Σ-álgebra

En el análisis matemático y en la teoría de probabilidad, a σ-algebra (también σ-field) en un set X es una colección de no vacías. X cerrado bajo complemento, uniones contables y intersecciones contables. El par ${displaystyle (X,Sigma)}$ se llama un espacio mensurable.

Las σ-álgebras son un subconjunto de las álgebras de conjuntos; los elementos de este último solo necesitan cerrarse bajo la unión o intersección de finitamente muchos subconjuntos, que es una condición más débil.

El principal uso de σ-álgebras es en la definición de medidas; específicamente, la colección de esos subconjuntos para los cuales se define una medida dada es necesariamente un σ-álgebra. Este concepto es importante en el análisis matemático como base para la integración de Lebesgue y en la teoría de la probabilidad, donde se interpreta como el conjunto de eventos a los que se les pueden asignar probabilidades. Además, en probabilidad, las σ-álgebras son fundamentales en la definición de expectativa condicional.

En estadística, se necesitan (sub)σ-álgebras para la definición matemática formal de una estadística suficiente, particularmente cuando la estadística es una función o un proceso aleatorio y la noción de densidad condicional no es aplicable.

Si ${displaystyle X={a,b,c,d}$ uno posible σ-algebra en ${displaystyle X}$ es ${displaystyle Sigma ={varnothing{a,b},{c,d},{a,b,c,d},}$ Donde ${displaystyle varnothing }$ es el set vacío. En general, un álgebra finita es siempre un álgebra σ.

Si ${displaystyle {A_{1},A_{2},A_{3},ldots },}$ es una partición contable ${displaystyle X}$ entonces la colección de todos los sindicatos de conjuntos en la partición (incluyendo el conjunto vacío) es un álgebra σ.

Un ejemplo más útil es el conjunto de subconjuntos de la línea real formado al comenzar con todos los intervalos abiertos y agregar todas las uniones contables, intersecciones contables y complementos relativos y continuar este proceso (por iteración transfinita a través de todos los ordinales contables) hasta se logran las propiedades de cierre relevantes (una construcción conocida como la jerarquía de Borel).

Motivación

Hay al menos tres motivadores clave para las σ-álgebras: definir medidas, manipular límites de conjuntos y administrar información parcial caracterizada por conjuntos.

Medir

Una medida ${displaystyle X}$ es una función que asigna un número real no negativo a subconjuntos de ${displaystyle X;}$ esto se puede pensar como hacer precisa una noción de "tamaño" o "volumen" para conjuntos. Queremos que el tamaño de la unión de conjuntos disjoint sea la suma de sus tamaños individuales, incluso para una secuencia infinita de conjuntos disjoint.

A uno le gustaría asignar un tamaño a cada uno subconjunto ${displaystyle X.$ pero en muchos entornos naturales, esto no es posible. Por ejemplo, el axioma de elección implica que cuando el tamaño que se examina es la noción ordinaria de longitud para subconjuntos de la línea real, entonces existen conjuntos para los cuales no existe el tamaño, por ejemplo, los conjuntos Vitali. Por esta razón, se considera una colección más pequeña de subconjuntos privilegiados de ${displaystyle X.}$ Estos subconjuntos serán llamados conjuntos mensurables. Están cerrados bajo operaciones que uno esperaría para conjuntos mensurables, es decir, el complemento de un conjunto mensurable es un conjunto mensurable y la unión contable de conjuntos mensurables es un conjunto mensurable. Las colecciones no vacías de conjuntos con estas propiedades se llaman σ-algebras.

Límites de conjuntos

Muchos usos de la medida, como el concepto de probabilidad de convergencia casi segura, implican límites de secuencias de conjuntos. Para ello es primordial el cierre bajo uniones contables e intersecciones. Los límites establecidos se definen de la siguiente manera en σ-álgebras.

