Ángulo sólido

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Medición de cuán grande aparece un objeto a un observador en un momento dado en el espacio tridimensional

En geometría, un ángulo sólido (símbolo: $Ω$ ) es una medida de la cantidad del campo de visión desde algún punto particular que un cubiertas de objetos dadas. Es decir, es una medida de cuán grande parece el objeto para un observador que mira desde ese punto. El punto desde el que se ve el objeto se denomina vértice del ángulo sólido, y se dice que el objeto subtiende su ángulo sólido en ese punto.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), se expresa un ángulo sólido en una unidad sin dimensiones llamada unidad steradian (símbolo: sr). Un esteradiano corresponde a una unidad de área en la esfera unitaria que rodea el ápice, por lo que un objeto que bloquea todos los rayos del ápice cubriría una serie de estedarios iguales a la superficie total de la esfera unitaria, $4pi$ . Los ángulos sólidos también se pueden medir en cuadrados de medidas angulares como grados, minutos y segundos.

Un objeto pequeño cercano puede subtender el mismo ángulo sólido que un objeto más grande más lejano. Por ejemplo, aunque la Luna es mucho más pequeña que el Sol, también está mucho más cerca de la Tierra. De hecho, vistos desde cualquier punto de la Tierra, ambos objetos tienen aproximadamente el mismo ángulo sólido y el mismo tamaño aparente. Esto es evidente durante un eclipse solar.

Definición y propiedades

El ángulo sólido de un objeto en estereorradianes es igual al área del segmento de una esfera unitaria, centrada en el vértice, que cubre el objeto. Dar el área de un segmento de una esfera unitaria en estereorradianes es análogo a dar la longitud de un arco de un círculo unitario en radianes. Así como un ángulo plano en radianes es la relación entre la longitud de un arco y su radio, un ángulo sólido en estereorradianes es la relación entre el área cubierta por un objeto en una esfera y el área dada por el cuadrado del radio de dicho esfera. la fórmula es

{displaystyle Omega ={frac {A}{r^{2}}},}

Donde $A$ es la superficie esférica y $r$ es el radio de la esfera considerada.

Los ángulos sólidos se usan a menudo en astronomía, física y, en particular, en astrofísica. El ángulo sólido de un objeto que está muy lejos es aproximadamente proporcional a la relación entre el área y la distancia al cuadrado. Aquí "área" significa el área del objeto cuando se proyecta a lo largo de la dirección de visualización.

Cualquier área en una esfera que es igual en la zona a la plaza de su radio, cuando se observa desde su centro, subtenga precisamente un esteriladiano.

El ángulo sólido de una esfera medido desde cualquier punto de su interior es 4π sr, y el ángulo sólido subtendido en el centro de un cubo por una de sus caras es un sexto de eso, o 2 $π$ /3 sr. Los ángulos sólidos también se pueden medir en grados cuadrados (1 sr = (180/ $π$ )² grados cuadrados), en minutos cuadrados y segundos cuadrados, o en fracciones de esfera (1 sr = 1/ 4 $π$ área fraccionaria), también conocida como disputa (1 sp = 4 $π$ sr).

En coordenadas esféricas existe una fórmula para el diferencial,

{displaystyle dOmega =sin theta ,dtheta ,dvarphi}

donde $θ$ es la colatitud (ángulo desde el Polo Norte) y $φ$ es la longitud.

El ángulo sólido para una superficie orientada arbitrariamente $S$ subtendido en un punto $P$ es igual al ángulo sólido de la proyección de la superficie $S$ a la esfera unitaria con centro $P$ , que se puede calcular como la integral de superficie:

{displaystyle Omega =iint _{S}{frac {{hat {r}}cdot {hat {n}}}{r^{2}}},dS =iint _{S}sin theta ,dtheta ,dvarphi}

Donde ${displaystyle {hat {r}}={vec {r}}/r}$ es el vector de unidad correspondiente a ${vec {r}}$ , el vector de posición de un área infinitesimal de superficie $DS$ con respecto al punto $P$ , y dónde ${hat {n}}$ representa el vector normal de la unidad $DS$ . Incluso si la proyección en la esfera de unidad a la superficie $S$ no es isomorfo, los pliegues múltiples se consideran correctamente según la orientación de la superficie descrita por el signo del producto escalar ${hat {r}}cdot {hat {n}}$ .

