Análisis de cuantificación de recurrencia.

análisis de cuantificación de recurrencia (RQA) es un método de análisis de datos no lineal (cf. teoría del caos) para la investigación de sistemas dinámicos. Cuantifica el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico presentado por su trayectoria en el espacio de fases.

Fondo

El análisis de cuantificación de recurrencia (RQA) se desarrolló con el fin de cuantificar las parcelas de recurrencia que aparecen de manera diferente (RP), basadas en las estructuras de pequeña escala en ellas. Las parcelas de repetición son herramientas que visualizan el comportamiento de recurrencia de la trayectoria espacial de fase x→ → ()i){displaystyle {vec {x}(i)} de sistemas dinámicos:

R()i,j)=. . ()ε ε − − . . x→ → ()i)− − x→ → ()j). . ){displaystyle {R}(i,j)= Theta (varepsilon - eterna{vec {x}(i)-{vec {x}(j) eterna)},

Donde . . :R→ → {}0,1}{displaystyle Theta: 'mathbf {R} rightarrow {0,1} es la función Heaviside y ε ε {displaystyle varepsilon } una tolerancia predefinida.

Los gráficos de recurrencia contienen principalmente puntos y líneas individuales que son paralelas a la diagonal media (línea de identidad, LOI) o que son verticales/horizontales. Las líneas paralelas a la LOI se denominan líneas diagonales y las estructuras verticales como líneas verticales. Debido a que un RP suele ser simétrico, las líneas horizontales y verticales se corresponden entre sí y, por lo tanto, solo se consideran las líneas verticales. Las líneas corresponden a un comportamiento típico de la trayectoria del espacio de fases: mientras que las líneas diagonales representan segmentos de la trayectoria del espacio de fases que discurren paralelos durante algún tiempo, las líneas verticales representan segmentos que permanecen en la misma región del espacio de fases durante algún tiempo.

Si solo hay disponible una serie de tiempo, el espacio de fase se puede reconstruir utilizando una incrustación de retardo de tiempo (consulte el teorema de Takens):

x→ → ()i)=()u()i),u()i+τ τ ),... ... ,u()i+τ τ ()m− − 1)),{displaystyle {vec {x}(i)=(u(i),u(i+tau),ldotsu(i+tau (m-1)}

Donde u()i){displaystyle u(i)} es la serie de tiempo, m{displaystyle m} la dimensión y la τ τ {displaystyle tau } el retraso del tiempo.

El RQA cuantifica las estructuras a pequeña escala de gráficos de recurrencia, que presentan el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico. Las medidas introducidas para el RQA se desarrollaron heurísticamente entre 1992 y 2002 (Zbilut & Webber 1992; Webber & Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). En realidad son medidas de complejidad. La principal ventaja del análisis de cuantificación de recurrencia es que puede proporcionar información útil incluso para datos cortos y no estacionarios, donde otros métodos fallan.

RQA se puede aplicar a casi todo tipo de datos. Se utiliza ampliamente en fisiología, pero también se aplicó con éxito en problemas de ingeniería, química, ciencias de la tierra, etc.

Medidas RQA

La medida más simple es la tasa de recurrencia, que es la densidad de puntos de recurrencia en un gráfico de recurrencia:

RR=1N2. . i,j=1NR()i,j).{displaystyle {text{}={frac} {1}{N^{2}}sum - ¿Qué? }

La tasa de recurrencia se corresponde con la probabilidad de que un estado específico se repita. Es casi igual a la definición de suma de correlación, donde la LOI se excluye del cálculo.

La siguiente medida es el porcentaje de puntos de recurrencia que forman líneas diagonales en la parcela de recurrencia de longitud mínima l l min{displaystyle ell _{min }:

DET=. . l l =l l minNl l P()l l ). . l l =1Nl l P()l l ),{displaystyle {text{DET}={frac} {fnMicrosoft Sans Serif} =ell _{min }{N}ell ,P(ell)}{sum _{ell =1}ell P(ell)}}}}

Donde P()l l ){displaystyle P(ell)} es la distribución de frecuencia de las longitudes l l {displaystyle ell } de las líneas diagonales (es decir, cuenta cuántos casos tienen longitud l l {displaystyle ell }). Esta medida se llama determinismo y está relacionado con la previsibilidad del sistema dinámico, porque el ruido blanco tiene una parcela de recurrencia con casi sólo puntos individuales y muy pocas líneas diagonales, mientras que un proceso determinista tiene una parcela de recurrencia con muy pocos puntos individuales pero muchas líneas diagonales largas.

El número de puntos de recurrencia que forman líneas verticales se puede cuantificar de la misma forma:

LAM=. . v=vminNvP()v). . v=1NvP()v),{displaystyle {text{LAM}={frac {sum _{v=v_{min } {fn} {fn} {fn]}{sum _{v=1} {fn}}}} {fn}}} {fn0}

Donde P()v){displaystyle P(v)} es la distribución de frecuencia de las longitudes v{displaystyle v} de las líneas verticales, que tienen al menos una longitud vmin{displaystyle v_{min}}. Esta medida se llama laminaridad y se relaciona con la cantidad de fases laminares en el sistema (intermitencia).

