Análisis dimensional

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Análisis de las relaciones entre diferentes cantidades físicas

En ingeniería y ciencia, análisis dimensional es el análisis de las relaciones entre diferentes cantidades físicas mediante la identificación de sus cantidades base (como longitud, masa, tiempo y corriente eléctrica) y unidades de medida (como millas frente a kilómetros o libras frente a kilogramos) y el seguimiento de estas dimensiones a medida que se realizan cálculos o comparaciones. La conversión de unidades de una unidad dimensional a otra suele ser más fácil dentro del sistema métrico o del SI que en otros, debido a la base 10 regular en todas las unidades.

Las cantidades físicas

conmensurables son del mismo tipo y tienen la misma dimensión, y pueden compararse directamente entre sí, incluso si se expresan en diferentes unidades de medida, p.ej. yardas y metros, libras (masa) y kilogramos, segundos y años. Las cantidades físicas inconmensurables son de diferentes tipos y tienen diferentes dimensiones, y no se pueden comparar directamente entre sí, sin importar en qué unidades se expresen, p. metros y kilogramos, segundos y kilogramos, metros y segundos. Por ejemplo, preguntar si un kilogramo es más grande que una hora no tiene sentido.

Cualquier ecuación o desigualdad físicamente significativa, debe tener las mismas dimensiones en sus lados izquierdo y derecho, una propiedad conocida como homogeneidad dimensional. La verificación de la homogeneidad dimensional es una aplicación común del análisis dimensional, que sirve como verificación de plausibilidad en cálculos y ecuaciones derivadas. También sirve como guía y restricción para derivar ecuaciones que pueden describir un sistema físico en ausencia de una derivación más rigurosa.

El concepto de dimensión física y de análisis dimensional fue introducido por Joseph Fourier en 1822.

Formulación

El teorema π de Buckingham describe cómo cada ecuación físicamente significativa que involucra n variables puede reescribirse de manera equivalente como una ecuación de n − m parámetros adimensionales, donde m es el rango de la matriz dimensional. Además, y lo que es más importante, proporciona un método para calcular estos parámetros adimensionales a partir de las variables dadas.

Una ecuación dimensional puede tener las dimensiones reducidas o eliminadas a través de la no dimensionalización, que comienza con el análisis dimensional e implica escalar cantidades por unidades características de un sistema o unidades naturales de la naturaleza. Esto puede dar una idea de las propiedades fundamentales del sistema, como se ilustra en los ejemplos a continuación.

La dimensión de una cantidad física se puede expresar como un producto de las dimensiones físicas básicas, como la longitud, la masa y el tiempo, cada una elevada a una potencia entera (y, en ocasiones, racional). La dimensión de una cantidad física es más fundamental que alguna escala o unidad utilizada para expresar la cantidad de esa cantidad física. Por ejemplo, masa es una dimensión, mientras que el kilogramo es una cantidad de referencia particular elegida para expresar una cantidad de masa. La elección de la unidad es arbitraria, y su elección a menudo se basa en precedentes históricos. Las unidades naturales, al estar basadas únicamente en constantes universales, pueden considerarse "menos arbitrarias".

Hay muchas opciones posibles de dimensiones físicas básicas. El estándar SI selecciona las siguientes dimensiones y símbolos correspondientes: tiempo (T), longitud (L), masa (M), corriente eléctrica (I), temperatura absoluta (Θ), cantidad de sustancia (N) e intensidad luminosa (J). Por convención, los símbolos suelen escribirse en tipo de letra roman sans serif. Matemáticamente, la dimensión de la cantidad Q viene dada por

{displaystyle operatorname {dim} Q={mathsf {T}}^{a}{mathsf {L}}^{b}{mathsf {M}}^{c}{mathsf {I}}^{d}{mathsf {Theta }}^{e}{mathsf {N}}^{f}{mathsf {J}}^{g}}

donde a, b, c, d, e, f, g son los exponentes dimensionales. Otras cantidades físicas podrían definirse como cantidades base, siempre que formen una base linealmente independiente; por ejemplo, se podría reemplazar la dimensión (I) de corriente eléctrica de la base SI con una dimensión (Q) de carga eléctrica, ya que Q = TI.

Como ejemplos, la dimensión de la cantidad física velocidad v es

{displaystyle operatorname {dim} v={frac {text{length}}{text{time}}}={frac {mathsf {L}}{mathsf {T}}}={mathsf {T}}^{-1}{mathsf {L}}}

y la dimensión de la magnitud física fuerza F es

{displaystyle operatorname {dim} F={text{mass}}times {text{acceleration}}={text{mass}}times {frac {text{length}}{{text{time}}^{2}}}={frac {{mathsf {L}}{mathsf {M}}}{{mathsf {T}}^{2}}}={mathsf {T}}^{-2}{mathsf {L}}{mathsf {M}}}

Una cantidad que sólo tiene $bneq 0$ (con todos los otros índices cero) se conoce como una cantidad geométrica. Una cantidad que sólo tiene ambos $aneq 0$ y $bneq 0$ se conoce como una cantidad cinemática. Una cantidad que tiene todo $aneq 0$ , $bneq 0$ , y $cneq 0$ con el resto cero se conoce como una cantidad dinámica.

La unidad elegida para expresar una cantidad física y su dimensión son conceptos relacionados, pero no idénticos. Las unidades de una cantidad física se definen por convención y se relacionan con algún estándar; por ejemplo, la longitud puede tener unidades de metros, pies, pulgadas, millas o micrómetros; pero cualquier longitud siempre tiene una dimensión de L, sin importar qué unidades de longitud se elijan para expresarla. Dos unidades diferentes de la misma cantidad física tienen factores de conversión que las relacionan. Por ejemplo, 1 pulgada = 2,54 cm; en este caso, 2,54 cm/in es el factor de conversión, que en sí mismo no tiene dimensiones. Por lo tanto, multiplicar por ese factor de conversión no cambia las dimensiones de una cantidad física.

También hay físicos que han puesto en duda la existencia misma de dimensiones fundamentales incompatibles de la cantidad física, aunque esto no invalida la utilidad del análisis dimensional.

Método de Rayleigh

En el análisis dimensional, el método de Rayleigh es una herramienta conceptual utilizada en física, química e ingeniería. Expresa una relación funcional de algunas variables en forma de ecuación exponencial. Lleva el nombre de Lord Rayleigh.

El método implica los siguientes pasos:

Reúne todas las variables independientes que probablemente influyen en la variable dependiente.
Si R es una variable que depende de variables independientes R₁,R₂,R₃,...,R_n, entonces la ecuación funcional se puede escribir como R = F()R₁, R₂, R₃,... R_n).
Escribe la ecuación anterior en la forma R = C R₁^a R₂^b R₃^c... R_n^m, donde C es una constante y a, b, c,... m son exponentes arbitrarios.
Expresar cada una de las cantidades en la ecuación en algunas unidades base en las que se requiere la solución.
Mediante el uso de la homogeneidad dimensional, obtener un conjunto de ecuaciones simultáneas que involucran a los exponentes a, b, c,... m.
Resolver estas ecuaciones para obtener el valor de los exponentes a, b, c,... m.
Sustituir los valores de los exponentes en la ecuación principal, y formar los parámetros no dimensionales agrupando las variables con exponentes similares.

Como inconveniente, el método de Rayleigh no proporciona ninguna información sobre el número de grupos adimensionales que se obtendrán como resultado del análisis dimensional.

Números concretos y unidades base

Muchos parámetros y medidas en las ciencias físicas y la ingeniería se expresan como un número concreto: una cantidad numérica y una unidad dimensional correspondiente. A menudo, una cantidad se expresa en términos de varias otras cantidades; por ejemplo, la velocidad es una combinación de longitud y tiempo, p. 60 kilómetros por hora o 1,4 kilómetros por segundo. Relaciones compuestas con "per" se expresan con división, p. 60 km/h. Otras relaciones pueden implicar multiplicaciones (a menudo mostradas con un punto centrado o yuxtaposición), potencias (como m² para metros cuadrados) o combinaciones de las mismas.

