Espacio métrico

El avión (un conjunto de puntos) se puede equipar con diferentes métricas. En la métrica de taxis los caminos rojo, amarillo y azul tienen la misma longitud (12), y son todos los caminos más cortos. En la métrica Euclideana, el camino verde tiene longitud ${displaystyle 6{sqrt {2}approx 8.49}$, y es el camino más corto único, mientras que los caminos rojo, amarillo y azul todavía tienen la longitud 12.

En matemáticas, un espacio métrico es un conjunto junto con una noción de distancia entre sus elementos, generalmente llamados puntos. La distancia se mide mediante una función llamada métrica o función de distancia. Los espacios métricos son el entorno más general para estudiar muchos de los conceptos de análisis matemático y geometría.

El ejemplo más familiar de un espacio métrico es el espacio euclidiano tridimensional con su noción habitual de distancia. Otros ejemplos bien conocidos son una esfera equipada con la distancia angular y el plano hiperbólico. Una métrica puede corresponder a una noción de distancia metafórica, más que física: por ejemplo, el conjunto de cadenas Unicode de 100 caracteres puede equiparse con la distancia de Hamming, que mide la cantidad de caracteres que deben cambiarse para obtener de una cuerda a otra.

Dado que son muy generales, los espacios métricos son una herramienta utilizada en muchas ramas diferentes de las matemáticas. Muchos tipos de objetos matemáticos tienen una noción natural de distancia y, por lo tanto, admiten la estructura de un espacio métrico, incluidas las variedades de Riemann, los espacios vectoriales normados y los gráficos. En álgebra abstracta, los números p-ádicos surgen como elementos de la realización de una estructura métrica sobre los números racionales. Los espacios métricos también se estudian por derecho propio en geometría métrica y análisis sobre espacios métricos.

Muchas de las nociones básicas del análisis matemático, incluidas las bolas, la completitud, así como la continuidad uniforme, de Lipschitz y de Hölder, se pueden definir en la configuración de espacios métricos. Otras nociones, como continuidad, compacidad y conjuntos abiertos y cerrados, pueden definirse para espacios métricos, pero también en el marco aún más general de espacios topológicos.

Definición e ilustración

Motivación

Un diagrama que ilustra la distancia de gran círculo (en cian) y la distancia de línea recta (en rojo) entre dos puntos P y Q en una esfera.

Para ver la utilidad de las diferentes nociones de distancia, considere la superficie de la Tierra como un conjunto de puntos. Podemos medir la distancia entre dos de esos puntos por la longitud del camino más corto a lo largo de la superficie, "a vuelo de pájaro"; esto es particularmente útil para el transporte marítimo y la aviación. También podemos medir la distancia en línea recta entre dos puntos a través del interior de la Tierra; esta noción es, por ejemplo, natural en sismología, ya que corresponde aproximadamente al tiempo que tardan las ondas sísmicas en viajar entre esos dos puntos.

La noción de distancia codificada por los axiomas del espacio métrico tiene relativamente pocos requisitos. Esta generalidad da mucha flexibilidad a los espacios métricos. Al mismo tiempo, la noción es lo suficientemente fuerte como para codificar muchos hechos intuitivos sobre lo que significa la distancia. Esto significa que los resultados generales sobre espacios métricos se pueden aplicar en muchos contextos diferentes.

Al igual que muchos conceptos matemáticos fundamentales, la métrica en un espacio métrico se puede interpretar de muchas maneras diferentes. Es posible que una métrica particular no se considere mejor como una medida de distancia física, sino como el costo de cambiar de un estado a otro (como con las métricas de Wasserstein en espacios de medidas) o el grado de diferencia entre dos objetos (por ejemplo, la distancia de Hamming entre dos cadenas de caracteres, o la distancia de Gromov-Hausdorff entre los mismos espacios métricos).

Definición

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado (M, d) donde M es un conjunto y d< /span> es una métrica en M, es decir, una función

$${displaystyle d,colon Mtimes Mto mathbb {R}$$

${displaystyle x,y,zin M}$

1. La distancia de un punto a sí misma es cero:
   $${displaystyle d(x,x)=0.}$$

   
   Intuitivamente, nunca cuesta nada viajar de un punto a sí mismo.
2. (Posibilidad) La distancia entre dos puntos distintos es siempre positiva:
   $${displaystyle {text{ If }xneq y{text{, then }d(x,y) Conf0.}$$

   
3. (Simetría) La distancia desde x a Sí. es siempre igual a la distancia desde Sí. a x:
   $${displaystyle d(x,y)=d(y,x). }$$

   
   Esto excluye nociones asimétricas de "costo" que surgen naturalmente de la observación de que es más difícil caminar cuesta arriba que cuesta abajo.
4. La desigualdad del triángulo sostiene:
   $${displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z). }$$

   
   Esta es una propiedad natural de nociones físicas y metafóricas de distancia: se puede llegar z desde x tomando un desvío Sí., pero esto no hará que su viaje sea más rápido que el camino más corto.

Si la métrica d no es ambigua, a menudo se hace referencia abusando de la notación al "espacio métrico M".

Ejemplos simples

Los números reales

Los números reales con la función de distancia ${displaystyle d(x,y)=respiray-x$ dado por la diferencia absoluta forma un espacio métrico. Muchas propiedades de los espacios y funciones métricas entre ellos son generalizaciones de conceptos en análisis real y coinciden con esos conceptos cuando se aplican a la línea real.

Métricas en espacios euclidianos

El avión de Euclidea ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ se puede equipar con muchas métricas diferentes. La distancia euroclidiana familiar de las matemáticas de la escuela puede ser definida por

$${displaystyle d_{2}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})={sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1}}} {2}}}}}}}}}}}} {$$

La distancia del taxi o Manhattan se define por

$${displaystyle d_{1}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})= habitx_{2}-x_{1}$$

El máximo, ${displaystyle L^{infty}$, o Distancia Chebyshev se define por

$${displaystyle d_{infty }(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})=max{ vidasx_{2}-x_{1} sobre la vida, la vida_{2}-y_{1}$$

De hecho, estas tres distancias, aunque tienen propiedades distintas, son similares en algunos aspectos. Informalmente, los puntos que están cerca en uno también lo están en los otros. Esta observación se puede cuantificar con la fórmula

$${displaystyle d_{infty }(p,q)leq d_{2}(p,q)leq d_{1}(p,q)leq 2d_{infty }(p,q),}$$

${displaystyle p,qin mathbb {R} } {2}$

Se puede definir una distancia radicalmente diferente configurando

$${displaystyle d(p,q)={begin{cases}0, limit{if} }p=q,1, âtexto {otros}end{cases}}$$

Todas estas métricas tienen sentido ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ así como ${displaystyle mathbb {R} {2}}$.

