Aleatoriedad

En el lenguaje común, la aleatoriedad es la falta aparente o real de patrón o previsibilidad en los eventos. Una secuencia aleatoria de eventos, símbolos o pasos a menudo no tiene orden y no sigue un patrón o combinación inteligible. Los eventos aleatorios individuales son, por definición, impredecibles, pero si se conoce la distribución de probabilidad, la frecuencia de los diferentes resultados en eventos repetidos (o "ensayos") es predecible. Por ejemplo, cuando se lanzan dos dados, el resultado de cualquier tirada en particular es impredecible, pero una suma de 7 tenderá a ocurrir el doble de veces que 4. Desde este punto de vista, la aleatoriedad no es casualidad; es una medida de la incertidumbre de un resultado. La aleatoriedad se aplica a los conceptos de azar, probabilidad y entropía de la información.

Los campos de las matemáticas, la probabilidad y la estadística utilizan definiciones formales de aleatoriedad. En estadística, una variable aleatoria es una asignación de un valor numérico a cada resultado posible de un espacio de eventos. Esta asociación facilita la identificación y el cálculo de probabilidades de los eventos. Las variables aleatorias pueden aparecer en secuencias aleatorias. Un proceso aleatorio es una secuencia de variables aleatorias cuyos resultados no siguen un patrón determinista, sino que siguen una evolución descrita por distribuciones de probabilidad. Estas y otras construcciones son extremadamente útiles en la teoría de la probabilidad y las diversas aplicaciones de la aleatoriedad.

La aleatoriedad se usa con mayor frecuencia en estadística para significar propiedades estadísticas bien definidas. Los métodos de Monte Carlo, que se basan en entradas aleatorias (como generadores de números aleatorios o generadores de números pseudoaleatorios), son técnicas importantes en la ciencia, particularmente en el campo de la ciencia computacional. Por analogía, los métodos cuasi-Monte Carlo utilizan generadores de números cuasi-aleatorios.

Selección aleatoria, cuando se asocia estrechamente con una muestra aleatoria simple, es un método para seleccionar elementos (a menudo llamados unidades) de una población donde la probabilidad de elegir un elemento específico es la proporción de esos elementos en la población. Por ejemplo, con un tazón que contiene solo 10 canicas rojas y 90 canicas azules, un mecanismo de selección aleatoria elegiría una canica roja con una probabilidad de 1/10. Tenga en cuenta que un mecanismo de selección aleatoria que seleccionó 10 canicas de este tazón no necesariamente daría como resultado 1 roja y 9 azules. En situaciones en las que una población consta de elementos que son distinguibles, un mecanismo de selección aleatoria requiere probabilidades iguales para que se elija cualquier elemento. Es decir, si el proceso de selección es tal que cada miembro de una población, digamos sujetos de investigación, tiene la misma probabilidad de ser elegido,

Según la teoría de Ramsey, la aleatoriedad pura es imposible, especialmente para estructuras grandes. El matemático Theodore Motzkin sugirió que "mientras que el desorden es más probable en general, el desorden completo es imposible". Malinterpretar esto puede conducir a numerosas teorías de conspiración. Cristian S. Calude afirmó que "ante la imposibilidad de una verdadera aleatoriedad, el esfuerzo se dirige a estudiar grados de aleatoriedad". Se puede probar que existe una jerarquía infinita (en términos de calidad o fuerza) de formas de aleatoriedad.

Historia

En la historia antigua, los conceptos de azar y aleatoriedad estaban entrelazados con el de destino. Muchos pueblos antiguos tiraban dados para determinar el destino, y esto luego se convirtió en juegos de azar. La mayoría de las culturas antiguas usaban varios métodos de adivinación para intentar eludir la aleatoriedad y el destino.

Los chinos de hace 3000 años fueron quizás los primeros en formalizar las probabilidades y el azar. Los filósofos griegos discutieron la aleatoriedad extensamente, pero solo en formas no cuantitativas. Fue solo en el siglo XVI que los matemáticos italianos comenzaron a formalizar las probabilidades asociadas con varios juegos de azar. La invención del cálculo tuvo un impacto positivo en el estudio formal de la aleatoriedad. En la edición de 1888 de su libro The Logic of Chance, John Venn escribió un capítulo sobre La concepción de la aleatoriedad que incluía su visión de la aleatoriedad de los dígitos de pi, usándolos para construir una caminata aleatoria en dos dimensiones.

