Axiomas de Peano

En lógica matemática, los axiomas de Peano, también conocidos como axiomas de Dedekind-Peano o postulados de Peano, son axiomas de la naturaleza números presentados por el matemático italiano del siglo XIX Giuseppe Peano. Estos axiomas se han utilizado casi sin cambios en una serie de investigaciones metamatemáticas, incluida la investigación de cuestiones fundamentales sobre si la teoría de números es consistente y completa.

La necesidad de formalizar la aritmética no fue bien apreciada hasta el trabajo de Hermann Grassmann, quien demostró en la década de 1860 que muchos hechos aritméticos podían derivarse de hechos más básicos sobre la operación sucesora y la inducción. En 1881, Charles Sanders Peirce proporcionó una axiomatización de la aritmética de números naturales. En 1888, Richard Dedekind propuso otra axiomatización de la aritmética de números naturales y, en 1889, Peano publicó una versión simplificada de ellos como una colección de axiomas en su libro Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método (en latín: Arithmetices principia, nova methodo exposita).

Los nueve axiomas de Peano contienen tres tipos de enunciados. El primer axioma afirma la existencia de al menos un miembro del conjunto de los números naturales. Los siguientes cuatro son declaraciones generales sobre la igualdad; en los tratamientos modernos, estos a menudo no se toman como parte de los axiomas de Peano, sino más bien como axiomas de la "lógica subyacente". Los siguientes tres axiomas son enunciados de primer orden sobre números naturales que expresan las propiedades fundamentales de la operación sucesora. El noveno axioma final es una declaración de segundo orden del principio de inducción matemática sobre los números naturales, lo que hace que esta formulación se acerque a la aritmética de segundo orden. Un sistema de primer orden más débil llamado aritmética de Peano se obtiene agregando explícitamente los símbolos de operación de suma y multiplicación y reemplazando el axioma de inducción de segundo orden con un esquema de axioma de primer orden.

Formulación histórica de segundo orden

Cuando Peano formuló sus axiomas, el lenguaje de la lógica matemática estaba en su infancia. El sistema de notación lógica que creó para presentar los axiomas no demostró ser popular, aunque fue la génesis de la notación moderna para la pertenencia a conjuntos (∈, que proviene de ε de Peano) y la implicación (⊃, que proviene de la 'C' invertida de Peano.) Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos, que aún no era común en las matemáticas; tal separación había sido introducida por primera vez en el Begriffsschrift de Gottlob Frege, publicado en 1879. Peano desconocía el trabajo de Frege y recreó de forma independiente su aparato lógico basado en el trabajo de Boole y Schröder.

Los axiomas de Peano definen las propiedades aritméticas números naturales, generalmente representado como un conjunto N o ${displaystyle mathbb {N}$ Los símbolos no-lógicos para los axiomas consisten en un símbolo constante 0 y un símbolo de función no-lógica S.

El primer axioma establece que la constante 0 es un número natural:

La formulación original de los axiomas de Peano usaba 1 en lugar de 0 como el "primero" número natural, mientras que los axiomas en Formulario mathematico incluyen el cero.

Los siguientes cuatro axiomas describen la relación de igualdad. Dado que son lógicamente válidos en lógica de primer orden con igualdad, no se consideran parte de "los axiomas de Peano" en los tratamientos modernos.

Los axiomas restantes definen las propiedades aritméticas de los números naturales. Se supone que los naturales están cerrados bajo un "sucesor" función S.

La cadena de dominó ligeros, empezando por el más cercano, puede representar N, sin embargo, los axiomas 1-8 también están satisfechos por el conjunto de todos los dominó ligeros y oscuros. El noveno axioma (inducción) límites N a la cadena de piezas de luz ("no basura") como sólo dominó de luz caerá cuando el más cercano sea derribado.

Los axiomas 1, 6, 7, 8 definen una representación unaria de la noción intuitiva de números naturales: el número 1 puede definirse como S(0), 2 como S(S(0)), etc. Sin embargo, considerando que la noción de números naturales está definida por estos axiomas, los axiomas 1, 6, 7, 8 no implican que la función sucesora genere todos Los números naturales diferentes de 0.

La noción intuitiva de que cada número natural se puede obtener aplicando sucesor con la suficiente frecuencia a cero requiere un axioma adicional, que a veces se denomina axioma de inducción.

