Valor esperado

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Valor médio de uma variável aleatória

Na teoria da probabilidade, o valor esperado (também chamado de expectativa, expectativa, expectativa matemática, média, média ou primeiro momento) é uma generalização da média ponderada. Informalmente, o valor esperado é a média aritmética de um grande número de resultados selecionados independentemente de uma variável aleatória.

O valor esperado de uma variável aleatória com um número finito de resultados é uma média ponderada de todos os resultados possíveis. No caso de um continuum de resultados possíveis, a expectativa é definida pela integração. Na fundamentação axiomática da probabilidade fornecida pela teoria da medida, a expectativa é dada pela integração de Lebesgue.

O valor esperado de uma variável aleatória $X$ é muitas vezes denotado por $E X)$ , $E... X]$ ou $E X$ , com $E$ também muitas vezes estilizado como $E$ ou ${displaystyle mathbb {E}.}$

História

A ideia do valor esperado surgiu em meados do século XVII a partir do estudo do chamado problema dos pontos, que procura dividir as apostas de forma justa entre dois jogadores, que precisam terminar o jogo antes que ele seja devidamente concluído. Este problema foi debatido durante séculos. Muitas propostas e soluções conflitantes foram sugeridas ao longo dos anos, quando foi apresentado a Blaise Pascal pelo escritor francês e matemático amador Chevalier de Méré em 1654. Méré afirmou que esse problema não poderia ser resolvido e que mostrava como a matemática era falha. foi quando se tratou de sua aplicação ao mundo real. Pascal, sendo um matemático, foi provocado e determinado a resolver o problema de uma vez por todas.

Ele começou a discutir o problema na famosa série de cartas a Pierre de Fermat. Logo, ambos independentemente chegaram a uma solução. Eles resolveram o problema de diferentes maneiras computacionais, mas seus resultados foram idênticos porque seus cálculos foram baseados no mesmo princípio fundamental. O princípio é que o valor de um ganho futuro deve ser diretamente proporcional à chance de obtê-lo. Este princípio parecia ter vindo naturalmente para ambos. Eles ficaram muito satisfeitos com o fato de terem encontrado essencialmente a mesma solução, e isso, por sua vez, os deixou absolutamente convencidos de que haviam resolvido o problema de forma conclusiva; no entanto, eles não publicaram suas descobertas. Eles apenas informaram um pequeno círculo de amigos científicos em Paris sobre isso.

Nas palavras do matemático holandês Christiaan Huygens' livro, ele considerou o problema dos pontos e apresentou uma solução baseada no mesmo princípio das soluções de Pascal e Fermat. Huygens publicou seu tratado em 1657, (ver Huygens (1657)) "De ratiociniis in ludo aleæ" na teoria da probabilidade logo após visitar Paris. O livro ampliou o conceito de expectativa adicionando regras de como calcular as expectativas em situações mais complicadas do que o problema original (por exemplo, para três ou mais jogadores), e pode ser visto como a primeira tentativa bem-sucedida de estabelecer os fundamentos da teoria. de probabilidade.

No prefácio de seu tratado, Huygens escreveu:

Deve-se dizer, também, que por algum tempo alguns dos melhores matemáticos da França se ocuparam com este tipo de cálculo para que ninguém me atribua a honra da primeira invenção. Isto não me pertence. Mas esses selvagens, embora eles colocam uns aos outros no teste, propondo a uns aos outros muitas perguntas difíceis de resolver, esconderam seus métodos. Tive, portanto, de examinar e ir profundamente para mim mesmo neste assunto, começando com os elementos, e é impossível para mim, por isso, afirmar que eu mesmo comecei do mesmo princípio. Mas finalmente descobri que minhas respostas em muitos casos não diferem deles.
—Edwards (2002)

Durante sua visita à França em 1655, Huygens aprendeu sobre o Problema de Méré. De sua correspondência com Carcavine um ano depois (em 1656), ele percebeu que seu método era essencialmente o mesmo de Pascal. Portanto, ele sabia sobre a prioridade de Pascal neste assunto antes de seu livro ser impresso em 1657.

Em meados do século XIX, Pafnuty Chebyshev se tornou a primeira pessoa a pensar sistematicamente em termos de expectativas de variáveis aleatórias.