Subespacios

Dado un espacio métrico ()M, d) y un subconjunto ${displaystyle Asubseteq M}$, podemos considerar A ser un espacio métrico midiendo distancias de la misma manera en que M. Formally, el métrica inducida on A es una función ${displaystyle Atimes Ato mathbb {R}$ definidas por

$${displaystyle d_{A}(x,y)=d(x,y). }$$

${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$

${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$

Historia

En 1906 Maurice Fréchet introdujo los espacios métricos en su obra Sur quelques points du calcul fonctionnel en el contexto del análisis funcional: su principal interés era estudiar las funciones de valor real de un espacio métrico, generalizando la teoría de funciones de varias o incluso infinitas variables, en la que fueron pioneros matemáticos como Cesare Arzelà. Felix Hausdorff desarrolló aún más la idea y la colocó en su contexto adecuado en su obra magna Principios de la teoría de conjuntos, que también introdujo la noción de un espacio topológico (Hausdorff).

Los espacios métricos generales se han convertido en una parte fundamental del currículo matemático. Los ejemplos destacados de espacios métricos en la investigación matemática incluyen variedades de Riemann y espacios vectoriales normados, que son el dominio de la geometría diferencial y el análisis funcional, respectivamente. La geometría fractal es una fuente de algunos espacios métricos exóticos. Otros han surgido como límites a través del estudio de objetos discretos o suaves, incluidos los límites invariantes de escala en física estadística, los espacios de Alexandrov que surgen como límites de Gromov-Hausdorff de secuencias de variedades de Riemann y límites y conos asintóticos en teoría de grupos geométricos. Finalmente, han surgido muchas aplicaciones nuevas de espacios métricos finitos y discretos en informática.

Nociones básicas

Una función de distancia es suficiente para definir las nociones de cercanía y convergencia que se desarrollaron por primera vez en el análisis real. Las propiedades que dependen de la estructura de un espacio métrico se denominan propiedades métricas. Todo espacio métrico es también un espacio topológico, y algunas propiedades métricas también se pueden reformular sin hacer referencia a la distancia en el lenguaje de la topología; es decir, son realmente propiedades topológicas.

La topología de un espacio métrico

Para cualquier punto x en un espacio métrico M y cualquier número real r > 0, la bola abierta de radio r alrededor de x se define como el conjunto de puntos que están a la mayor distancia r de x:

$${displaystyle B_{r}(x)={yin M:d(x,y) interpretador}$$

${displaystyle Nsubseteq M}$

Un conjunto abierto es un conjunto que es un entorno de todos sus puntos. De ello se deduce que las bolas abiertas forman una base para una topología en M. En otras palabras, los conjuntos abiertos de M son exactamente las uniones de bolas abiertas. Como en cualquier topología, los conjuntos cerrados son los complementos de los conjuntos abiertos. Los conjuntos pueden ser tanto abiertos como cerrados, así como ni abiertos ni cerrados.

Esta topología no lleva toda la información sobre el espacio métrico. Por ejemplo, las distancias d₁, d₂, y d_JUEGO definida sobre todo induce la misma topología en ${displaystyle mathbb {R} {2}}$, aunque se comportan de manera diferente en muchos aspectos. Análogamente, ${displaystyle mathbb {R}$ con la métrica Euclideana y su subespacial el intervalo (0, 1) con la métrica inducida son homeomórficas pero tienen propiedades métricas muy diferentes.

Por el contrario, no a todos los espacios topológicos se les puede dar una métrica. Los espacios topológicos que son compatibles con una métrica se denominan metrizables y se comportan particularmente bien en muchos sentidos: en particular, son espacios de Hausdorff paracompactos (por lo tanto, normales) y contables en primer lugar. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov ofrece una caracterización de la metrizabilidad en términos de otras propiedades topológicas, sin referencia a la métrica.

Convergencia

La convergencia de sucesiones en el espacio euclidiano se define de la siguiente manera:

Una secuencia ()x_n) converge a un punto x si por cada ε œ 0 hay un entero N tal que para todos n ■ N, d()x_n, x) ε.

La convergencia de secuencias en un espacio topológico se define de la siguiente manera:

Una secuencia ()x_n) converge a un punto x si para cada conjunto abierto U que contiene x hay un entero N tal que para todos n ■ N, ${displaystyle x_{n}in U}$.

En espacios métricos, ambas definiciones tienen sentido y son equivalentes. Este es un patrón general para las propiedades topológicas de los espacios métricos: si bien se pueden definir de una manera puramente topológica, a menudo hay una forma que usa la métrica que es más fácil de establecer o más familiar a partir del análisis real.

Integridad

De manera informal, un espacio métrico está completo si no tiene "puntos perdidos": cada secuencia que parece que debería converger en algo, en realidad converge.

Para hacer esto preciso: una secuencia (x_n) en un espacio métrico M es Cauchy si para cada ε > 0 hay un número entero N tal que para todos los m< /i>, n > N, d(x_m, x_n) < ε. Por la desigualdad del triángulo, cualquier sucesión convergente es Cauchy: si x_m and x_n están a menos de ε del límite, entonces están a menos de 2ε uno del otro. Si lo contrario es cierto (cada secuencia de Cauchy en M converge), entonces M está completo.

Los espacios euclidianos están completos, como está ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ con las otras métricas descritas anteriormente. Dos ejemplos de espacios que no están completos (0, 1) y los fundamentos, cada uno con la métrica inducida de ${displaystyle mathbb {R}$. Uno puede pensar en (0, 1) como "perder" sus puntos finales 0 y 1. Los racionales están perdiendo todos los irracionales, ya que cualquier irracional tiene una secuencia de racionales que convergen a él en ${displaystyle mathbb {R}$ (por ejemplo, sus sucesivas aproximaciones decimales). Estos ejemplos muestran que la integridad es no una propiedad topológica, desde ${displaystyle mathbb {R}$ es completo pero el espacio homeomorfo (0, 1) No lo es.

Esta noción de "puntos perdidos" se puede precisar. De hecho, cada espacio métrico tiene una terminación única, que es un espacio completo que contiene el espacio dado como un subconjunto denso. Por ejemplo, [0, 1] es la terminación de (0, 1), y los números reales son la terminación de los racionales.

