso predecible acotado entonces

<math alttext="{displaystyle mathbb {E} left[((Hcdot M)_{t}^{*})^{p}right]leq Cmathbb {E} left[(H^{2}cdot [M]_{t})^{frac {p}{2}}right]E[()()H⋅ ⋅ M)tAlternativa Alternativa )p]≤ ≤ CE[()H2⋅ ⋅ [M]t)p2]c)JUEGO JUEGO {displaystyle mathbb {E} left[(Hcdot M)_{t}^{*}{p}right]leq Cmathbb {E} left [(H^{2}cdot [M]_{t})^{frac {p}{2}right]cantado<img alt="{displaystyle mathbb {E} left[((Hcdot M)_{t}^{*})^{p}right]leq Cmathbb {E} left[(H^{2}cdot [M]_{t})^{frac {p}{2}}right]

y, en consecuencia, H · M es una martingala integrable p. De manera más general, esta afirmación es verdadera siempre que (H² · [M])^p/2 es integrable.

Existencia de la integral

(feminine)

Las pruebas de que la integral de Itô está bien definida generalmente se realizan observando primero integrandos muy simples, como procesos constantes por partes, continuos por la izquierda y adaptados donde la integral se puede escribir explícitamente. Estos procesos simples y predecibles son combinaciones lineales de términos de la forma H_t = A1_{{t > T}} para tiempos de parada T y F_T-variables aleatorias medibles A, para lo cual la integral es

T}}A(X_{t}-X_{T}).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H⋅ ⋅ Xt↑ ↑ 1{}t■T}A()Xt− − XT).{displaystyle Hcdot X_{t}equiv mathbf {1} T}A(X_{t}-X_{T}).}T}}A(X_{t}-X_{T}).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cf8308526c3780c4841407eb2426e5f242e3db" style="vertical-align: -1.171ex; width:28.937ex; height:3.176ex;"/>

Esto se extiende a todos los procesos simples y predecibles mediante la linealidad de H · X en H.

Para un movimiento browniano B, la propiedad de que tiene incrementos independientes con media y varianza cero Var(B_t) = t se puede utilizar para demostrar la isometría de Itô para integrandos simples y predecibles,

{displaystyle mathbb {E} left[(Hcdot B_{t})^{2}right]=mathbb {E} left[int _{0}^{t}H_{s}^{2},dsright].}

Por una extensión lineal continua, la integral se extiende únicamente a todos los integrandos predecibles que satisfacen

<math alttext="{displaystyle mathbb {E} left[int _{0}^{t}H^{2},dsright]E[∫ ∫ 0tH2ds]c)JUEGO JUEGO ,{displaystyle mathbb {E} left[int _{0} {t}H^{2},dsright] seleccionóinfty}<img alt="{displaystyle mathbb {E} left[int _{0}^{t}H^{2},dsright]

de tal manera que la isometría de Itô aún se mantenga. Luego se puede extender a todos los procesos integrables B mediante localización. Este método permite definir la integral con respecto a cualquier proceso de Itô.

Para una semimartingala general X, la descomposición X = M + A en una martingala local M más un proceso de variación finita A. Entonces, se puede demostrar que la integral existe por separado con respecto a M y A y se combina usando linealidad, H · X = H · M + H · A, para obtener la integral con respecto a X . La integral estándar de Lebesgue-Stieltjes permite definir la integración con respecto a procesos de variación finita, por lo que la existencia de la integral de Itô para semimartingalas se derivará de cualquier construcción para martingalas locales.

Para una martingala integrable cuadrada de càdlàg M, se puede utilizar una forma generalizada de la isometría de Itô. Primero, se utiliza el teorema de descomposición de Doob-Meyer para demostrar que una descomposición $M 2 = N + ⟨ M ⟩$ existe, donde N es una martingala y $⟨ M ⟩$ es un proceso continuo por la derecha, creciente y predecible que comienza en cero. Esto define de forma única $⟨ M ⟩$ , que se conoce como la variación cuadrática predecible de M. La isometría de Itô para martingalas cuadradas integrables es entonces

{displaystyle mathbb {E} left[(Hcdot M_{t})^{2}right]=mathbb {E} left[int _{0}^{t}H_{s}^{2},dlangle Mrangle _{s}right],}

que se puede demostrar directamente para integrandos simples y predecibles. Al igual que en el caso anterior del movimiento browniano, se puede utilizar una extensión lineal continua para extender de forma única a todos los integrandos predecibles que satisfagan $E [H 2 \cdot ⟨ M ⟩ t] < \infty$ . Este método se puede extender a todas las martingalas integrables cuadradas locales mediante localización. Finalmente, la descomposición de Doob-Meyer se puede utilizar para descomponer cualquier martingala local en la suma de una martingala integrable al cuadrado local y un proceso de variación finita, lo que permite construir la integral de Itô con respecto a cualquier semimartingala.

Existen muchas otras pruebas que aplican métodos similares pero que evitan la necesidad de utilizar el teorema de descomposición de Doob-Meyer, como el uso de la variación cuadrática [M] en la isometría de Itô, el uso de la medida de Doléans para submartingales, o el uso de las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy en lugar de la isometría de Itô. Esto último se aplica directamente a las martingalas locales sin tener que abordar primero el caso de la martingala cuadrada integrable.

Existen pruebas alternativas sólo haciendo uso del hecho de que X es càdlàg, adaptado, y el conjunto {H · X_t: |H| ≤ 1 es previsible simple} está acotado en probabilidad para cada vez t, que es una definición alternativa para que X sea una semimartingala. Se puede utilizar una extensión lineal continua para construir la integral para todos los integrandos continuos a la izquierda y adaptados con límites a la derecha en todas partes (procesos Caglad o L). Esto es lo suficientemente general como para poder aplicar técnicas como el lema de Itô (Protter 2004). Además, se puede utilizar una desigualdad de Khintchine para demostrar el teorema de convergencia dominada y extender la integral a integrandos generales predecibles (Bichteler 2002).

Diferenciación en el cálculo de Itô

El cálculo de Itô se define ante todo como un cálculo integral como se describió anteriormente. Sin embargo, también existen diferentes nociones de término "derivado" con respecto al movimiento browniano:

Derivado de Maliavina

El cálculo de Malliavin proporciona una teoría de diferenciación para variables aleatorias definidas en el espacio de Wiener, incluida una fórmula de integración por partes (Nualart 2006).

Representación martingala

El siguiente resultado permite expresar martingales como Itô integrals: si M es un martingale cuadrado-integrable en un intervalo de tiempo [0, T] con respecto a la filtración generada por un movimiento marroniano B, entonces hay un proceso cuadrado integrador único ${displaystyle alpha }$ [0, TAsí es.

{displaystyle M_{t}=M_{0}+int _{0}^{t}alpha _{s},mathrm {d} B_{s}}

casi con seguridad, y para todo t ∈ [0, T] (Rogers & Williams 2000, Teorema 36.5). Este teorema de representación puede interpretarse formalmente como si dijera que α es la "derivada del tiempo" de M respecto al movimiento browniano B, ya que α es precisamente el proceso que se debe integrar hasta el tiempo t para obtener M _t − M₀, como en el cálculo determinista.

Itô cálculo para físicas

(feminine)

En física, normalmente se utilizan ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE), como las ecuaciones de Langevin, en lugar de integrales estocásticas. Aquí una ecuación diferencial estocástica de Itô (SDE) a menudo se formula mediante

{displaystyle {dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}xi _{l},}

Donde ${displaystyle xi _{j}}$ es el ruido blanco gaussiano con

{displaystyle langle xi _{k}(t_{1}),xi _{l}(t_{2})rangle =delta _{kl}delta (t_{1}-t_{2})}

y se utiliza la convención de suma de Einstein.

Si ${displaystyle y=y(x_{k})}$ es una función de la x_k, entonces la lema de Itô tiene que ser utilizada:

{displaystyle {dot {y}}={frac {partial y}{partial x_{j}}}{dot {x}}_{j}+{frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}y}{partial x_{k},partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}

Un SDE de Itô como el anterior también corresponde a un SDE de Stratonovich que dice

{displaystyle {dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}xi _{l}-{frac {1}{2}}{frac {partial g_{kl}}{partial {x_{m}}}}g_{ml}.}

Las SDE ocurren con frecuencia en física en forma de Stratonovich, como límites de ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por ruido coloreado si el tiempo de correlación del término de ruido se acerca a cero. Para un tratamiento reciente de diferentes interpretaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, ver por ejemplo (Lau & Lubensky 2007).

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