Aproximación de Stirling

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Aproximación para los factores

Comparación de la aproximación de Stirling con el factorial

En matemáticas, La aproximación de Stirling (o Fórmula de Stirling) es una aproximación para los factores. Es una buena aproximación, que conduce a resultados precisos incluso para valores pequeños de $n$ . Se llama después de James Stirling, aunque un resultado relacionado pero menos preciso fue declarado por primera vez por Abraham de Moivre.

Una forma de establecer la aproximación implica el logaritmo del factorial:

{displaystyle ln(n!)=nln n-n+O(ln n),}

n

{displaystyle ln(n!)}

{displaystyle nln n-n}

{displaystyle log _{2}(n!)=nlog _{2}n-nlog _{2}e+O(log _{2}n).}

{displaystyle {tfrac {1}{2}}log(2pi n)+O({tfrac {1}{n}})}

{displaystyle n!sim {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}.}

sim

n

para todos

ngeq 1

, en lugar de sólo asintotica

<math alttext="{displaystyle {sqrt {2pi n}} left({frac {n}{e}}right)^{n}e^{frac {1}{12n+1}}<n!2π π n()ne)ne112n+1.n!.2π π n()ne)ne112n.{displaystyle {sqrt {2pi n}\left {frac} {fn}right)}{n}e^{frac} {1}{12n+1} {sqrt {2pi n}left({frac {n}{e}}right)}{n}e^{frac} {fn}} {fn}}}} {fn} {fn}}fn}}}}fn} {fn} {fn}fn}fn}fn}fn}}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn} {1}{12n}}<img alt="{displaystyle {sqrt {2pi n}} left({frac {n}{e}}right)^{n}e^{frac {1}{12n+1}}<n!

Derivación

En términos generales, la versión más simple de la fórmula de Stirling se puede obtener rápidamente aproximando la suma

{displaystyle ln(n!)=sum _{j=1}^{n}ln j}

{displaystyle sum _{j=1}^{n}ln japprox int _{1}^{n}ln x,{rm {d}}x=nln n-n+1.}

La fórmula completa, junto con estimaciones precisas de su error, puede derivarse de la siguiente manera. En lugar de aproximarse $n!$ , uno considera su logaritmo natural, ya que esta es una función lentamente variable:

{displaystyle ln(n!)=ln 1+ln 2+cdots +ln n.}

El lado derecho de esta ecuación menos

{displaystyle {tfrac {1}{2}}(ln 1+ln n)={tfrac {1}{2}}ln n}

{displaystyle ln(n!)-{tfrac {1}{2}}ln napprox int _{1}^{n}ln x,{rm {d}}x=nln n-n+1,}

y el error en esta aproximación viene dado por la fórmula de Euler-Maclaurin:

{displaystyle {begin{aligned}ln(n!)-{tfrac {1}{2}}ln n&={tfrac {1}{2}}ln 1+ln 2+ln 3+cdots +ln(n-1)+{tfrac {1}{2}}ln n\&=nln n-n+1+sum _{k=2}^{m}{frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}left({frac {1}{n^{k-1}}}-1right)+R_{m,n},end{aligned}}}

Donde $B_{k}$ es un número de Bernoulli, y $R m, n$ es el término restante en la fórmula Euler-Maclaurin. Tome límites para encontrar que

{displaystyle lim _{nto infty }left(ln(n!)-nln n+n-{tfrac {1}{2}}ln nright)=1-sum _{k=2}^{m}{frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+lim _{nto infty }R_{m,n}.}

Denota este límite como $y$ . Porque el resto $R m, n$ en la fórmula Euler-Maclaurin satisfies

{displaystyle R_{m,n}=lim _{nto infty }R_{m,n}+Oleft({frac {1}{n^{m}}}right),}

donde se utiliza la notación O grande, la combinación de las ecuaciones anteriores produce la fórmula de aproximación en su forma logarítmica:

{displaystyle ln(n!)=nln left({frac {n}{e}}right)+{tfrac {1}{2}}ln n+y+sum _{k=2}^{m}{frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+Oleft({frac {1}{n^{m}}}right).}

Tomando el exponencial de ambos lados y eligiendo cualquier entero positivo $m$ , se obtiene una fórmula que implica una cantidad desconocida $e^{y}$ . Para $m = 1$ , la fórmula es

{displaystyle n!=e^{y}{sqrt {n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}left(1+Oleft({frac {1}{n}}right)right).}

La cantidad $e^{y}$ se puede encontrar tomando el límite en ambos lados como $n$ tiende a la infinidad y el uso del producto de Wallis, que muestra que ${displaystyle e^{y}={sqrt {2pi }}}$ . Por lo tanto, uno obtiene la fórmula de Stirling:

{displaystyle n!={sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}left(1+Oleft({frac {1}{n}}right)right).}

Derivación alternativa

Una fórmula alternativa para $n!$ usando la función gamma

{displaystyle n!=int _{0}^{infty }x^{n}e^{-x},{rm {d}}x.}

x = ny

{displaystyle n!=int _{0}^{infty }e^{nln x-x},{rm {d}}x=e^{nln n}nint _{0}^{infty }e^{n(ln y-y)},{rm {d}}y.}

{displaystyle int _{0}^{infty }e^{n(ln y-y)},{rm {d}}ysim {sqrt {frac {2pi }{n}}}e^{-n},}

{displaystyle n!sim e^{nln n}n{sqrt {frac {2pi }{n}}}e^{-n}={sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}.}

{displaystyle int _{0}^{infty }e^{n(ln y-y)},{rm {d}}y={sqrt {frac {2pi }{n}}}e^{-n}left(1+{frac {1}{12n}}+oleft({frac {1}{n}}right)right)}

{displaystyle n!={sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}left(1+{frac {1}{12n}}+oleft({frac {1}{n}}right)right).}

Una versión compleja-análisis de este método es considerar ${displaystyle {frac {1}{n!}}}$ como coeficiente de Taylor de la función exponencial ${displaystyle e^{z}=sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}}$ , computado por la fórmula integral de Cauchy como

{displaystyle {frac {1}{n!}}={frac {1}{2pi i}}oint limits _{|z|=r}{frac {e^{z}}{z^{n+1}}},mathrm {d} z.}

Esta línea integral se puede aproximar utilizando el método de punto de sillín con una elección adecuada del radio de contorno ${displaystyle r=r_{n}}$ . La porción dominante de la parte integral cercana al punto de la silla se aproxima entonces por un método integral real y de Laplace, mientras que la porción restante de la integral puede ser atada arriba para dar un término de error.

Velocidad de convergencia y estimaciones de error

El error relativo en una serie Stirling truncada vs.

n

, por 0 a 5 términos. Los quinks en las curvas representan puntos donde la serie truncada coincide con

. n + 1)

La fórmula de Stirling es, de hecho, la primera aproximación a la siguiente serie (ahora llamada serie de Stirling):

{displaystyle n!sim {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}left(1+{frac {1}{12n}}+{frac {1}{288n^{2}}}-{frac {139}{51840n^{3}}}-{frac {571}{2488320n^{4}}}+cdots right).}

G. Nemes dio una fórmula explícita para los coeficientes de esta serie. Otros términos se enumeran en la Enciclopedia On-Line de Sequences Integer como A001163 y A001164. El primer gráfico en esta sección muestra el error relativo vs. $n$ , por 1 a 5 términos enumerados anteriormente.

El error relativo en una serie de Stirling truncada vs. el número de términos utilizados

As $n \to$ , el error en la serie truncada es asintoticamente igual al primer término omitido. Este es un ejemplo de una expansión asintotica. No es una serie convergente; para ninguna particular valor $n$ sólo hay tantos términos de la serie que mejoran la precisión, después de lo cual la precisión empeora. Esto se muestra en el siguiente gráfico, que muestra el error relativo frente al número de términos en la serie, para un mayor número de términos. Más precisamente, dejemos $S () n, t)$ ser la serie Stirling $t$ términos evaluados $n$ . Los gráficos muestran

{displaystyle left|ln left({frac {S(n,t)}{n!}}right)right|,}

Escribir la serie de Stirling en la forma

{displaystyle ln(n!)sim nln n-n+{tfrac {1}{2}}ln(2pi n)+{frac {1}{12n}}-{frac {1}{360n^{3}}}+{frac {1}{1260n^{5}}}-{frac {1}{1680n^{7}}}+cdots}

Límites más precisos, debido a Robbins, válidos para todos los enteros positivos $n$ son

<math alttext="{displaystyle {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}e^{frac {1}{12n+1}}<n!2π π n()ne)ne112n+1.n!.2π π n()ne)ne112n.{displaystyle {sqrt {2pi n}left({frac {n}right)}{n}e^{frac} {1}{12n+1} {sqrt {2pi n}left({frac {n}{e}right)} {n} {n} {fn}fn} {fn} {fn}fn}}}} {fn}}}}}}n}}n}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}n} {n} {m}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n} {n} {n}}}}}}}}}}}}}}n} {n} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {1}{12n}}<img alt="{displaystyle {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}e^{frac {1}{12n+1}}<n!

{displaystyle {frac {n!e^{n}}{n^{n+{frac {1}{2}}}}}in ({sqrt {2pi }},e]}

ngeq 1

Fórmula de Stirling para la función gamma

Para todos los enteros positivos,

{displaystyle n!=Gamma (n+1),}

.

Sin embargo, la función gamma, a diferencia del factorial, se define de manera más amplia para todos los números complejos que no sean enteros no positivos; sin embargo, aún se puede aplicar la fórmula de Stirling. Si $Re(z) > 0$ , entonces

{displaystyle ln Gamma (z)=zln z-z+{tfrac {1}{2}}ln {frac {2pi }{z}}+int _{0}^{infty }{frac {2arctan left({frac {t}{z}}right)}{e^{2pi t}-1}},{rm {d}}t.}

La integración repetida por partes da

{displaystyle ln Gamma (z)sim zln z-z+{tfrac {1}{2}}ln {frac {2pi }{z}}+sum _{n=1}^{N-1}{frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},}

Donde $B_{n}$ es $n$ número Bernoulli (nota que el límite de la suma como $Nto infty$ no es convergente, por lo que esta fórmula es sólo una expansión asintotica). La fórmula es válida para $z$ lo suficientemente grande en valor absoluto, cuando $Silencio arg(z) Ø Ø | ε$ , donde $ε$ es positivo, con un término de error $O () z -2 N + 1)$ . La aproximación correspondiente puede ser escrita ahora:

{displaystyle Gamma (z)={sqrt {frac {2pi }{z}}},{left({frac {z}{e}}right)}^{z}left(1+Oleft({frac {1}{z}}right)right).}

donde la expansión es idéntica a la de Stirling $n!$ , excepto eso $n$ es reemplazado por $z - 1$ .

Otra aplicación de esta expansión asintótica es para argumentos complejos $z$ con constante $Re(z)$ . Véase, por ejemplo, la fórmula de Stirling aplicada en $Im(z) = t$ de la función theta de Riemann–Siegel en la recta línea $1 / 4 + eso$ .

Límites de error

Para cualquier entero positivo $N$ , se introduce la siguiente notación:

{displaystyle ln Gamma (z)=zln z-z+{tfrac {1}{2}}ln {frac {2pi }{z}}+sum limits _{n=1}^{N-1}{frac {B_{2n}}{2nleft({2n-1}right)z^{2n-1}}}+R_{N}(z)}

{displaystyle Gamma (z)={sqrt {frac {2pi }{z}}}left({frac {z}{e}}right)^{z}left({sum limits _{n=0}^{N-1}{frac {a_{n}}{z^{n}}}+{widetilde {R}}_{N}(z)}right).}

Entonces

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}|R_{N}(z)|&leq {frac {|B_{2N}|}{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}}times {begin{cases}1&{text{ if }}|arg z|leq {frac {pi }{4}},\|csc(arg z)|&{text{ if }}{frac {pi }{4}}<|arg z|<{frac {pi }{2}},\sec ^{2N}left({tfrac {arg z}{2}}right)&{text{ if }}|arg z|<piend{cases}}\[6pt]left|{widetilde {R}}_{N}(z)right|&leq left({frac {left|a_{N}right|}{|z|^{N}}}+{frac {left|a_{N+1}right|}{|z|^{N+1}}}right)times {begin{cases}1&{text{ if }}|arg z|leq {frac {pi }{4}},\|csc(2arg z)|&{text{ if }}{frac {pi }{4}}<|arg z|SilencioRN()z)Silencio≤ ≤ SilencioB2NSilencio2N()2N− − 1)SilenciozSilencio2N− − 1× × {}1siSilencioarg⁡ ⁡ zSilencio≤ ≤ π π 4,Silenciocsc⁡ ⁡ ()arg⁡ ⁡ z)Silenciosiπ π 4.Silencioarg⁡ ⁡ zSilencio.π π 2,sec2N⁡ ⁡ ()arg⁡ ⁡ z2)siSilencioarg⁡ ⁡ zSilencio.π π ,SilencioR~ ~ N()z)Silencio≤ ≤ ()SilencioaNSilencioSilenciozSilencioN+SilencioaN+1SilencioSilenciozSilencioN+1)× × {}1siSilencioarg⁡ ⁡ zSilencio≤ ≤ π π 4,Silenciocsc⁡ ⁡ ()2arg⁡ ⁡ z)Silenciosiπ π 4.Silencioarg⁡ ⁡ zSilencio.π π 2.{fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif} {2N}times {begin{cases}1 limit {fnMicrosoft Sans Serif}begin {cnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}\cscscs(arg z) tapiz {text{f}{f}{f}f}f}f}fnMicrob}fnMicroc}}fnMicroc}}fnMicrob}}fnMicrob}fnMicrob}}}fnMicrob}}}fnMicrob}}fnMicrob}fnMicroc}fnMicrob}}fnMicrob}}fnMicros}fnMicros}fnMicrob}fnun}fnMicros}fnMicros}fnfn}f}fn {fnMicrosoft Sans Serif}\fnMicroc {fnMicroc}\\ssec ^{2N}left({tfrac {arg} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}[6pt]left durable{widetilde {R}_{N}(z)right pacienteleq left({frac) {fnh} {fnh}fnhfnh}fnhfnh} {left habita_{N+1}derecho a la vida}derecha)tiempos {begin{cases}1 limit{text{ if }Sobrevivirarg z privacyleq {frac {pi }{4}},\fncipecsc(2arg z) {fnK} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}|R_{N}(z)|&leq {frac {|B_{2N}|}{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}}times {begin{cases}1&{text{ if }}|arg z|leq {frac {pi }{4}},\|csc(arg z)|&{text{ if }}{frac {pi }{4}}<|arg z|<{frac {pi }{2}},\sec ^{2N}left({tfrac {arg z}{2}}right)&{text{ if }}|arg z|<piend{cases}}\[6pt]left|{widetilde {R}}_{N}(z)right|&leq left({frac {left|a_{N}right|}{|z|^{N}}}+{frac {left|a_{N+1}right|}{|z|^{N+1}}}right)times {begin{cases}1&{text{ if }}|arg z|leq {frac {pi }{4}},\|csc(2arg z)|&{text{ if }}{frac {pi }{4}}<|arg z|

Para obtener más información y otros límites de error, consulte los documentos citados.

Una versión convergente de la fórmula de Stirling

Thomas Bayes demostró, en una carta a John Canton publicada por la Royal Society en 1763, que la fórmula de Stirling no daba una serie convergente. Obtener una versión convergente de la fórmula de Stirling implica evaluar la fórmula de Binet:

{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {2arctan left({frac {t}{x}}right)}{e^{2pi t}-1}},{rm {d}}t=ln Gamma (x)-xln x+x-{tfrac {1}{2}}ln {frac {2pi }{x}}.}

Una forma de hacerlo es mediante una serie convergente de exponenciales crecientes invertidas. Si

{displaystyle z^{bar {n}}=z(z+1)cdots (z+n-1),}

{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {2arctan left({frac {t}{x}}right)}{e^{2pi t}-1}},{rm {d}}t=sum _{n=1}^{infty }{frac {c_{n}}{(x+1)^{bar {n}}}},}

{displaystyle c_{n}={frac {1}{n}}int _{0}^{1}x^{bar {n}}left(x-{tfrac {1}{2}}right),{rm {d}}x={frac {1}{2n}}sum _{k=1}^{n}{frac {k|s(n,k)|}{(k+1)(k+2)}},}

s () n, k)

{displaystyle {begin{aligned}ln Gamma (x)&=xln x-x+{tfrac {1}{2}}ln {frac {2pi }{x}}+{frac {1}{12(x+1)}}+{frac {1}{12(x+1)(x+2)}}+\&quad +{frac {59}{360(x+1)(x+2)(x+3)}}+{frac {29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}+cdotsend{aligned}}}

Re(x) 0

Versiones aptas para calculadoras

La aproximación

{displaystyle Gamma (z)approx {sqrt {frac {2pi }{z}}}left({frac {z}{e}}{sqrt {zsinh {frac {1}{z}}+{frac {1}{810z^{6}}}}}right)^{z}}

{displaystyle 2ln Gamma (z)approx ln(2pi)-ln z+zleft(2ln z+ln left(zsinh {frac {1}{z}}+{frac {1}{810z^{6}}}right)-2right)}

z

Gergő Nemes propuso en 2007 una aproximación que da el mismo número de dígitos exactos que la aproximación de Windschitl pero es mucho más simple:

{displaystyle Gamma (z)approx {sqrt {frac {2pi }{z}}}left({frac {1}{e}}left(z+{frac {1}{12z-{frac {1}{10z}}}}right)right)^{z},}

{displaystyle ln Gamma (z)approx {tfrac {1}{2}}left(ln(2pi)-ln zright)+zleft(ln left(z+{frac {1}{12z-{frac {1}{10z}}}}right)-1right).}

Una aproximación alternativa para la función gamma establecida por Srinivasa Ramanujan (Ramanujan 1988) es

{displaystyle Gamma (1+x)approx {sqrt {pi }}left({frac {x}{e}}right)^{x}left(8x^{3}+4x^{2}+x+{frac {1}{30}}right)^{frac {1}{6}}}

x \geq 0

In n!

1 / 1400 n 3

{displaystyle ln n!approx nln n-n+{tfrac {1}{6}}ln(8n^{3}+4n^{2}+n+{tfrac {1}{30}})+{tfrac {1}{2}}ln pi.}

La aproximación se puede hacer precisa dando límites superiores e inferiores emparejados; una de esas desigualdades es

<math alttext="{displaystyle {sqrt {pi }}left({frac {x}{e}}right)^{x}left(8x^{3}+4x^{2}+x+{frac {1}{100}}right)^{1/6}<Gamma (1+x)π π ()xe)x()8x3+4x2+x+1100)1/6... ()1+x).π π ()xe)x()8x3+4x2+x+130)1/6.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {fnMicros} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}}}}f}}}}}}}fnMientras no lo sé lo sé si eraseguida y yo no lo sé si eraseguida y yo no lo sé lo sé.<img alt="{displaystyle {sqrt {pi }}left({frac {x}{e}}right)^{x}left(8x^{3}+4x^{2}+x+{frac {1}{100}}right)^{1/6}<Gamma (1+x)

Historia

La fórmula fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre en la forma

{displaystyle n!sim [{rm {constant}}]cdot n^{n+{frac {1}{2}}}e^{-n}.}

De Moivre dio una expresión racional-número aproximada para el logaritmo natural de la constante. La contribución de Stirling consistía en demostrar que la constante es precisamente ${displaystyle {sqrt {2pi }}}$ .

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