Así se puede aproximar el ángulo sólido subtended por una pequeña faceta que tiene superficie plana $DS$ , orientación ${hat {n}}$ , y distancia $r$ desde el espectador como:

{displaystyle dOmega =4pi left({frac {dS}{A}}right),({hat {r}}cdot {hat {n}}),}

donde el área de la superficie de una esfera es $A = 4 π r 2$ .

Aplicaciones prácticas

Definir intensidad luminosa y luminancia, y las correspondientes cantidades radiométricas intensidad radiante y radiancia
Cálculo del exceso esférico $E$ de un triángulo esférico
El cálculo de los potenciales utilizando el método del elemento de límites (BEM)
Evaluando el tamaño de los ligandos en complejos metálicos, vea el ángulo del cono ligando
Calculando el campo eléctrico y la fuerza del campo magnético alrededor de las distribuciones de carga
Conducir la ley de Gauss
Calculando energía e irradiación emisiva en transferencia de calor
Calculando secciones transversales en Rutherford dispersando
Calculando secciones transversales en el dispersión de Raman
El ángulo sólido del cono de aceptación de la fibra óptica

Ángulos sólidos para objetos comunes

Cono, casquete esférico, hemisferio

Sección de cono (1) y capa esférica (2) dentro de una esfera. En esta figura

Silencio = A /2

r = 1

El ángulo sólido de un cono con su vértice en el vértice del ángulo sólido, y con ángulo de vértice 2 $θ$ , es el área de un casquete esférico en una esfera unitaria

{displaystyle Omega =2pi left(1-cos theta right) =4pi sin ^{2}{frac {theta }{2}}.}

Para pequeños $θ$ tales que $cos θ \approx 1 - θ 2 /2$ esto se reduce a $π θ 2$ , el área de un círculo.

Lo anterior se encuentra calculando la siguiente integral doble usando el elemento de superficie unitario en coordenadas esféricas:

{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{2pi }int _{0}^{theta }sin theta ',dtheta ',dphi &=int _{0}^{2pi }dphi int _{0}^{theta }sin theta ',dtheta '\&=2pi int _{0}^{theta }sin theta ',dtheta '\&=2pi left[-cos theta 'right]_{0}^{theta }\&=2pi left(1-cos theta right).end{aligned}}}

Esta fórmula también se puede derivar sin el uso de cálculo. Hace más de 2200 años, Arquímedes demostró que el área de la superficie de un casquete esférico es siempre igual al área de un círculo cuyo radio es igual a la distancia desde el borde del casquete esférico hasta el punto donde el eje de simetría del casquete interseca al gorra. En el diagrama, este radio se da como

{displaystyle 2rsin {frac {theta }{2}}.}

Por lo tanto, para una esfera unitaria, el ángulo sólido del casquete esférico se da como

{displaystyle Omega =4pi sin ^{2}{frac {theta }{2}}=2pi left(1-cos theta right).}

Cuando $θ$ = $π$ /2 , el casquete esférico se convierte en un hemisferio que tiene un ángulo sólido 2 $π$ .

El ángulo sólido del complemento del cono es

{displaystyle 4pi -Omega =2pi left(1+cos theta right)=4pi cos ^{2}{frac {theta }{2}}.}

Este es también el ángulo sólido de la parte de la esfera celeste que un observador astronómico ubicado en la latitud $θ$ puede ver mientras la Tierra gira. En el ecuador es visible toda la esfera celeste; en cada polo, sólo la mitad.

El ángulo sólido subtendido por un segmento de un casquete esférico cortado por un plano en ángulo $γ$ desde el eje del cono y pasando por el vértice del cono se puede calcular mediante la fórmula

{displaystyle Omega =2left[arccos left({frac {sin gamma }{sin theta }}right)-cos theta arccos left({frac {tan gamma }{tan theta }}right)right].}

Por ejemplo, si $γ = - θ$ , entonces la fórmula se reduce a la fórmula de casquete esférico anterior: el el primer término se convierte en $π$ , y el segundo $π cos θ$ .

