Batalla de sexos (teoría de juegos)

En teoría de juegos, la batalla de sexos es un juego de coordinación para dos jugadores que también involucra elementos de conflicto. El juego fue introducido en 1957 por R. Duncan Luce y Howard Raiffa en su libro clásico, Games and Decisions. Algunos autores prefieren evitar asignar sexos a los jugadores y en su lugar utilizan los Jugadores 1 y 2, y algunos se refieren al juego como Bach o Stravinsky, utilizando dos conciertos como dos eventos. La descripción del juego aquí sigue la historia original de Luce y Raiffa.

Imagina que un hombre y una mujer esperan conocer esta noche, pero tienen una opción entre dos eventos para asistir: una pelea de premios y un ballet. El hombre preferiría ir a la pelea de premios. La mujer preferiría el ballet. Ambos preferirían ir al mismo evento en lugar de diferentes. Si no pueden comunicarse, ¿dónde deberían ir?

La matriz de pago etiquetada "Battle of the Sexes (1)" muestra los pagos cuando el hombre elige una fila y la mujer elige una columna. En cada celda, el primer número representa el pago del hombre y el segundo número de la mujer.

Esta representación estándar no tiene en cuenta el daño adicional que podría derivarse no sólo de ir a lugares diferentes, sino también al lugar equivocado (por ejemplo, el hombre va al ballet mientras la mujer va a la pelea de premios, satisfaciendo ni). Para tener en cuenta esto, el juego estaría representado en la "Batalla de los sexos (2)", donde cada jugador tiene un pago de 2 porque al menos puede asistir a sus eventos favoritos.

Análisis de equilibrio

Este juego tiene dos equilibrios de Nash de estrategia pura, uno en el que ambos jugadores van a la pelea por premios y otro en el que ambos van al ballet. También existe un equilibrio de Nash de estrategia mixta, en el que los jugadores aleatorizan utilizando probabilidades específicas. Para los pagos enumerados en La batalla de los sexos (1), en el equilibrio de estrategia mixta el hombre va a la pelea por el premio con una probabilidad de 3/5 y la mujer al ballet con una probabilidad de 3/5, por lo que terminan juntos en el premio. pelear con probabilidad 6/25 = (3/5)(2/5) y juntos en el ballet con probabilidad 6/25 = (2/5)(3/5).

Esto presenta un caso interesante para la teoría de juegos, ya que cada uno de los equilibrios de Nash es deficiente de alguna manera. Los dos equilibrios de Nash de estrategias puras son injustos; un jugador siempre lo hace mejor que el otro. El equilibrio de Nash de estrategia mixta es ineficiente: los jugadores se coordinarán mal con una probabilidad de 13/25, dejando a cada jugador con un rendimiento esperado de 6/5 (menos que el pago de 2 del equilibrio de estrategia pura menos favorecido de cada uno). Aún no está claro cómo se formarían las expectativas que darían lugar a un equilibrio particular.

Una posible resolución de la dificultad implica el uso de un equilibrio correlacionado. En su forma más simple, si los jugadores del juego tienen acceso a un dispositivo de aleatorización comúnmente observado, entonces podrían decidir correlacionar sus estrategias en el juego en función del resultado del dispositivo. Por ejemplo, si los jugadores pudieran lanzar una moneda antes de elegir sus estrategias, podrían acordar correlacionar sus estrategias basándose en el lanzamiento de la moneda, por ejemplo, eligiendo ballet en caso de cara y pelea de premios en caso de cruz. Observe que una vez que se revelan los resultados del lanzamiento de la moneda, ningún jugador tiene incentivos para alterar las acciones propuestas si cree que el otro no lo hará. El resultado es que siempre se logra una coordinación perfecta y, antes del lanzamiento de la moneda, los beneficios esperados para los jugadores son exactamente iguales. Sin embargo, sigue siendo cierto que incluso si existe un dispositivo de correlación, los equilibrios de Nash en los que los jugadores lo ignoran permanecerán; Los equilibrios correlacionados requieren tanto la existencia de un dispositivo de correlación como la expectativa de que ambos jugadores lo utilizarán para tomar su decisión.