Un conjunto de unidades base para un sistema de medida es un conjunto de unidades elegido convencionalmente, ninguna de las cuales se puede expresar como una combinación de las demás y en términos de las cuales se pueden expresar todas las unidades restantes del sistema. Por ejemplo, las unidades de longitud y tiempo normalmente se eligen como unidades base. Sin embargo, las unidades de volumen se pueden factorizar en las unidades base de longitud (m³), por lo que se consideran unidades derivadas o compuestas.

A veces, los nombres de las unidades oscurecen el hecho de que son unidades derivadas. Por ejemplo, un newton (N) es una unidad de fuerza, que se puede expresar como el producto de la masa (con la unidad kg) y la aceleración (con la unidad m⋅s⁻²). El newton se define como 1 N = 1 kg⋅m⋅s⁻².

Porcentajes, derivadas e integrales

Los porcentajes son cantidades adimensionales, ya que son cocientes de dos cantidades con las mismas dimensiones. En otras palabras, el signo % se puede leer como "centésimas", ya que 1% = 1/100.

Tomando una derivada con respecto a una cantidad divide la dimensión por la dimensión de la variable que se diferencia con respecto a. Por lo tanto:

posición (x) tiene la dimensión L (duración);
derivado de la posición con respecto al tiempo (dx/♪, velocidad) tiene dimensión T⁻¹L: longitud de posición, tiempo debido al gradiente;
el segundo derivado (d²x/♪² = d()dx/♪) ♪, aceleración) tiene dimensión T⁻²L.

Del mismo modo, tomar una integral agrega la dimensión de la variable con respecto a la cual se está integrando, pero en el numerador.

fuerza tiene la dimensión T⁻²LM (masa multiplicada por aceleración);
la fuerza integral con respecto a la distancia (s) el objeto ha viajado ( ${displaystyle textstyle int F ds}$ , trabajo) tiene dimensión T⁻²L²M.

En economía, se distingue entre acciones y flujos: una acción tiene una unidad (digamos, artilugios o dólares), mientras que un flujo es un derivado de una acción y tiene una unidad de la forma de esta unidad dividida por uno de tiempo (digamos, dólares/año).

En algunos contextos, las cantidades dimensionales se expresan como cantidades adimensionales o porcentajes al omitir algunas dimensiones. Por ejemplo, las relaciones deuda/PIB generalmente se expresan como porcentajes: deuda total pendiente (dimensión de la moneda) dividida por el PIB anual (dimensión de la moneda), pero se puede argumentar que, al comparar un stock con un flujo, el PIB anual debe tienen dimensiones de moneda/tiempo (dólares/año, por ejemplo) y, por lo tanto, la relación deuda/PIB debe tener la unidad año, lo que indica que la relación deuda/PIB es el número de años necesarios para que un PIB constante pague la deuda, si todo el PIB se gasta en la deuda y la deuda no cambia.

Homogeneidad dimensional

La regla más básica del análisis dimensional es la de la homogeneidad dimensional.

Sólo pueden ser cantidades proporcionables (las cantidades físicas que tengan la misma dimensión) en comparación, equated, añadido, o restringidas.

Sin embargo, las dimensiones forman un grupo abeliano bajo la multiplicación, entonces:

Uno puede tomar ratios de incommensurable cantidades (cuantidades con diferentes dimensiones) y multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica o dividir ellos.

Por ejemplo, no tiene sentido preguntar si 1 hora es más, igual o menos de 1 kilómetro, ya que estos tienen dimensiones diferentes, ni sumar 1 hora a 1 kilómetro. Sin embargo, tiene sentido preguntarse si 1 milla es más, igual o menos que 1 kilómetro, siendo la misma dimensión de cantidad física aunque las unidades sean diferentes. Por otro lado, si un objeto recorre 100 km en 2 horas, se pueden dividir y concluir que la velocidad promedio del objeto fue de 50 km/h.

La regla implica que en una expresión físicamente significativa solo se pueden sumar, restar o comparar cantidades de la misma dimensión. Por ejemplo, si m_hombre, m_rata y L_hombre denotan, respectivamente, la masa de algún hombre, la masa de una rata y la longitud de ese hombre, la expresión dimensionalmente homogénea m_man + m_rata tiene sentido, pero la expresión heterogénea m_hombre + L_hombre no tiene sentido. Sin embargo, m_hombre/L²_hombre está bien. Por lo tanto, el análisis dimensional puede usarse como una verificación de la cordura de las ecuaciones físicas: los dos lados de cualquier ecuación deben ser conmensurables o tener las mismas dimensiones.

Incluso cuando dos cantidades físicas tienen dimensiones idénticas, puede no tener sentido compararlas o sumarlas. Por ejemplo, aunque el par y la energía comparten la dimensión T⁻²L² M, son cantidades físicas fundamentalmente diferentes.

Para comparar, sumar o restar cantidades con las mismas dimensiones pero expresadas en diferentes unidades, el procedimiento estándar es primero convertirlas todas a la misma unidad. Por ejemplo, para comparar 32 metros con 35 yardas, use 1 yarda = 0,9144 m para convertir 35 yardas en 32,004 m.

Un principio relacionado es que cualquier ley física que describa con precisión el mundo real debe ser independiente de las unidades utilizadas para medir las variables físicas. Por ejemplo, las leyes de movimiento de Newton deben cumplirse ya sea que la distancia se mida en millas o kilómetros. Este principio da lugar a la forma que debe tomar un factor de conversión entre una unidad que mide la misma dimensión: la multiplicación por una constante simple. También asegura la equivalencia; por ejemplo, si dos edificios tienen la misma altura en pies, entonces deben tener la misma altura en metros.

Factor de conversión

En el análisis dimensional, una relación que convierte una unidad de medida en otra sin cambiar la cantidad se denomina factor de conversión. Por ejemplo, kPa y bar son unidades de presión y 100 kPa = 1 bar. Las reglas del álgebra permiten dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión, por lo que esto equivale a 100 kPa / 1 bar = 1. Dado que cualquier cantidad se puede multiplicar por 1 sin cambiarla, la expresión "100 kPa / 1 bar" se puede usar para convertir de bares a kPa multiplicándolo por la cantidad a convertir, incluida la unidad. Por ejemplo, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa porque 5 × 100 / 1 = 500 y bar/ bar se cancela, entonces 5 bar = 500 kPa.

Aplicaciones

El análisis dimensional se usa con mayor frecuencia en física y química, y en las matemáticas correspondientes, pero también encuentra algunas aplicaciones fuera de esos campos.

Matemáticas

Una simple aplicación de análisis dimensional a las matemáticas es en la computación de la forma del volumen de un n-ball (la bola sólida en n dimensiones), o el área de su superficie, la n-sfera: ser un n- figura dimensional, las escalas de volumen como $x^{n},$ mientras la superficie, siendo $(n-1)$ -dimensional, escalas como $x^{n-1}.$ Así el volumen del n- El balón en términos del radio es $C_{n}r^{n},$ para alguna constante $C_{n}.$ Determinar la constante requiere más matemáticas involucradas, pero la forma puede ser deducida y verificada por el análisis dimensional solo.

Finanzas, economía y contabilidad

En finanzas, economía y contabilidad, el análisis dimensional suele denominarse en términos de la distinción entre existencias y flujos. De manera más general, el análisis dimensional se utiliza para interpretar varios índices financieros, índices económicos y índices contables.