Tetraedro

Que OABC sea los vértices de un tetraedro con un origen en O subtended por la cara triangular ABC donde ${vec {a}}\,{vec {b}}\,{vec {c}}$ son las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C. Definir el ángulo del vértice $Silencio a$ ser el ángulo BOC y definir $Silencio b$ , $Silencio c$ correspondientemente. Vamos ${displaystyle phi _{ab}}$ ser el ángulo dihedral entre los planos que contienen las caras tetraedral OAC y OBC y definir ${displaystyle phi _{ac}}$ , ${displaystyle phi _{bc}}$ correspondientemente. El ángulo sólido $Ω$ subtended by the triangular surface ABC is given by

{displaystyle Omega =left(phi _{ab}+phi _{bc}+phi _{ac}right) -pi.}

Esto se deriva de la teoría del exceso esférico y lleva al hecho de que existe un teorema análogo al teorema de que "La suma de los ángulos internos de un triángulo plano es igual a $π$ ", para la suma de los cuatro ángulos sólidos internos de un tetraedro de la siguiente manera:

{displaystyle sum _{i=1}^{4}Omega _{i}=2sum _{i=1}^{6}phi _{i} -4pi}

Donde $phi _{i}$ abarca los seis ángulos dihedral entre los dos planos que contienen las caras tetraedral OAB, OAC, OBC y ABC.

Una fórmula útil para calcular el ángulo sólido del tetraedro en el origen O que es puramente una función de los ángulos de los vértices $θ a$ , $θ b$ , $θ c$ está dada por el teorema de L'Huilier's como

{displaystyle tan left({frac {1}{4}}Omega right)={sqrt {tan left({frac {theta _{s}}{2}}right)tan left({frac {theta _{s}-theta _{a}}{2}}right)tan left({frac {theta _{s}-theta _{b}}{2}}right)tan left({frac {theta _{s}-theta _{c}}{2}}right)}},}

dónde

{displaystyle theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}.}

Otra fórmula interesante implica expresar los vértices como vectores en el espacio tridimensional. Vamos ${vec {a}}\,{vec {b}}\,{vec {c}}$ ser las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C, y dejar $a$ , $b$ , y $c$ ser la magnitud de cada vector (la distancia de punto de origen). El ángulo sólido $Ω$ subtended by the triangular surface ABC is:

{displaystyle tan left({frac {1}{2}}Omega right)={frac {left|{vec {a}} {vec {b}} {vec {c}}right|}{abc+left({vec {a}}cdot {vec {b}}right)c+left({vec {a}}cdot {vec {c}}right)b+left({vec {b}}cdot {vec {c}}right)a}},}

dónde

{displaystyle left|{vec {a}} {vec {b}} {vec {c}}right|={vec {a}}cdot ({vec {b}}times {vec {c}})}

denota el triple producto escalar de los tres vectores y ${vec {a}}cdot {vec {b}}$ denota el producto del cuero cabelludo.

Se debe tener cuidado aquí para evitar ángulos sólidos negativos o incorrectos. Una fuente de posibles errores es que el producto triple escalar puede ser negativo si $a$ , $b$ , $c$ tienen el devanado incorrecto. Calcular el valor absoluto es una solución suficiente ya que ninguna otra parte de la ecuación depende del devanado. El otro escollo surge cuando el triple producto escalar es positivo pero el divisor es negativo. En este caso devuelve un valor negativo que debe incrementarse en $π$ .

Pirámide

El ángulo sólido de una pirámide rectangular recta de cuatro lados con ángulos en el vértice $a$ y $b$ (ángulos diedros medidos a las caras laterales opuestas de la pirámide) es

{displaystyle Omega =4arcsin left(sin left({a over 2}right)sin left({b over 2}right)right).}

Si las longitudes de ambos lados ( $α$ y $β$ ) de la base de la pirámide y la distancia ( $d$ ) desde el centro de la base del rectángulo hasta el ápice de la pirámide (el centro de la esfera) son conocidos, entonces la ecuación anterior se puede manipular para dar

{displaystyle Omega =4arctan {frac {alpha beta }{2d{sqrt {4d^{2}+alpha ^{2}+beta ^{2}}}}}.}

El ángulo sólido de una pirámide $n$ -gonal recta, donde la base de la pirámide es una $polígono de n$ lados de circunradio $r$ , con un la altura de la pirámide $h$ es

{displaystyle Omega =2pi -2narctan left({frac {tan left({pi over n}right)}{sqrt {1+{r^{2} over h^{2}}}}}right).}

