Biyección

Una función bijeactiva, f: X → Y, donde el set X es {1, 2, 3, 4} y el set Y es {A, B, C, D}. Por ejemplo, f(1) = D.

En matemáticas, una biyección, también conocida como función biyectiva, correspondencia uno a uno o función invertible , es una función entre los elementos de dos conjuntos, donde cada elemento de un conjunto está emparejado con exactamente un elemento del otro conjunto, y cada elemento del otro conjunto está emparejado con exactamente un elemento del primer conjunto. No hay elementos no emparejados. En términos matemáticos, una función biyectiva f: X → Y es uno a -Mapeo uno (inyectivo) y sobre (sobreyectivo) de un conjunto X a un conjunto Y. El término correspondencia uno a uno no debe confundirse con función uno a uno (una función inyectiva; ver figuras).

Una biyección del conjunto X al conjunto Y tiene una función inversa de Y a X. Si X y Y son conjuntos finitos, entonces la existencia de una biyección significa que tienen el mismo número de elementos. Para conjuntos infinitos, la imagen es más complicada, lo que lleva al concepto de número cardinal, una forma de distinguir los diversos tamaños de conjuntos infinitos.

Una función biyectiva de un conjunto a sí mismo también se llama permutación, y el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto forma el grupo simétrico.

Las funciones biyectivas son esenciales para muchas áreas de las matemáticas, incluidas las definiciones de isomorfismo, homeomorfismo, difeomorfismo, grupo de permutación y mapa proyectivo.

Definición

Para que un emparejamiento entre X e Y (donde Y no necesita ser diferente de X) sea una biyección, se deben cumplir cuatro propiedades:

1. cada elemento X debe ser emparejado con al menos un elemento de Y,
2. ningún elemento X puede ser emparejado con más de un elemento de Y,
3. cada elemento Y debe ser emparejado con al menos un elemento de X, y
4. ningún elemento Y puede ser emparejado con más de un elemento de X.

Satisfacer las propiedades (1) y (2) significa que un emparejamiento es una función con dominio X. Es más común ver las propiedades (1) y (2) escritas como una sola declaración: cada elemento de X está emparejado con exactamente un elemento de Y. Se dice que las funciones que satisfacen la propiedad (3) son "sobre Y " y se llaman sobreyecciones (o funciones sobreyectivas). Las funciones que satisfacen la propiedad (4) se denominan "funciones uno a uno" y se llaman inyecciones (o funciones inyectivas). Con esta terminología, una biyección es una función que es tanto una sobreyección como una inyección, o usando otras palabras, una biyección es una función que es a la vez "uno a uno" y "sobre".

Las biyecciones a veces se indican con una flecha de dos puntas hacia la derecha con cola (U+2916 ⤖ FLECHA DE DOS PUNTAS HACIA LA DERECHA CON COLA), como en f: X ⤖ Y. Este símbolo es una combinación de la flecha de dos puntas hacia la derecha (U+21A0 ↠ FLECHA DE DOS PUNTAS HACIA LA DERECHA), a veces se usa para denotar sobreyecciones, y la flecha hacia la derecha con un cola con púas (U+21A3 ↣ FLECHA HACIA LA DERECHA CON COLA), a veces se usa para indicar inyecciones.

Ejemplos

Alineación de bateo de un equipo de béisbol o cricket

Considere la alineación de bateo de un equipo de béisbol o cricket (o cualquier lista de todos los jugadores de cualquier equipo deportivo donde cada jugador ocupa un lugar específico en una alineación). El conjunto X serán los jugadores del equipo (de tamaño nueve en el caso de béisbol) y el conjunto Y serán las posiciones en el orden de bateo (1º, 2º, 3º, etc.) El "emparejamiento" está dado por qué jugador está en qué posición en este orden. La propiedad (1) se cumple ya que cada jugador está en algún lugar de la lista. La propiedad (2) se cumple ya que ningún jugador batea en dos (o más) posiciones en el orden. La propiedad (3) dice que para cada posición en el orden, hay algún jugador bateando en esa posición y la propiedad (4) dice que dos o más jugadores nunca están bateando en la misma posición en la lista.