Etimologia

Nem Pascal nem Huygens usaram o termo "expectativa" em seu sentido moderno. Em particular, Huygens escreve:

Que qualquer Chance ou Expectativa para ganhar qualquer coisa vale apenas uma Soma, como você adquiriria na mesma Chance e Expectação em um Lay justo... Se eu esperar um ou b, e tiver uma chance igual de obtê-los, minha Expectação vale (a+b)/2.

Mais de cem anos depois, em 1814, Pierre-Simon Laplace publicou seu tratado "Théorie analytique des probabilités", onde o conceito de valor esperado foi definido explicitamente:

... esta vantagem na teoria do acaso é o produto da soma esperada pela probabilidade de obtê-la; é a soma parcial que deve resultar quando não desejamos correr os riscos do evento, supondo que a divisão é feita proporcional às probabilidades. Esta divisão é a única equitativa quando todas as circunstâncias estranhas são eliminadas; porque um grau igual de probabilidade dá um direito igual para a soma esperada. Vamos chamar essa vantagem esperança matemática.

Anotações

O uso da letra $E$ para denotar o valor esperado remonta a W. A. Whitworth em 1901. O símbolo tornou-se popular desde então para os escritores ingleses. Em alemão, $E$ significa "Erwartungswert", em espanhol para "Esperanza matemática" e em francês para "Espérance mathématique& #34;.

Quando "E" é usado para denotar o valor esperado, os autores usam uma variedade de estilização: o operador de expectativa pode ser estilizado como $E$ (direita), $E$ (itálico) ou $mathbb {E}$ (em blackboard bold), enquanto uma variedade de notações de suporte (como $E X)$ , $E... X]$ e $E X$ ) são todos usados.

Outra notação popular é $μ X$ , Considerando que $⟨ X)$ , $⟨ X) av$ e ${overline {X}}$ são comumente usados em física, e $M. X)$ na literatura em língua russa.

Definição

Conforme discutido acima, existem várias maneiras dependentes do contexto de definir o valor esperado. A definição mais simples e original lida com o caso de um número finito de resultados possíveis, como no lançamento de uma moeda. Com a teoria das séries infinitas, isso pode ser estendido para o caso de muitos resultados possíveis contáveis. Também é muito comum considerar o caso distinto de variáveis aleatórias ditadas por funções de densidade de probabilidade (por partes) contínuas, pois elas surgem em muitos contextos naturais. Todas essas definições específicas podem ser vistas como casos especiais da definição geral baseada nas ferramentas matemáticas da teoria da medida e da integração de Lebesgue, que fornecem a esses diferentes contextos uma base axiomática e uma linguagem comum.

Qualquer definição de valor esperado pode ser estendida para definir um valor esperado de uma variável aleatória multidimensional, ou seja, um vetor aleatório $X$ . É definido componente por componente, como $E[X] i = E[X i]$ . Da mesma forma, pode-se definir o valor esperado de uma matriz aleatória $X$ com componentes $X ij$ por $E[X] ij = E[X ij]$ .

Variáveis aleatórias com muitos resultados finitos

Considere uma variável aleatória $X$ com uma lista finita $x 1,..., x k$ de possíveis resultados, cada um dos quais (respectivamente) tem probabilidade $p 1,..., p k$ de ocorrência. A expectativa de $X$ é definida como

{displaystyle operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+cdots +x_{k}p_{k}.}

Como as probabilidades devem satisfazer $p 1 + \cdot\cdot\cdot + p k = 1$ , é natural interpretar $E[X]$ como uma média ponderada de os valores $x i$ , com pesos dados por suas probabilidades $p i$ .

No caso especial em que todos os resultados possíveis são equiprováveis (ou seja, $p 1 = \cdot\cdot\cdot = p k$ ), a média ponderada é dada pela média padrão. No caso geral, o valor esperado leva em consideração o fato de que alguns resultados são mais prováveis do que outros.

Uma ilustração da convergência das médias de sequência de rolos de uma matriz para o valor esperado de 3,5 como o número de rolos (trials) cresce.

