Asociatividad de potencia

En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta, la asociación de potencias es una propiedad de una operación binaria que es una forma débil de asociatividad.

Definición

Se dice que un álgebra (o más generalmente un magma) es asociativo al poder si el subalgebra generada por cualquier elemento es asociativo. Concretamente, esto significa que si un elemento ${displaystyle x}$ se realiza una operación ${displaystyle *}$ por sí mismo varias veces, no importa en qué orden se llevan a cabo las operaciones, por ejemplo, ${displaystyle x*(x*(x*))=(x*(x*x*)*x=(x*x)*(x*x*)}$.

Ejemplos y propiedades

Cada álgebra asociativa es asociativa de potencias, pero también lo son todas las demás álgebras alternativas (como los octoniones, que no son asociativas) e incluso algunas álgebras no alternativas como las sedeniones y las álgebras de Okubo. Cualquier álgebra cuyos elementos sean idempotentes también es asociativa de potencias.

La exponenciación a la potencia de cualquier número entero positivo se puede definir de manera consistente siempre que la multiplicación sea asociativa de potencias. Por ejemplo, no es necesario distinguir si x³ debe definirse como (xx)x o como x(xx), ya que estos son iguales. La exponenciación a la potencia de cero también se puede definir si la operación tiene un elemento de identidad, por lo que la existencia de elementos de identidad es útil en contextos de asociación de potencia.

Sobre un campo de la característica 0, un álgebra es el poder-asociativo si y sólo si satisfies ${displaystyle [x,x,x]=0}$ y ${displaystyle [x^{2},x,x]=0}$, donde ${displaystyle [x,y,z]:=(xy)z-x(yz)}$ es el asociado (Albert 1948).

Sobre un campo infinito de características primitivas ${displaystyle p confía0}$ no hay un conjunto finito de identidades que caracterizan la asociación de poder, pero hay infinitos conjuntos independientes, como se describe en Gainov (1970):

• Para ${displaystyle p=2}$: ${displaystyle [x,x^{2},x]=0}$ y ${displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ para ${displaystyle n=3,2^{k}$ ()${displaystyle k=2,3...)}$
• Para ${displaystyle p=3}$: ${displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ para ${displaystyle n=4,5,3^{k}$ ()${displaystyle k=1,2...)}$
• Para ${displaystyle p=5}$: ${displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ para ${displaystyle n=3,4,6,5^{k}$ ()${displaystyle k=1,2...)}$
• Para ${displaystyle p fiel5}$: ${displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ para ${displaystyle n=3,4,p^{k}$ ()${displaystyle k=1,2...)}$

Se cumple una ley de sustitución para álgebras asociativas de potencia real con unidad, que básicamente afirma que la multiplicación de polinomios funciona como se esperaba. Para f un polinomio real en x, y para cualquier a en tal álgebra defina f( a) para ser el elemento del álgebra resultante de la sustitución obvia de a en f. Entonces, para cualquiera de estos dos polinomios f y g, tenemos que (fg)(a ) = f(a)g(a).