Anillo noetheriano

En matemáticas, a Anillo noetheriano es un anillo que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales izquierdo y derecho; si la condición de cadena está satisfecha sólo para ideales izquierdos o para ideales derecho, entonces se dice el anillo izquierda-noetherian o derecho-noterano respectivamente. Es decir, cada secuencia creciente ${displaystyle I_{1}subseteq I_{2}subseteq I_{3}subseteq cdots }$ de ideales izquierdo (o derecho) tiene un elemento más grande; es decir, existe n tal que: ${displaystyle I_{n}=I_{n+1}=cdots.}$

De manera equivalente, un anillo es noetheriano izquierdo (resp. noetheriano derecho) si cada ideal izquierdo (resp. ideal derecho) se genera finitamente. Un anillo es noetheriano si es tanto noetheriano izquierdo como derecho.

Los anillos noetherianos son fundamentales en la teoría de anillos conmutativos y no conmutativos, ya que muchos anillos que se encuentran en las matemáticas son noetherianos (en particular, el anillo de números enteros, los anillos de polinomios y los anillos de números enteros algebraicos en campos numéricos), y muchos teoremas generales sobre los anillos dependen en gran medida de la propiedad de Noether (por ejemplo, el teorema de Lasker-Noether y el teorema de la intersección de Krull).

Los anillos noetherianos llevan el nombre de Emmy Noether, pero la importancia del concepto fue reconocida anteriormente por David Hilbert, con la demostración del teorema de la base de Hilbert (que afirma que los anillos polinómicos son noetherianos) y el teorema de la base de Hilbert. teorema de sizigia.

Caracterizaciones

Para anillos no conmutativos, es necesario distinguir entre tres conceptos muy similares:

• Un anillo izquierda-noetherian si satisface la condición de cadena ascendente en ideales izquierdos.
• Un anillo derecho-noterano si satisface la condición de cadena ascendente en ideales adecuados.
• Un anillo Noetherian si es izquierda y derecha-noetherian.

Para los anillos conmutativos, los tres conceptos coinciden, pero en general son diferentes. Hay anillos que son Noetherianos a la izquierda y no Noetherianos a la derecha, y viceversa.

Hay otras definiciones equivalentes para un anillo R a la izquierda-noetheriano:

• Cada izquierda ideal I dentro R se genera finitamente, es decir, existen elementos ${displaystyle a_{1},ldotsa_{n}$ dentro I tales que ${displaystyle I=Ra_{1}+cdots - Sí.$.
• Cada conjunto no vacío de ideales izquierdos de R, parcialmente ordenado por la inclusión, tiene un elemento maximal.

Resultados similares son válidos para los anillos noetherianos derechos.

La siguiente condición es también una condición equivalente para que un anillo R sea noetheriano a la izquierda y es la formulación original de Hilbert:

• Dada una secuencia ${displaystyle F_{1},f_{2},dots }$ de elementos en R, existe un entero ${displaystyle n}$ tal que cada uno ${displaystyle F_{i}$ es una combinación lineal finita ${textstyle F_{i}=sum ¿Qué?$ con coeficientes ${displaystyle r_{j}$ dentro R.

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano, basta con que todos los ideales primos del anillo se generen finitamente. Sin embargo, no es suficiente preguntar que todos los ideales maximales se generan finitamente, ya que existe un anillo local no noetheriano cuyo ideal maximal es el principal (ver un contraejemplo del teorema de la intersección de Krull en Anillo local#Caso conmutativo).

Propiedades

• Si R es un anillo noetheriano, luego el anillo polinomio ${displaystyle R[X]}$ Es Noetherian por el teorema de base de Hilbert. Por inducción, ${displaystyle R[X_{1},ldots X_{n}$ es un anillo noetheriano. También, R[[2]X]], el anillo de la serie de energía, es un anillo noetheriano.
• Si R es un anillo noetheriano y I es un ideal de dos caras, luego el anillo de cociente R/I es también Noetherian. Diferentemente, la imagen de cualquier homomorfismo de anillo surjetivo de un anillo noetheriano es Noetherian.
• Cada álgebra conmutativa finitamente generada sobre un anillo noetheriano conmutativo es Noetherian. (Esto se deriva de las dos propiedades anteriores.)
• Un anillo R es izquierda-noetherian si y sólo si cada finitamente generado izquierda R-module es un módulo noetheriano.
• Si un anillo comunicativo admite un fiel módulo noetheriano sobre él, entonces el anillo es un anillo noetheriano.
• (Eakin-Nagata) Si un anillo A es un subing de un anillo noetheriano conmutativo B tales que B es un módulo generado finitamente sobre A, entonces A es un anillo noetheriano.
• Del mismo modo, si un anillo A es un subing de un anillo noetheriano conmutativo B tales que B es fielmente plano A (o exhibiciones más generalmente A como un subing puro), entonces A es un anillo noetheriano (ver el artículo "felizmente plano" para el razonamiento).
• Cada localización de un anillo noetheriano comunitario es Noetherian.
• Una consecuencia del teorema Akizuki-Hopkins-Levitzki es que cada anillo Artiniano izquierdo se deja Noetherian. Otra consecuencia es que un anillo Artiniano izquierdo es Noetherian derecho si y sólo si es Artinian derecho. Las declaraciones análogas con "derecho" e "izquierda" intercambiadas también son ciertas.
• Un anillo noetheriano izquierdo se deja coherente y un dominio noetheriano izquierdo es un dominio Ore izquierdo.
• (Bass) Un anillo es (izquierda/derecha) Noetherian si y sólo si cada suma directa de módulos inyectables (izquierda/derecha) es inyectable. Cada módulo de inyección izquierda sobre un módulo Noetherian izquierdo se puede descomponer como una suma directa de módulos inyectables indecompuestos. Vea también #Implicación en módulos inyectables a continuación.
• En un anillo noetheriano conmutativo, sólo hay finitamente muchos ideales primarios mínimos. Además, la condición de cadena descendente mantiene en ideales primos.
• En un dominio noetheriano conmutativo R, cada elemento puede ser factorizado en elementos irreducibles (en resumen, R es un dominio de factorización). Así, si, además, la factorización es única hasta la multiplicación de los factores por unidades, entonces R es un dominio de factorización único.

Ejemplos

• Cualquier campo, incluyendo los campos de números racionales, números reales y números complejos, es Noetherian. (Un campo sólo tiene dos ideales - sí mismo y (0).)
• Cualquier anillo ideal principal, como los enteros, es Noetherian ya que cada ideal es generado por un solo elemento. Esto incluye dominios ideales principales y dominios de Euclidean.
• Un dominio Dedekind (por ejemplo, anillos de enteros) es un dominio noetheriano en el que cada ideal es generado por la mayoría de dos elementos.
• El anillo de coordenadas de una variedad affine es un anillo Noetherian, como consecuencia del teorema de base Hilbert.
• El álgebra envolviendo U de una dimensión finita Lie algebra ${displaystyle {Mathfrak {}}$ es un anillo noetheriano izquierdo y derecho; esto se deriva del hecho de que el anillo clasificado asociado U es un cociente de ${displaystyle operatorname {Sym}$, que es un anillo polinomio sobre un campo; por lo tanto, Noetherian. Por la misma razón, el álgebra Weyl, y anillos más generales de operadores diferenciales, son Noetherian.
• El anillo de polinomios en variables finitamente múltiples sobre los enteros o un campo es Noetherian.

Los anillos que no son noetherianos tienden a ser (en cierto sentido) muy grandes. Estos son algunos ejemplos de anillos no noetherianos:

• El anillo de polinomios en variables infinitamente múltiples, X₁, X₂, X₃, etc. La secuencia de ideales (X₁), (X₁, X₂), (X₁, X₂, X₃), etc. está ascendiendo, y no termina.
• El anillo de todos los enteros algebraicos no es Noetherian. Por ejemplo, contiene la cadena ascendente infinita de ideales principales: (2), (2^1/2), (2^1/4), (2^1/8),...
• El anillo de funciones continuas de los números reales a los números reales no es Noetherian: Dejar I_n ser el ideal de todas las funciones continuas f tales que f()x) = 0 para todos x ≥ n. La secuencia de ideales I₀, I₁, I₂, etc., es una cadena ascendente que no termina.
• El anillo de grupos estables de homotopy de esferas no es Noetherian.

Sin embargo, un anillo no noetheriano puede ser un subanillo de un anillo noetheriano. Dado que cualquier dominio integral es un subanillo de un campo, cualquier dominio integral que no sea noetheriano proporciona un ejemplo. Para dar un ejemplo menos trivial,

• El anillo de las funciones racionales generadas por x y Sí./xⁿ sobre un terreno k es un subing del campo k()x,Sí.) en sólo dos variables.

De hecho, hay anillos que son del Noetheriano derecho, pero no del Noetheriano izquierdo, por lo que hay que tener cuidado al medir el "tamaño" de un anillo de esta manera. Por ejemplo, si L es un subgrupo de Q² isomorfo a Z, sea R sea el anillo de homomorfismos f de Q² a sí mismo satisfaciendo f(L) ⊂ L. Eligiendo una base, podemos describir el mismo anillo R como

${displaystyle R=left{left.{begin{bmatrix}a limitbeta \0 restgammaend{bmatrix}},rightvert ,ain mathbf {Z}beta in mathbf {Q}gamma in mathbf {Q} right}$

Este anillo es Noetheriano derecho, pero no Noetheriano izquierdo; el subconjunto I ⊂ R que consta de elementos con a = 0 y γ = 0 es un ideal izquierdo que es no se genera finitamente como un módulo R izquierdo.

Si R es un subanillo conmutativo de un anillo noetheriano izquierdo S, y S se genera finitamente como un R< izquierdo /i>-módulo, entonces R es noetheriano. (En el caso especial cuando S es conmutativo, esto se conoce como el teorema de Eakin). Sin embargo, esto no es cierto si R no es conmutativo: el anillo R del párrafo anterior es un subanillo del anillo noetheriano izquierdo S = Hom(Q², Q²), y S se genera finitamente como un módulo R izquierdo, pero R no se deja noetheriano.

Un dominio de factorización único no es necesariamente un anillo noetheriano. Satisface una condición más débil: la condición de la cadena ascendente sobre los ideales principales. Un anillo de polinomios en infinitas variables es un ejemplo de un dominio de factorización único no noetheriano.

Un anillo de valoración no es noetheriano a menos que sea un dominio ideal principal. Da un ejemplo de un anillo que surge naturalmente en geometría algebraica pero no es noetheriano.

Teoremas clave

Muchos teoremas importantes en la teoría de anillos (especialmente la teoría de los anillos conmutativos) se basan en la suposición de que los anillos son noetherianos.

Caso conmutativo

• Sobre un anillo noetheriano comunicativo, cada ideal tiene una descomposición primaria, lo que significa que puede ser escrito como una intersección de finitos muchos ideales primarios (cuyos radicales son todos distintos) donde un ideal Q se llama primario si es apropiado y siempre xy ▪ Q, o x ▪ Q o Sí.ⁿ ▪ Q para algunos enteros positivos n. Por ejemplo, si un elemento ${displaystyle f=p_{1} {n_{1}cdots ¿Qué?$ es un producto de poderes de elementos principales distintos, entonces ${displaystyle (f)=(p_{1}{n_{1})cap cdots cap (p_{r}^{n_{r}}) }$ y por lo tanto la descomposición primaria es una generalización directa de la factorización principal de los enteros y polinomios.
• Un anillo noetheriano se define en términos de cadenas ascendentes de ideales. La lema Artin-Rees, por otro lado, da cierta información sobre una cadena descendente de ideales dada por poderes de ideales ${displaystyle Isupseteq I^{2}supseteq I^{3}supseteq cdots }$. Es una herramienta técnica que se utiliza para probar otros teoremas clave como el teorema de intersección Krull.
• La teoría de la dimensión de los anillos comunicativos se comporta pobremente sobre los anillos no norteranos; el teorema fundamental, el principal teorema ideal de Krull, ya depende de la suposición "noetheriana". Aquí, de hecho, la suposición "noetheriana" a menudo no es suficiente y (noetherian) anillos universalmente catenarios, aquellos que satisfacen una cierta suposición teórica de dimensión, se utilizan a menudo en cambio. Los anillos noetherianos que aparecen en aplicaciones son en su mayoría universalmente catenarios.

Caso no conmutativo

• Teorema de Goldie

Implicación en módulos inyectivos

Dado un anillo, existe una estrecha conexión entre los comportamientos de los módulos inyectivos sobre el anillo y si el anillo es un anillo Noetheriano o no. Es decir, dado un anillo R, los siguientes son equivalentes:

• R es un anillo Noetheriano izquierdo.
• Cada suma directa de la izquierda inyectable R-Modules es inyectable.
• Cada inyección izquierda R-module es una suma directa de módulos inyectables indecompuestos.
• (Faith-Walker) Existe un número cardenal ${displaystyle {Mathfrak}}$ tal que cada módulo izquierdo inyectable sobre R es una suma directa ${displaystyle {Mathfrak}}$- módulos generados (un módulo es ${displaystyle {Mathfrak}}$-generado si tiene un conjunto generador de cardenalidad en la mayoría ${displaystyle {Mathfrak}}$).
• Existe una izquierda R- Mobiliario H tal que cada izquierda R-module embeds into a direct sum of copies of H.

El anillo de endomorfismo de un módulo inyectivo indescomponible es local y, por lo tanto, el teorema de Azumaya dice que, sobre un anillo noetheriano izquierdo, cada descomposición indescomponible de un módulo inyectivo es equivalente entre sí (una variante de Krull-Schmidt teorema).