Dado que los espacios completos son generalmente más fáciles de trabajar, las terminaciones son importantes en las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra abstracta, los números p-ádicos se definen como la terminación de los racionales bajo una métrica diferente. La terminación es particularmente común como herramienta en el análisis funcional. A menudo, uno tiene un conjunto de buenas funciones y una forma de medir distancias entre ellas. Al completar este espacio métrico, se obtiene un nuevo conjunto de funciones que pueden ser menos agradables, pero sin embargo útiles porque se comportan de manera similar a las funciones agradables originales en aspectos importantes. Por ejemplo, las soluciones débiles de las ecuaciones diferenciales suelen vivir en una terminación (un espacio de Sobolev) en lugar del espacio original de funciones agradables para las que la ecuación diferencial realmente tiene sentido.

Espacios acotados y totalmente acotados

Diámetro de un set.

Un espacio métrico M está acotado si hay un r tal que ningún par de puntos en M es más que la distancia r aparte. El menor r se llama diámetro de M.

El espacio M se llama precompacto o Totalmente atado si por cada r ■ 0 hay una cubierta finita M por bolas abiertas de radio r. Cada espacio totalmente atado está atado. Para ver esto, comienza con una cubierta finita r- bolas para algunos arbitrarios r. Desde el subconjunto M que consiste en los centros de estas bolas es finito, tiene diámetro finito, dicen D. Por la desigualdad del triángulo, el diámetro de todo el espacio es en la mayoría D + 2r. El contrario no sostiene: un ejemplo de un espacio métrico que está atado pero no totalmente atado es ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ (o cualquier otro conjunto infinito) con la métrica discreta.

Compacidad

La compacidad es una propiedad topológica que generaliza las propiedades de un subconjunto cerrado y acotado del espacio euclidiano. Hay varias definiciones equivalentes de compacidad en espacios métricos:

1. Un espacio métrico M es compacto si cada cubierta abierta tiene un subcover finito (la definición topológica habitual).
2. Un espacio métrico M es compacto si cada secuencia tiene una subsequencia convergente. (Para espacios generales topológicos esto se llama compactidad secuencial y no es equivalente a compactidad).
3. Un espacio métrico M es compacto si está completo y totalmente atado. (Esta definición está escrita en términos de propiedades métricas y no tiene sentido para un espacio topológico general, pero sin embargo es topológicamente invariante ya que es equivalente a la compactidad.)

Un ejemplo de espacio compacto es el intervalo cerrado [0, 1].

La compacidad es importante por razones similares a la integridad: facilita encontrar límites. Otra herramienta importante es el lema numérico de Lebesgue, que muestra que para cualquier cubierta abierta de un espacio compacto, cada punto está relativamente profundo dentro de uno de los conjuntos de la cubierta.

Funciones entre espacios métricos

Diagrama Euler de tipos de funciones entre espacios métricos.

A diferencia del caso de los espacios topológicos o estructuras algebraicas como grupos o anillos, no existe un único tipo de función "derecha" que preserve la estructura entre los espacios métricos. En cambio, uno trabaja con diferentes tipos de funciones dependiendo de las metas de uno. A lo largo de esta sección, supongamos que ${displaystyle (M_{1},d_{1})}$ y ${displaystyle (M_{2},d_{2}}$ son dos espacios métricos. Las palabras "función" y "mapa" se utilizan invariablemente.

Isometrías

Una interpretación de un "preservador de estructuras" map es uno que conserva completamente la función de distancia:

Una función ${displaystyle f:M_{1}to M_{2}$ es distancia reservada si por cada par de puntos x y Sí. dentro M₁,

$${displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y). }$$

Se deriva de los axiomas del espacio métrico que una función de conservación de distancia es inyectable. Una función bijeactiva de conservación de distancia se llama isometría. Un ejemplo quizás no obvio de una isometría entre los espacios descritos en este artículo es el mapa ${displaystyle f:(mathbb {R} {2},d_{1})to (mathbb {R} ^{2},d_{infty})}$ definidas por

$${displaystyle f(x,y)=(x+y,x-y). }$$

Si existe una isometría entre los espacios M₁ y M₂, se dice que son isométricos. Los espacios métricos que son isométricos son esencialmente idénticos.

Mapas continuos

En el otro extremo del espectro, uno puede olvidarse por completo de la estructura métrica y estudiar mapas continuos, que solo conservan la estructura topológica. Hay varias definiciones equivalentes de continuidad para espacios métricos. Los más importantes son:

• Definición topológica. Una función ${displaystyle f,colon M_{1}to M_{2}$ es continuo si para cada conjunto abierto U dentro M₂, el preimage ${displaystyle f^{-1}(U)}$ está abierto.
• Continencia secuencial. Una función ${displaystyle f,colon M_{1}to M_{2}$ es continuo cuando una secuencia ()x_n) converge a un punto x dentro M₁, la secuencia ${displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),ldots }$ convergen al punto f()x) dentro M₂.

(Estas dos primeras definiciones son no equivalente para todos los espacios topológicos.)

• ε–δ definition. Una función ${displaystyle f,colon M_{1}to M_{2}$ es continuo si por cada punto x dentro M₁ y todos ε œ 0 existe δ δ 0 tal que para todos Sí. dentro M₁ tenemos
  $${displaystyle d_{1}(x,y) madedelta implies d_{2}(f(x),f(y))) madevarepsilon.}$$

  

A homeomorfismo es un mapa continuo cuyo inverso también es continuo; si hay un homeomorfismo entre M₁ y M₂, se dice que homeomorfo. Los espacios homeomorficos son los mismos desde el punto de vista de la topología, pero pueden tener propiedades métricas muy diferentes. Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {R}$ está libre y completo, mientras (0, 1) está atado pero no completo.

Mapas uniformemente continuos

Una función ${displaystyle f,colon M_{1}to M_{2}$ es uniformemente continuo si por cada número real ε œ 0 existe δ δ 0 tal que para todos los puntos x y Sí. dentro M₁ tales que ${displaystyle d(x,y) }$, tenemos

$${displaystyle d_{2}(f(x),f(y)) interpretadovarepsilon.}$$

La única diferencia entre esta definición y la definición de continuidad ε–δ es el orden de los cuantificadores: la elección de δ debe depender solo de ε y no del punto x. Sin embargo, este cambio sutil hace una gran diferencia. Por ejemplo, los mapas uniformemente continuos toman secuencias de Cauchy en M₁ a secuencias de Cauchy en M₂. En otras palabras, la continuidad uniforme conserva algunas propiedades métricas que no son puramente topológicas.

Por otro lado, el teorema de Heine-Cantor establece que si M₁ es compacto, entonces todo continuo mapa es uniformemente continuo. En otras palabras, la continuidad uniforme no puede distinguir ninguna característica no topológica de espacios métricos compactos.

Mapas de Lipschitz y contracciones

Un mapa de Lipschitz es uno que estira distancias por la mayoría de un factor atado. Formalmente, dado un número real K ■ 0, el mapa ${displaystyle f,colon M_{1}to M_{2}$ es K-Lipschitz si

$${displaystyle d_{2}(f(x),f(y))leq Kd_{1}(x,y)quad {text{for all}quad x,yin M_{1}.$$

Un mapa de 1-Lipschitz a veces se denomina no expandible o mapa métrico. Los mapas métricos se toman comúnmente como los morfismos de la categoría de espacios métricos.

A K-Lipschitz mapa para K 1 se llama contracción. El teorema de punto fijo de Banach declara que si M es un espacio métrico completo, entonces cada contracción ${displaystyle f:Mto M}$ Admite un punto fijo único. Si el espacio métrico M es compacto, el resultado sostiene para una condición ligeramente más débil f: a mapa ${displaystyle f:Mto M}$ admite un punto fijo único si

$${displaystyle d(f(x),f(y))) se hizo(x,y)quad {mbox{for all}quad xneq yin M_{1}.}$$

Cuasi-isometrías

Una cuasi-isometry es un mapa que conserva la "estructura a gran escala" de un espacio métrico. Los isómetrías cuasi no necesitan ser continuos. Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ y su subespacial ${displaystyle mathbb {Z} {2}}$ son cuasi-isométricos, aunque uno está conectado y el otro es discreto. La relación de equivalencia de cuasi-isometry es importante en la teoría del grupo geométrico: el Švarc-Milnor lemma afirma que todos los espacios en los que un grupo actúa geométricamente son cuasi-isométricos.

Formally, el mapa ${displaystyle f,colon M_{1}to M_{2}$ es un incrustación cuasi-isométrica si existen constantes A ≥ 1 y B ≥ 0 tales que

$${displaystyle {frac {1}{2}(f(x),f(y)))-Bleq d_{1}(x,y)leq Ad_{2}(f(x),f(y))+ Bquad {text{ for all }quad x,yin M_{1}.$$

quasi-isometryquasi-surjectiveC ≥ 0${displaystyle M_{2}$C${displaystyle f(M_{1})}$

Nociones de equivalencia de espacio métrico

Dados dos espacios métricos ${displaystyle (M_{1},d_{1})}$ y ${displaystyle (M_{2},d_{2}}$:

• Se llaman homeomorfo (topológicamente isomorfo) si hay un homeomorfismo entre ellos (es decir, una bijección continua con un inverso continuo). Si ${displaystyle M_{1}=M_{2}$ y el mapa de identidad es un homeomorfismo, entonces ${displaystyle D_{1}$ y ${displaystyle D_{2}$ se dice que topológicamente equivalente.
• Se llaman uniforme (uniformemente isomorfo) si hay un isomorfismo uniforme entre ellos (es decir, una bijección uniformemente continua con un inverso uniformemente continuo).
• Se llaman bilipschitz homeomorfo si hay una bilipschitz bijection entre ellos (es decir, una bijeción de Lipschitz con un inverso de Lipschitz).
• Se llaman isométrica si hay una isometría (bijetiva) entre ellos. En este caso, los dos espacios métricos son esencialmente idénticos.
• Se llaman quasi-isometric si hay una cuasi-isometry entre ellos.

Espacios métricos con estructura adicional

Espacios vectoriales normados

Un espacio vectorial normal es un espacio vectorial equipado con un norma, que es una función que mide la longitud de los vectores. La norma de un vector v es generalmente denotado por ${displaystyle lVert vr Vert$. Cualquier espacio vectorial normal se puede equipar con una métrica en la que la distancia entre dos vectores x y Sí. es dado por

$${displaystyle d(x,y)=lVert x-yr Vert.$$

dinducida${displaystyle lVert {cdot}r Vert$dX

• traducción invariante: ${displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$ para todos x, Sí., y a dentro X; y
• absolutamente homogénea: ${displaystyle d(alpha x,alpha y)= soportealpha detainedd(x,y)}$ para todos x y Sí. dentro X y número real α;

entonces es la métrica inducida por la norma

$${displaystyle lVert xrVert =d(x,0).}$$

Entre los ejemplos de métricas inducidas por una norma son las métricas d₁, d₂, y d_JUEGO on ${displaystyle mathbb {R} {2}}$, que son inducidos por la norma de Manhattan, la norma Euclidea y la norma máxima, respectivamente. Más generalmente, la incrustación de Kuratowski permite ver cualquier espacio métrico como un subespacio de un espacio vectorial normalizado.

Los espacios vectoriales normados de dimensión infinita, en particular los espacios de funciones, se estudian en el análisis funcional. La completitud es particularmente importante en este contexto: un espacio vectorial normado completo se conoce como espacio de Banach. Una propiedad inusual de los espacios vectoriales normados es que las transformaciones lineales entre ellos son continuas si y solo si son de Lipschitz. Tales transformaciones se conocen como operadores acotados.

Espacio de longitud

Una posible aproximación para la longitud del arco de una curva. Observe que la aproximación nunca es más larga que la longitud del arco, justificando la definición de longitud del arco como supremum.

Una curva en un espacio métrico ()M, d) es una función continua ${displaystyle gamma:[0,T]to M.$. La longitud γ se mide por

$${displaystyle L(gamma)=sup - ¿Por qué?$$

rectificablesγγgeodésica

A espacio métrico geodésico es un espacio métrico que admite una geodésica entre cualquiera de sus dos puntos. Los espacios ${displaystyle (mathbb {R} {2},d_{1})}$ y ${displaystyle (mathbb {R} {2},d_{2}}$ ambos son espacios métricos geodésicos. In ${displaystyle (mathbb {R} {2},d_{2}}$, la geodésica es única, pero en ${displaystyle (mathbb {R} {2},d_{1})}$, a menudo hay infinitamente mucha geodésica entre dos puntos, como se muestra en la figura en la parte superior del artículo.