Por ejemplo, la relación P/E tiene dimensiones de tiempo (unidad: año), y puede interpretarse como "años de ingresos para ganar el precio pagado".
En la economía, la relación entre deuda y PIB también tiene el año unitario (la deuda tiene una unidad de moneda, el PIB tiene una unidad de moneda/año).
Velocity of money has a unit of 1/years (GDP/money supply has a unit of monetary/year over monetary): how often a unit of monetary circulates per year.
Los tipos de interés anuales y los tipos de interés simples se expresan a menudo como porcentaje (cantidad dimensional) mientras que el tiempo se expresa como una cantidad adimensional que consiste en el número de años. Sin embargo, si el tiempo incluye el año como unidad de medida, la dimensión de la tasa es 1/año. Por supuesto, no hay nada especial (aparte de la convención habitual) sobre el uso del año como unidad de tiempo: cualquier otra unidad de tiempo se puede utilizar. Además, si la tasa y el tiempo incluyen sus unidades de medida, el uso de diferentes unidades para cada una no es problemático. En cambio, la tasa y el tiempo necesitan referirse a un período común si son adimensionales. (Nota que las tasas de interés efectivas sólo pueden definirse como cantidades adimensionales.)
En el análisis financiero, la duración de los bonos puede definirse como (dV/♪)/V, donde V es el valor de un bono (o cartera), r es el tipo de interés compuesto continuamente y dV/♪ es un derivado. Desde el punto anterior, la dimensión r es 1 / hora. Por lo tanto, la dimensión de la duración es el tiempo (generalmente expresado en años) porque ♪ está en el "denominador" del derivado.

Mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos, el análisis dimensional se realiza para obtener términos o grupos pi adimensionales. De acuerdo con los principios del análisis dimensional, cualquier prototipo puede describirse mediante una serie de estos términos o grupos que describen el comportamiento del sistema. Utilizando términos o grupos pi adecuados, es posible desarrollar un conjunto similar de términos pi para un modelo que tenga las mismas relaciones dimensionales. En otras palabras, los términos pi proporcionan un atajo para desarrollar un modelo que represente un determinado prototipo. Los grupos adimensionales comunes en la mecánica de fluidos incluyen:

Número de Reynolds (Re), generalmente importante en todo tipo de problemas de fluidos: ${displaystyle mathrm {Re} ={frac {rho ,ud}{mu }}.}$
Número de Froude (Fr), flujo de modelado con una superficie libre: ${displaystyle mathrm {Fr} ={frac {u}{sqrt {g,L}}}.}$
Número de Euler (Eu), utilizado en problemas en los que la presión es de interés: ${displaystyle mathrm {Eu} ={frac {Delta p}{rho u^{2}}}.}$
Número de máquina (Ma), importante en flujos de alta velocidad donde la velocidad se acerca o supera la velocidad local del sonido: ${displaystyle mathrm {Ma} ={frac {u}{c}},}$ Donde $c$ es la velocidad local del sonido.

Historia

Los historiadores han cuestionado los orígenes del análisis dimensional.

La primera aplicación escrita del análisis dimensional se atribuye a un artículo de François Daviet en la Academia de Ciencias de Turín. Daviet tuvo al maestro Lagrange como maestro. Sus obras fundamentales están contenidas en acta de la Academia de 1799.

Esto llevó a la conclusión de que las leyes significativas deben ser ecuaciones homogéneas en sus diversas unidades de medida, un resultado que finalmente se formalizó más tarde en el teorema π de Buckingham. Simeon Poisson también trató el mismo problema de la ley del paralelogramo por Daviet, en su tratado de 1811 y 1833 (vol I, p. 39). En la segunda edición de 1833, Poisson introduce explícitamente el término dimensión en lugar de la homogeneidad de Daviet.

En 1822, el importante científico napoleónico Joseph Fourier hizo las primeras contribuciones importantes acreditadas basadas en la idea de que las leyes físicas como F = ma deberían ser independientes de las unidades empleadas para medir las variables físicas.

James Clerk Maxwell desempeñó un papel importante en el establecimiento del uso moderno del análisis dimensional al distinguir la masa, la longitud y el tiempo como unidades fundamentales, mientras se refería a otras unidades como derivadas. Aunque Maxwell definió la longitud, el tiempo y la masa como "las tres unidades fundamentales", también señaló que la masa gravitatoria se puede derivar de la longitud y el tiempo asumiendo una forma de la ley de gravitación universal de Newton en donde la constante gravitacional G se toma como unidad, definiendo así M = T⁻²L³. Al asumir una forma de la ley de Coulomb en la que la constante de Coulomb k_e se toma como unidad, Maxwell determinó que las dimensiones de una unidad de carga electrostática eran Q = T⁻¹L^3/2M^1/2, que, después de sustituyendo su ecuación M = T⁻²L³ por la masa, resulta que la carga tiene las mismas dimensiones que la masa, a saber. Q = T⁻²L³.

El análisis dimensional también se usa para derivar relaciones entre las cantidades físicas que están involucradas en un fenómeno particular que se desea comprender y caracterizar. Fue utilizado por primera vez de esta manera en 1872 por Lord Rayleigh, quien estaba tratando de entender por qué el cielo es azul. Rayleigh publicó por primera vez la técnica en su libro de 1877 The Theory of Sound.

El significado original de la palabra dimensión, en la Theorie de la Chaleur de Fourier, era el valor numérico de los exponentes de las unidades base. Por ejemplo, se consideró que la aceleración tenía la dimensión 1 con respecto a la unidad de longitud y la dimensión −2 con respecto a la unidad de tiempo. Esto fue ligeramente modificado por Maxwell, quien dijo que las dimensiones de la aceleración son T⁻²L, en lugar de solo los exponentes.

Ejemplos

Un ejemplo simple: período de un oscilador armónico

¿Cuál es el período de oscilación $T$ de una masa $m$ apegado a una primavera lineal ideal con constante primavera $k$ suspendida en gravedad de la fuerza $g$ ? Ese período es la solución $T$ de alguna ecuación sin dimensiones en las variables $T$ , $m$ , $k$ , y $g$ . Las cuatro cantidades tienen las siguientes dimensiones: $T$ [T]; $m$ [M]; $k$ [M/T²]; y $g$ [L/T²]. De éstos podemos formar sólo un producto sin dimensiones de poderes de nuestras variables elegidas, $G_{1}$ = $T^{2}k/m$ [T]² · M/T² / M = 1], y poner $G_{1}=C$ para alguna constante sin dimensiones $C$ da la ecuación sin dimensión buscada. El producto sin dimensiones de poderes de variables se conoce a veces como un grupo de variables sin dimensión; aquí el término "grupo" significa "colección" en lugar de grupo matemático. A menudo se llaman números sin dimensión también.

Note que la variable $g$ no ocurre en el grupo. Es fácil ver que es imposible formar un producto sin dimensiones de poderes que combina $g$ con $k$ , $m$ , y $T$ , porque $g$ es la única cantidad que implica la dimensión L. Esto implica que en este problema el $g$ es irrelevante. El análisis dimensional a veces puede producir fuertes declaraciones sobre irrelevancia de algunas cantidades en un problema, o la necesidad de parámetros adicionales. Si hemos elegido suficientes variables para describir adecuadamente el problema, entonces de este argumento podemos concluir que el período de la masa en la primavera es independiente de $g$ : es lo mismo en la tierra o la luna. La ecuación que demuestra la existencia de un producto de poderes para nuestro problema se puede escribir de una manera totalmente equivalente: ${displaystyle T=kappa {sqrt {tfrac {m}{k}}}}$ , para alguna constante sin dimensiones $κ$ (igual que ${sqrt {C}}$ de la ecuación dimensional original).

Cuando se enfrenta a un caso en el que el análisis dimensional rechaza una variable ( $g$ , aquí) que uno espera intuitivamente que pertenezca a un descripción física de la situación, otra posibilidad es que la variable rechazada sea de hecho relevante, pero que se haya omitido alguna otra variable relevante, que podría combinarse con la variable rechazada para formar una cantidad adimensional. Sin embargo, ese no es el caso aquí.

Cuando el análisis dimensional arroja solo un grupo adimensional, como aquí, no hay funciones desconocidas y se dice que la solución es "completa" – aunque todavía puede involucrar constantes adimensionales desconocidas, como $κ$ .

