Ecuación de pell

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Tipo de ecuación de Diofantina

Ecuación de Pell para n= 2 y 6 de sus soluciones de entero

Ecuación de Pell, también llamado el Ecuación de férmat, es cualquier ecuación Diofantina de la forma ${displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,}$ Donde n es un entero no cuadrado positivo dado, y se buscan soluciones enteros x y Sí.. En las coordenadas cartesianas, la ecuación está representada por una hiperbola; las soluciones ocurren donde la curva pasa a través de un punto cuya x y Sí. las coordenadas son ambos enteros, como la solución trivial con x= 1 y Sí.= 0. Joseph Louis Lagrange demostró que, mientras n no es un cuadrado perfecto, la ecuación de Pell tiene infinitamente muchas soluciones de enteros distintos. Estas soluciones pueden utilizarse para aproximar con precisión la raíz cuadradan por números racionales de la formax/Sí..

Esta ecuación fue estudiada extensamente en la India comenzando con Brahmagupta, que encontró una solución entero para ${displaystyle 92x^{2}+1=y^{2}}$ en su Brāhmasphuijkasiddhānta alrededor de 628. Bhaskara II en el siglo XII y Narayana Pandit en el siglo XIV encontraron soluciones generales a la ecuación de Pell y otras ecuaciones indeterminadas cuadráticas. Bhaskara II se acredita generalmente con el desarrollo del método chakravala, basándose en el trabajo de Jayadeva y Brahmagupta. Soluciones a ejemplos específicos de la ecuación de Pell, como los números de Pell que surgen de la ecuación con n= 2, había sido conocido por mucho más tiempo, desde el tiempo de Pitágoras en Grecia y una fecha similar en la India. William Brouncker fue el primer europeo en resolver la ecuación de Pell. El nombre de la ecuación de Pell surgió de Leonhard Euler atribuyendo erróneamente la solución de Brouncker de la ecuación a John Pell.

Historia

Ya en el año 400 a. C. en India y Grecia, los matemáticos estudiaron los números que surgen del caso n = 2 de la ecuación de Pell,

{displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}

y de la ecuación estrechamente relacionada

{displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}

debido a la conexión de estas ecuaciones con la raíz cuadrada de 2. De hecho, si x y y son números enteros positivos que satisfacen esta ecuación, entonces x/y es una aproximación de $\sqrt 2$ . Los números x e y que aparecen en estas aproximaciones, llamados números de lado y de diámetro, eran conocidos por los pitagóricos, y Proclo observó que en sentido contrario estos números obedecían a uno de estos dos ecuaciones De manera similar, Baudhayana descubrió que x = 17, y = 12 y x = 577, y = 408 son dos soluciones a la ecuación de Pell, y que 17/12 y 577/408 son aproximaciones muy cercanas a la raíz cuadrada de 2.

Más tarde, Arquímedes aproximó la raíz cuadrada de 3 por el número racional 1351/780. Aunque no explicó sus métodos, esta aproximación se puede obtener de la misma manera, como solución a la ecuación de Pell. Del mismo modo, el problema del ganado de Arquímedes, un antiguo problema verbal sobre cómo encontrar la cantidad de ganado que pertenece al dios solar Helios, puede resolverse reformulándolo como una ecuación de Pell. El manuscrito que contiene el problema afirma que fue ideado por Arquímedes y registrado en una carta a Eratóstenes, y la atribución a Arquímedes se acepta generalmente en la actualidad.

Alrededor del año 250 d. C., Diofanto consideró la ecuación

{displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}

donde a y c son números fijos, y x e y son las variables a resolver. Esta ecuación tiene una forma diferente a la ecuación de Pell pero es equivalente a ella. Diofanto resolvió la ecuación para (a, c) igual a (1, 1), (1, −1), (1, 12) y (3, 9). Al-Karaji, un matemático persa del siglo X, trabajó en problemas similares a los de Diofanto.