La primera parte del siglo XX vio un rápido crecimiento en el análisis formal de la aleatoriedad, ya que se introdujeron varios enfoques de los fundamentos matemáticos de la probabilidad. A mediados y finales del siglo XX, las ideas de la teoría algorítmica de la información introdujeron nuevas dimensiones en el campo a través del concepto de aleatoriedad algorítmica.

Aunque la aleatoriedad a menudo se había visto como un obstáculo y una molestia durante muchos siglos, en el siglo XX, los científicos informáticos comenzaron a darse cuenta de que la introducción deliberada de la aleatoriedad en los cálculos puede ser una herramienta eficaz para diseñar mejores algoritmos. En algunos casos, estos algoritmos aleatorios incluso superan a los mejores métodos deterministas.

En la ciencia

Muchos campos científicos se ocupan de la aleatoriedad:

• probabilidad algorítmica
• Teoría del caos
• Criptografía
• Teoría de juego
• Teoría de la información
• Reconocimiento de patrones
• Teoría de la percolación
• Teoría de probabilidad
• Mecánica cuántica
• Caminata aleatoria
• Mecánica estadística
• Estadísticas

En las ciencias fisicas

En el siglo XIX, los científicos utilizaron la idea de los movimientos aleatorios de las moléculas en el desarrollo de la mecánica estadística para explicar los fenómenos de la termodinámica y las propiedades de los gases.

Según varias interpretaciones estándar de la mecánica cuántica, los fenómenos microscópicos son objetivamente aleatorios. Es decir, en un experimento que controla todos los parámetros causalmente relevantes, algunos aspectos del resultado aún varían al azar. Por ejemplo, si un solo átomo inestable se coloca en un entorno controlado, no se puede predecir cuánto tiempo tardará el átomo en desintegrarse, solo la probabilidad de desintegración en un tiempo determinado. Por lo tanto, la mecánica cuántica no especifica el resultado de los experimentos individuales, sino solo las probabilidades. Las teorías de variables ocultas rechazan la opinión de que la naturaleza contiene aleatoriedad irreductible: tales teorías postulan que en los procesos que parecen aleatorios, las propiedades con una cierta distribución estadística están trabajando detrás de escena, determinando el resultado en cada caso.

En biología

La síntesis evolutiva moderna atribuye la diversidad de vida observada a mutaciones genéticas aleatorias seguidas de selección natural. Este último conserva algunas mutaciones aleatorias en el acervo genético debido a la posibilidad sistemáticamente mejorada de supervivencia y reproducción que esos genes mutados confieren a los individuos que los poseen. Sin embargo, la ubicación de la mutación no es completamente aleatoria, ya que, por ejemplo, las regiones biológicamente importantes pueden estar más protegidas de las mutaciones.

Varios autores también afirman que la evolución (ya veces el desarrollo) requiere una forma específica de aleatoriedad, a saber, la introducción de comportamientos cualitativamente nuevos. En lugar de la elección de una posibilidad entre varias dadas de antemano, esta aleatoriedad corresponde a la formación de nuevas posibilidades.

Las características de un organismo surgen en cierta medida de forma determinista (por ejemplo, bajo la influencia de los genes y el medio ambiente), y en cierta medida al azar. Por ejemplo, la densidad de las pecas que aparecen en la piel de una persona está controlada por los genes y la exposición a la luz; mientras que la ubicación exacta de las pecas individuales parece aleatoria.

En lo que respecta al comportamiento, la aleatoriedad es importante para que un animal se comporte de una manera impredecible para los demás. Por ejemplo, los insectos en vuelo tienden a moverse con cambios aleatorios de dirección, lo que dificulta que los depredadores que los persiguen predigan sus trayectorias.

En matemáticas

La teoría matemática de la probabilidad surgió de los intentos de formular descripciones matemáticas de eventos aleatorios, originalmente en el contexto de los juegos de azar, pero luego en relación con la física. La estadística se utiliza para inferir la distribución de probabilidad subyacente de una colección de observaciones empíricas. Para fines de simulación, es necesario tener una gran cantidad de números aleatorios, o medios para generarlos a pedido.