El ángulo sólido de una pirámide arbitraria con una base de $n$ lados definida por la secuencia de vectores unitarios que representan los bordes ${s 1, s 2},... s n$ se puede calcular de manera eficiente mediante:

{displaystyle Omega =2pi -arg prod _{j=1}^{n}left(left(s_{j-1}s_{j}right)left(s_{j}s_{j+1}right)-left(s_{j-1}s_{j+1}right)+ileft[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}right]right).}

donde los paréntesis (* *) es un producto de escalar y los corchetes cuadrados [* * *] es un producto triple de escalar, y $i$ es una unidad imaginaria. Los índices se ciclon: $s 0 = s n$ y $s 1 = s n + 1$ . Los productos complejos añaden la fase asociada a cada ángulo de vértice del polígono. Sin embargo, un múltiple de $2pi$ se pierde en la rama cortada ${displaystyle arg }$ y debe ser mantenido seguimiento de por separado. Además, el producto de funcionamiento de fases complejas debe escalarse ocasionalmente para evitar la subida en el límite de segmentos casi paralelos.

Rectángulo de latitud y longitud

El ángulo sólido de un rectángulo de latitud y longitud en un globo es

{displaystyle left(sin phi _{mathrm {N} }-sin phi _{mathrm {S} }right)left(theta _{mathrm {E} }-theta _{mathrm {W} },!right);mathrm {sr}}

φ N

φ S

Silencio E

Silencio W

φ N - φ S

Silencio E - Silencio W

π

π

Un rectángulo de latitud y longitud no debe confundirse con el ángulo sólido de una pirámide rectangular. Los cuatro lados de una pirámide rectangular intersecan la superficie de la esfera en grandes arcos circulares. Con un rectángulo de latitud y longitud, solo las líneas de longitud son grandes arcos circulares; las líneas de latitud no lo son.

Objetos celestes

Mediante el uso de la definición de diámetro angular, la fórmula para el ángulo sólido de un objeto celeste se puede definir en términos del radio del objeto, ${textstyle R}$ , y la distancia del observador al objeto, $d$ :

{displaystyle Omega =2pi left(1-{frac {sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}right):dgeq R.}

Al ingresar los valores promedio apropiados para el Sol y la Luna (en relación con la Tierra), el ángulo sólido promedio del Sol es 6,794×10⁻⁵ estereorradianes y el promedio el ángulo sólido de la Luna es 6.418×10⁻⁵ estereorradianes. En términos de la esfera celeste total, el Sol y la Luna subtienden áreas fraccionarias promedio de 0,0005406% (5,406 ppm) y 0,0005107 % (5,107 ppm), respectivamente. Como estos ángulos sólidos tienen aproximadamente el mismo tamaño, la Luna puede causar eclipses solares tanto totales como anulares dependiendo de la distancia entre la Tierra y la Luna durante el eclipse.

Ángulos sólidos en dimensiones arbitrarias

El ángulo sólido subtendido por la superficie esférica dimensional completa ( $d - 1$ ) de la esfera unitaria en d-dimensional El espacio euclidiano se puede definir en cualquier número de dimensiones $d$ . A menudo se necesita este factor de ángulo sólido en los cálculos con simetría esférica. esta dada por la formula

{displaystyle Omega _{d}={frac {2pi ^{frac {d}{2}}}{Gamma left({frac {d}{2}}right)}},}

.

d

{displaystyle Omega _{d}={begin{cases}{frac {1}{left({frac {d}{2}}-1right)!}}2pi ^{frac {d}{2}} &d{text{ even}}\{frac {left({frac {1}{2}}left(d-1right)right)!}{(d-1)!}}2^{d}pi ^{{frac {1}{2}}(d-1)} &d{text{ odd}}.end{cases}}}

Esto da los resultados esperados de 4 $π$ estereorradianes para la esfera 3D delimitada por una superficie de área $4π r 2$ y 2 $π$ radianes para el círculo 2D delimitado por una circunferencia de longitud $2π r$ . También proporciona el 2, un poco menos obvio, para el caso 1D, en el que la "esfera" 1D centrada en el origen; es el intervalo $[- r, r]$ y está delimitado por dos puntos límite.

La contraparte de la fórmula vectorial en dimensión arbitraria fue derivada por Aomoto y de forma independiente por Ribando. Los expresa como una serie de Taylor multivariante infinita: