Atlas (topología)

En matemáticas, particularmente en topología, se describe una variedad utilizando un atlas. Un atlas consta de gráficos individuales que, en términos generales, describen regiones individuales de la variedad. Si la variedad es la superficie de la Tierra, entonces un atlas tiene su significado más común. En general, la noción de atlas subyace a la definición formal de una variedad y estructuras relacionadas, como haces de vectores y otros haces de fibras.

Gráficos

La definición de atlas depende de la noción de a Gráfico. A Gráfico para un espacio topológico M (también llamado a gráfico de coordenadas, Coordinar el parche, coordenadas mapa, o marco local) es un homeomorfismo φ φ {displaystyle varphi } de un subconjunto abierto U de M a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano. El gráfico se registra tradicionalmente como el par ordenado ()U,φ φ ){displaystyle (U,varphi)}.

Definición formal de atlas

An atlas para un espacio topológico M{displaystyle M} es una familia indexada {}()Uα α ,φ φ α α ):α α ▪ ▪ I}{displaystyle { {\\alpha },varphi _{alpha }:alpha in I}} de gráficos en M{displaystyle M} que abarca M{displaystyle M} (es decir, ⋃ ⋃ α α ▪ ▪ IUα α =M{textstyle bigcup _{alpha in Yo... }=M}). Si el codominio de cada tabla es el n-dimensional Espacio euclidiano, entonces M{displaystyle M} se dice que es un n- Manifold dimensional.

El plural de atlas es atlases, aunque algunos autores usan atlantes.

Un atlas ()Ui,φ φ i)i▪ ▪ I{displaystyle left(U_{i},varphi _{i}right)_{iin I} on an n{displaystyle n}- manifold dimensional M{displaystyle M} se llama atlas adecuadas si la imagen de cada tabla es Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} o R+n{displaystyle mathbb {R} _{+} {n} {fn}, ()Ui)i▪ ▪ I{displaystyle left(U_{i}right)_{iin I} es una cubierta abierta localmente finita M{displaystyle M}, y M=⋃ ⋃ i▪ ▪ Iφ φ i− − 1()B1){textstyle M=bigcup _{iin I}varphi ¿Por qué?, donde B1{displaystyle B_{1} es la bola abierta del radio 1 centrado en el origen y R+n{displaystyle mathbb {R} _{+} {n} {fn} es el medio espacio cerrado. Cada doble de cuenta admite un atlas adecuado. Además, si V=()Vj)j▪ ▪ J{displaystyle {mathcal {V}=left(V_{j}right)_{jin J. es una cubierta abierta de la segunda mano M{displaystyle M} entonces hay un atlas adecuado ()Ui,φ φ i)i▪ ▪ I{displaystyle left(U_{i},varphi _{i}right)_{iin I} on M{displaystyle M} tales que ()Ui)i▪ ▪ I{displaystyle left(U_{i}right)_{iin I} es un refinamiento V{displaystyle {fnMithcal}}.

Mapas de transición

M{displaystyle M}

Uα α {displaystyle U_{alpha }

Uβ β {displaystyle U_{beta }

φ φ α α {displaystyle varphi _{alpha }

φ φ β β {displaystyle varphi _{beta }

τ τ α α ,β β {displaystyle tau _{alphabeta }

τ τ β β ,α α {displaystyle tau _{betaalpha }

Rn{displaystyle mathbf {R} {n}

Rn{displaystyle mathbf {R} {n}

Dos cartas en un múltiple, y sus respectivos mapa de la transición

Un mapa de transición proporciona una forma de comparar dos gráficos de un atlas. Para hacer esta comparación, consideramos la composición de un gráfico con el inverso del otro. Esta composición no está bien definida a menos que restrinjamos ambos gráficos a la intersección de sus dominios de definición. (Por ejemplo, si tenemos un gráfico de Europa y un gráfico de Rusia, entonces podemos comparar estos dos gráficos en su superposición, es decir, la parte europea de Rusia).

Para ser más preciso, supongamos que ()Uα α ,φ φ α α ){displaystyle (U_{alpha },varphi _{alpha }} y ()Uβ β ,φ φ β β ){displaystyle (U_{beta },varphi _{beta })} son dos gráficos para un múltiple M tales que Uα α ∩ ∩ Uβ β {displaystyle U_{alpha *** U_{beta } no es vacío. El mapa de la transición τ τ α α ,β β :φ φ α α ()Uα α ∩ ∩ Uβ β )→ → φ φ β β ()Uα α ∩ ∩ Uβ β ){displaystyle tau _{alphabeta }:varphi _{alpha }cap U_{beta })to varphi _{beta }(U_{alpha }cap U_{beta })}} es el mapa definido por

τ τ α α ,β β =φ φ β β ∘ ∘ φ φ α α − − 1.{displaystyle tau _{alphabeta }=varphi _{beta }circo varphi ¿Qué?

Tenga en cuenta que desde entonces φ φ α α {displaystyle varphi _{alpha } y φ φ β β {displaystyle varphi _{beta } son ambos homeomorfismos, el mapa de transición τ τ α α ,β β {displaystyle tau _{alphabeta } es también un homeomorfismo.

Más estructura

A menudo se desea más estructura en una variedad que simplemente la estructura topológica. Por ejemplo, si a uno le gustaría una noción inequívoca de diferenciación de funciones en una variedad, entonces es necesario construir un atlas cuyas funciones de transición sean diferenciables. Tal variedad se llama diferenciable. Dada una variedad diferenciable, se puede definir sin ambigüedad la noción de vectores tangentes y luego derivadas direccionales.

Si cada función de transición es un mapa suave, entonces el atlas se llama un atlas suave, y el múltiple se llama suave. Alternativamente, se podría exigir que los mapas de transición sólo tengan k derivados continuos en cuyo caso se dice que el atlas es Ck{displaystyle C^{k}.

Muy generalmente, si cada función de transición pertenece a un pseudogrupo G{displaystyle {Mathcal {}}} de homeomorfismos del espacio Euclideano, entonces el atlas se llama un G{displaystyle {Mathcal {}}}- Ay. Si los mapas de transición entre los gráficos de un atlas preservan una trivialización local, el atlas define la estructura de un paquete de fibra.