La teoría algorítmica de la información estudia, entre otros temas, qué constituye una secuencia aleatoria. La idea central es que una cadena de bits es aleatoria si y solo si es más corta que cualquier programa de computadora que pueda producir esa cadena (aleatoriedad de Kolmogorov), lo que significa que las cadenas aleatorias son aquellas que no se pueden comprimir. Los pioneros de este campo incluyen a Andrey Kolmogorov y su alumno Per Martin-Löf, Ray Solomonoff y Gregory Chaitin. Para la noción de secuencia infinita, los matemáticos generalmente aceptan la definición semi-epónima de Per Martin-Löf: una secuencia infinita es aleatoria si y solo si resiste todos los conjuntos nulos recursivamente enumerables.Las otras nociones de secuencias aleatorias incluyen, entre otras, la aleatoriedad recursiva y la aleatoriedad de Schnorr, que se basan en martingalas recursivamente computables. Yongge Wang demostró que estas nociones de aleatoriedad son generalmente diferentes.

La aleatoriedad ocurre en números como log(2) y pi. Los dígitos decimales de pi constituyen una secuencia infinita y "nunca se repiten de forma cíclica". Números como pi también se consideran normales:

Pi ciertamente parece comportarse de esta manera. En los primeros seis mil millones de decimales de pi, cada uno de los dígitos del 0 al 9 aparece unos seiscientos millones de veces. Sin embargo, tales resultados, posiblemente accidentales, no prueban la normalidad ni siquiera en la base 10, y mucho menos la normalidad en otras bases numéricas.

En estadísticas

En estadística, la aleatoriedad se usa comúnmente para crear muestras aleatorias simples. Esto permite que las encuestas de grupos de personas completamente aleatorios brinden datos realistas que reflejen la población. Los métodos comunes para hacer esto incluyen sacar nombres de un sombrero o usar una tabla de dígitos aleatorios (una tabla grande de dígitos aleatorios).

En ciencia de la información

En ciencia de la información, los datos irrelevantes o sin sentido se consideran ruido. El ruido consiste en numerosas perturbaciones transitorias, con una distribución temporal estadísticamente aleatoria.

En la teoría de la comunicación, la aleatoriedad en una señal se denomina "ruido" y se opone a ese componente de su variación que es causalmente atribuible a la fuente, la señal.

En términos del desarrollo de redes aleatorias, la aleatoriedad de la comunicación se basa en las dos suposiciones simples de Paul Erdős y Alfréd Rényi, quienes dijeron que había un número fijo de nodos y este número permaneció fijo durante la vida de la red, y que todos los nodos eran iguales y estaban enlazados aleatoriamente entre sí.

En finanzas

La hipótesis del paseo aleatorio considera que los precios de los activos en un mercado organizado evolucionan al azar, en el sentido de que el valor esperado de su cambio es cero pero el valor real puede resultar positivo o negativo. De manera más general, los precios de los activos están influenciados por una variedad de eventos impredecibles en el entorno económico general.

En política

La selección aleatoria puede ser un método oficial para resolver elecciones empatadas en algunas jurisdicciones. Su uso en política se origina hace mucho tiempo. Muchos cargos en la antigua Atenas se elegían por sorteo en lugar de la votación moderna.

Aleatoriedad y religión

La aleatoriedad puede verse como un conflicto con las ideas deterministas de algunas religiones, como aquellas en las que el universo es creado por una deidad omnisciente que está al tanto de todos los eventos pasados ​​​​y futuros. Si se considera que el universo tiene un propósito, entonces la aleatoriedad puede verse como imposible. Esta es una de las razones de la oposición religiosa a la evolución, que establece que la selección no aleatoria se aplica a los resultados de la variación genética aleatoria.

Las filosofías hindú y budista afirman que cualquier evento es el resultado de eventos anteriores, como se refleja en el concepto de karma. Como tal, esta concepción está en desacuerdo con la idea de aleatoriedad, y cualquier reconciliación entre ambos requeriría una explicación.

En algunos contextos religiosos, los procedimientos que comúnmente se perciben como aleatorios se utilizan para la adivinación. La cleromancia utiliza el lanzamiento de huesos o dados para revelar lo que se considera la voluntad de los dioses.

Aplicaciones

En la mayoría de sus usos matemáticos, políticos, sociales y religiosos, la aleatoriedad se utiliza por su "equidad" innata y falta de sesgo.