Un ejemplo más complejo: energía de una cuerda vibrante

Considere el caso de una cuerda vibrante de longitud ℓ (L) que vibra con una amplitud A (L). El alambre tiene una densidad lineal ρ (M/L) y está bajo tensión s (LM/T²), y queremos saber la energía E (L²M/T²) en el cable. Sean π₁ y π₂ dos productos adimensionales de potencias de las variables elegidas, dados por

{displaystyle {begin{aligned}pi _{1}&={frac {E}{As}}\pi _{2}&={frac {ell }{A}}.end{aligned}}}

La densidad lineal del cable no está involucrada. Los dos grupos encontrados se pueden combinar en una forma equivalente como una ecuación

{displaystyle Fleft({frac {E}{As}},{frac {ell }{A}}right)=0,}

donde F es una función desconocida o, de manera equivalente, como

{displaystyle E=Asfleft({frac {ell }{A}}right),}

donde f es alguna otra función desconocida. Aquí la función desconocida implica que nuestra solución ahora está incompleta, pero el análisis dimensional nos ha dado algo que puede no haber sido obvio: la energía es proporcional a la primera potencia de la tensión. Salvo análisis analíticos adicionales, podríamos proceder a experimentos para descubrir la forma de la función desconocida f. Pero nuestros experimentos son más simples que en ausencia de análisis dimensional. No realizaríamos ninguno para verificar que la energía es proporcional a la tensión. O tal vez podríamos suponer que la energía es proporcional a ℓ, y así inferir que E = ℓs. El poder del análisis dimensional como ayuda para experimentar y formular hipótesis se hace evidente.

El poder del análisis dimensional realmente se hace evidente cuando se aplica a situaciones, a diferencia de las anteriores, que son más complicadas, el conjunto de variables involucradas no es evidente y las ecuaciones subyacentes son extremadamente complejas. Considere, por ejemplo, un pequeño guijarro sentado en el lecho de un río. Si el río fluye lo suficientemente rápido, en realidad levantará el guijarro y hará que fluya junto con el agua. ¿A qué velocidad crítica ocurrirá esto? Ordenar las variables adivinadas no es tan fácil como antes. Pero el análisis dimensional puede ser una poderosa ayuda para comprender problemas como este y, por lo general, es la primera herramienta que se aplica a problemas complejos donde las ecuaciones y restricciones subyacentes no se comprenden bien. En tales casos, la respuesta puede depender de un número adimensional como el número de Reynolds, que puede interpretarse mediante un análisis dimensional.

Un tercer ejemplo: demanda versus capacidad para un disco giratorio

Análisis dimensional y experimentos numéricos para un disco giratorio

Considere el caso de un disco giratorio delgado, sólido, de lados paralelos, de espesor axial t (L) y radio R (L). El disco tiene una densidad ρ (M/L³), gira a una velocidad angular ω (T⁻¹) y esto conduce a una tensión S (T⁻²L⁻¹M) en el material. Hay una solución elástica lineal teórica, dada por Lame, para este problema cuando el disco es delgado en relación con su radio, las caras del disco pueden moverse axialmente y las relaciones constitutivas de la tensión plana pueden asumirse como válidas. A medida que el disco se vuelve más grueso en relación con el radio, la solución de tensión plana se rompe. Si el disco está restringido axialmente en sus caras libres, se producirá un estado de deformación plana. Sin embargo, si este no es el caso, entonces el estado de tensión solo puede determinarse considerando la elasticidad tridimensional y no existe una solución teórica conocida para este caso. Por lo tanto, un ingeniero podría estar interesado en establecer una relación entre las cinco variables. El análisis dimensional para este caso conduce a los siguientes (5 − 3 = 2) grupos no dimensionales:

demanda/capacidad = ρR²⋅²/S

espesor/radius o relación de aspecto = t/R

A través del uso de experimentos numéricos usando, por ejemplo, el método de elementos finitos, la naturaleza de la relación entre los dos grupos adimensionales se puede obtener como se muestra en la figura. Como este problema solo involucra dos grupos no dimensionales, la imagen completa se proporciona en un solo gráfico y esto se puede usar como un gráfico de diseño/evaluación para discos giratorios.

Propiedades

Propiedades matemáticas

Las dimensiones que se pueden formar a partir de una colección dada de dimensiones físicas básicas, como T, L y M, forman un grupo abeliano: la identidad se escribe como 1; L⁰ = 1, y el inverso de L es 1/L o L⁻¹. L elevado a cualquier potencia entera p es un miembro del grupo, que tiene un inverso de L^−p o 1/L^p. La operación del grupo es la multiplicación, teniendo las reglas usuales para el manejo de exponentes (Lⁿ × L^m = L^n+m). Físicamente, 1/L puede interpretarse como longitud recíproca y 1/T como tiempo recíproco (ver segundo recíproco).

Un grupo abeliano equivale a un módulo sobre los enteros, con el símbolo dimensional TⁱL^jM^k correspondiente a la tupla (i, j, k). Cuando las cantidades físicas medidas (ya sean de dimensiones iguales o de dimensiones diferentes) se multiplican o dividen entre sí, sus unidades dimensionales también se multiplican o dividen; esto corresponde a la suma o resta en el módulo. Cuando las cantidades medibles se elevan a una potencia entera, se hace lo mismo con los símbolos dimensionales adjuntos a esas cantidades; esto corresponde a la multiplicación escalar en el módulo.

La base de dicho módulo de símbolos dimensionales se denomina conjunto de cantidades base, y todos los demás vectores se denominan unidades derivadas. Como en cualquier módulo, uno puede elegir diferentes bases, lo que produce diferentes sistemas de unidades (por ejemplo, elegir si la unidad de carga se deriva de la unidad de corriente, o viceversa).

La identidad de grupo, la dimensión de las cantidades sin dimensión, corresponde al origen de este módulo, $(0,0,0)$ .

En ciertos casos, se pueden definir dimensiones fraccionarias, específicamente definiendo formalmente poderes fraccionados de espacios vectoriales unidimensionales, como ${displaystyle V^{L^{1/2}}}$ . Sin embargo, no es posible tomar poderes fraccionados arbitrarios de unidades, debido a obstrucciones teóricas de representación.

Se puede trabajar con espacios vectoriales con dimensiones dadas sin necesidad de utilizar unidades (correspondiendo a coordinar sistemas de espacios vectoriales). Por ejemplo, dadas dimensiones M y L, uno tiene los espacios vectoriales ${displaystyle V^{M}}$ y ${displaystyle V^{L}}$ , y puede definir ${displaystyle V^{ML}:=V^{M}otimes V^{L}}$ como el producto tensor. Del mismo modo, se puede interpretar que el espacio dual tiene dimensiones "negativas". Esto corresponde al hecho de que bajo el acoplamiento natural entre un espacio vectorial y su dual, las dimensiones cancelan, dejando un escalar sin dimensión.

El conjunto de unidades de las cantidades físicas involucradas en un problema corresponden a un conjunto de vectores (o matriz). La nulidad describe un número (por ejemplo, m) de formas en las que estos vectores se pueden combinar para producir un vector cero. Estos corresponden a producir (a partir de las medidas) una serie de cantidades adimensionales, {π₁,..., π_m}. (De hecho, estas formas abarcan completamente el subespacio nulo de otro espacio diferente, de las potencias de las medidas). Todas las formas posibles de multiplicar (y exponenciar) las cantidades medidas para producir algo con la misma unidad que alguna cantidad derivada X se puede expresar en la forma general

X=prod _{i=1}^{m}(pi _{i})^{k_{i}},.

En consecuencia, todas las ecuaciones proporcionales posibles para la física del sistema se pueden reescribir en la forma

f(pi _{1},pi _{2},...,pi _{m})=0,.

Conocer esta restricción puede ser una herramienta poderosa para obtener nuevos conocimientos sobre el sistema.