El axioma de inducción a veces se expresa de la siguiente forma:

En la formulación original de Peano, el axioma de inducción es un axioma de segundo orden. Ahora es común reemplazar este principio de segundo orden con un esquema de inducción de primer orden más débil. Existen diferencias importantes entre las formulaciones de segundo y primer orden, como se analiza en la sección § La aritmética de Peano como teoría de primer orden a continuación.

Definición de operaciones y relaciones aritméticas

Si usamos el axioma de inducción de segundo orden, es posible definir la suma, la multiplicación y el orden total (lineal) en N directamente usando los axiomas. Sin embargo, con inducción de primer orden, esto no es posible y la suma y la multiplicación a menudo se agregan como axiomas. Las funciones y relaciones respectivas se construyen en teoría de conjuntos o lógica de segundo orden, y se puede demostrar que son únicas utilizando los axiomas de Peano.

Adición

La suma es una función que asigna dos números naturales (dos elementos de N) a otro. Se define recursivamente como:

${displaystyle {begin{aligned}a+0 limit=a, limit{textrm {(1)}\a+S(b) simultáneamente=S(a+b).$

Por ejemplo:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans)} }a+2=S(S(a)\{text{etc.} {fnMicrosoft Sans Serif}}}$

La estructura (N, +) es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0. ( N, +) es también un magma cancelativo y, por lo tanto, integrable en un grupo. El grupo más pequeño que incrusta N son los números enteros.

Multiplicación

Del mismo modo, la multiplicación es una función que relaciona dos números naturales con otro. Dada la suma, se define recursivamente como:

${displaystyle {begin{aligned}acdot 0 limit=0,acdot S(b) limit=a+(acdot b).end{aligned}}$

Es fácil ver que ${displaystyle S(0)}$ (o "1", en el lenguaje familiar de la representación decimal) es la identidad correcta multiplicativa:

${displaystyle acdot S(0)=a+(acdot 0)=a+0=a}$

Para mostrar eso ${displaystyle S(0)}$ es también la identidad izquierda multiplicativa requiere el axioma de inducción debido a la forma en que se define la multiplicación:

• ${displaystyle S(0)}$ es la identidad izquierda de 0: ${displaystyle S(0)cdot 0=0}$.
• Si ${displaystyle S(0)}$ es la identidad izquierda de ${displaystyle a}$ (Eso es ${displaystyle S(0)cdot a=a}$), entonces ${displaystyle S(0)}$ es también la identidad izquierda de ${displaystyle S(a)}$: ${displaystyle S(0)cdot S(a)=S(0)+S(0)cdot a=S(0)+a=a+S(0)=S(a+0)=S(a)}$.

Por lo tanto, por el axioma de inducción ${displaystyle S(0)}$ es la identidad izquierda multiplicativa de todos los números naturales. Además, se puede demostrar que la multiplicación es conmutativa y distribuye sobre adición:

${displaystyle acdot (b+c)=(acdot b)+(acdot c)}$.

Así, ${displaystyle (mathbb {N}+,0,cdots(0)}$ es un semiring conmutativo.

Desigualdades

La relación de orden total habitual ≤ en números naturales se puede definir de la siguiente manera, suponiendo que 0 es un número natural:

Para todos a, b ▪ N, a ≤ b y sólo si existe c ▪ N tales que a + c = b.

Esta relación es estable bajo adición y multiplicación: para ${displaystyle a,b,cin mathbb {N}$, si a ≤ b, entonces:

• a + c ≤ b + c, y
• a · c ≤ b · c.

Así, la estructura (N, +, ·, 1, 0, ≤) es un semicírculo ordenado; debido a que no hay un número natural entre 0 y 1, es un semiring ordenado discreto.

El axioma de inducción a veces se expresa de la siguiente forma que usa una hipótesis más fuerte, haciendo uso de la relación de orden "≤":

Para cualquier predicado φ, si

• φ(0) es verdad, y
• para todos n ▪ N, si φ()k) es verdad para todos k ▪ N tales que k ≤ n, entonces φ()S()n) es verdad,
• entonces por cada n ▪ N, φ()n) es verdad.

Esta forma del axioma de inducción, llamada inducción fuerte, es una consecuencia de la formulación estándar, pero suele ser más adecuada para razonar sobre el orden ≤. Por ejemplo, para mostrar que los elementos naturales están bien ordenados (cada subconjunto no vacío de N tiene un elemento mínimo), se puede razonar de la siguiente manera. Sea un X ⊆ N no vacío y asuma que X no tiene elemento mínimo.