En las matemáticas indias, Brahmagupta descubrió que

{displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}

una forma de lo que ahora se conoce como identidad de Brahmagupta. Usando esto, fue capaz de "comprar" triples $(x_1, y_1, k_1)$ y $(x_2, y_2, k_2)$ que eran soluciones de $x^{2}-Ny^{2}=k$ , para generar los nuevos triples

{displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}

{displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}

No sólo esto dio una manera de generar infinitamente muchas soluciones $x^{2}-Ny^{2}=1$ comenzando con una solución, pero también, dividiendo tal composición $k_1k_2$ , soluciones enteros o "casi inteligentes" a menudo se pueden obtener. Por ejemplo, ${displaystyle N=92}$ , Brahmagupta compuso el triple (10, 1, 8) $10^2 - 92(1^2) = 8$ ) con sí mismo para conseguir el nuevo triple (192, 20, 64). Dividir a través de 64 ("8" para $x$ y $y$ ) dio el triple (24, 5/2, 1), que cuando compuesto por sí mismo dio la solución de entero deseada (1151, 120, 1). Brahmagupta resolvió muchas ecuaciones de Pell con este método, demostrando que da soluciones a partir de una solución entero de $x^{2}-Ny^{2}=k$ para k = ±1, ±2, o ±4.

El primer método general para resolver la ecuación de Pell (para todos) N) fue dado por Bhāskara II en 1150, ampliando los métodos de Brahmagupta. Llamado el método chakravala (cíclico), comienza por elegir dos números enteros relativamente primos $a$ y $b$ , luego componer el triple $(a,b,k)$ (es decir, uno que satisface $a^2 - Nb^2 = k$ ) con el triple trivial $(m, 1, m^2 - N)$ para conseguir el triple ${displaystyle {big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){big)}}$ , que se puede escalar hasta

{displaystyle left({frac {am+Nb}{k}},{frac {a+bm}{k}},{frac {m^{2}-N}{k}}right).}

Cuando $m$ es elegido para que ${displaystyle {frac {a+bm}{k}}}$ es un entero, así que los otros dos números en el triple. Entre esos $m$ , el método elige uno que minimiza ${displaystyle {frac {m^{2}-N}{k}}}$ y repite el proceso. Este método siempre termina con una solución (probado por Joseph-Louis Lagrange en 1768). Bhaskara lo usó para dar la solución x=1766319049, Sí.=226153980 a la N= 61 caso.

Varios matemáticos europeos redescubrieron cómo resolver la ecuación de Pell en el siglo XVII. Pierre de Fermat descubrió cómo resolver la ecuación y en una carta de 1657 la emitió como un desafío para los matemáticos ingleses. En una carta a Kenelm Digby, Bernard Frénicle de Bessy dijo que Fermat encontró la solución más pequeña para N hasta 150 y desafió a John Wallis a resolver los casos N = 151 o 313 Tanto Wallis como William Brouncker dieron soluciones a estos problemas, aunque Wallis sugiere en una carta que la solución se debió a Brouncker.

La conexión de John Pell con la ecuación es que revisó la traducción de Thomas Branker del libro Teutsche Algebra de Johann Rahn de 1659 al inglés, con una discusión sobre Brouncker y #39;s solución de la ecuación. Leonhard Euler pensó erróneamente que esta solución se debía a Pell, por lo que nombró a la ecuación en honor a Pell.

La teoría general de la ecuación de Pell, basada en fracciones continuas y manipulaciones algebraicas con números de la forma ${displaystyle P+Q{sqrt {a}},}$ fue desarrollado por Lagrange en 1766-1769.

Soluciones

Solución fundamental mediante fracciones continuas

Vamos ${displaystyle h_{i}/k_{i}}$ denota la secuencia de convergentes a la fracción continua regular para ${sqrt {n}}$ . Esta secuencia es única. Luego el par $(x_{1},y_{1})$ resolver la ecuación de Pell y minimizar x satisfizo x₁ = h_i y Sí.₁ = k_i para algunos i. Este par se llama solución fundamental. Así, la solución fundamental se puede encontrar realizando la expansión continua de la fracción y probando cada convergente sucesivo hasta que se encuentre una solución a la ecuación de Pell.