Mecánica

La dimensión de las cantidades físicas de interés en la mecánica se puede expresar en términos de las dimensiones base T, L y M, que forman un espacio vectorial tridimensional. Esta no es la única opción válida de dimensiones base, pero es la más utilizada. Por ejemplo, uno podría elegir la fuerza, la longitud y la masa como las dimensiones base (como lo han hecho algunos), con las dimensiones asociadas F, L, M; esto corresponde a una base diferente, y uno puede convertir entre estas representaciones por un cambio de base. La elección del conjunto base de dimensiones es, por lo tanto, una convención, con el beneficio de una mayor utilidad y familiaridad. La elección de las dimensiones base no es del todo arbitraria, porque deben formar una base: deben abarcar el espacio y ser linealmente independientes.

Por ejemplo, F, L, M forman un conjunto de dimensiones fundamentales porque forman una base equivalente a T, L, M: las primeras se pueden expresar como [F = LM/T²], L, M, mientras que este último se puede expresar como [T = (LM/F)^1/2], L, M.

Por otro lado, la longitud, la velocidad y el tiempo (T, L, V) no forman un conjunto de dimensiones base para la mecánica, por dos razones:

No hay manera de obtener masa – o cualquier cosa derivada de ella, como la fuerza – sin introducir otra dimensión base (por lo tanto, no el espacio).
La velocidad, siendo expresible en términos de longitud y tiempo (V = L/T), es redundante (el conjunto no es linealmente independiente).

Otros campos de la física y la química

Dependiendo del campo de la física, puede ser ventajoso elegir uno u otro conjunto extendido de símbolos dimensionales. En electromagnetismo, por ejemplo, puede ser útil utilizar dimensiones de T, L, M y Q, donde Q representa la dimensión de la carga eléctrica. En termodinámica, el conjunto base de dimensiones a menudo se amplía para incluir una dimensión para la temperatura, Θ. En química, la cantidad de sustancia (la cantidad de moléculas dividida por la constante de Avogadro, ≈ 6.02×10²³ mol⁻¹) también se define como dimensión base, N. En la interacción del plasma relativista con fuertes pulsos de láser, se construye un parámetro de similitud relativista adimensional, conectado con las propiedades de simetría de la ecuación de Vlasov sin colisiones, a partir de las densidades de plasma, electrónica y crítica, además del potencial del vector electromagnético. La elección de las dimensiones o incluso el número de dimensiones que se utilizarán en diferentes campos de la física es hasta cierto punto arbitraria, pero la coherencia en el uso y la facilidad de comunicación son características comunes y necesarias.

Polinomios y funciones trascendentes

Los argumentos escalares de funciones trascendentales, como funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas, o de polinomios no homogéneos, deben ser cantidades adimensionales. (Nota: este requisito se relaja un poco en el análisis de orientación de Siano que se describe a continuación, en el que el cuadrado de ciertas cantidades dimensionadas no tiene dimensiones).

Si bien la mayoría de las identidades matemáticas sobre números adimensionales se traducen de manera directa a cantidades dimensionales, se debe tener cuidado con los logaritmos de proporciones: el log de identidad (a/b) = log a − log b, donde el logaritmo se toma en cualquier base, se cumple para los números adimensionales a y b, pero no se cumple si a y b son dimensionales, porque en este caso el lado izquierdo está bien definido pero el el lado derecho no lo es.

Del mismo modo, mientras que uno puede evaluar monomios (xⁿ) de cantidades dimensionales, uno no puede evaluar polinomios de grado mixto con coeficientes adimensionales en cantidades dimensionales: para x², la expresión (3 m)² = 9 m² tiene sentido (como un área), mientras que para x² + x, la expresión (3 m)² + 3 m = 9 m² + 3 m no tiene sentido.

Sin embargo, los polinomios de grado mixto pueden tener sentido si los coeficientes son cantidades físicas elegidas adecuadamente que no son adimensionales. Por ejemplo,

{displaystyle {tfrac {1}{2}}cdot (mathrm {-9.8~m/s^{2}})cdot t^{2}+(mathrm {500~m/s})cdot t.}

Esta es la altura a la que se eleva un objeto en el tiempo t si la aceleración de la gravedad es de 9,8 metros por segundo por segundo y la inicial hacia arriba la velocidad es de 500 metros por segundo. No es necesario que t esté en segundos. Por ejemplo, supongamos t = 0,01 minutos. Entonces el primer término sería

{displaystyle {begin{aligned}&{tfrac {1}{2}}cdot (mathrm {-9.8~m/s^{2}})cdot (mathrm {0.01~min})^{2}\[10pt]={}&{tfrac {1}{2}}cdot -9.8cdot left(0.01^{2}right)(mathrm {min/s})^{2}cdot mathrm {m} \[10pt]={}&{tfrac {1}{2}}cdot -9.8cdot left(0.01^{2}right)cdot 60^{2}cdot mathrm {m}.end{aligned}}}

Incorporando unidades

El valor de una cantidad física dimensional Z se escribe como el producto de una unidad [Z] dentro de la dimensión y un factor numérico adimensional, n.

Z=ntimes [Z]=n[Z]

Cuando se suman, restan o comparan cantidades de igual dimensión, es conveniente expresarlas en la misma unidad para que los valores numéricos de estas cantidades puedan sumarse o restarse directamente. Pero, en concepto, no hay problema en sumar cantidades de la misma dimensión expresadas en diferentes unidades. Por ejemplo, 1 metro sumado a 1 pie es una longitud, pero no se puede derivar esa longitud simplemente sumando 1 y 1. Se necesita un factor de conversión, que es una relación de cantidades de dimensiones similares y es igual a la unidad adimensional:

{displaystyle 1 {mbox{ft}}=0.3048 {text{m}} }

es idéntico a

{displaystyle 1={frac {0.3048 {text{m}}}{1 {text{ft}}}}. }

El factor ${displaystyle 0.3048 {frac {text{m}}{mbox{ft}}}}$ es idéntico al sin dimensión 1, por lo que multiplicar por este factor de conversión no cambia nada. Luego, al agregar dos cantidades de dimensión similar, pero expresadas en diferentes unidades, el factor de conversión apropiado, que es esencialmente el sin dimensión 1, se utiliza para convertir las cantidades a la misma unidad para que sus valores numéricos puedan ser añadidos o subcontratados.

Solo de esta manera tiene sentido hablar de agregar cantidades de unidades diferentes de dimensiones similares.

Posición vs desplazamiento

Algunas discusiones sobre el análisis dimensional describen implícitamente todas las cantidades como vectores matemáticos. (En matemáticas, los escalares se consideran un caso especial de vectores; los vectores pueden sumarse o restarse de otros vectores y, entre otras cosas, multiplicarse o dividirse por escalares. Si se usa un vector para definir una posición, esto supone un punto implícito de referencia: un origen. Si bien esto es útil y, a menudo, perfectamente adecuado, lo que permite detectar muchos errores importantes, puede fallar al modelar ciertos aspectos de la física. Un enfoque más riguroso requiere distinguir entre posición y desplazamiento (o momento en el tiempo versus duración, o temperatura absoluta versus cambio de temperatura).

Considere puntos en una línea, cada uno con una posición con respecto a un origen dado y distancias entre ellos. Todas las posiciones y desplazamientos tienen unidades de longitud, pero su significado no es intercambiable:

añadir dos desplazamientos debe producir un nuevo desplazamiento (pasando diez pasos y veinte pasos le consiguen treinta pasos adelante),
añadir un desplazamiento a una posición debe producir una nueva posición (caminar una cuadra por la calle desde una intersección te lleva a la siguiente intersección),
la subcontratación de dos posiciones debe producir un desplazamiento,
pero uno puede no añadir dos posiciones.

Esto ilustra la sutil distinción entre cantidades afines (aquellas modeladas por un espacio afín, como la posición) y cantidades vectoriales (aquellas modeladas por un espacio vectorial, como desplazamiento).