Exemplos

Vamos. $X$ representar o resultado de um rolo de um justo seis lados morrer. Mais especificamente, $X$ será o número de pips mostrando na face superior da morte após o lançamento. Os valores possíveis para $X$ são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, todos os quais são igualmente prováveis com uma probabilidade de 1/6. A expectativa de $X$ o

{displaystyle operatorname {E} [X]=1cdot {frac {1}{6}}+2cdot {frac {1}{6}}+3cdot {frac {1}{6}}+4cdot {frac {1}{6}}+5cdot {frac {1}{6}}+6cdot {frac {1}{6}}=3.5.}

Se um rolo a morrer

n

vezes e computa a média (média aritmética) dos resultados, então como

n

cresce, a média quase certamente vai convergir para o valor esperado, um fato conhecido como a lei forte de grandes números.

O jogo de roleta consiste em uma pequena bola e uma roda com 38 bolsos numerados ao redor da borda. Como a roda é girada, a bola salta ao redor aleatoriamente até que se instala em um dos bolsos. Suponha que variável aleatória $X$ representa o desfecho (monetário) de uma aposta de $1 em um único número ("aposta inicial"). Se a aposta ganhar (o que acontece com probabilidade 1/38 na roleta americana), o payoff é $35; caso contrário, o jogador perde a aposta. O lucro esperado de tal aposta será

{displaystyle operatorname {E} [,{text{gain from }}$1{text{ bet}},]=-$1cdot {frac {37}{38}}+$35cdot {frac {1}{38}}=-${frac {1}{19}}.}

Ou seja, o valor esperado a ser ganho a partir de uma aposta de $1 é de −$119. Assim, em 190 apostas, a perda líquida provavelmente será de cerca de $10.

Variáveis aleatórias com muitos resultados contáveis

Informalmente, a expectativa de uma variável aleatória com um conjunto contável de resultados possíveis é definida analogamente como a média ponderada de todos os resultados possíveis, onde os pesos são dados pelas probabilidades de realização de cada valor dado. Isso é para dizer que

operatorname {E} [X]=sum _{i=1}^{infty }x_{i},p_{i},

onde $x 1, x 2,...$ são os possíveis resultados da variável aleatória $X$ e $p 1, p 2,...$ são suas probabilidades correspondentes. Em muitos livros didáticos não matemáticos, isso é apresentado como a definição completa dos valores esperados nesse contexto.

No entanto, existem algumas sutilezas com soma infinita, então a fórmula acima não é adequada como uma definição matemática. Em particular, o teorema da série de Riemann da análise matemática ilustra que o valor de certas somas infinitas envolvendo somas positivas e negativas depende da ordem em que as somas são dadas. Como os resultados de uma variável aleatória não têm uma ordem dada naturalmente, isso cria uma dificuldade em definir o valor esperado com precisão.

Por esta razão, muitos livros de matemática consideram apenas o caso em que a soma infinita dada acima converge absolutamente, o que implica que a soma infinita é um número finito independente da ordem dos somandos. No caso alternativo em que a soma infinita não converge absolutamente, diz-se que a variável aleatória não tem expectativa finita.

Exemplos

Suponha ${displaystyle x_{i}=i}$ e ${displaystyle p_{i}={tfrac {c}{i2^{i}}}}$ para ${displaystyle i=1,2,3,ldots}$ Onde? ${displaystyle c={tfrac {1}{ln 2}}}$ é o fator escalonador que faz com que as probabilidades somam para 1. Então, usando a definição direta para variáveis aleatórias não negativas, temos ${displaystyle operatorname {E} [X],=sum _{i}x_{i}p_{i}=1({tfrac {c}{2}})+2({tfrac {c}{8}})+3({tfrac {c}{24}})+cdots ,=,{tfrac {c}{2}}+{tfrac {c}{4}}+{tfrac {c}{8}}+cdots ,=,c,=,{tfrac {1}{ln 2}}.}$

Variáveis aleatórias com densidade

Agora considere uma variável aleatória $X$ que tem uma função de densidade de probabilidade dada por uma função $f$ na reta numérica real. Isso significa que a probabilidade de $X$ assumir um valor em qualquer intervalo aberto é dada pela integral de $f$ nesse intervalo. A expectativa de $X$ é então dada pela integral

{displaystyle operatorname {E} [X]=int _{-infty }^{infty }xf(x),dx.}

Uma formulação geral e matematicamente precisa desta definição usa a teoria da medida e a integração de Lebesgue, e a teoria correspondente de variáveis aleatórias absolutamente contínuas é descrita na próxima seção. As funções de densidade de muitas distribuições comuns são contínuas por partes e, como tal, a teoria é frequentemente desenvolvida neste ambiente restrito. Para tais funções, basta considerar apenas a integração padrão de Riemann. Às vezes, variáveis aleatórias contínuas são definidas como aquelas que correspondem a essa classe especial de densidades, embora o termo seja usado de forma diferente por vários autores.