• El límite supremum o límite exterior de una secuencia ${displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},ldots }$ of subsets of ${displaystyle X}$ es
  $${displaystyle limsup _{nto infty }A_{n}=bigcap ¿Qué? ¿Qué? }A_{m}=bigcap ¿Qué?. A_{n+1}cup cdots.}$$

  
  Se compone de todos los puntos ${displaystyle x}$ que son infinitamente muchos de estos conjuntos (o equivalentes, que son en cofinalmente muchos de ellos). Eso es, ${displaystyle xin limsup _{nto infty }A_{n}$ si y sólo si existe una subsecuencia infinita ${displaystyle A_{n_{1},A_{n_{2},ldots$ (donde) ${displaystyle No.$) de conjuntos que todos contienen ${displaystyle x;}$ es decir, tal ${displaystyle xin A_{n_{1}cap A_{n_{2}cap cdots.}$

• El límite de infimum o límite interior de una secuencia ${displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},ldots }$ of subsets of ${displaystyle X}$ es
  $${displaystyle liminf _{nto infty # A_{n}=bigcup ¿Qué? ¿Qué? # A_{m}=bigcup ¿Qué? A_{n+1}cap cdots.}$$

  
  Se compone de todos los puntos que están en todos pero finitamente muchos de estos conjuntos (o equivalentemente, que son eventualmente en todos ellos). Eso es, ${displaystyle xin liminf _{nto infty }A_{n}$ si existe un índice ${displaystyle Nin mathbb {N}$ tales que ${displaystyle A_{N},A_{N+1},ldots }$ todos contienen ${displaystyle x;}$ es decir, tal ${displaystyle xin A_{N}cap A_{N+1}cap cdots.}$

El límite interior siempre es un subconjunto del límite exterior:

$${displaystyle liminf _{nto infty }A_{n}subseteq ~limsup _{nto infty }A_{n}$$

${displaystyle lim _{nto infty }A_{n}$

$${displaystyle lim _{nto infty }A_{n}:=liminf _{nto infty }A_{n}=limsup _{nto infty }A_{n}$$

Sub-σ-álgebras

En gran parte de la probabilidad, especialmente cuando se trata de una expectativa condicional, uno se preocupa por los conjuntos que representan solo una parte de toda la información posible que se puede observar. Esta información parcial se puede caracterizar con una σ-álgebra más pequeña que es un subconjunto de la σ-álgebra principal; consiste en la colección de subconjuntos relevantes solo para y determinados solo por la información parcial. Un ejemplo sencillo basta para ilustrar esta idea.

Imagínese usted y otra persona están apostando en un juego que implica voltear una moneda repetidamente y observando si aparece Cabezas (${displaystyle H.$) o Tails (${displaystyle T}$). Ya que usted y su oponente son infinitamente ricos, no hay límite a cuánto tiempo puede durar el juego. Esto significa que el espacio muestral Ω debe consistir en todas las posibles secuencias infinitas de ${displaystyle H.$ o ${displaystyle T:}$

$${displaystyle Omega ={H,T} {infty }={1},x_{2},x_{3},dots:x_{i}in {H,T},igeq 1}$$

Sin embargo, después ${displaystyle n}$ volteretas de la moneda, es posible que desee determinar o revisar su estrategia de apuestas con antelación de la siguiente vuelta. La información observada en ese momento puede describirse en términos del 2ⁿ posibilidades para la primera ${displaystyle n}$ flips. Formalmente, ya que necesitas usar subconjuntos de Ω, esto es codificado como el álgebra σ

$${displaystyle {mathcal {}_{n}={Atimes ¿Qué?$$

Observa que entonces

$${displaystyle {Mathcal {}_{1}subseteq Subseteq Subseteq cdots subseteq {mathcal {G}_{infty }$$

${displaystyle {Mathcal {}_{infty}$

Definición y propiedades

Definición

Vamos ${displaystyle X}$ ser un poco, y dejar ${displaystyle P(X)}$ representan su sistema de poder. Entonces un subconjunto ${displaystyle Sigma subseteq P(X)}$ se llama σ- álgebra si satisface las siguientes tres propiedades:

1. ${displaystyle X}$ está dentro ${displaystyle Sigma}$ y ${displaystyle X}$ se considera el conjunto universal en el contexto siguiente.
2. ${displaystyle Sigma }$ es cerrados mediante complementosSi ${displaystyle A}$ está dentro ${displaystyle Sigma}$ entonces es su complemento, ${displaystyle Xsetminus A.}$
3. ${displaystyle Sigma }$ es cerrado bajo sindicatos contablesSi ${displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},ldots }$ están dentro ${displaystyle Sigma}$ entonces lo es ${displaystyle A=A_{1}cup A_{2}cup A_{3}cup cdots.}$

De estas propiedades, se deduce que el álgebra σ también se cierra bajo intersecciones contables (aplicando las leyes de De Morgan).

También sigue que el conjunto vacío ${displaystyle varnothing }$ está dentro ${displaystyle Sigma}$ desde 1) ${displaystyle X}$ está dentro ${displaystyle Sigma }$ y 2) afirma que su complemento, el conjunto vacío, también está en ${displaystyle Sigma.}$ Además, desde entonces ${displaystyle {X,varnothing }$ estado de satisfizo 3) así, sigue que ${displaystyle {X,varnothing }$ es el álgebra más pequeño posible ${displaystyle X.}$ El más grande posible σ-algebra en ${displaystyle X}$ es ${displaystyle wp (X).}$

Elementos de los σ- Álgebra se llaman conjuntos mensurables. Un par ordenado ${displaystyle (X,Sigma),}$ Donde ${displaystyle X}$ es un conjunto y ${displaystyle Sigma }$ es un σ- Álgebra sobre ${displaystyle X.$ se llama espacio mensurable. Una función entre dos espacios mensurables se llama una función mensurable si la preimage de cada conjunto mensurable es mensurable. La colección de espacios mensurables forma una categoría, con las funciones mensurables como morfismos. Las medidas se definen como ciertos tipos de funciones de un σ- álgebra ${displaystyle [0,infty ].$

Un álgebra σ es tanto un sistema π como un sistema Dynkin (sistema λ). Lo contrario también es cierto, según el teorema de Dynkin (abajo).

Teorema π-λ de Dynkin

Este teorema (o el teorema de clases monótonas relacionado) es una herramienta esencial para probar muchos resultados sobre propiedades de σ-álgebras específicas. Aprovecha la naturaleza de dos clases más simples de conjuntos, a saber, los siguientes.

• Un sistema π ${displaystyle P}$ es una colección de subconjuntos de ${displaystyle X}$ que está cerrado bajo finitamente muchas intersecciones, y
• Un sistema Dynkin (o λ-system) ${displaystyle D}$ es una colección de subconjuntos de ${displaystyle X}$ que contiene ${displaystyle X}$ y se cierra bajo el complemento y bajo sindicatos contables disjoint subconjuntos.

El teorema π-λ de Dynkin dice, si ${displaystyle P}$ es un sistema π y ${displaystyle D}$ es un sistema Dynkin que contiene ${displaystyle P,}$ entonces el álgebra σ ${displaystyle sigma (P)}$ generados por ${displaystyle P}$ figura en ${displaystyle D.}$ Puesto que ciertos sistemas de π son clases relativamente simples, puede que no sea difícil verificar que todos los conjuntos en ${displaystyle P}$ disfrutar de la propiedad que se examina mientras que, por otro lado, mostrar que la colección ${displaystyle D}$ de todos los subconjuntos con la propiedad es un sistema Dynkin también puede ser sencillo. Dynkin π-λ Theorem entonces implica que todo se establece ${displaystyle sigma (P)}$ disfrutar de la propiedad, evitando la tarea de comprobarla para un conjunto arbitrario ${displaystyle sigma (P).}$

Uno de los usos más fundamentales del teorema π-λ es mostrar equivalencia de medidas definidas por separado o integrales. Por ejemplo, se utiliza para equiparar una probabilidad para una variable aleatoria ${displaystyle X}$ con el Lebesgue-Stieltjes integral típicamente asociado con la computación de la probabilidad:

$${displaystyle mathbb {P} (Xin A)=int _{A},F(dx)}$$

${displaystyle A}$

${displaystyle mathbb {R}$

${displaystyle F(x)}$

${displaystyle X.$

${displaystyle mathbb {R}$

${displaystyle mathbb {P}$

${displaystyle Sigma }$

${displaystyle Omega.}$

Combinar σ-álgebras

Suppose ${displaystyle textstyle left{ Sigma _{alpha }:alpha in {mathcal {A}right}}$ es una colección de álgebras σ en un espacio ${displaystyle X.}$

Conocer

La intersección de una colección de σ-álgebras es una σ-álgebra. Para enfatizar su carácter como σ-álgebra, a menudo se denota por:

$${displaystyle bigwedge _{alpha in {Mathcal {A}}Sigma _{alpha }$$

Sketch of Proof: Vamos ${displaystyle Sigma ^{*}$ denota la intersección. Desde ${displaystyle X}$ está en cada ${displaystyle Sigma _{alpha },Sigma ^{*}$ no está vacío. Cerramiento bajo complemento y contables sindicatos para cada ${displaystyle Sigma _{alpha }}$ implica que lo mismo debe ser verdad ${displaystyle Sigma ^{*}.}$ Por lo tanto, ${displaystyle Sigma ^{*}$ es un álgebra σ.

Únete

La unión de una colección de σ-álgebras no es generalmente una σ-álgebra, ni siquiera un álgebra, pero genera una σ-álgebra conocida como la unión que normalmente se denota

$${displaystyle bigvee _{alpha in {mathcal {A}Sigma _{alpha }=sigma left(bigcup _{alpha in {mathcal {A}}Sigma _{alpha }right). }$$

$${displaystyle {Mathcal}=left{bigcap ¿Qué? Sigma _{alpha _{i},alpha _{i}in {mathcal {}}, ngeq 1right}$$

${displaystyle n=1,}$

${displaystyle ¿Qué?$

$${displaystyle bigcup _{alpha in {Mathcal {A}}Sigma _{alpha # Subseteq {mathcal {}}$$

$${displaystyle sigma left(bigcup _{alpha in {mathcal {}}Sigma _{alpha }right)subseteq sigma ({mathcal {P})}}}$$

$${displaystyle {mathcal {}subseteq sigma left(bigcup _{alpha in {mathcal {}}Sigma _{alpha }right)}}$$

$${displaystyle sigma ({mathcal {P})subseteq sigma left(bigcup _{alpha in {mathcal {}}Sigma _{alpha }right). }$$

Σ-álgebras para subespacios

Suppose ${displaystyle Sí.$ es un subconjunto de ${displaystyle X}$ y dejar ${displaystyle (X,Sigma)}$ ser un espacio mensurable.

• La colección ${displaystyle {Ycap B:Bin Sigma {}}$ es un álgebra de subconjuntos de ${displaystyle Sí.$
• Suppose ${displaystyle (Y,Lambda)}$ es un espacio mensurable. La colección ${displaystyle {Asubseteq X:Acap Yin Lambda {}}$ es un álgebra de subconjuntos de ${displaystyle X.}$

Relación con el anillo σ

A σ- álgebra ${displaystyle Sigma }$ es sólo un anillo σ que contiene el conjunto universal ${displaystyle X.}$ A σ- No es necesario. σ- álgebra, como por ejemplo subconjuntos mensurables de la medida de Lebesgue cero en la línea real son un σ-ring, pero no un σ- álgebra ya que la línea real tiene medida infinita y por lo tanto no puede ser obtenida por su unión contable. Si, en lugar de la medida cero, uno toma subconjuntos mensurables de la medida finita de Lebesgue, esos son un anillo pero no un σ-ring, ya que la línea real puede ser obtenida por su unión contable pero su medida no es finita.

Nota tipográfica

σ- a veces se denotan los álgebras usando letras mayúsculas caligráficas, o la tipografía Fraktur. Así ${displaystyle (X,Sigma)}$ puede ser denotado ${displaystyle scriptstyle (X,,{mathcal {F})}$ o ${displaystyle scriptstyle (X,,{mathfrak {F}). }$

Casos particulares y ejemplos

σ-álgebras separables

A separable ${displaystyle sigma }$- álgebra (o separable ${displaystyle sigma }$-field) es un ${displaystyle sigma }$- álgebra ${displaystyle {fnMithcal}}$ que es un espacio separable cuando se considera un espacio métrico ${displaystyle rho (A,B)=mu (A{mathbin {triangle }B)}$ para ${displaystyle A,Bin {fnMitcal}$ y una medida determinada ${displaystyle mu }$ (y con ${displaystyle triangle }$ ser el operador de diferencia simétrica). Note que cualquier ${displaystyle sigma }$- álgebra generada por una colección contable de conjuntos es separable, pero el contrario no necesita mantener. Por ejemplo, el Lebesgue ${displaystyle sigma }$- el álgebra es separable (ya que cada conjunto mensurable Lebesgue es equivalente a algún conjunto Borel) pero no se genera contablemente (ya que su cardinalidad es mayor que el continuo).

Un espacio de medida separable tiene una pseudometría natural que lo hace separable como un espacio pseudométrico. La distancia entre dos conjuntos se define como la medida de la diferencia simétrica de los dos conjuntos. Tenga en cuenta que la diferencia simétrica de dos conjuntos distintos puede tener una medida cero; por lo tanto, la pseudométrica definida anteriormente no necesita ser una métrica verdadera. Sin embargo, si los conjuntos cuya diferencia simétrica tiene medida cero se identifican en una sola clase de equivalencia, el conjunto de cocientes resultante puede ser adecuadamente metrizado por la métrica inducida. Si el espacio de medida es separable, se puede demostrar que el espacio métrico correspondiente también lo es.

Ejemplos simples basados en conjuntos

Vamos ${displaystyle X}$ Sea cualquier juego.

• La familia consiste sólo en el conjunto vacío y el conjunto ${displaystyle X.$ llamado el mínimo o trivial σ-algebra sobre ${displaystyle X.}$
• El conjunto de poder ${displaystyle X.$ llamado discreta σ-algebra.
• La colección ${displaystyle {varnothingA,Xsetminus A,X}}$ es un simple álgebra σ generado por el subconjunto ${displaystyle A.}$
• La colección de subconjuntos ${displaystyle X}$ que son contables o cuyos complementos son contables es un álgebra σ (que es diferente del conjunto de poder de ${displaystyle X}$ si ${displaystyle X}$ es incontable). Este es el álgebra σ generado por los singletons de ${displaystyle X.}$ Nota: "contable" incluye finito o vacío.
• La colección de todos los sindicatos de conjuntos en una partición contable ${displaystyle X}$ es un álgebra σ.

Detener el tiempo sigma-álgebras

Un tiempo de parada ${displaystyle tau }$ puede definir un ${displaystyle sigma }$- álgebra ${fnMicrosoft Sans Serif}$ el llamado sigma-algebra de tiempo de parada, que en un espacio de probabilidad filtrado describe la información hasta el tiempo aleatorio ${displaystyle tau }$ en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede encontrar sobre el experimento de repetirlo arbitrariamente a menudo hasta el momento ${displaystyle tau }$ es ${displaystyle {fnh} {fnh} {fnh00} {fnh} {fnh}} {tau}} }$

Σ-álgebras generadas por familias de conjuntos

Σ-álgebra generada por una familia arbitraria

Vamos ${displaystyle F}$ ser una familia arbitraria de subconjuntos ${displaystyle X.}$ Entonces existe una pequeña y única álgebra σ que contiene cada conjunto en ${displaystyle F}$ (aunque ${displaystyle F}$ puede o no puede ser un álgebra σ-). Es, de hecho, la intersección de todos los álgebras σ que contienen ${displaystyle F.}$ (Ver intersecciones de σ-algebras arriba.) Este álgebra σ está denotado ${displaystyle sigma (F)}$ y se llama el álgebra generado por ${displaystyle F.}$

Si ${displaystyle F}$ está vacío, entonces ${displaystyle sigma (varnothing)={varnothingX}$ De lo contrario ${displaystyle sigma (F)}$ consta de todos los subconjuntos de ${displaystyle X}$ que pueden hacerse de elementos ${displaystyle F}$ por un número contable de operaciones de complemento, unión e intersección.

Para un ejemplo simple, considere el conjunto ${displaystyle X={1,2,3}$ Luego el álgebra σ generado por el subconjunto único ${displaystyle {1}}$ es ${displaystyle sigma ({1})={varnothing{1},{2,3},{1,2,3}}}$ Por un abuso de notación, cuando una colección de subconjuntos contiene sólo un elemento, ${displaystyle A,}$ ${displaystyle sigma (A)}$ puede ser escrito en lugar de ${displaystyle sigma ({A});}$ en el ejemplo anterior ${displaystyle sigma ({1})}$ en lugar de ${displaystyle sigma ({1}}}$ De hecho, utilizando ${displaystyle sigma left(A_{1},A_{2},ldots right)}$ significar ${displaystyle sigma left(left{A_{1},A_{2},ldots right}right)}$ también es bastante común.

Hay muchas familias de subconjuntos que generan σ-álgebras útiles. Algunos de estos se presentan aquí.

Σ-álgebra generada por una función

Si ${displaystyle f}$ es una función de un conjunto ${displaystyle X}$ a un conjunto ${displaystyle Sí.$ y ${displaystyle B}$ es un ${displaystyle sigma }$- álgebra de subconjuntos ${displaystyle Sí.$ entonces el ${displaystyle sigma }$- álgebra generada por la función ${displaystyle f,}$ denotado por ${displaystyle sigma (f),}$ es la colección de todas las imágenes inversas ${displaystyle f^{-1}(S)}$ de los conjuntos ${displaystyle S.$ dentro ${displaystyle B.}$ Eso es,

$${displaystyle sigma (f)=left{-1}(S):,Sin Bright}.$$

Una función ${displaystyle f}$ de un conjunto ${displaystyle X}$ a un conjunto ${displaystyle Sí.$ es mensurable con respecto a un álgebra σ ${displaystyle Sigma }$ of subsets of ${displaystyle X}$ si ${displaystyle sigma (f)}$ es un subconjunto de ${displaystyle Sigma.}$

Una situación común y comprendida por defecto ${displaystyle B}$ no se especifica explícitamente, es cuando ${displaystyle Sí.$ es un espacio métrico o topológico y ${displaystyle B}$ es la colección de Borel conjuntos en ${displaystyle Sí.$

Si ${displaystyle f}$ es una función ${displaystyle X}$ a ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ entonces ${displaystyle sigma (f)}$ es generada por la familia de subconjuntos que son imágenes inversas de intervalos/rectángulos en ${displaystyle mathbb {R}$

$${displaystyle sigma (f)=sigma left(left{-1}(left[a_{1},b_{1}right)times cdots times left[a_{n},b_{n}right]):a_{i},b_{i}in mathbb {R} right}right). }$$

Una propiedad útil es la siguiente. Assume ${displaystyle f}$ es un mapa mensurable desde ${displaystyle left(X,Sigma _{X}right)}$ a ${displaystyle left(S,Sigma _{S}right)}$ y ${displaystyle g}$ es un mapa mensurable desde ${displaystyle left(X,Sigma _{X}right)}$ a ${displaystyle left(T,Sigma _{T}right). }$ Si existe un mapa mensurable ${displaystyle h}$ desde ${displaystyle left(T,Sigma _{T}right)}$ a ${displaystyle left(S,Sigma _{S}right)}$ tales que ${displaystyle f(x)=h(g(x)}$ para todos ${displaystyle x,}$ entonces ${displaystyle sigma (f)subseteq sigma (g).}$ Si ${displaystyle S.$ es finito o contablemente infinito o, más generalmente, ${displaystyle left(S,Sigma _{S}right)}$ es un espacio Borel estándar (por ejemplo, un espacio métrico completo separable con sus conjuntos Borel asociados), entonces el converso también es cierto. Ejemplos de espacios estándar Borel incluyen ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ con sus conjuntos de Borel y ${displaystyle mathbb {R} {infty}$ con el cilindro σ-álgebra descrito a continuación.

σ-álgebras de Borel y Lebesgue

Un ejemplo importante es el álgebra de Borel sobre cualquier espacio topológico: el álgebra σ generada por los conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, por los conjuntos cerrados). Tenga en cuenta que esta σ-álgebra no es, en general, todo el conjunto de potencias. Para ver un ejemplo no trivial que no es un conjunto Borel, consulte el conjunto Vitali o conjuntos no Borel.

En el espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R} ^{n}$ otro álgebra σ es de importancia: el de todos los conjuntos mensurables Lebesgue. Este álgebra σ contiene más conjuntos que el Borel σ-algebra en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ y se prefiere en la teoría de la integración, ya que da un espacio de medida completo.

Producto σ-álgebra

Vamos ${displaystyle left(X_{1},Sigma _{1}right)}$ y ${displaystyle left(X_{2},Sigma _{2}right)}$ sean dos espacios mensurables. El álgebra σ para el espacio del producto correspondiente ${displaystyle X_{1}times X_{2}$ se llama producto σ-algebra y se define por

$${displaystyle Sigma _{1}times Sigma _{2}=sigma left(left{B_{1}times B_{2}:B_{1}in Sigma _{1},B_{2}in Sigma _{2}right}right). }$$

Observe que ${displaystyle {B_{1}times B_{2}:B_{1}in Sigma _{1},B_{2}in Sigma ¿Qué?$ es un sistema π.

El Borel σ-algebra para ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ se genera por rectángulos medio infinitos y por rectángulos finitos. Por ejemplo,

$${displaystyle {mathcal {B}(mathbb {R} ^{n}=sigma left(left{(-inftyb_{1})times cdots times (-inftyb_{n}]:b_{i}in mathbb {R} rightright)=sigma left(left{left(a_{1},b_{1}right]times cdots times left(a_{n},b_{n}right]:a_{i},b_{i}in mathbb {R} right}right). }$$

Para cada uno de estos dos ejemplos, la familia generadora es un sistema π.

Σ-álgebra generada por conjuntos de cilindros

Supongamos

$${displaystyle Xsubseteq mathbb {R} ^{mathbb {T}={f:f(t)in mathbb {R} tin mathbb {T}}$$

es un conjunto de funciones de valor real. Vamos ${displaystyle {mathcal {B}(mathbb {R})}$ denota los subconjuntos de Borel ${displaystyle mathbb {R}$ Un subconjunto de cilindros ${displaystyle X}$ es un conjunto finitomente restringido definido como

$${displaystyle C_{t_{1},dotst_{n}(B_{1},dotsB_{n}=left{fin X:f(t_{i})in B_{i},1leq ileq nright}}$$

Cada uno

$${displaystyle left{t_{1},dotst_{n}left(B_{1},dotsB_{n}right):B_{i}in {mathcal {B}(mathbb {R}),1leq ileq nright}}}$$

${displaystyle textstyle Sigma ¿Qué?$

$${displaystyle {máthcal {}_{X}=bigcup ¿Qué? - ¿Por qué? ¿Qué?$$

${displaystyle X.}$

${displaystyle mathbb {R} {T}$

${displaystyle X.}$

Un caso especial importante es cuando ${displaystyle mathbb {T}$ es el conjunto de números naturales y ${displaystyle X}$ es un conjunto de secuencias de valor real. En este caso, basta considerar los conjuntos de cilindros

$${displaystyle C_{n}left(B_{1},dotsB_{n}right)=left(B_{1}times cdots times B_{n}times mathbb {R} ^{infty }right)cap X=left{left(x_{1},x_{2},ldotsx_{n},x_{n+1},ldots right)in X:x_{i}in B_{i},1leq ileq nright},}$$

$${displaystyle Sigma _{n}=sigma left({C_{n}left(B_{1},dotsB_{n}right):B_{i}in {mathcal {B}(mathbb {R}),1leq ileq n}right)}$$

Σ-álgebra generada por variable aleatoria o vector

Suppose ${displaystyle (OmegaSigmamathbb {P})}$ es un espacio de probabilidad. Si ${displaystyle textstyle Y:$ es mensurable con respecto al Borel σ-algebra en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ entonces ${displaystyle Sí.$ se llama variable aleatoria ()${displaystyle n=1}$) o vector aleatorio ()${displaystyle n confía1}$). El álgebra σ generado por ${displaystyle Sí.$ es

$${displaystyle sigma (Y)=left{Y^{-1}(A):Ain {mathcal {B}left(mathbb {R}n}right)right}$$

Σ-álgebra generada por un proceso estocástico

Suppose ${displaystyle (OmegaSigmamathbb {P})}$ es un espacio de probabilidad y ${displaystyle mathbb {R} {T}$ es el conjunto de funciones de valor real sobre ${displaystyle mathbb {T}$ Si ${displaystyle textstyle Y:Omega to Xsubseteq mathbb {R}$ es mensurable con respecto al cilindro σ-algebra ${displaystyle sigma left({mathcal {F}_{X}right)}$ (véase supra) ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle Sí.$ se llama proceso estocástico o proceso aleatorio. El álgebra σ generado por ${displaystyle Sí.$ es

$${displaystyle sigma (Y)=left{Y^{-1}(A):Ain sigma left({mathcal {F}}_{X}right)sigma left(left{-1}(A):Ain {mathcal {f}_{X}derecho}derecho}derech}$$