También se pueden medir las longitudes de las líneas diagonales y verticales. El longitud promedio de la línea diagonal

L=. . l l =l l minNl l P()l l ). . l l =l l minNP()l l ){displaystyle {text{L}={frac} {fnMicrosoft Sans Serif} =ell _{min }{N}ell ,P(ell)}{sum _{ell =ell _{min - Sí.

está relacionado con el tiempo de previsibilidad del sistema dinámico y el tiempo de captura, midiendo la longitud media de las líneas verticales,

TT=. . v=vminNvP()v). . v=vminNP()v){displaystyle TT={frac} ¿Por qué? } {N}P(v)}}

está relacionado con el tiempo de laminaridad del sistema dinámico, es decir, cuánto tiempo permanece el sistema en un estado específico.

Debido a que la longitud de las líneas diagonales se relaciona en el momento en que los segmentos largos de la trayectoria espacial de fase corren paralelo, es decir, en el comportamiento de divergencia de las trayectorias, a veces se afirmó que la reciprocal de la longitud máxima de las líneas diagonales (sin LOI) sería un estimador para el exponente maximal positivo de Lyapunov del sistema dinámico. Por tanto, el Longitud máxima de la línea diagonal Lmax{displaystyle L_{max } o el divergencia

DIV=1Lmax{displaystyle DIV={frac {1}{L_{max }

también son medidas del RQA. Sin embargo, la relación entre estas medidas con el exponente de Lyapunov máximo positivo no es tan fácil como se ha dicho, sino aún más compleja (para calcular el exponente de Lyapunov a partir de un RP, se debe considerar toda la distribución de frecuencias de las líneas diagonales). La divergencia puede tener la tendencia del exponente máximo positivo de Lyapunov, pero no más. Además, también los RP de procesos de ruido blanco pueden tener una línea diagonal muy larga, aunque muy raramente, sólo por una probabilidad finita. Por tanto, la divergencia no puede reflejar el exponente máximo de Lyapunov.

La probabilidad p()l l ){displaystyle p(ell)} que una línea diagonal tiene exactamente longitud l l {displaystyle ell } se puede estimar en la distribución de frecuencias P()l l ){displaystyle P(ell)} con p()l l )=P()l l ). . l l =lminNP()l l ){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}{sum _{ell =l_{min)} - Sí.. La entropía de Shannon de esta probabilidad,

ENTR=− − . . l l =l l minNp()l l )In⁡ ⁡ p()l l ),{displaystyle {text{ENTR}=-sum ¿Por qué?

refleja la complejidad de la estructura determinista del sistema. Sin embargo, esta entropía depende sensiblemente del número de bin y, por lo tanto, puede diferir para diferentes realizaciones del mismo proceso, así como para diferentes preparaciones de datos.

La última medida del RQA cuantifica la reducción del gráfico de recurrencia. La tendencia es el coeficiente de regresión de una relación lineal entre la densidad de puntos de recurrencia en una línea paralela a la LOI y su distancia a la LOI. Más exactamente, considere la tasa de recurrencia en una línea diagonal paralela a la LOI de la distancia k (tasa de recurrencia en diagonal o tasa de recurrencia τ) :

RRk=1N− − k. . j− − i=kN− − kR()i,j),{displaystyle {text{}_{k}={frac} {1}{N-k}sum ¿Qué?

entonces la tendencia se define por

TREND=. . i=1N~ ~ ()i− − N~ ~ /2)()RRi− − . . RRi. . ). . i=1N~ ~ ()i− − N~ ~ /2)2,{displaystyle {text{}={frac} {cHFF} ¿Por qué? RR_{i}rangle)}{sum ¿Qué?

con . . ⋅ ⋅ . . {displaystyle langle cdot rangle } como valor promedio y <math alttext="{displaystyle {tilde {N}}N~ ~ c)N{displaystyle {tilde {N}traducido}<img alt="{displaystyle {tilde {N}}. Esta última relación debe asegurarse de evitar los efectos del borde de densidades de punto de recurrencia demasiado bajas en los bordes de la parcela de recurrencia. La medida tendencia proporciona información sobre la estabilidad del sistema.

Similar al τ τ {displaystyle tau }- tasa de reincidencia, las otras medidas basadas en las líneas diagonales (DET, L, ENTR) se pueden definir diagonal-wise. Estas definiciones son útiles para estudiar interrelaciones o sincronización entre diferentes sistemas (utilizando parcelas de recurrencia o tramas de recurrencia cruzadas).

RQA dependiente del tiempo

En lugar de calcular las medidas RQA de todo el gráfico de recurrencia, se pueden calcular en pequeñas ventanas que se mueven sobre el gráfico de recurrencia a lo largo de la LOI. Esto proporciona medidas RQA dependientes del tiempo que permiten detectar, por ejemplo, transiciones caos-caos (Marwan et al. 2002). Nota: la elección del tamaño de la ventana puede influir fuertemente en la medida tendencia.

Ejemplo