Se pueden añadir cantidades vectoriales entre sí, dando una nueva cantidad de vectores, y se puede añadir una cantidad de vectores a una cantidad adecuada de afina (un espacio vectorial) actos un espacio de afinidad), dando una nueva cantidad de afina.
No se pueden añadir cantidades finas, pero pueden ser restringidas, rindiendo relativo cantidades que son vectores, y estas Diferencias relativas entonces se pueden añadir entre sí o a una cantidad de afin.

Entonces, correctamente, las posiciones tienen una dimensión de longitud afín, mientras que los desplazamientos tienen una dimensión de longitud vectorial. Para asignar un número a una unidad afín, no solo se debe elegir una unidad de medida, sino también un punto de referencia, mientras que para asignar un número a una unidad vectorial solo requiere una unidad de medida.

Por lo tanto, algunas cantidades físicas se modelan mejor mediante cantidades vectoriales, mientras que otras tienden a requerir una representación afín, y la distinción se refleja en su análisis dimensional.

Esta distinción es particularmente importante en el caso de la temperatura, para la cual el valor numérico del cero absoluto no es el origen 0 en algunas escalas. Para el cero absoluto,

−273.15 °C ≘ 0 K = 0 °R −459.67 °F,

donde el símbolo ≘ significa corresponde a, ya que si bien estos valores en las respectivas escalas de temperatura se corresponden, representan cantidades distintas del mismo modo que las distancias desde distintos puntos de partida a un mismo punto final son cantidades distintas, y en general no pueden ser equiparados.

Para las diferencias de temperatura,

1 K = 1 °C ل 1 °F = 1 °R.

(Aquí °R se refiere a la escala de Rankine, no a la escala de Réaumur). La conversión de unidades para las diferencias de temperatura es simplemente una cuestión de multiplicar por, por ejemplo, 1 °F / 1 K (aunque la relación no es un valor constante). Pero debido a que algunas de estas escalas tienen orígenes que no corresponden al cero absoluto, la conversión de una escala de temperatura a otra requiere tener en cuenta eso. Como resultado, el análisis dimensional simple puede dar lugar a errores si es ambiguo si 1 K significa la temperatura absoluta igual a −272,15 °C o la diferencia de temperatura igual a 1 °C.

Orientación y marco de referencia

Algo similar a la cuestión de un punto de referencia es la cuestión de la orientación: un desplazamiento en 2 o 3 dimensiones no es solo una longitud, sino una longitud junto con una dirección. (Este problema no surge en 1 dimensión, o más bien es equivalente a la distinción entre positivo y negativo). Por lo tanto, para comparar o combinar cantidades bidimensionales en un espacio multidimensional, también se necesita una orientación: deben compararse a un marco de referencia.

Esto conduce a las extensiones que se analizan a continuación, a saber, las dimensiones dirigidas de Huntley y el análisis orientacional de Siano.

Extensiones

Extensiones de Huntley

Huntley ha señalado que un análisis dimensional puede llegar a ser más poderoso al descubrir nuevas dimensiones independientes en las cantidades bajo consideración, aumentando así el rango $m$ de la matriz dimensional.

Introdujo dos enfoques:

Las magnitudes de los componentes de un vector deben considerarse dimensionalmente independientes. Por ejemplo, en lugar de una dimensión de longitud no diferenciada L, podemos tener L_x representan la dimensión en la dirección x, y así sucesivamente. Este requisito se deriva en última instancia del requisito de que cada componente de una ecuación físicamente significativa (escalar, vector o tensor) debe ser dimensionalmente consistente.
La masa como medida de la cantidad de materia debe considerarse dimensionalmente independiente de la masa como medida de inercia.

Dimensiones dirigidas

Como ejemplo de la utilidad del primer acercamiento, supongamos que deseamos calcular la distancia que un cañón viaja cuando se dispara con un componente de velocidad vertical ${displaystyle V_{mathrm {y} }}$ y un componente de velocidad horizontal ${displaystyle V_{mathrm {x} }}$ , suponiendo que se dispara en una superficie plana. Assuming no use of directed lengths, the quantity of interest are then $R$ , la distancia viajada, con la dimensión L, ${displaystyle V_{mathrm {x} }}$ , ${displaystyle V_{mathrm {y} }}$ , ambos dimensionados como T⁻¹L, y $g$ la aceleración descendente de la gravedad, con la dimensión T⁻²L.

Con estas cuatro cantidades, podemos concluir que la ecuación para el rango $R$ puede escribirse:

Rpropto V_{text{x}}^{a},V_{text{y}}^{b},g^{c}.,

O dimensionalmente

{displaystyle {mathsf {L}}=left({frac {mathsf {L}}{mathsf {T}}}right)^{a+b}left({frac {mathsf {L}}{{mathsf {T}}^{2}}}right)^{c},}

de la cual podemos deducir ${displaystyle a+b+c=1}$ y ${displaystyle a+b+2c=0}$ , que deja un exponente indeterminado. Esto se espera ya que tenemos dos dimensiones fundamentales T y L, y cuatro parámetros, con una ecuación.

Sin embargo, si utilizamos dimensiones de longitud dirigidas, entonces ${displaystyle V_{mathrm {x} }}$ será dimensionado como T⁻¹L_$x$, ${displaystyle V_{mathrm {y} }}$ T⁻¹L_$Sí.$, $R$ como L_$x$ y $g$ T⁻²L_$Sí.$. La ecuación dimensional se convierte en:

{displaystyle {mathsf {L}}_{mathrm {x} }=left({frac {{mathsf {L}}_{mathrm {x} }}{mathsf {T}}}right)^{a}left({frac {{mathsf {L}}_{mathrm {y} }}{mathsf {T}}}right)^{b}left({frac {{mathsf {L}}_{mathrm {y} }}{{mathsf {T}}^{2}}}right)^{c}}

y podemos resolver completamente como $a=1$ , $b=1$ y ${displaystyle c=-1}$ . El aumento del poder deductivo obtenido por el uso de dimensiones de longitud dirigidas es evidente.

Sin embargo, el concepto de dimensiones de longitud dirigida de Huntley tiene algunas limitaciones importantes:

No se ocupa bien de las ecuaciones vectoriales que involucran a las producto cruzado,
ni maneja bien el uso de ángulos como variables físicas.

A menudo también es bastante difícil asignar L, L_$x$, L_$y$, L_$z$, símbolos de las variables físicas involucradas en el problema de interés. Invoca un procedimiento que implica la "simetría" del problema físico. Esto a menudo es muy difícil de aplicar de manera confiable: no está claro qué partes del problema que la noción de "simetría" se está invocando. ¿Es sobre la simetría del cuerpo físico sobre el que actúan las fuerzas, o sobre los puntos, líneas o áreas en los que se aplican las fuerzas? ¿Qué pasa si más de un cuerpo está involucrado con diferentes simetrías?

Considere la burbuja esférica unida a un tubo cilíndrico, donde uno quiere la tasa de flujo de aire en función de la diferencia de presión en las dos partes. ¿Cuáles son las dimensiones extendidas de Huntley de la viscosidad del aire contenido en las partes conectadas? ¿Cuáles son las dimensiones extendidas de la presión de las dos partes? ¿Son iguales o diferentes? Estas dificultades son responsables de la aplicación limitada de las dimensiones de longitud dirigida de Huntley a problemas reales.

Cantidad de materia

En el segundo enfoque de Huntley, sostiene que a veces es útil (por ejemplo, en mecánica de fluidos y termodinámica) distinguir entre masa como medida de inercia (masa inercial) y masa como medida de la cantidad de importancia. Huntley define la cantidad de materia como una cantidad (a) proporcional a la masa inercial, pero (b) que no implica propiedades inerciales. No se añaden más restricciones a su definición.

