Velocidade de fase

Dispersão de frequência em grupos de ondas de gravidade na superfície da água profunda. O ■ movimentos quadrados vermelhos com a velocidade de fase, e o ● círculos verdes se propagam com a velocidade do grupo. Neste caso de águas profundas, a velocidade da fase é duas vezes a velocidade do grupo. O quadrado vermelho supera dois círculos verdes ao mover-se da esquerda para a direita da figura.

Novas ondas parecem emergir na parte de trás de um grupo de ondas, crescer em amplitude até que estejam no centro do grupo, e desaparecer na frente do grupo de ondas.

Para ondas de gravidade superficial, as velocidades de partículas de água são muito menores do que a velocidade de fase, na maioria dos casos.

Propagação de um pacote de onda demonstrando uma velocidade de fase maior do que a velocidade do grupo sem dispersão.

Isso mostra uma onda com a velocidade do grupo e velocidade de fase indo em direções diferentes. A velocidade do grupo é positiva, enquanto a velocidade da fase é negativa.

A velocidade de fase de uma onda é a taxa na qual a onda se propaga em qualquer meio. Esta é a velocidade na qual a fase de qualquer componente de frequência da onda viaja. Para tal componente, qualquer fase da onda (por exemplo, a crista) parecerá viajar na velocidade de fase. A velocidade de fase é dada em termos de comprimento de onda λ (lambda) e período de tempo T como

vp= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =λ λ T.- Não. O que é isso? }{T}}.}

Equivalentemente, em termos de frequência angular da onda ω, que especifica a mudança angular por unidade de tempo, e número de onda (ou número de onda angular) k, que representam a mudança angular por unidade de espaço,

vp= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω k.- Não. O que é isso? Sim.

Para obter alguma intuição básica para esta equação, consideramos uma onda de propagação (cosseno) A cos(kx − ωt). Queremos ver a velocidade com que uma determinada fase da onda viaja. Por exemplo, podemos escolher kx - ωt = 0, a fase da primeira crista. Isso implica kx = ωt e, portanto, v = x / t = ω / k.

Formalmente, deixamos a fase φ = kx - ωt e vemos imediatamente que ω = -dφ / dt e k = dφ / dx. Assim, segue-se imediatamente que

∂ ∂ x∂ ∂ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. ∂ ∂ φ φ ∂ ∂ )∂ ∂ x∂ ∂ φ φ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω k.{displaystyle {displaystyle {paral x}{partial t}}=-{frac {partial phi }{partial t}}{frac {partial x}{partial phi - Sim. Não. Sim.

Como resultado, observamos uma relação inversa entre a frequência angular e o vetor de onda. Se a onda tiver oscilações de frequência mais alta, o comprimento de onda deve ser encurtado para que a velocidade de fase permaneça constante. Além disso, a velocidade de fase da radiação eletromagnética pode – sob certas circunstâncias (por exemplo, dispersão anômala) – exceder a velocidade da luz no vácuo, mas isso não indica nenhuma informação superluminal ou transferência de energia. Foi descrito teoricamente por físicos como Arnold Sommerfeld e Léon Brillouin.

A definição anterior de velocidade de fase foi demonstrada para uma onda isolada. No entanto, tal definição pode ser estendida a uma batida de ondas ou a um sinal composto por múltiplas ondas. Para isso é necessário escrever matematicamente a batida ou sinal como um envelope de baixa frequência multiplicando uma portadora. Assim, a velocidade de fase da portadora determina a velocidade de fase do conjunto de ondas.

Velocidade do grupo

Uma superposição de ondas planas de 1D (azul) cada uma viajando a uma velocidade de fase diferente (traçada por pontos azuis) resulta em um pacote de onda gaussiano (vermelho) que se propaga na velocidade do grupo (traçada pela linha vermelha).

A velocidade de grupo de uma coleção de ondas é definida como

vg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ ω ω ∂ ∂ k.{displaystyle v_{g}={frac {partial omega }{partial k}}.

Quando múltiplas ondas senoidais estão se propagando juntas, a superposição resultante das ondas pode resultar em um "envelope" onda, bem como um "transportador" onda que está dentro do envelope. Isso geralmente aparece na comunicação sem fio quando a modulação (uma mudança na amplitude e/ou fase) é empregada para enviar dados. Para obter alguma intuição para essa definição, consideramos uma superposição de ondas (cosseno) f(x, t) com seus respectivos ângulos frequências e vetores de onda.

f(x,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e⁡ ⁡ (k1x- Sim. - Sim. ω ω 1))+e⁡ ⁡ (k2x- Sim. - Sim. ω ω 2))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2e⁡ ⁡ ((k2- Sim. - Sim. k1)x- Sim. - Sim. (ω ω 2- Sim. - Sim. ω ω 1))2)e⁡ ⁡ ((k2+k1)x- Sim. - Sim. (ω ω 2+ω ω 1))2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2f1(x,))f2(x,)).{displaystyle {begin{aligned}f(x,t)&=cos(k_{1}x-omega _{1}t)+cos(k_{2}x-omega _{2}t)&=2cos left({frac {(k_{2}-k_{1})x-(omega _{2}-omega _{1})t}{2}}right)cos left({frac {(k_{2}+k_{1})x-(omega _{2}+omega _{1})t}{2}}right)&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).end{aligned}}}

Então, temos o produto de duas ondas: uma onda envelope formada por f₁ e uma onda portadora formado por f₂ . Chamamos a velocidade da onda envolvente de velocidade de grupo. Vemos que a velocidade de fase de f₁ é

ω ω 2- Sim. - Sim. ω ω 1k2- Sim. - Sim. k1.- Não. _{2}-omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}}.}

No caso diferencial contínuo, isso se torna a definição da velocidade do grupo.

Índice de refração

No contexto de eletromagnetismo e óptica, a frequência é uma função ω(k) do número de onda, portanto, em geral, a velocidade de fase e a velocidade de grupo dependem do meio e da frequência específicos. A relação entre a velocidade da luz c e a velocidade de fase v_p é conhecida como índice de refração, n = c / v_p = ck / ω.

Dessa forma, podemos obter outra forma para velocidade de grupo para eletromagnetismo. Escrevendo n = n(ω), uma maneira rápida de derivar esta forma é observar

k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1cω ω n(ω ω )? ? Dk= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1c(n(ω ω )+ω ω ∂ ∂ ∂ ∂ ω ω n(ω ω ))Dω ω .{displaystyle k={frac {1}{c}}omega n(omega)implies dk={frac {1}{c}}left(n(omega)+omega {frac {partial }{partial omega }}n(omega)right)domega.}

Podemos então reorganizar o acima para obter

vg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ O quê?∂ ∂ k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =cn+ω ω ∂ ∂ n∂ ∂ ω ω .{displaystyle v_{g}={frac {partial w}{partial k) = (c){n+omega {frac} n {displaystyle omega] Sim.

A partir desta fórmula, vemos que a velocidade do grupo é igual à velocidade de fase somente quando o índice de refração é independente da frequência ∂ ∂ n/∂ ∂ ω ω = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{textstyle partial n/partial omega - Sim.. Quando isso ocorre, o meio é chamado não-dispersivo, em oposição à dispersão, onde várias propriedades do meio dependem da frequência ω. A relação ω ω (k)(k)} é conhecido como a relação de dispersão do meio.