Absoluto Infinito

El Infinito Absoluto (símbolo: Ω) es una extensión de la idea de infinito propuesta por el matemático Georg Cantor.

Se puede considerar como un número mayor que cualquier otra cantidad concebible o inconcebible, ya sea finita o transfinita.

Cantor vinculó el Infinito Absoluto con Dios y creía que tenía varias propiedades matemáticas, incluido el principio de reflexión: cada propiedad del Infinito Absoluto también está en manos de algún objeto más pequeño.

Punto de vista de Cantor

Cantor dijo:

El infinito real se distinguió por tres relaciones: primero, como se realiza en la perfección suprema, en la existencia completamente independiente, extramundial, en Deo, donde lo llamo infinito absoluto o simplemente absoluto; segundo en la medida en que se representa en el mundo dependiente, creatural; tercero como puede ser concebido en abstracto en el pensamiento como una magnitud matemática, número o tipo de orden. En estas dos últimas relaciones, donde obviamente se revela como limitada y capaz para una mayor proliferación y por lo tanto familiar a lo finito, lo llamo Transfinitum y fuerte contraste con el absoluto.

Cantor también mencionó la idea en sus cartas a Richard Dedekind (el texto entre corchetes no está presente en el original):

Una multiplicidad [parece significar lo que ahora llamamos un conjunto] se llama bien ordenada si cumple con la condición de que cada submultiplicidad tiene un primer elemento; tal multiplicidad llamo para abreviar una "secuencia".

...

Ahora preveo el sistema de todos los números [ordenal] y lo denota Ω.

...

El sistema Ω en su orden natural según magnitud es una "secuencia".
Ahora adjuntemos 0 como elemento adicional a esta secuencia, y colóquela, obviamente, en la primera posición; entonces obtenemos una secuencia Ω:

0, 1, 2, 3,...₀, ω₀+1,... γ,...
de los cuales uno puede fácilmente convencerse de que cada número γ que ocurre en él es el tipo [es decir, orden-tipo] de la secuencia de todos sus elementos anteriores (incluyendo 0). (La secuencia Ω tiene esta propiedad primero para ω₀+1.₀+1 debe ser ω₀.])

Ahora Ω (y por tanto también Ω) no puede ser una multiplicidad consistente. Por si Ω eran consistentes, entonces como un conjunto bien ordenado, un número δ correspondería a ella que sería mayor que todo el número del sistema Ω; el número δ, sin embargo, también pertenece al sistema Ω, porque comprende todos los números. Así δ sería mayor que δ, que es una contradicción. Por lo tanto:

El sistema Ω de todos los números [ordinal] es una multiplicidad inconsistente, absolutamente infinita.

La paradoja de Burali-Forti

La idea de que la colección de todos los números ordinales no puede existir lógicamente parece paradójica para muchos. Esto está relacionado con la 'paradoja' de Cesare Burali-Forti. que establece que no puede haber un número ordinal mayor. Todos estos problemas se remontan a la idea de que, para cada propiedad que puede definirse lógicamente, existe un conjunto de todos los objetos que tienen esa propiedad. Sin embargo, como en el argumento de Cantor (arriba), esta idea genera dificultades.

De manera más general, como señaló A. W. Moore, no puede haber un final para el proceso de formación de conjuntos y, por lo tanto, no puede existir algo como la totalidad de todos los conjuntos o la jerarquía de conjuntos . Cualquier totalidad de este tipo tendría que ser un conjunto, por lo que estaría en algún lugar dentro de la jerarquía y, por lo tanto, no podría contener todos los conjuntos.

Una solución estándar a este problema se encuentra en la teoría de conjuntos de Zermelo, que no permite la formación ilimitada de conjuntos a partir de propiedades arbitrarias. Más bien, podemos formar el conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad determinada y se encuentran en algún conjunto determinado (Axioma de separación de Zermelo). Esto permite la formación de conjuntos basados en propiedades, en un sentido limitado, mientras (con suerte) preserva la consistencia de la teoría.

Si bien esto resuelve el problema lógico, se podría argumentar que el problema filosófico permanece. Parece natural que un conjunto de individuos deba existir, mientras existan los individuos. De hecho, podría decirse que la teoría ingenua de conjuntos se basa en esta noción. Aunque la solución de Zermelo permite que una clase describa entidades arbitrarias (posiblemente 'grandes'), estos predicados del metalenguaje pueden no tener existencia formal (es decir, como un conjunto) dentro de la teoría. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos sería una clase propia. Esto es filosóficamente insatisfactorio para algunos y ha motivado trabajo adicional en teoría de conjuntos y otros métodos para formalizar los fundamentos de las matemáticas, como New Foundations de Willard Van Orman Quine.