Por ejemplo, considere la derivación de la Ley de Poiseuille. Deseamos encontrar la tasa de flujo másico de un fluido viscoso a través de una tubería circular. Sin establecer distinciones entre masa inercial y masa sustancial, podemos elegir como variables relevantes:

Signatura	Variable	Dimensión
${dot {m}}$	Flujo de masa	T⁻¹M
$p_{text{x}}$	presión gradiente a lo largo de la tubería	T⁻²L⁻²M
$***$	densidad	L⁻³M
$.$	viscosidad de fluido dinámico	T⁻¹L⁻¹M
$r$	radio de la tubería	L

Hay tres variables fundamentales, por lo que las cinco ecuaciones anteriores producirán dos variables adimensionales independientes:

{displaystyle pi _{1}={frac {dot {m}}{eta r}}}

{displaystyle pi _{2}={frac {p_{mathrm {x} }rho r^{5}}{{dot {m}}^{2}}}}

Si distinguimos entre masa inercial con dimensión $M_{text{i}}$ y cantidad de materia con dimensión $M_{{text{m}}}$ , entonces el caudal de masa y la densidad utilizarán la cantidad de materia como parámetro de masa, mientras que el gradiente de presión y el coeficiente de viscosidad utilizarán masa inercial. Ahora tenemos cuatro parámetros fundamentales, y una constante sin dimensión, para que la ecuación dimensional pueda ser escrita:

{displaystyle C={frac {p_{mathrm {x} }rho r^{4}}{eta {dot {m}}}}}

donde ahora sólo $C$ es una constante indeterminada (fundada para ser igual a $pi /8$ por métodos fuera del análisis dimensional). Esta ecuación se puede resolver para que la velocidad de flujo de masas ceda la ley de Poiseuille.

El reconocimiento de Huntley de la cantidad de materia como una dimensión de cantidad independiente es evidentemente exitoso en los problemas donde es aplicable, pero su definición de cantidad de materia está abierta a interpretación, ya que carece de especificidad más allá de los dos requisitos (a) y (b) lo postuló. Para una sustancia dada, la cantidad de sustancia de la dimensión SI, con la unidad de mol, satisface los dos requisitos de Huntley como medida de la cantidad de materia, y podría usarse como una cantidad de materia en cualquier problema de análisis dimensional donde Huntley & #39;s concepto es aplicable.

Extensión de Siano: análisis orientacional

Por convención, los ángulos se consideran cantidades adimensionales. Como ejemplo, considere de nuevo el problema del proyectil en el que se lanza una masa puntual desde el origen $(x, y) = (0, 0)$ a una velocidad $v$ y un ángulo $θ$ sobre el eje x, con la fuerza de gravedad dirigida a lo largo del eje negativo y. Se desea encontrar el rango $R$ , en cuyo punto la masa regresa al eje x. El análisis convencional producirá la variable adimensional $π = R g / v 2$ , pero no ofrece información sobre la relación entre $R$ y $θ$ .

Siano ha sugerido que las dimensiones dirigidas de Huntley se reemplacen usando símbolos de orientación $1 x 1 y 1 z$ para indicar direcciones vectoriales y un símbolo sin orientación 1₀. Por lo tanto, la L_$x$ de Huntley se convierte en L1_$x$ con L especificando la dimensión de la longitud y $1 x$ especificando la orientación. Siano muestra además que los símbolos de orientación tienen un álgebra propia. Junto con el requisito de que $1 i -1 = 1 i$ , se obtiene la siguiente tabla de multiplicar para los símbolos de orientación:

	${displaystyle mathbf {1_{0}} }$	${displaystyle mathbf {1_{text{x}}} }$	${displaystyle mathbf {1_{text{y}}} }$	${displaystyle mathbf {1_{text{z}}} }$
${displaystyle mathbf {1_{0}} }$	$1_{0}$	${displaystyle 1_{text{x}}}$	${displaystyle 1_{text{y}}}$	${displaystyle 1_{text{z}}}$
${displaystyle mathbf {1_{text{x}}} }$	${displaystyle 1_{text{x}}}$	$1_{0}$	${displaystyle 1_{text{z}}}$	${displaystyle 1_{text{y}}}$
${displaystyle mathbf {1_{text{y}}} }$	${displaystyle 1_{text{y}}}$	${displaystyle 1_{text{z}}}$	$1_{0}$	${displaystyle 1_{text{x}}}$
${displaystyle mathbf {1_{text{z}}} }$	${displaystyle 1_{text{z}}}$	${displaystyle 1_{text{y}}}$	${displaystyle 1_{text{x}}}$	$1_{0}$

Tenga en cuenta que los símbolos orientativos forman un grupo (el grupo Klein o "Viergruppe"). En este sistema, los escalares siempre tienen la misma orientación que el elemento de identidad, independiente de la "simetría del problema". Las cantidades físicas que son vectores tienen la orientación esperada: una fuerza o una velocidad en la dirección z tiene la orientación de $1 z$ . Para ángulos, considere un ángulo $Silencio$ que está en el plano z. Forma un triángulo derecho en el plano z con $Silencio$ ser uno de los ángulos agudos. El lado del triángulo derecho adyacente al ángulo entonces tiene una orientación $1 x$ y el lado opuesto tiene una orientación $1 Sí.$ . Desde (usando) $~$ para indicar equivalencia orientacional) $tan(Silencio) Silencio +... ~ 1 Sí. /1 x$ concluimos que un ángulo en el xy-plane debe tener una orientación $1 Sí. /1 x = 1 z$ , que no es irrazonable. El razonamiento analógico obliga a la conclusión de que $pecado(Silencio)$ tiene orientación $1 z$ mientras $Porque... Silencio)$ tiene orientación 1₀. Estos son diferentes, por lo que se concluye (correctamente), por ejemplo, que no hay soluciones de ecuaciones físicas que son de la forma $a Porque... Silencio) + b pecado(Silencio)$ , donde $a$ y $b$ son verdaderos scalars. Note que una expresión como $sin(theta +pi /2)=cos(theta)$ no es dimensionalmente inconsistente ya que es un caso especial de la suma de la fórmula de ángulos y debe ser escrito correctamente:

{displaystyle sin left(a,1_{text{z}}+b,1_{text{z}}right)=sin left(a,1_{text{z}})cos(b,1_{text{z}}right)+sin left(b,1_{text{z}})cos(a,1_{text{z}}right),}

para ${displaystyle a=theta }$ y ${displaystyle b=pi /2}$ rendimientos ${displaystyle sin(theta ,1_{text{z}}+[pi /2],1_{text{z}})=1_{text{z}}cos(theta ,1_{text{z}})}$ . Siano distingue entre ángulos geométricos, que tienen una orientación en espacio tridimensional, y ángulos de fase asociados con oscilaciones basadas en el tiempo, que no tienen orientación espacial, es decir, la orientación de un ángulo de fase es $1_{0}$ .

La asignación de símbolos de orientación a las cantidades físicas y el requisito de que las ecuaciones físicas sean homogéneas desde el punto de vista de la orientación se pueden utilizar de forma similar al análisis dimensional para derivar más información sobre soluciones aceptables de problemas físicos. En este enfoque, uno resuelve la ecuación dimensional en la medida de lo posible. Si la potencia más baja de una variable física es fraccionaria, ambos lados de la solución se elevan a una potencia tal que todas las potencias sean integrales, poniéndola en forma normal. Luego se resuelve la ecuación de orientación para dar una condición más restrictiva sobre las potencias desconocidas de los símbolos de orientación. La solución es entonces más completa que la que da el análisis dimensional por sí solo. A menudo, la información añadida es que una de las potencias de una determinada variable es par o impar.

Como ejemplo, para el problema del proyectil, usando símbolos de orientación, $θ$ , estando en el plano xy tendrá una dimensión $1 z$ y el alcance del proyectil $R$ será de la forma:

{displaystyle R=g^{a},v^{b},theta ^{c}{text{ which means }}{mathsf {L}},1_{mathrm {x} }sim left({frac {{mathsf {L}},1_{text{y}}}{{mathsf {T}}^{2}}}right)^{a}left({frac {mathsf {L}}{mathsf {T}}}right)^{b},1_{mathsf {z}}^{c}.,}

La homogeneidad dimensional ahora producirá correctamente $a = 1 -$ y $b = 2$ , y homogeneidad orientacional requiere que ${displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$ . En otras palabras, que $c$ Debe ser un extraño entero. De hecho, la función requerida de theta será $pecado(Silencio)cos Silencio)$ que es una serie que consiste en poderes extraños $Silencio$ .