El tiempo para encontrar la solución fundamental utilizando el método de fracción continua, con la ayuda del algoritmo Schönhage-Strassen para la multiplicación rápida de enteros, está dentro de un factor logarítmico del tamaño de la solución, el número de dígitos en el par $(x_{1},y_{1})$ . Sin embargo, este no es un algoritmo polinomio porque el número de dígitos en la solución puede ser tan grande como √n, mucho más grande que un polinomio en el número de dígitos en el valor de entrada n.

Soluciones adicionales de la solución fundamental

Una vez que se encuentra la solución fundamental, todas las soluciones restantes se pueden calcular algebraicamente a partir de

{displaystyle x_{k}+y_{k}{sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{sqrt {n}})^{k},}

ampliando el lado derecho, equiparando los coeficientes de ${sqrt {n}}$ en ambos lados, y equiparando los demás términos en ambos lados. Esto produce las relaciones de recurrencia

{displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}

{displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}

Representación concisa y algoritmos más rápidos

Aunque escribiendo la solución fundamental (x₁, y₁) como un par de números binarios puede requerir una gran cantidad de bits, en muchos casos puede representarse de manera más compacta en la forma

x_1+y_1sqrt n = prod_{i=1}^t (a_i + b_isqrt n)^{c_i}

utilizando números enteros mucho más pequeños a_i, b_i y c_i.

Por ejemplo, el problema del ganado de Arquímedes es equivalente a la ecuación de Pell ${displaystyle x^{2}-410,286,423,278,424y^{2}=1}$ , cuya solución fundamental 206545 dígitos si se escribe explícitamente. Sin embargo, la solución también es igual a

{displaystyle x_{1}+y_{1}{sqrt {n}}=u^{2329},}

dónde

{displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{sqrt {4,729,494}}=(300,426,607,914,281,713,365{sqrt {609}}+84,129,507,677,858,393,258{sqrt {7766}})^{2}}

y ${displaystyle x'_{1}}$ y ${displaystyle y'_{1}}$ sólo tienen 45 y 41 dígitos decimales respectivamente.

Los métodos relacionados con el método de tamiz cuadrático para la factorización de enteros se pueden usar para recopilar relaciones entre números primos en el campo numérico generado por √n y combinar estas relaciones para encontrar una representación de producto de este tipo. El algoritmo resultante para resolver la ecuación de Pell es más eficiente que el método de la fracción continua, aunque requiere más tiempo que el polinomial. Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann generalizada, se puede demostrar que toma tiempo

exp O(sqrt{log Nloglog N}),

donde N = log n es el tamaño de entrada, similar al tamiz cuadrático.

Algoritmos cuánticos

Hallgren demostró que una computadora cuántica puede encontrar una representación del producto, como se describe arriba, para la solución de la ecuación de Pell en tiempo polinomial. El algoritmo de Hallgren, que puede interpretarse como un algoritmo para encontrar el grupo de unidades de un cuerpo numérico cuadrático real, fue extendido a campos más generales por Schmidt y Völlmer.

Ejemplo

Como ejemplo, considere la instancia de la ecuación de Pell para n = 7; es decir,

{displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}

La secuencia de convergentes para la raíz cuadrada de siete son

h/k (convergente)	h²7 -k² (Aproximación tipo pell)
2/1	−3
3/1	+2
5/2	−3
8/3	+ 1

Por lo tanto, la solución fundamental está formada por el par (8, 3). La aplicación de la fórmula de recurrencia a esta solución genera la secuencia infinita de soluciones

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213);...x) y A001080 (Sí.) en OEIS

La solución más pequeña puede ser muy grande. Por ejemplo, la solución más pequeña ${displaystyle x^{2}-313y^{2}=1}$ es (32188120829134849,1819380158564160), y esta es la ecuación que Frenicle desafió a Wallis para resolver. Valores de n tal que la solución más pequeña $x^2 - ny^2 = 1$ es mayor que la solución más pequeña para cualquier valor menor n son

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949,... (secuencia A033316 en el OEIS).