Asientos y alumnos de un aula

En un salón de clases hay un cierto número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la sala y el instructor les pide que se sienten. Después de una rápida mirada alrededor del salón, el instructor declara que existe una biyección entre el conjunto de estudiantes y el conjunto de asientos, donde cada estudiante está emparejado con el asiento en el que está sentado. Lo que observó el instructor para llegar a esta conclusión era que:

1. Cada estudiante estaba en un asiento (no había nadie parado),
2. Ningún estudiante estaba en más de un asiento,
3. Cada asiento tenía a alguien sentado allí (no había asientos vacíos), y
4. Ningún asiento tenía más de un estudiante.

El instructor pudo concluir que había tantos asientos como estudiantes, sin tener que contar ninguno de los conjuntos.

Más ejemplos matemáticos

• Para cualquier conjunto X, la función de identidad 1_X: X → X, 1_X()x) x es bijetivo.
• La función f: R → R, f()x) = 2x + 1 es bijetivo, ya que para cada uno Sí. hay un único x =Sí. −1)/2 tal que f()x) Sí.. Más generalmente, cualquier función lineal sobre los reales, f: R → R, f()x) ax + b (donde) a no es cero) es una bijeción. Cada número real Sí. se obtiene de (o emparejado con) el número real x =Sí. − b)/a.
• La función f: R → (π/2, π/2), dado por f()x) = arctan(x) es bijetivo, ya que cada número real x está emparejado con exactamente un ángulo Sí. en el intervalo (−π/2, π/2) así que tan(Sí.) x (es decir, Sí. = arctan(x)). Si el codomain (π/2, π/2) se hizo más grande para incluir un integer múltiple de π/2, entonces esta función ya no estaría en (surjective), ya que no hay número real que podría ser emparejado con el múltiple de π/2 por esta función arctan.
• La función exponencial, g: R → R, g()x) = e^x, no es bijetivo: por ejemplo, no hay x dentro R tales que g()x) = 1, mostrando que g no está en (surjetivo). Sin embargo, si el codominio está restringido a los números reales positivos R+↑ ↑ ()0,JUEGO JUEGO ){displaystyle mathbb {R} ^{+}equiv left(0,infty right)}, entonces g sería bijetivo; su inverso (ver abajo) es la función de logaritmo natural ln.
• La función h: R → R⁺, h()x) x² no es bijetivo: por ejemplo, h(1)− h(1) = 1, mostrando que h no es uno a uno (inyección). Sin embargo, si el dominio está restringido a R0+↑ ↑ [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle mathbb {R} _{+}equiv left[0,infty right)}, entonces h sería bijetivo; su inverso es la función de raíz cuadrada positiva.
• Por Cantor-Bernstein-Schröder teorema, dado cualquier dos sets X y Y, y dos funciones inyectables f: X → Y y g: Y → X, existe una función bijeactiva h: X → Y.

Inversos

Una biyección f con dominio X (indicado por f: X → Y en notación funcional) también define una relación inversa que comienza en Y y va a X (girando las flechas). El proceso de "girar las flechas" porque una función arbitraria no produce, en general, una función, pero las propiedades (3) y (4) de una biyección dicen que esta relación inversa es una función con dominio Y. Además, las propiedades (1) y (2) dicen entonces que esta función inversa es una sobreyección y una inyección, es decir, la función inversa existe y también es una biyección. Las funciones que tienen funciones inversas se dice que son invertibles. Una función es invertible si y solo si es biyectiva.

Expresada en notación matemática concisa, una función f: X → Y es biyectiva si y solo si satisface la condición

para todos Sí. dentro Y hay un único x dentro X con Sí. = f()x).

Continuando con el ejemplo de la alineación de bateo de béisbol, la función que se está definiendo toma como entrada el nombre de uno de los jugadores y genera la posición de ese jugador en el orden de bateo. Dado que esta función es una biyección, tiene una función inversa que toma como entrada una posición en el orden de bateo y da salida al jugador que estará bateando en esa posición.

Composición

La composición g∘ ∘ f{displaystyle g,circo ,f} of two bijections f: X → Y y g: Y → Z es una bijeción, cuyo inverso es dado por g∘ ∘ f{displaystyle g,circo ,f} es ()g∘ ∘ f)− − 1=()f− − 1)∘ ∘ ()g− − 1){displaystyle (g,circ ,f)^{-1};=;(f^{-1}),circ ,(g^{-1})}.

Por el contrario, si la composición g∘ ∘ f{displaystyle g,circo ,f} de dos funciones es bijetivo, sólo sigue que f es inyectable y g es subjetivo.

Bijeción compuesta de una inyección (izquierda) y una subjeción (derecha).

Cardinalidad

Si X e Y son conjuntos finitos, entonces existe una biyección entre los dos conjuntos X e Y si y solo si X y Y tienen el mismo número de elementos. De hecho, en la teoría axiomática de conjuntos, esto se toma como la definición de "mismo número de elementos" (equinumerosidad), y la generalización de esta definición a conjuntos infinitos conduce al concepto de número cardinal, una forma de distinguir los distintos tamaños de conjuntos infinitos.

Propiedades

• Una función f: R → R es bijetivo si y sólo si su gráfico cumple con cada línea horizontal y vertical exactamente una vez.
• Si X es un conjunto, luego las funciones bijeactivas de X a sí mismo, junto con el funcionamiento de la composición funcional (∘), forman un grupo, el grupo simétrico X, que es denotado varias veces por S(X), S_X, o X! ()X factorial).
• Las bijeciones preservan cardenalidades de conjuntos: para un subconjunto A del dominio con la cardenalidadAtención y subconjunto B del codomain con la cardenalidadBSilencio, uno tiene las siguientes igualdades:

  Silenciof()A)ASilencio y sufrimientof⁻¹()B)BSilencio.

• Si X y Y son conjuntos finitos con la misma cardenalidad, y f: X → Y, entonces los siguientes son equivalentes:
  1. f es una bijeción.
  2. f es un problema.
  3. f es una inyección.
• Para un conjunto finito S, hay una bijeción entre el conjunto de posibles pedidos totales de los elementos y el conjunto de bijeciones de S a S. Es decir, el número de permutaciones de elementos S es el mismo que el número de pedidos totales de ese conjunto, a saber, n!

Teoría de categorías

Las biyecciones son precisamente los isomorfismos en la categoría Conjunto de conjuntos y funciones de conjunto. Sin embargo, las biyecciones no siempre son los isomorfismos de categorías más complejas. Por ejemplo, en la categoría Grp de grupos, los morfismos deben ser homomorfismos ya que deben conservar la estructura del grupo, por lo que los isomorfismos son isomorfismos de grupo que son homomorfismos biyectivos.

Generalización a funciones parciales

La noción de correspondencia uno a uno se generaliza a las funciones parciales, donde se denominan biyecciones parciales, aunque las biyecciones parciales solo requieren que sean inyectivas. La razón de esta relajación es que una función parcial (propia) ya no está definida para una parte de su dominio; por lo tanto, no hay una razón convincente para restringir su inversa para que sea una función total, es decir, definida en todas partes en su dominio. El conjunto de todas las biyecciones parciales sobre un conjunto base dado se denomina semigrupo inverso simétrico.

Otra forma de definir la misma noción es decir que una biyección parcial de A a B es cualquier relación R (que resulta ser una función parcial) con la propiedad de que R es la gráfica de una biyección f:A′ →B′, donde A′ es un subconjunto de A y B′ es un subconjunto de B.

Cuando la biyección parcial está en el mismo conjunto, a veces se le llama transformación parcial uno a uno. Un ejemplo es la transformación de Möbius simplemente definida en el plano complejo, en lugar de completarse en el plano complejo extendido.

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