El espacio M es un espacio de longitud (o la métrica d es intrínseco) si la distancia entre dos puntos x y y es el mínimo de las longitudes de los caminos entre ellos. A diferencia de un espacio métrico geodésico, no es necesario alcanzar el mínimo. Un ejemplo de un espacio de longitud que no es geodésico es el plano euclidiano menos el origen: los puntos (1, 0) y (-1, 0) se pueden unir por caminos de longitud arbitrariamente cercana a 2, pero no por un camino de longitud 2. Un ejemplo de un espacio métrico que no es un espacio de longitud está dado por la métrica de línea recta en la esfera: la línea recta entre dos puntos a través del centro de la tierra es más corta que cualquier camino a lo largo de la superficie.

Dado cualquier espacio métrico ()M, d), uno puede definir una nueva función de distancia intrínseca d_intrínseco on M estableciendo la distancia entre puntos x y Sí. ser infimum del d- longitudes de caminos entre ellos. Por ejemplo, si d es la distancia recta en la esfera, entonces d_intrínseco es la distancia de gran círculo. Sin embargo, en algunos casos d_intrínseco puede tener valores infinitos. Por ejemplo, si M es el copo de nieve Koch con la métrica subespacial d inducido del ${displaystyle mathbb {R} {2}}$, entonces la distancia intrínseca resultante es infinita para cualquier par de puntos distintos.

Variedades de Riemann

Un manifold Riemanniano es un espacio equipado con un tensor métrico Riemanniano, que determina longitudes de vectores tangentes en cada punto. Esto se puede pensar en definir una noción de distancia infinitamente. En particular, un camino diferente ${displaystyle gamma:[0,T]to M.$ en un manifold Riemanniano M tiene longitud definida como la parte integral de la longitud del vector tangente al camino:

$${displaystyle L(gamma)=int ¿Qué?$$

La métrica de Riemann está determinada únicamente por la función de distancia; esto significa que, en principio, toda la información sobre una variedad de Riemann se puede recuperar a partir de su función de distancia. Una dirección en la geometría métrica es encontrar formulaciones puramente métricas ("sintéticas") de las propiedades de las variedades de Riemann. Por ejemplo, una variedad de Riemann es un espacio CAT(k) (una condición sintética que depende puramente de la métrica) si y solo si su curvatura seccional está limitada arriba por k. Por lo tanto, los espacios CAT(k) generalizan los límites de la curvatura superior a los espacios métricos generales.

Espacios de medidas métricas

El análisis real hace uso tanto de la métrica en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ y la medida Lebesgue. Por lo tanto, las generalizaciones de muchas ideas de análisis residen naturalmente en espacios de medida métrica: espacios que tienen una medida y una métrica que son compatibles entre sí. Formally, a Medición métrica del espacio es un espacio métrico equipado con una medida regular Borel tal que cada bola tiene una medida positiva. Por ejemplo, espacios euclidianos de dimensión n, y más generalmente n-dimensional Manifolds riemannianos, naturalmente tienen la estructura de un espacio de medida métrica, equipado con la medida Lebesgue. Ciertos espacios métricos fractales como el gaseoso Sierpiński pueden equiparse con la medida Hausdorff α-dimensional donde α es la dimensión Hausdorff. En general, sin embargo, un espacio métrico puede no tener una opción "obvia" de medida.

Una aplicación de los espacios de medidas métricas es generalizar la noción de curvatura de Ricci más allá de las variedades de Riemann. Así como CAT(k) y los espacios de Alexandrov generalizan límites de curvatura escalar, los espacios RCD son una clase de espacios de medidas métricas que generalizan límites inferiores en la curvatura de Ricci.

Más ejemplos y aplicaciones

Grafos y espacios métricos finitos

A el espacio métrico es discreto si su topología inducida es la topología discreta. Aunque muchos conceptos, como completitud y compacidad, no son interesantes para tales espacios, sin embargo, son objeto de estudio en varias ramas de las matemáticas. En particular, espacios métricos finitos (los que tienen un número finito de puntos) se estudian en combinatoria e informática teórica. Las incrustaciones en otros espacios métricos están particularmente bien estudiadas. Por ejemplo, no todos los espacios métricos finitos se pueden incrustar isométricamente en un espacio euclidiano o en un espacio de Hilbert. Por otro lado, en el peor de los casos, la distorsión requerida (constante de bilipschitz) es solo logarítmica en el número de puntos.

Para cualquier gráfico conectado no dirigido G, el conjunto V de los vértices de G se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia entre los vértices < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x y y para ser la longitud del camino de borde más corto que los conecta. Esto también se denomina distancia del camino más corto o distancia geodésica. En la teoría de grupos geométricos, esta construcción se aplica al gráfico de Cayley de un grupo generado finitamente (típicamente infinito), lo que da como resultado la palabra métrica. Salvo un homeomorfismo de bilipschitz, la palabra métrica depende solo del grupo y no del conjunto generador finito elegido.

Distancias entre objetos matemáticos

En las matemáticas modernas, a menudo se estudian espacios cuyos puntos son en sí mismos objetos matemáticos. Una función de distancia en dicho espacio generalmente tiene como objetivo medir la diferencia entre dos objetos. Aquí hay unos ejemplos:

• Funciones a un espacio métrico. Si X es cualquier conjunto y M es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones atadas ${displaystyle fcolon Xto M}$ (es decir, aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto atado de ${displaystyle M}$) se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia entre dos funciones vinculadas f y g para ser
  $${displaystyle d(f,g)=sup _{xin X}d(f(x),g(x)). }$$

  
  Esta métrica se llama la métrica uniforme o supremum. Si M está completo, entonces este espacio de función también está completo; además, si X es también un espacio topológico, entonces el subespacio que consiste de todas las funciones continuas atadas de X a M también está completo. Cuando X es un subespacio ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$, este espacio de función se conoce como un espacio clásico de Wiener.
• Montar métricas y editar distancias. Hay muchas maneras de medir distancias entre cadenas de caracteres, que pueden representar frases en lingüística computacional o palabras clave en teoría de codificación. Editar distancias intentar medir el número de cambios necesarios para llegar de una cuerda a otra. Por ejemplo, la distancia Hamming mide el número mínimo de sustituciones necesarias, mientras que la distancia Levenshtein mide el número mínimo de supresiones, inserciones y sustituciones; ambas se pueden considerar como distancias en un gráfico apropiado.
• La distancia de edición de gráficos es una medida de disimilaridad entre dos gráficos, definido como el número mínimo de operaciones de edición de gráficos necesarias para transformar un gráfico en otro.
• Las métricas de Wasserstein miden la distancia entre dos medidas en el mismo espacio métrico. La distancia de Wasserstein entre dos medidas es, aproximadamente, el costo de transportar uno al otro.
• El conjunto de todos m por n matrices sobre algún campo es un espacio métrico con respecto a la distancia de rango ${displaystyle d(A,B)=mathrm {rank} (B-A)}$.
• La métrica Helly en la teoría del juego mide la diferencia entre estrategias en un juego.