De forma análoga ao caso infinito contável acima, há sutilezas com essa expressão devido à região infinita de integração. Tais sutilezas podem ser vistas concretamente se a distribuição de $X$ for dada pela distribuição de Cauchy $Cauchy(0, π)$ , de modo que $f (x) = (x 2 + π 2) -1$ . É fácil calcular neste caso que

{displaystyle int _{a}^{b}xf(x),dx=int _{a}^{b}{frac {x}{x^{2}+pi ^{2}}},dx={frac {1}{2}}ln {frac {b^{2}+pi ^{2}}{a^{2}+pi ^{2}}}.}

O limite desta expressão como $a \to -\infty$ e $b \to \infty$ não existe: se os limites forem tomados de forma que $a = - b$ , então o limite é zero, enquanto se a restrição $2 a = - b$ for tomada, então o limite é $ln(2)$ .

Para evitar tais ambiguidades, em livros didáticos de matemática é comum exigir que a integral dada converja absolutamente, com $E[X]$ deixado indefinido caso contrário. No entanto, as noções teóricas de medida fornecidas abaixo podem ser usadas para fornecer uma definição sistemática de $E[X]$ para variáveis aleatórias mais gerais $X$ .

Variáveis aleatórias arbitrárias de valor real

Todas as definições do valor esperado podem ser expressas na linguagem da teoria da medida. Em geral, se $X$ é uma variável aleatória de valor real definida em um espaço de probabilidade $(Ω, Σ, P)$ , então o valor esperado de $X$ , denotado por $E[X]$ , é definido como a integral de Lebesgue

{displaystyle operatorname {E} [X]=int _{Omega }X,doperatorname {P}.}

Apesar da nova situação abstrata, essa definição é extremamente semelhante em natureza à definição mais simples de valores esperados, dada acima, como certas médias ponderadas. Isso ocorre porque, na teoria da medida, o valor da integral de Lebesgue de $X$ é definido por meio de médias ponderadas de aproximações de $X$ que assumem um número finito de valores. Além disso, se dada uma variável aleatória com muitos valores possíveis finitos ou contáveis, a teoria da expectativa de Lebesgue é idêntica às fórmulas de soma dadas acima. No entanto, a teoria de Lebesgue esclarece o escopo da teoria das funções de densidade de probabilidade. Uma variável aleatória $X$ é considerada absolutamente contínua se qualquer uma das seguintes condições for satisfeita:

há uma função mensurável nonnegative $f$ na linha real tal que

{displaystyle {text{P}}(Xin A)=int _{A}f(x),dx,}

para qualquer conjunto Borel

A

, em que a integral é Lebesgue.

a função de distribuição cumulativa $X$ é absolutamente contínuo.
para qualquer conjunto Borel $A$ de números reais com Lebesgue medida igual a zero, a probabilidade de $X$ ser valorizado em $A$ também é igual a zero
para qualquer número positivo $ε$ há um número positivo $δ$ tal que: se $A$ é um conjunto Borel com medida Lebesgue menos do que $δ$ , então a probabilidade de $X$ ser valorizado em $A$ menos do que $ε$ .

Essas condições são todas equivalentes, embora não seja trivial estabelecer isso. Nesta definição, $f$ é chamado de função de densidade de probabilidade de $X$ (relativo à medida de Lebesgue). De acordo com a fórmula de mudança de variáveis para a integração de Lebesgue, combinada com a lei do estatístico inconsciente, segue-se que

{displaystyle operatorname {E} [X]equiv int _{Omega }X,doperatorname {P} =int _{mathbb {R} }xf(x),dx}

para qualquer variável aleatória absolutamente contínua $X$ . A discussão acima sobre variáveis aleatórias contínuas é, portanto, um caso especial da teoria geral de Lebesgue, devido ao fato de que toda função contínua por partes é mensurável.