(Para estos registros, consulte OEIS: A033315 para x y OEIS: A033319 para y.)

Lista de soluciones fundamentales de las ecuaciones de Pell

A continuación figura una lista de la solución fundamental $x^2 - ny^2 = 1$ con n ≤ 128. Para cuadrado n, no hay solución excepto (1, 0). Los valores de x son secuencia A002350 y los de Sí. son secuencia A002349 en OEIS.

n	x	Sí.
1	–	–
2	3	2
3	2	1
4	–	–
5	9	4
6	5	2
7	8	3
8	3	1
9	–	–
10	19	6
11	10	3
12	7	2
13	649	180
14	15	4
15	4	1
16	–	–
17	33	8
18	17	4
19	170	39
20	9	2
21	55	12
22	197	42
23	24	5
24	5	1
25	–	–
26	51	10
27	26	5
28	127	24
29	9801	1820
30	11	2
31	1520	273
32	17	3

n	x	Sí.
33	23	4
34	35	6
35	6	1
36	–	–
37	73	12
38	37	6
39	25	4
40	19	3
41	2049	320
42	13	2
43	3482	531
44	199	30
45	161	24
46	24335	3588
47	48	7
48	7	1
49	–	–
50	99	14
51	50	7
52	649	90
53	66249	9100
54	485	66
55	89	12
56	15	2
57	151	20
58	19603	2574
59	530	69
60	31	4
61	1766319049	226153980
62	63	8
63	8	1
64	–	–

n	x	Sí.
65	129	16
66	65	8
67	48842	5967
68	33	4
69	7775	936
70	251	30
71	3480	413
72	17	2
73	2281249	267000
74	3699	430
75	26	3
76	57799	6630
77	351	40
78	53	6
79	80	9
80	9	1
81	–	–
82	163	18
83	82	9
84	55	6
85	285769	30996
86	10405	1122
87	28	3
88	197	21
89	500001	53000
90	19	2
91	1574	165
92	1151	120
93	12151	1260
94	2143295	221064
95	39	4
96	49	5

n	x	Sí.
97	62809633	6377352
98	99	10
99	10	1
100	–	–
101	201	20
102	101	10
103	227528	22419
104	51	5
105	41	4
106	32080051	3115890
107	962	93
108	1351	130
109	158070671986249	15140424455100
110	21	2
111	295	28
112	127	12
113	1204353	113296
114	1025	96
115	1126	105
116	9801	910
117	649	60
118	306917	28254
119	120	11
120	11	1
121	–	–
122	243	22
123	122	11
124	4620799	414960
125	930249	83204
126	449	40
127	4730624	419775
128	577	51

Conexiones

La ecuación de Pell tiene conexiones con varios otros temas importantes de las matemáticas.

Teoría algebraica de números

La ecuación de Pell está estrechamente relacionada con la teoría de los números algebraicos, ya que la fórmula

x^2 - n y^2 = (x + ysqrt n)(x - ysqrt n)

es la norma para el anillo $mathbb{Z}[sqrt{n}]$ y para el campo cuadrático estrechamente relacionado $mathbb{Q}(sqrt{n})$ . Así, un par de enteros $(x,y)$ soluciones Ecuación de Pell si y sólo si $x + y sqrt{n}$ es una unidad con la norma 1 en $mathbb{Z}[sqrt{n}]$ . Teorema de unidad de Dirichlet, que todas las unidades $mathbb{Z}[sqrt{n}]$ se puede expresar como poderes de una sola unidad fundamental (y multiplicación por un signo), es un remanente algebraico del hecho de que todas las soluciones a la ecuación de Pell pueden ser generadas a partir de la solución fundamental. La unidad fundamental se puede encontrar en general resolviendo una ecuación similar a Pell, pero no siempre corresponde directamente a la solución fundamental de la ecuación misma de Pell, porque la unidad fundamental puede tener norma −1 en lugar de 1 y sus coeficientes pueden ser medio enteros en lugar de enteros.