Distancia entre Hausdorff y Gromov-Hausdorff

La idea de espacios de objetos matemáticos también se puede aplicar a subconjuntos de un espacio métrico, así como a los propios espacios métricos. La distancia de Hausdorff y Gromov-Hausdorff definen métricas en el conjunto de subconjuntos compactos de un espacio métrico y el conjunto de espacios métricos compactos, respectivamente.

Suponga que (M, d) es un espacio métrico y deje que S sea un subconjunto de M. La distancia desde S hasta un punto x de M es, informalmente, la distancia desde x al punto más cercano de S. Sin embargo, dado que puede no haber un solo punto más cercano, se define a través de un ínfimo:

$${displaystyle d(x,S)=inf{d(x,s):sin S}.$$

${displaystyle d(x,S)=0}$xS

$${displaystyle d(x,S)leq d(x,y)+d(y,S),}$$

${displaystyle D_{S}:Mto mathbb {R}$${displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$

Dados dos subconjuntos S y T de M, su distancia de Hausdorff es

$${displaystyle [S,T]=max{d(s,T):sin S},sup{d(t,S):tin.$$

STSTSTS${displaystyle [S,T]$${displaystyle D_{H}(S,T)}$M

La métrica de Gromov-Hausdorff define una distancia entre (clases de isometría de) espacios métricos compactos. La distancia Gromov–Hausdorff entre espacios compactos X y Y es el mínimo de la distancia de Hausdorff sobre todos los espacios métricos Z que contienen X y Y como subespacios. Si bien rara vez es útil saber el valor exacto de la distancia Gromov-Hausdorff, la topología resultante ha encontrado muchas aplicaciones.

Ejemplos varios

• Dado un espacio métrico ()X, d) y una función de cóncava creciente ${displaystyle fcolon [0,infty]to [0,infty]$ tales que f()t) = 0 si t = 0, entonces ${displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y)}$ es también una métrica X. Si f()t) t^α para algún número real α, tal métrica se conoce como copo de nieve de d.
• El lazo apretado de un espacio métrico es otro espacio métrico que se puede considerar como una versión abstracta del casco convexo.
• La métrica británica Rail (también llamada la métrica de oficina de correos) o la métrica SNCF en un espacio vectorial normalizado es dada por ${displaystyle d(x,y)=lVert xr Vert +l Vert yr Vert$ para puntos distintos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$, y ${displaystyle d(x,x)=0}$. Más generalmente ${displaystyle lVert cdot rVert }$ puede ser reemplazado por una función ${displaystyle f}$ tomándose un conjunto arbitrario ${displaystyle S.$ to non-negative reals and taking the value ${displaystyle 0}$ a la vez: entonces la métrica se define en ${displaystyle S.$ por ${displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$ para puntos distintos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$, y ${displaystyle d(x,x)=0}$. El nombre alude a la tendencia de los viajes ferroviarios a pasar por Londres (o París) independientemente de su destino final.
• La métrica Robinson-Foulds utilizada para calcular las distancias entre los árboles fitogenéticos en la fitogenética

Construcciones

Espacios métricos de productos

Si ${displaystyle (M_{1},d_{1}),ldots(M_{n},d_{n})}$ son espacios métricos, y N es la norma euclidiana en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$, entonces ${displaystyle {bigl (}M_{1}times cdots times M_{n},d_{times } {bigr)}$ es un espacio métrico, donde la métrica del producto se define por

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fnfn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}=N{bigl} {fn}} {n} {n}} {n}}nnnn}} {nn}}nnnnn}}}nnn}nnnnnnn}}nnnnnnnKnnnKnnnKnKnKnKnKnKn}}}}}nKn}}n}n}n}n}nnKnKn}n}n}n}n}n}nKn}nKnKnKnKn}nKn$$

Nn

Del mismo modo, se puede obtener una métrica sobre el producto topológico de muchos espacios métricos contables usando la métrica

$${displaystyle d(x,y)=sum _{i=1}{infty }{frac {1}{2^{i}}}{frac}} {frac} {d_{i}(x_{i},y_{i}}{1+d_{i}(x_{i},y_{i}}}}}}$$

El producto topológico de incontables espacios métricos no necesita ser mezquinable. Por ejemplo, un producto incontable de copias de ${displaystyle mathbb {R}$ no es de primera cuenta y por lo tanto no es metro.

Cociente de espacios métricos

Si M es un espacio métrico con métrica d, y ${displaystyle sim }$ es una relación de equivalencia M, entonces podemos dotar el conjunto de cociente ${displaystyle M/!sim}$ con un pseudométrico. La distancia entre dos clases de equivalencia ${displaystyle [x]}$ y ${displaystyle [y]}$ se define como

$${displaystyle d'([x],[y])=inf{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+dotsb ¿Qué?$$

${displaystyle (p_{1},p_{2},dotsp_{n}$${displaystyle (q_{1},q_{2},dotsq_{n}}$${displaystyle p_{1}sim x}$${displaystyle q_{n}sim y}$${displaystyle q_{i}sim p_{i+1},i=1,2,dotsn-1}$${displaystyle d'([x],[y]=0}$${displaystyle [x]=[y]}$${displaystyle d'}$

La métrica cociente ${displaystyle d'}$ se caracteriza por la propiedad universal siguiente. Si ${displaystyle f,colon (M,d)to (X,delta)}$ es un mapa métrico (es decir, 1-Lipschitz) entre los espacios métricos satisfactorios f()x) f()Sí.) siempre ${displaystyle xsim y}$, entonces la función inducida ${displaystyle {f}f},colon {M/sim}to X}$, dado por ${displaystyle {overline {f}(x)=f(x)}$, es un mapa métrico ${displaystyle {overline {f},colon (M/simd)to (X,delta). }$

La métrica cociente no siempre induce la topología cociente. Por ejemplo, el cociente topológico del espacio métrico ${displaystyle mathbb {N} times [0,1]}$ identificando todos los puntos del formulario ${displaystyle (n,0)}$ no es metroble ya que no es de primera cuenta, pero la métrica de cociente es una métrica bien definida en el mismo conjunto que induce una topología más gruesa. Además, diferentes métricas en el espacio topológico original (una unión disyuntiva de muchos intervalos) conducen a diferentes topologías en el cociente.

Un espacio topológico es secuencial si y solo si es un cociente (topológico) de un espacio métrico.

Generalizaciones de espacios métricos

Hay varias nociones de espacios que tienen menos estructura que un espacio métrico, pero más que un espacio topológico.

• Los espacios uniformes son espacios en los que no se definen las distancias, pero la continuidad uniforme es.
• Los espacios de aproximación son espacios en los que se definen distancias de punto a punto, en lugar de distancias de punto a punto. Tienen propiedades particularmente buenas desde el punto de vista de la teoría de la categoría.
• Los espacios continuos son una generalización de espacios métricos y poses que se pueden utilizar para unificar las nociones de espacios métricos y dominios.

También hay numerosas formas de relajar los axiomas de una métrica, dando lugar a varias nociones de espacios métricos generalizados. Estas generalizaciones también se pueden combinar. La terminología utilizada para describirlos no está completamente estandarizada. En particular, en el análisis funcional, las pseudométricas a menudo provienen de seminormas en espacios vectoriales, por lo que es natural llamarlas "semimétricas". Esto entra en conflicto con el uso del término en topología.

Métricas ampliadas

Algunos autores definen métricas para permitir la función de distancia d para alcanzar el valor ∞, es decir, las distancias son números no negativos en la línea de números reales extendidos. Tal función también se llama métrica ampliada o "∞-metric". Cada métrica extendida puede ser reemplazada por una métrica finita que es topológicamente equivalente. Esto se puede hacer utilizando una función monotonalmente creciente subadditiva que es cero a cero, por ejemplo. ${displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y)}$ o ${displaystyle d'''(x,y)=min(1,d(x,y)}$.

Métricas valoradas en estructuras distintas a los números reales

El requisito de que la métrica tome valores ${displaystyle [0,infty]}$ se puede relajar para considerar métricas con valores en otras estructuras, incluyendo:

• Campos ordenados, dando la noción de una métrica generalizada.
• Más conjuntos generales dirigidos. En ausencia de una operación adicional, la desigualdad triángulo no tiene sentido y es reemplazada por una desigualdad ultramétrica. Esto conduce a la noción de un ultramétrica generalizada.

Estas generalizaciones todavía inducen una estructura uniforme en el espacio.

Pseudometría

A pseudométrico on ${displaystyle X}$ es una función ${displaystyle d:Xtimes Xto mathbb {R}$ que satisface los axiomas para una métrica, excepto que en lugar de la segunda (identidad de indiscernibles) ${displaystyle d(x,x)=0}$ para todos ${displaystyle x}$ es necesario. En otras palabras, los axiomas para un pseudométrico son:

1. ${displaystyle d(x,y)geq 0}$
2. ${displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z)}$.

En algunos contextos, las pseudométricas se denominan semimétricas debido a su relación con las seminormas.

Cuasimétricos

Ocasionalmente, una cuasimétrica se define como una función que satisface todos los axiomas de una métrica con la posible excepción de la simetría. El nombre de esta generalización no está completamente estandarizado.

1. ${displaystyle d(x,y)geq 0}$
2. ${displaystyle d(x,y)=0iff x=y}$
3. ${displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z)}$

Las cuasimétricas son comunes en la vida real. Por ejemplo, dado un conjunto X de pueblos de montaña, los tiempos típicos de caminata entre elementos de estilo X forman un cuasimétrico porque viajar cuesta arriba toma más tiempo que viajar cuesta abajo. Otro ejemplo es la duración de los viajes en automóvil en una ciudad con calles de sentido único: aquí, el camino más corto desde el punto A hasta el punto B recorre un conjunto de calles diferente al camino más corto desde B a A y pueden tener una longitud diferente.

Se puede definir una cuasimétrica sobre los reales estableciendo

$${displaystyle d(x,y)={begin{cases}x-y simultáneamente {text{if }xgeq y,1 âtext{otherwise.}end{cases}}}$$

${displaystyle 1+{sqrt {y-x}}$Sí.-x

Dado un cuasimétrico en X, uno puede definir un R- Bola alrededor x para ser el conjunto ${displaystyle {yin X sometidad(x,y)leq R.$. Como en el caso de una métrica, tales bolas forman una base para una topología sobre X, pero esta topología no necesita ser metrizable. Por ejemplo, la topología inducida por el cuasimétrico en los reinos descritos anteriormente es la (reversada) Línea Sorgenfrey.

Metamétricas o métricas parciales

En una metamétrica, se cumplen todos los axiomas de una métrica excepto que la distancia entre puntos idénticos no es necesariamente cero. En otras palabras, los axiomas para una metamétrica son:

1. ${displaystyle d(x,y)geq 0}$
2. ${displaystyle d(x,y)=0implies x=y}$
3. ${displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z). }$

Las metametrías aparecen en el estudio de los espacios métricos hiperbólicos Gromov y sus límites. El metamétrica visual en tal espacio satisfice ${displaystyle d(x,x)=0}$ para puntos ${displaystyle x}$ en el límite, pero de otra manera ${displaystyle d(x,x)}$ es aproximadamente la distancia ${displaystyle x}$ al límite. La metametría fue definida por Jussi Väisälä. En otro trabajo, una función que satisfaga estos axiomas se llama a métrica parcial o a métrica dislocada.

Semimétrica

A semimétrica on ${displaystyle X}$ es una función ${displaystyle d:Xtimes Xto mathbb {R}$ que satisface los tres primeros axiomas, pero no necesariamente la desigualdad del triángulo:

1. ${displaystyle d(x,y)geq 0}$
2. ${displaystyle d(x,y)=0iff x=y}$
3. ${displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

Algunos autores trabajan con una forma más débil de la desigualdad triangular, como:

${displaystyle d(x,z)leq rho ,(d(x,y)+d(y,z)}$	Inequidad triángulo relajo
${displaystyle d(x,z)leq rho ,max{d(x,y),d(y,z)}}$	desigualdad inframétrica

La desigualdad inframétrica ρ implica la desigualdad triangular relajada ρ (asumiendo el primer axioma), y la desigualdad triangular relajada ρ implica la desigualdad inframétrica 2ρ. Los semimétricos que satisfacen estas condiciones equivalentes a veces se denominan cuasimétricos, casimétricos o inframétricos.