Política: la democracia ateniense se basaba en el concepto de isonomía (igualdad de derechos políticos) y utilizaba máquinas de asignación complejas para garantizar que los puestos en los comités gobernantes que dirigían Atenas se asignaran de manera justa. La asignación ahora está restringida a la selección de jurados en los sistemas legales anglosajones y en situaciones en las que la "equidad" se aproxima a la aleatorización, como la selección de jurados y las loterías militares.

Juegos: los números aleatorios se investigaron por primera vez en el contexto de los juegos de azar, y muchos dispositivos de aleatorización, como los dados, barajar las cartas y las ruedas de la ruleta, se desarrollaron por primera vez para su uso en los juegos de azar. La capacidad de producir números aleatorios de manera justa es vital para los juegos de azar electrónicos y, como tal, los métodos utilizados para crearlos generalmente están regulados por las Juntas de Control de Juegos del gobierno. Los sorteos al azar también se utilizan para determinar los ganadores de la lotería. De hecho, la aleatoriedad se ha utilizado para juegos de azar a lo largo de la historia y para seleccionar individuos para una tarea no deseada de una manera justa (ver dibujar popotes).

Deportes: algunos deportes, incluido el fútbol americano, usan lanzamientos de monedas para seleccionar aleatoriamente las condiciones de inicio de los juegos o equipos empatados para la postemporada. La Asociación Nacional de Baloncesto utiliza una lotería ponderada para ordenar equipos en su draft.

Matemáticas: los números aleatorios también se emplean cuando su uso es matemáticamente importante, como el muestreo para encuestas de opinión y el muestreo estadístico en sistemas de control de calidad. Las soluciones computacionales para algunos tipos de problemas utilizan ampliamente números aleatorios, como en el método de Monte Carlo y en los algoritmos genéticos.

Medicina: la asignación aleatoria de una intervención clínica se utiliza para reducir el sesgo en los ensayos controlados (p. ej., ensayos controlados aleatorios).

Religión: aunque no pretende ser aleatorio, varias formas de adivinación, como la cleromancia, ven lo que parece ser un evento aleatorio como un medio para que un ser divino comunique su voluntad (consulte también Libre albedrío y determinismo para obtener más información).

Generación

Generalmente se acepta que existen tres mecanismos responsables del comportamiento (aparentemente) aleatorio en los sistemas:

1. Aleatoriedad proveniente del entorno (por ejemplo, movimiento browniano, pero también generadores de números aleatorios de hardware).
2. Aleatoriedad proveniente de las condiciones iniciales. Este aspecto es estudiado por la teoría del caos, y se observa en sistemas cuyo comportamiento es muy sensible a pequeñas variaciones en las condiciones iniciales (como las máquinas de pachinko y los dados).
3. Aleatoriedad intrínsecamente generada por el sistema. Esto también se llama pseudoaleatoriedad y es el tipo que se usa en los generadores de números pseudoaleatorios. Hay muchos algoritmos (basados ​​en la aritmética o en el autómata celular) para generar números pseudoaleatorios. El comportamiento del sistema se puede determinar conociendo el estado de la semilla y el algoritmo utilizado. Estos métodos suelen ser más rápidos que obtener la aleatoriedad "verdadera" del entorno.

Las muchas aplicaciones de la aleatoriedad han dado lugar a muchos métodos diferentes para generar datos aleatorios. Estos métodos pueden variar en cuanto a qué tan impredecibles o estadísticamente aleatorios son, y qué tan rápido pueden generar números aleatorios.

Antes de la llegada de los generadores de números aleatorios computacionales, generar grandes cantidades de números suficientemente aleatorios (lo cual es importante en estadística) requería mucho trabajo. En ocasiones, los resultados se recopilaban y distribuían como tablas de números aleatorios.

Medidas y pruebas

Hay muchas medidas prácticas de aleatoriedad para una secuencia binaria. Estos incluyen medidas basadas en frecuencia, transformadas discretas, complejidad o una combinación de estas, como las pruebas de Kak, Phillips, Yuen, Hopkins, Beth y Dai, Mund y Marsaglia y Zaman.

La no localidad cuántica se ha utilizado para certificar la presencia de una forma genuina o fuerte de aleatoriedad en una cadena dada de números.

Conceptos erróneos y falacias lógicas

Las percepciones populares de la aleatoriedad con frecuencia son erróneas y, a menudo, se basan en razonamientos o intuiciones falaces.

Falacia: un número es "vencido"

Este argumento es: "En una selección aleatoria de números, dado que finalmente aparecen todos los números, los que aún no han aparecido son 'vencidos' y, por lo tanto, es más probable que aparezcan pronto". Esta lógica solo es correcta si se aplica a un sistema en el que los números que salen se eliminan del sistema, como cuando se extraen las cartas y no se devuelven a la baraja. En este caso, una vez que se retira una jota de la baraja, es menos probable que la próxima extracción sea una jota y más probable que sea otra carta. Sin embargo, si la jota se devuelve a la baraja y la baraja se vuelve a barajar completamente, es tan probable que salga una jota como cualquier otra carta. Lo mismo se aplica a cualquier otro proceso en el que los objetos se seleccionen de forma independiente y no se elimine ninguno después de cada evento, como el lanzamiento de un dado, el lanzamiento de una moneda o la mayoría de los esquemas de selección de números de lotería. Los procesos verdaderamente aleatorios como estos no tienen memoria, lo que hace imposible que los resultados pasados ​​afecten los resultados futuros. De hecho, no existe un número finito de ensayos que puedan garantizar el éxito.

Falacia: un número es "maldito" o "bendecido"

En una secuencia aleatoria de números, se puede decir que un número está maldito porque ha aparecido con menos frecuencia en el pasado, por lo que se cree que aparecerá con menos frecuencia en el futuro. Se puede suponer que un número es bendito porque ha ocurrido con más frecuencia que otros en el pasado, por lo que se cree que es probable que aparezca con más frecuencia en el futuro. Esta lógica es válida solo si la aleatorización puede estar sesgada, por ejemplo, si se sospecha que un dado está cargado, si no se arrojan suficientes seises sería evidencia de esa carga. Si se sabe que el dado es justo, las tiradas anteriores no pueden dar ninguna indicación de eventos futuros.

En la naturaleza, los eventos rara vez ocurren con una frecuencia conocida a priori, por lo que tiene sentido observar los resultados para determinar qué eventos son más probables. Sin embargo, es una falacia aplicar esta lógica a los sistemas diseñados y conocidos para hacer que todos los resultados sean igualmente probables, como las cartas barajadas, los dados y las ruedas de la ruleta.

Falacia: las cuotas nunca son dinámicas

Al comienzo de un escenario, uno podría calcular la probabilidad de un evento determinado. Sin embargo, tan pronto como se obtiene más información sobre el escenario, es posible que se deba volver a calcular la probabilidad en consecuencia.

Por ejemplo, cuando se le dice que una mujer tiene dos hijos, uno podría estar interesado en saber si alguno de ellos es una niña y, en caso afirmativo, cuál es la probabilidad de que el otro hijo también sea una niña. Si se consideran los dos eventos de forma independiente, se podría esperar que la probabilidad de que el otro niño sea mujer sea ½ (50 %), pero al construir un espacio de probabilidad que ilustre todos los resultados posibles, se podría notar que la probabilidad es en realidad solo ⅓ (33 %)..

Sin duda, el espacio de probabilidad ilustra cuatro formas de tener estos dos hijos: niño-niño, niña-niño, niño-niña y niña-niña. Pero una vez que se sabe que al menos uno de los hijos es mujer, se descarta el escenario niño-niño, quedando sólo tres formas de tener los dos hijos: niño-niña, niña-niño, niña-niña. A partir de esto, se puede ver que solo ⅓ de estos escenarios harían que el otro niño también fuera una niña (consulte Paradoja de niño o niña para obtener más información).

En general, al usar un espacio de probabilidad, es menos probable que se pierdan posibles escenarios o que se descuide la importancia de la nueva información. Esta técnica se puede utilizar para proporcionar información en otras situaciones, como el problema de Monty Hall, un escenario de programa de juegos en el que un automóvil se esconde detrás de una de las tres puertas y dos cabras se esconden como premios bobos detrás de los demás. Una vez que el concursante ha elegido una puerta, el anfitrión abre una de las puertas restantes para revelar una cabra, eliminando esa puerta como opción. Con solo dos puertas restantes (una con el auto, la otra con otra cabra), el jugador debe decidir mantener su decisión o cambiar y seleccionar la otra puerta. Intuitivamente, uno podría pensar que el jugador está eligiendo entre dos puertas con la misma probabilidad y que la oportunidad de elegir otra puerta no hace ninguna diferencia.