Polinomios de Chebyshev

Demeyer menciona una conexión entre la ecuación de Pell y los polinomios Chebyshev: Si ${displaystyle T_{i}(x)}$ y ${displaystyle U_{i}(x)}$ son los polinomios Chebyshev de primer y segundo tipo respectivamente, entonces estos polinomios satisfacen una forma de la ecuación de Pell en cualquier anillo polinomio $R[x]$ , con ${displaystyle n=x^{2}-1}$ :

{displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}

Por lo tanto, estos polinomios pueden generarse mediante la técnica estándar para las ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental:

{displaystyle T_{i}+U_{i-1}{sqrt {x^{2}-1}}=(x+{sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}

Se puede observar además que si $(x_{i},y_{i})$ son las soluciones a cualquier ecuación de Pell entero, entonces ${displaystyle x_{i}=T_{i}(x_{1})}$ y ${displaystyle y_{i}=y_{1}U_{i-1}(x_{1})}$ .

Fracciones continuas

Un desarrollo general de soluciones de la ecuación de Pell $x^2 - ny^2 = 1$ en términos de fracciones continuas de ${sqrt {n}}$ se puede presentar, como las soluciones x y Sí. son aproximados a la raíz cuadrada n y por lo tanto son un caso especial de aproximaciones de fracción continua para los irracionales cuadráticos.

La relación con las fracciones continuas implica que las soluciones de la ecuación de Pell forman un subconjunto de semigrupos del grupo modular. Así, por ejemplo, si p y q satisfacen la ecuación de Pell, entonces

begin{pmatrix} p & q \ nq & p end{pmatrix}

es una matriz de determinante unitario. Los productos de tales matrices toman exactamente la misma forma y, por lo tanto, todos esos productos dan soluciones a la ecuación de Pell. Esto puede entenderse en parte como resultado del hecho de que los convergentes sucesivos de una fracción continua comparten la misma propiedad: Si p_k−1/ q_k−1 y p_k/ q_k son dos convergentes sucesivos de una fracción continua, entonces la matriz

begin{pmatrix} p_{k-1} & p_{k} \ q_{k-1} & q_{k} end{pmatrix}

tiene determinante (−1)^k.

Números suaves

El teorema de Størmer aplica las ecuaciones de Pell para encontrar pares de números lisos consecutivos, enteros positivos cuyos factores primos son todos menores que un valor dado. Como parte de esta teoría, Størmer también investigó las relaciones de divisibilidad entre las soluciones de la ecuación de Pell; en particular, mostró que cada solución que no sea la solución fundamental tiene un factor primo que no divide a n.

La ecuación negativa de Pell

La ecuación negativa de Pell está dada por

{displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}

y también ha sido ampliamente estudiado. Se puede resolver por el mismo método de fracciones continuas y tiene soluciones si y solo si el período de la fracción continua tiene longitud impar. Sin embargo, no se sabe qué raíces tienen longitudes de períodos impares y, por lo tanto, no se sabe cuándo se puede resolver la ecuación negativa de Pell. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la resolución es que n no sea divisible por 4 o por un primo de la forma 4k + 3. Así, por ejemplo, x² − 3ny² = −1 nunca tiene solución, pero x² − 5ny² = −1 puede ser.

Los primeros números n para los que x² − ny² = −1 tiene solución son

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97,... A031396 en el OEIS).

Vamos ${displaystyle alpha =Pi _{j{text{ is odd}}}(1-2^{j})}$ . La proporción de libre de plazas n divisible por k primos de la forma 4m+ 1 para el cual la ecuación negativa de Pell es solvable es al menos α. Cuando el número de divisores primarios no está fijo, la proporción es dada por 1 -α.

Si la ecuación negativa de Pell tiene una solución para un n particular, su solución fundamental conduce a la fundamental para el caso positivo elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación definitoria:

{displaystyle (x^{2}-ny^{2})^{2}=(-1)^{2}}

implica

{displaystyle (x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.}

Como se indicó anteriormente, si la ecuación negativa de Pell es solvable, se puede encontrar una solución utilizando el método de fracciones continuas como en la ecuación positiva de Pell. Sin embargo, la relación de recursión funciona ligeramente diferente. Desde ${displaystyle (x+{sqrt {n}}y)(x-{sqrt {n}}y)=-1}$ , la siguiente solución se determina en términos de ${displaystyle i(x_{k}+{sqrt {n}}y_{k})=(i(x+{sqrt {n}}y))^{k}}$ cuando hay una coincidencia, es decir, cuando $k$ Es extraño. La relación de recursión resultante es (modulo un signo menos, que es inmaterial debido a la naturaleza cuadrática de la ecuación)

{displaystyle x_{k}=x_{k-2}x_{1}^{2}+nx_{k-2}y_{1}^{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1},}

{displaystyle y_{k}=y_{k-2}x_{1}^{2}+ny_{k-2}y_{1}^{2}+2x_{k-2}y_{1}x_{1},}

lo que da una torre infinita de soluciones a la ecuación negativa de Pell.

Ecuación de Pell generalizada

La ecuación

{displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}

se llama generalizado (o general) Ecuación de Pell. La ecuación ${displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ es el correspondiente Pell está resuelto.. Un algoritmo recurrente fue dado por Lagrange en 1768 para resolver la ecuación, reduciendo el problema al caso $<math alttext="{displaystyle |N|SilencioNSilencio.d{displaystyle TENSITO NO SUPERTENIDO {fn} <img alt="{displaystyle |N|$ . Tales soluciones pueden derivarse utilizando el método de fracturas continuas que se describe anteriormente.

Si $(x_0, y_0)$ es una solución ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=N,}$ y ${displaystyle (u_{n},v_{n})}$ es una solución ${displaystyle u^{2}-dv^{2}=1,}$ entonces ${displaystyle (x_{n},y_{n})}$ tales que ${displaystyle x_{n}+y_{n}{sqrt {d}}={big (}x_{0}+y_{0}{sqrt {d}}{big)}{big (}u_{n}+v_{n}{sqrt {d}}{big)}}$ es una solución ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ , un principio llamado principio multiplicativo. La solución ${displaystyle (x_{n},y_{n})}$ se llama Pell multiple de la solución $(x_0, y_0)$ .

Existe un conjunto finito de soluciones ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ tal que cada solución es un Pell múltiples de una solución de ese conjunto. En particular, si $(u,v)$ es la solución fundamental ${displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ , entonces cada solución a la ecuación es un Pell múltiple de una solución $(x,y)$ con ${displaystyle |x|leq {sqrt {|N|}}left({sqrt {|U|}}+1right)/2}$ y ${displaystyle |y|leq {sqrt {|N|}}left({sqrt {|U|}}+1right)/{big (}2{sqrt {d}}{big)}}$ , donde ${displaystyle U=u+v{sqrt {d}}}$ .

Si x y Sí. son soluciones inteligentes positivas a la ecuación de Pell con $<math alttext="{displaystyle |N|SilencioNSilencio.d{displaystyle TENSITO NO SUPERTENIDO {fn} <img alt="{displaystyle |N|$ , entonces $x/y$ es una convergencia a la fracción continua ${displaystyle {sqrt {d}}}$ .

Las soluciones a la ecuación de Pell generalizada se utilizan para resolver ciertas ecuaciones diofánticas y unidades de ciertos anillos, y surgen en el estudio de SIC-POVM en la teoría cuántica de la información.

La ecuación

{displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}

es similar al resuelto ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ en que si una solución mínima ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ se puede encontrar, entonces todas las soluciones de la ecuación se pueden generar de manera similar al caso $N=1$ . Por cierto $d$ , soluciones a ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ se puede generar de aquellos con ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ , en eso si ${displaystyle dequiv 5{pmod {8}},}$ entonces cada tercera solución ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ tiene $x,y$ incluso, generando una solución ${displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ .