Absoluto Infinito

O Infinito Absoluto (símbolo: Ω) é uma extensão da ideia de infinito proposta pelo matemático Georg Cantor.

Pode ser pensado como um número maior do que qualquer outra quantidade concebível ou inconcebível, finita ou transfinita.

Cantor ligava o Absoluto Infinito a Deus e acreditava que ele tinha várias propriedades matemáticas, incluindo o princípio da reflexão: cada propriedade do Absoluto Infinito também é mantida por algum objeto menor.

Visão do cantor

Cantor disse:

O infinito real foi distinguido por três relações: primeiro, como é realizado na perfeição suprema, na existência completamente independente, extra mundana, em Deo, onde eu chamo-lhe absoluto infinito ou simplesmente absoluto; segundo na medida em que ele é representado no mundo dependente, creatural; terceiro como pode ser concebido em abstracto no pensamento como uma magnitude matemática, número ou tipo de ordem. Nos últimos dois relacionamentos, onde obviamente se revela como limitado e capaz para proliferação adicional e, portanto, familiar ao finito, eu chamo-lhe Transfinito e fortemente contrastá-lo com o absoluto.

Cantor também mencionou a ideia em suas cartas a Richard Dedekind (texto entre colchetes não presente no original):

Uma multiplicidade [ele parece significar o que agora chamamos de um conjunto] é chamada bem ordenada se cumprir a condição de que cada submultiplicidade tem um primeiro elemento; tal multiplicidade eu chamo para curto uma "sequência".
...
Agora eu encaro o sistema de todos os números [ordinal] e denote-o Ω.
...
O sistema Ω em sua ordenação natural de acordo com a magnitude é uma "sequência".
Agora vamos juntar-nos 0 como um elemento adicional para esta sequência, e colocá-lo, obviamente, na primeira posição; então obtemos uma sequência Ω?:
0, 1, 2, 3,... ω₀, ω₀+1,..., γ,...
de que se pode facilmente convencer-se de que cada número γ que ocorre nele é o tipo [i.e., tipo de ordem] da sequência de todos os seus elementos anteriores (incluindo 0). (A sequência Ω tem esta propriedade primeiro para ω₀+1.₀+1 deve ser ω₀.])

Agora! Ω? (e, portanto, Ω) não pode ser uma multiplicidade consistente. Por favor. Ω? foram consistentes, então como um conjunto bem ordenado, um número δ corresponderia a ele que seria maior do que todos os números do sistema Ω; o número δ, no entanto, também pertence ao sistema Ω, porque compreende todos os números. Assim δ seria maior do que δ, que é uma contradição. Portanto:

O sistema Ω de todos os números [ordinal] é uma multiplicidade inconsistente, absolutamente infinita.

O paradoxo Burali-Forti

A ideia de que a coleção de todos os números ordinais não pode existir logicamente parece paradoxal para muitos. Isso está relacionado ao "paradoxo" de Cesare Burali-Forti; que afirma que não pode haver maior número ordinal. Todos esses problemas podem ser rastreados até a ideia de que, para cada propriedade que pode ser logicamente definida, existe um conjunto de todos os objetos que possuem essa propriedade. No entanto, como no argumento de Cantor (acima), essa ideia leva a dificuldades.

De forma mais geral, como observado por A. W. Moore, não pode haver fim para o processo de formação de conjuntos e, portanto, não existe algo como a totalidade de todos os conjuntos ou a hierarquia de conjuntos . Qualquer totalidade desse tipo teria que ser um conjunto, situando-se assim em algum lugar dentro da hierarquia e, portanto, falhando em conter todos os conjuntos.

Uma solução padrão para este problema é encontrada na teoria dos conjuntos de Zermelo, que não permite a formação irrestrita de conjuntos a partir de propriedades arbitrárias. Em vez disso, podemos formar o conjunto de todos os objetos que têm uma determinada propriedade e pertencem a algum conjunto (Axioma da Separação de Zermelo). Isso permite a formação de conjuntos baseados em propriedades, em um sentido limitado, enquanto (espero) preserva a consistência da teoria.

Embora isso resolva o problema lógico, pode-se argumentar que o problema filosófico permanece. Parece natural que deva existir um conjunto de indivíduos, desde que os indivíduos existam. De fato, pode-se dizer que a teoria ingênua dos conjuntos se baseia nessa noção. Embora a correção de Zermelo permita que uma classe descreva entidades arbitrárias (possivelmente "grandes"), esses predicados da metalinguagem podem não ter existência formal (ou seja, como um conjunto) dentro da teoria. Por exemplo, a classe de todos os conjuntos seria uma classe adequada. Isso é filosoficamente insatisfatório para alguns e motivou trabalhos adicionais na teoria dos conjuntos e outros métodos de formalização dos fundamentos da matemática, como New Foundations de Willard Van Orman Quine.