Se ve que la serie de Taylor de $sin(θ)$ y $cos(θ)$ son homogéneos desde el punto de vista de la orientación usando la tabla de multiplicar anterior, mientras que expresiones como $cos(θ) + sin(θ)$ y $exp(θ)$ no lo son, y se consideran (correctamente) no físicos.

El análisis orientacional de Siano es compatible con la concepción convencional de las cantidades angulares como adimensionales y, dentro del análisis orientacional, el radián aún puede considerarse una unidad adimensional. El análisis orientacional de una ecuación cuantitativa se lleva a cabo por separado del análisis dimensional ordinario, lo que proporciona información que complementa el análisis dimensional.

Conceptos adimensionales

Constantes

Las constantes sin dimensiones que surgen en los resultados obtenidos, como la C en el problema de la ley de Poiseuille y la $kappa$ en los problemas de primavera mencionados anteriormente, vienen de un análisis más detallado de la física subyacente y a menudo surgen de la integración de alguna ecuación diferencial. El análisis dimensional en sí tiene poco que decir sobre estas constantes, pero es útil saber que muy a menudo tienen una magnitud de unidad de orden. Esta observación puede permitir a veces hacer cálculos de "regreso del sobre" sobre el fenómeno del interés, y por lo tanto ser capaz de diseñar experimentos más eficientemente para medirlo, o juzgar si es importante, etc.

Formalismos

Paradójicamente, el análisis dimensional puede ser una herramienta útil, incluso si todos los parámetros de la teoría subyacente son indimensionales, por ejemplo, modelos de celo como el modelo de Ising se pueden utilizar para estudiar transiciones de fase y fenómenos críticos. Tales modelos se pueden formular de manera puramente dimensional. A medida que nos acercamos al punto crítico más cerca y más, la distancia sobre la que se correlacionan las variables del modelo de celo (la llamada longitud de correlación, $xi$ ) se vuelve más grande y más grande. Ahora, la longitud de correlación es la escala de longitud relevante relacionada con fenómenos críticos, por lo que uno puede, por ejemplo, sobreponerse en "fundamentos dimensionales" que la parte no analítica de la energía libre por sitio de celo debe ser $sim 1/xi ^{d}$ Donde $d$ es la dimensión de la celosía.

Algunos físicos han argumentado, por ejemplo, Michael J. Duff, que las leyes de la física son inherentemente adimensionales. El hecho de que hayamos asignado dimensiones incompatibles a Longitud, Tiempo y Masa es, según este punto de vista, solo una cuestión de convención, derivada del hecho de que antes del advenimiento de la física moderna, no había forma de relacionar masa, longitud y tiempo entre sí. Las tres constantes dimensionales independientes: c, ħ y G, en las ecuaciones fundamentales de la física deben verse como meros factores de conversión para convertir Masa, Tiempo y Longitud entre sí.

Así como en el caso de propiedades críticas de los modelos de celosía, se pueden recuperar los resultados del análisis dimensional en el límite de escalado adecuado; por ejemplo, el análisis dimensional en la mecánica puede ser derivado al reinsertar las constantes ▪, c, y G (pero ahora podemos considerar que no son dimensionales) y exigir que exista una relación no singular entre las cantidades en el límite $crightarrow infty$ , $hbar rightarrow 0$ y ${displaystyle Grightarrow 0}$ . En los problemas que implican un campo gravitacional se debe tomar este último límite de tal manera que el campo permanece finito.

Equivalencias dimensionales

Las siguientes son tablas de expresiones comunes en física, relacionadas con las dimensiones de energía, cantidad de movimiento y fuerza.

Unidades SI

Energy, E T⁻²L²M	Expresión	Nomenclature
Mecánica	$Fd$	F = fuerza, d = distancia
	$S/tequiv Pt$	S = acción, t = tiempo, P = poder
	$mv^{2}equiv pvequiv p^{2}/m$	m = masa, v = velocidad, p = impulso
	$Iomega ^{2}equiv Lomega equiv L^{2}/I$	L = impulso angular, I = momento de inercia, ⋅ = velocidad angular
Gases ideales	${displaystyle pVequiv NT}$	p = presión, Volumen, T = temperatura N = cantidad de sustancia
Waves	${displaystyle AItequiv ASt}$	A = área de frente de onda, I = intensidad de onda, t = tiempo, S = vector de potenciación
Electromagnético	$qphi$	q = carga eléctrica, φ = potencial eléctrico (para cambios esto es tensión)
	$varepsilon E^{2}Vequiv B^{2}V/mu$	E = campo eléctrico, B = campo magnético, ε = permiso, μ = permeabilidad, V = volumen 3d
	${displaystyle pEequiv mBequiv IAB}$	p = momento de dipolo eléctrico, m = momento magnético, A = área (limitada por un bucle actual), I = corriente eléctrica en bucle

Momentum, p T⁻¹LM	Expresión	Nomenclature
Mecánica	$mvequiv Ft$	m = masa, v = velocidad, F = fuerza, t = tiempo
Mecánica	$S/requiv L/r$	S = acción, L = impulso angular, r = desplazamiento
Termal	${displaystyle m{sqrt {leftlangle v^{2}rightrangle }}}$	${displaystyle {sqrt {leftlangle v^{2}rightrangle }}}$ = velocidad cuadrada media raíz, m = masa (de una molécula)
Waves	$rho Vv$	*** = densidad, V = volumen, v = velocidad de fase
Electromagnético	$qA$	A = potencial de vectores magnéticos

Fuerza, F T⁻²LM	Expresión	Nomenclature
Mecánica	$maequiv p/t$	m = masa, a = aceleración
Termal	$Tdelta S/delta r$	S = entropía, T = temperatura, r = desplazamiento (véase la fuerza entrópica)
Electromagnético	$Eqequiv Bqv$	E = campo eléctrico, B = campo magnético, v = velocidad, q = carga

Unidades naturales

Si c = ħ = 1, donde c es la velocidad de la luz y ħ es la constante de Planck reducida, y se elige una unidad de energía fija adecuada, entonces todas las cantidades de tiempo T, longitud L y masa M se puede expresar (dimensionalmente) como una potencia de energía E, porque la longitud, la masa y el tiempo se pueden expresar usando la velocidad v, la acción S, y energía E:

{displaystyle t={frac {S}{E}},quad L={frac {Sv}{E}},quad M={frac {E}{v^{2}}}}

aunque la velocidad y la acción son adimensionales (v = c = 1 y S = ħ = 1), por lo que la única cantidad restante con dimensión es la energía. En términos de potencias de dimensiones:

{displaystyle {mathsf {E}}^{n}={mathsf {T}}^{p}{mathsf {L}}^{q}{mathsf {M}}^{r}={mathsf {E}}^{-p-q+r}}

Esto es particularmente útil en física de partículas y física de alta energía, en cuyo caso la unidad de energía es el electrón voltio (eV). Las comprobaciones y estimaciones dimensionales se vuelven muy simples en este sistema.

Sin embargo, si hay cargas y corrientes eléctricas involucradas, otra unidad a fijar es la carga eléctrica, normalmente la carga del electrón e aunque son posibles otras opciones.

Cantidad	p, q, r poderes de energía			n energía
Cantidad	p	q	r	n
Action, S	−1	2	1	0
Speed, v	−1	1	0	0
Misa, M	0	0	1	1
Duración L	0	1	0	−1
Hora, t	1	0	0	−1
Momentum, p	−1	1	1	1
Energy, E	−2	2	1	1

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