• Porque 0 es el elemento menos importante N, debe ser que 0 ∉ X.
• Para cualquier n ▪ N, supongamos por cada k ≤ n, k ∉ X. Entonces... S()n∉ X, por lo demás sería el menor elemento X.

Así, por el principio de inducción fuerte, para cada n ∈ N, n ∉ X. Por lo tanto, X ∩ N = ∅, lo que contradice que X es un subconjunto no vacío de < b>N. Por lo tanto, X tiene un elemento mínimo.

Modelos

Un modelo de los axiomas de Peano es un triple (N, 0, S), donde N es un conjunto (necesariamente infinito), 0 ∈ N y S: N → N satisface los axiomas anteriores. Dedekind demostró en su libro de 1888, La naturaleza y el significado de los números (en alemán: Was sind und was sollen die Zahlen?, es decir, "¿Cuáles son los números y para qué sirven?”) que dos modelos cualesquiera de los axiomas de Peano (incluido el axioma de inducción de segundo orden) son isomorfos. En particular, dados dos modelos (N_A, 0_A, S_A) y (N_B, 0_B, S_B ) de los axiomas de Peano, existe un único homomorfismo f: N_A → N_B satisfactoria

${displaystyle {begin{aligned}f(0_{A}) Condenado=0_{B}f(S_{A}(n)$

y es una biyección. Esto significa que los axiomas de Peano de segundo orden son categóricos. (Este no es el caso con ninguna reformulación de primer orden de los axiomas de Peano, a continuación).

Modelos de teoría de conjuntos

Los axiomas de Peano se pueden derivar de construcciones teóricas de conjuntos de los números naturales y axiomas de la teoría de conjuntos como ZF. La construcción estándar de los naturales, debida a John von Neumann, comienza con una definición de 0 como el conjunto vacío, ∅, y un operador s en conjuntos definidos como:

${displaystyle s(a)=acup {a}$

El conjunto de los números naturales N se define como la intersección de todos los conjuntos cerrados bajo s que contienen el conjunto vacío. Cada número natural es igual (como conjunto) al conjunto de los números naturales menores que él:

${displaystyle {begin{aligned}0 limit=emptyset1 =s(0)=s(emptyset)=emptyset cup {emptyset #={emptyset }={0\}2 âTMa=s(1)=s({0}={0}cup0}cup {0,1}3 â0,}{0,1\}\3 consigu=s(2)=s({0,1})={0,1cup0,1}cup0 {fn0,1}\fnMicrosoft Sans Serif}$

y así sucesivamente. El conjunto N junto con 0 y la función sucesora s: N → N satisface los axiomas de Peano.

La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos. Uno de esos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. Otro sistema de este tipo consiste en la teoría general de conjuntos (extensionalidad, existencia del conjunto vacío y el axioma de la adjunción), aumentada por un esquema axiomático que establece que una propiedad que se cumple para el conjunto vacío y se cumple para una adjunción siempre que se cumpla para la adjunción debe cumplir para todos los conjuntos.

Interpretación en teoría de categorías

Los axiomas de Peano también se pueden entender usando la teoría de categorías. Sea C una categoría con objeto terminal 1_C, y defina la categoría de sistemas unarios puntiagudos, US₁ (C) de la siguiente manera:

• Los objetos de EE.UU.₁()C) son triples ()X, 0_X, S_X) Donde X es un objeto C, y 0_X: 1_C → X y S_X: X → X son C- morfismos.
• Un morfismo φ#X, 0_X, S_X) →Y, 0_Y, S_Y) es un C- morfismo φ: X → Y con φ 0_X = 0_Y y φ S_X = S_Y φ.

Entonces se dice que C satisface los axiomas de Dedekind-Peano si US₁(C) tiene un objeto inicial; este objeto inicial se conoce como objeto de número natural en C. Si (N, 0, S) es este objeto inicial, y (< i>X, 0_X, S_X)< /span> es cualquier otro objeto, entonces el mapa único u: (N, 0, S) → (X, 0_X, S_X) es tal que

${displaystyle {begin{aligned}u(0) correspond=0_{X},u(Sx) limit=S_{X}(ux).end{aligned}}}$

Esta es precisamente la definición recursiva de 0_X y S_X.

Coherencia

Cuando se propusieron por primera vez los axiomas de Peano, Bertrand Russell y otros coincidieron en que estos axiomas definían implícitamente lo que entendemos por "número natural". Henri Poincaré fue más cauteloso y dijo que solo definían los números naturales si eran coherentes; si hay una prueba que comienza solo con estos axiomas y deriva una contradicción como 0 = 1, entonces los axiomas son inconsistentes y no definen nada. En 1900, David Hilbert planteó el problema de probar su consistencia usando solo métodos finitistas como el segundo de sus veintitrés problemas. En 1931, Kurt Gödel demostró su segundo teorema de incompletitud, lo que demuestra que tal prueba de consistencia no puede formalizarse dentro de la propia aritmética de Peano.

Aunque se afirma ampliamente que el teorema de Gödel descarta la posibilidad de una prueba de consistencia finitista para la aritmética de Peano, esto depende exactamente de lo que se entienda por prueba finitista. El mismo Gödel señaló la posibilidad de dar una prueba de consistencia finitista de la aritmética de Peano o sistemas más fuertes usando métodos finitistas que no son formalizables en la aritmética de Peano, y en 1958, Gödel publicó un método para probar la consistencia de la aritmética usando la teoría de tipos. En 1936, Gerhard Gentzen dio una prueba de la consistencia de los axiomas de Peano, usando inducción transfinita hasta un ordinal llamado ε0. Gentzen explicó: "El objetivo del presente artículo es probar la consistencia de la teoría elemental de números o, más bien, reducir la cuestión de la consistencia a ciertos principios fundamentales". Podría decirse que la prueba de Gentzen es finitista, ya que el ordinal transfinito ε₀ se puede codificar en términos de objetos finitos (por ejemplo, como una máquina de Turing que describe un orden adecuado en los números enteros, o de manera más abstracta como consistente en los árboles finitos, convenientemente ordenados linealmente). No está claro si la prueba de Gentzen cumple o no con los requisitos que imaginó Hilbert: no existe una definición generalmente aceptada de lo que significa exactamente una prueba finitista, y el propio Hilbert nunca dio una definición precisa.

La gran mayoría de los matemáticos contemporáneos creen que los axiomas de Peano son consistentes, dependiendo de la intuición o de la aceptación de una prueba de consistencia como la prueba de Gentzen. Un pequeño número de filósofos y matemáticos, algunos de los cuales también abogan por el ultrafinitismo, rechazan los axiomas de Peano porque aceptar los axiomas equivale a aceptar la colección infinita de números naturales. En particular, se supone que la adición (incluida la función sucesora) y la multiplicación son totales. Curiosamente, existen teorías autovergentes que son similares a la PA pero tienen resta y división en lugar de adición y multiplicación, que son axiomatizadas de tal manera de evitar la prueba de oraciones que corresponden a la totalidad de la adición y la multiplicación, pero que todavía son capaces de probar todo verdadero ${displaystyle Pi _{1}$ teoremas de PA, y sin embargo se puede extender a una teoría consistente que demuestra su propia consistencia (establecida como la no existencia de una prueba de estilo Hilbert de "0=1").

La aritmética de Peano como teoría de primer orden

Todos los axiomas de Peano excepto el noveno axioma (el axioma de inducción) son declaraciones en lógica de primer orden. Las operaciones aritméticas de suma y multiplicación y la relación de orden también se pueden definir usando axiomas de primer orden. El axioma de inducción anterior es de segundo orden, ya que cuantifica sobre predicados (equivalentemente, conjuntos de números naturales en lugar de números naturales). Como alternativa se puede considerar un esquema axiomático de primer orden de inducción. Dicho esquema incluye un axioma por predicado definible en el lenguaje de primer orden de la aritmética de Peano, lo que lo hace más débil que el axioma de segundo orden. La razón por la que es más débil es que la cantidad de predicados en el lenguaje de primer orden es contable, mientras que la cantidad de conjuntos de números naturales es incontable. Por lo tanto, existen conjuntos que no pueden describirse en lenguaje de primer orden (de hecho, la mayoría de los conjuntos tienen esta propiedad).

Las axiomatizaciones de primer orden de la aritmética de Peano tienen otra limitación técnica. En la lógica de segundo orden, es posible definir las operaciones de suma y multiplicación a partir de la operación sucesora, pero esto no se puede hacer en la configuración más restrictiva de la lógica de primer orden. Por tanto, las operaciones de suma y multiplicación se incluyen directamente en la signatura aritmética de Peano, y se incluyen axiomas que relacionan las tres operaciones entre sí.

La siguiente lista de axiomas (junto con los axiomas usuales de igualdad), que contiene seis de los siete axiomas de la aritmética de Robinson, es suficiente para este propósito:

• ${displaystyle forall x (0neq S(x)}$
• ${displaystyle forall x,y (S(x)=S(y)Rightarrow x=y)}$
• ${displaystyle forall x (x+0=x)}$
• ${displaystyle forall x,y (x+S(y)=S(x+y)}$
• ${displaystyle forall xcdot 0=0}$
• ${displaystyle forall x,y (xcdot S(y)=xcdot y+x)}$

Además de esta lista de axiomas numéricos, la aritmética de Peano contiene el esquema de inducción, que consta de un conjunto recursivamente enumerable e incluso decidible de axiomas. Para cada fórmula φ(x, y₁,..., y_k) en el lenguaje de la aritmética de Peano, el axioma de inducción de primer orden para < i>φ es la oración

${displaystyle forall {bar {}{Bigg (}{bigg (}varphi (0,{bar {y}})land forall x{Big (}varphi (x,{bar {y}) Rightarrow varphi (S(x),{bar {y}){Big)}{bigg)} Rightarrow forall xvarphi (x,{bar {y}){Bigg)}}$

Donde ${displaystyle {bar {y}}}$ es una abreviatura para Sí.₁,...Sí._k. El esquema de inducción de primer orden incluye cada instancia del axioma de inducción de primer orden; es decir, incluye el axioma de inducción para cada fórmula φ.

Axiomatizaciones equivalentes

Hay muchas axiomatizaciones diferentes, pero equivalentes, de la aritmética de Peano. Mientras que algunas axiomatizaciones, como la que acabamos de describir, usan una firma que solo tiene símbolos para el 0 y las operaciones de sucesor, suma y multiplicación, otras axiomatizaciones usan el lenguaje de semianillos ordenados, incluido un símbolo de relación de orden adicional. Una de esas axiomatizaciones comienza con los siguientes axiomas que describen un semiring ordenado discreto.

1. ${displaystyle forall x,y,z (x+y)+z=x+(y+z)}$La adición es asociativa.
2. ${displaystyle forall x,y (x+y=y+x)}$, es decir, la adición es conmutativa.
3. ${displaystyle forall x,y,z (xcdot y)cdot z=xcdot (ycdot z)}$La multiplicación es asociativa.
4. ${displaystyle forall x,ycdot y=ycdot x)}$La multiplicación es conmutativa.
5. ${displaystyle forall x,y,z (xcdot (y+z)=(xcdot y)+(xcdot z)}$, es decir, la multiplicación distribuye sobre adición.
6. ${displaystyle forall x (x+0=xland xcdot 0=0)}$, es decir, cero es una identidad para adición, y un elemento absorbente para la multiplicación (realmente superfluo).
7. ${displaystyle forall xcdot 1=x)}$, es decir, uno es una identidad para la multiplicación.
8. ${displaystyle forall x,y,z (x seccionóland y seleccionózRightarrow x se hizo realidad)}$, es decir, el operador 'cantado' es transitivo.
9. ${displaystyle forall x (neg (xierex)}$, es decir, el operador 'cantado' es irreflexivo.
10. ${displaystyle forall x,y (xtraducidolor x=ylor y identificadox)}$Es decir, la tricotomía de satisfios.
11. ${displaystyle forall x,y,z (x seleccionadoRightarrow x+z armonizado+z)}$, es decir, el orden se conserva bajo adición del mismo elemento.
12. ${displaystyle forall x,y,z (0 madezland x secuestrado Rightarrow xcdot z madeycdot z)}$, es decir, el orden se conserva bajo la multiplicación por el mismo elemento positivo.
13. ${displaystyle forall x,y (x seleccionadoRightarrow exists z (x+z=y)}$, es decir, dadas dos elementos distintos, el mayor es el menor más otro elemento.
14. ${displaystyle 0 made1forall x(x0Rightarrow xgeq)}$, es decir, cero y uno son distintos y no hay elemento entre ellos. En otras palabras, 0 está cubierto por 1, lo que sugiere que los números naturales son discretos.
15. ${displaystyle forall x (xgeq 0)}$Es decir, cero es el elemento mínimo.

La teoría definida por estos axiomas se conoce como PA⁻; la teoría PA se obtiene añadiendo el esquema de inducción de primer orden. Una propiedad importante de PA⁻ es que cualquier estructura ${displaystyle M}$ satisfacer esta teoría tiene un segmento inicial (ordenado por ${displaystyle leq }$) isomorfo a ${displaystyle mathbb {N}$. Los elementos en ese segmento se llaman estándar elementos, mientras que otros elementos se denominan no estándar elementos.

Indecidibilidad e incompletitud

Según los teoremas de incompletitud de Gödel, la teoría de PA (si es consistente) es incompleta. En consecuencia, hay sentencias de lógica de primer orden (FOL) que son verdaderas en el modelo estándar de PA pero que no son consecuencia de la axiomatización FOL. La incompletitud esencial ya surge para teorías con axiomas más débiles, como la aritmética de Robinson.

En estrecha relación con el resultado de incompletitud anterior (a través del teorema de completitud de Gödel para FOL), se deduce que no existe un algoritmo para decidir si una oración FOL determinada es consecuencia de una axiomatización de primer orden de la aritmética de Peano o no.. Por lo tanto, PA es un ejemplo de una teoría indecidible. La indecidibilidad surge ya para las oraciones existenciales de PA, debido a la respuesta negativa al décimo problema de Hilbert, cuya prueba implica que todos los conjuntos numerables computablemente son conjuntos diofánticos y, por lo tanto, definibles mediante fórmulas existencialmente cuantificadas. (con variables libres) de PA. Las fórmulas de PA con mayor rango de cuantificador (más alternancia de cuantificadores) que las fórmulas existenciales son más expresivas y definen conjuntos en los niveles más altos de la jerarquía aritmética.

Modelos no estándar

Aunque los números naturales habituales satisfacen los axiomas de PA, también existen otros modelos (llamados "modelos no estándar"); el teorema de compacidad implica que la existencia de elementos no estándar no puede excluirse en lógica de primer orden. El teorema ascendente de Löwenheim-Skolem muestra que existen modelos no estándar de PA de todas las cardinalidades infinitas. Este no es el caso de los axiomas de Peano originales (de segundo orden), que tienen un solo modelo, hasta el isomorfismo. Esto ilustra una forma en que el sistema PA de primer orden es más débil que los axiomas de Peano de segundo orden.

Cuando se interpreta como una prueba dentro de una teoría de conjuntos de primer orden, como ZFC, la prueba de categoricidad de Dedekind para PA muestra que cada modelo de teoría de conjuntos tiene un modelo único de los axiomas de Peano, hasta el isomorfismo, que se incrusta como un segmento inicial de todos los demás modelos de PA contenidos dentro de ese modelo de teoría de conjuntos. En el modelo estándar de la teoría de conjuntos, este modelo más pequeño de PA es el modelo estándar de PA; sin embargo, en un modelo no estándar de teoría de conjuntos, puede ser un modelo no estándar de PA. Esta situación no puede evitarse con ninguna formalización de primer orden de la teoría de conjuntos.

Es natural preguntarse si se puede construir explícitamente un modelo contable no estándar. La respuesta es afirmativa, ya que Skolem en 1933 proporcionó una construcción explícita de dicho modelo no estándar. Por otro lado, el teorema de Tennenbaum, demostrado en 1959, muestra que no existe un modelo contable no estándar de PA en el que la operación de suma o multiplicación sea computable. Este resultado muestra que es difícil ser completamente explícito al describir las operaciones de suma y multiplicación de un modelo contable no estándar de PA. Solo hay un tipo de orden posible de un modelo contable no estándar. Sea ω el tipo de orden de los números naturales, ζ el tipo de orden de los enteros y η el tipo de orden de los racionales, el tipo de orden de cualquier modelo contable no estándar de PA es ω + ζ·η, que se puede visualizar como una copia de los números naturales seguida de una densa ordenación lineal de copias de los números enteros.

Exceso

Un corte en un modelo no estándar M es un subconjunto no vacío C de M de modo que C es cerrado hacia abajo (x < y y y ∈ C ⇒ x ∈ C) y C se cierra bajo el sucesor. Un corte propio es un corte que es un subconjunto propio de M. Cada modelo no estándar tiene muchos cortes adecuados, incluido uno que corresponde a los números naturales estándar. Sin embargo, el esquema de inducción en la aritmética de Peano impide que se pueda definir cualquier corte adecuado. El lema del desbordamiento, demostrado por primera vez por Abraham Robinson, formaliza este hecho.