Las desigualdades inframétricas ρ se introdujeron para modelar tiempos de retraso de ida y vuelta en Internet. La desigualdad triangular implica la desigualdad 2-inframétrica, y la desigualdad ultramétrica es exactamente la desigualdad 1-inframétrica.

Premétricas

Relajando los últimos tres axiomas conduce a la noción de una premétrica, es decir, una función que satisface las siguientes condiciones:

1. ${displaystyle d(x,y)geq 0}$
2. ${displaystyle d(x,x)=0}$

Este no es un término estándar. A veces se usa para referirse a otras generalizaciones de métricas como pseudosemimetrics o pseudometrics; en las traducciones de libros rusos a veces aparece como "prametric". Una premétrica que satisface la simetría, es decir, una pseudosemimétrica, también se denomina distancia.

Cualquier premétrico da lugar a una topología como sigue. Para un real positivo ${displaystyle r}$, el ${displaystyle r}$- Bola centrado en un punto ${displaystyle p}$ se define como

${displaystyle B_{r}(p)={x soportad(x,p) mader}$

Un conjunto se llama abierto si para cualquier punto ${displaystyle p}$ en el set hay un ${displaystyle r}$- Bola centrado en ${displaystyle p}$ que está contenida en el conjunto. Cada espacio premétrico es un espacio topológico, y de hecho un espacio secuencial. En general, ${displaystyle r}$-Bolas ellos mismos no necesitan ser conjuntos abiertos con respecto a esta topología. En cuanto a la métrica, la distancia entre dos conjuntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$, se define como

${displaystyle d(A,B)={underset {xin A,yin B}{inf }d(x,y).}$

Esto define un premétrico en el conjunto de potencia de un espacio premétrico. Si empezamos con un espacio (pseudosemi-)métrico, obtenemos un pseudosemimétrico, es decir, un premétrico simétrico. Cualquier premétrico da lugar a un operador de precloración ${displaystyle cl}$ como sigue:

${displaystyle cl(A)={x soportad(x,A)=0}$

Pseudocuasimetría

Los prefijos pseudo-, quasi - y semi - también se pueden combinar, por ejemplo, a pseudoquasimétrica (A veces se llama hemimetric) relaja tanto el axioma de indiscernibilidad como el axioma de simetría y es simplemente un premétrico que satisface la desigualdad del triángulo. Para espacios pseudoquasimétricos el abierto ${displaystyle r}$-Bolas forma una base de conjuntos abiertos. Un ejemplo muy básico de un espacio pseudoquasimétrico es el conjunto ${displaystyle {0,1}}$ con el premétrico dado por ${displaystyle d(0,1)=1}$ y ${displaystyle d(1,0)=0.}$ El espacio topológico asociado es el espacio Sierpiński.

William Lawvere estudió los conjuntos equipados con un pseudocuasimétrico extendido como "espacios métricos generalizados". Desde un punto de vista categórico, los espacios pseudométricos extendidos y los espacios pseudocuasimétricos extendidos, junto con sus correspondientes aplicaciones no expansivas, son las categorías de espacio métrico que mejor se comportan. Uno puede tomar productos y coproductos arbitrarios y formar objetos cocientes dentro de la categoría dada. Si uno suelta "extendido", solo puede tomar productos y coproductos finitos. Si se elimina "pseudo", no se pueden tomar cocientes.

Lawvere también dio una definición alternativa de espacios tales como categorías enriquecidas. El set ordenado ${displaystyle (mathbb {R}geq)}$ se puede ver como una categoría con un morfismo ${displaystyle ato b}$ si ${displaystyle ageq b}$ y ninguna otra cosa. Uso + como el producto tensor y 0 como la identidad convierte esta categoría en una categoría monoidal ${displaystyle R^{}$. Cada espacio (extended pseudoquasi-)métrico ${displaystyle (M,d)}$ ahora se puede ver como una categoría ${displaystyle M^{*}$ enriquecido ${displaystyle R^{}$:

• Los objetos de la categoría son los puntos M.
• Por cada par de puntos x y Sí. tales que ${displaystyle d(x,y)$, hay un solo morfismo que se asigna el objeto ${displaystyle d(x,y)}$ de ${displaystyle R^{}$.
• La desigualdad del triángulo y el hecho de que ${displaystyle d(x,x)=0}$ para todos los puntos x deriva de las propiedades de composición e identidad en una categoría enriquecida.
• Desde ${displaystyle R^{}$ es una pose, todos los diagramas que se requieren para una categoría enriquecida conmutan automáticamente.

Métricas en conjuntos múltiples

La noción de una métrica se puede generalizar desde una distancia entre dos elementos a un número asignado a un multiconjunto de elementos. Un multiset es una generalización de la noción de un conjunto en el que un elemento puede ocurrir más de una vez. Define el sindicato multiset ${displaystyle U=XY.$ como sigue: si un elemento x ocurre m tiempos en X y n tiempos en Y entonces ocurre m + n tiempos en U. Una función d sobre el conjunto de multiconjuntos finitos no vacíos de elementos de un conjunto M es una métrica si

1. ${displaystyle d(X)=0}$ si todos los elementos X son iguales ${displaystyle d(X)}$ (definición positiva)
2. ${displaystyle d(X)}$ depende sólo del multiset (no ordenado) X (simetría)
3. ${displaystyle d(XY)leq d(XZ)+d(ZY)}$ (la desigualdad triángula)

Al considerar los casos de los axiomas 1 y 2 en los que el multiconjunto X tiene dos elementos y el caso del axioma 3 en que los multiconjuntos X, Y y Z tienen un elemento cada uno, se recuperan los axiomas habituales para una métrica. Es decir, cada métrica de conjuntos múltiples produce una métrica ordinaria cuando se restringe a conjuntos de dos elementos.

Un ejemplo simple es el conjunto de todos los multisets finitos no vacíos ${displaystyle X}$ de enteros con ${displaystyle d(X)=max(X)-min(X)}$. Ejemplos más complejos son la distancia de información en varios conjuntos; y la distancia normalizada de compresión (NCD) en varios conjuntos.