Valores esperados infinitos

Os valores esperados conforme definido acima são automaticamente números finitos. Porém, em muitos casos é fundamental poder considerar valores esperados de $\pm\infty$ . Isso é intuitivo, por exemplo, no caso do paradoxo de São Petersburgo, em que se considera uma variável aleatória com resultados possíveis $x i = 2 i$ , com probabilidades associadas $p i = 2 - i$ , para $i$ abrangendo todos os números inteiros positivos. De acordo com a fórmula de soma no caso de variáveis aleatórias com muitos resultados contáveis, tem-se

{displaystyle operatorname {E} [X]=sum _{i=1}^{infty }x_{i},p_{i}=2cdot {frac {1}{2}}+4cdot {frac {1}{4}}+8cdot {frac {1}{8}}+16cdot {frac {1}{16}}+cdots =1+1+1+1+cdots.}

+\infty

Existe uma teoria matemática rigorosa subjacente a tais ideias, que muitas vezes é tomada como parte da definição da integral de Lebesgue. A primeira observação fundamental é que, qualquer que seja a definição acima seguida, qualquer variável aleatória não negativa pode receber um valor esperado inequívoco; sempre que a convergência absoluta falhar, então o valor esperado pode ser definido como $+\infty$ . A segunda observação fundamental é que qualquer variável aleatória pode ser escrita como a diferença de duas variáveis aleatórias não negativas. Dada uma variável aleatória $X$ , define-se as partes positivas e negativas por $X + = max(X, 0)$ e $X - = -min(X, 0)$ . Estas são variáveis aleatórias não negativas, e pode ser verificado diretamente que $X = X + - X -$ . Desde $E[X +]$ e $E[X -]$ são ambos definidos como números não negativos ou $+\infty$ , então é natural definir:

<math alttext="{displaystyle operatorname {E} [X]={begin{cases}operatorname {E} [X^{+}]-operatorname {E} [X^{-}]&{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]<infty {text{ and }}operatorname {E} [X^{-}]<infty;\+infty &{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]=infty {text{ and }}operatorname {E} [X^{-}]<infty;\-infty &{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]E⁡ ⁡ Não.X]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(E⁡ ⁡ Não.X+]- Sim. - Sim. E⁡ ⁡ Não.X- Sim. - Sim. ]seE⁡ ⁡ Não.X+]<∞ ∞ eE⁡ ⁡ Não.X- Sim. - Sim. ]<∞ ∞ ;+∞ ∞ seE⁡ ⁡ Não.X+]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ eE⁡ ⁡ Não.X- Sim. - Sim. ]<∞ ∞ ;- Sim. - Sim. ∞ ∞ seE⁡ ⁡ Não.X+]<∞ ∞ eE⁡ ⁡ Não.X- Sim. - Sim. ]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ ;indefinidoseE⁡ ⁡ Não.X+]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ eE⁡ ⁡ Não.X- Sim. - Sim. ]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ .{displaystyle operatorname} {E} [X]={begin{cases}operatorname {E} [X^{+}]-operatorname {E} [X^{-}]&{text{if }}nome do operador {E} [X^{+}]<infty {text{ e }}operatorname {E} [X^{-}]<infty;+infty &{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]=infty {text{ e }}operatorname {E} [X^{-}]<infty;\-infty &{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]<infty {text{ e }}operatorname {E} [X^{-}]=infty;\{text{undefined}}&{text{if }}nome do operador {E} [X^{+}]=infty {text{ e }}operatorname {E} [X^{-}]=infty.end{cases}}}<img alt="{displaystyle operatorname {E} [X]={begin{cases}operatorname {E} [X^{+}]-operatorname {E} [X^{-}]&{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]<infty {text{ and }}operatorname {E} [X^{-}]<infty;\+infty &{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]=infty {text{ and }}operatorname {E} [X^{-}]<infty;\-infty &{text{if }}operatorname {E} [X^{+}]

E... X]

E... X +]

E... X - Sim.]

| X |= X + + X - Sim.

E! X |

No caso do paradoxo de São Petersburgo, um tem $X - Sim. = 0$ e assim $E... X - Sim.$ como desejado.
Suponha que a variável aleatória $X$ leva valores $1, -2,3, -4,...$ com as respectivas probabilidades $6 -2, 6(2π) -2, 6(3π) -2, 6(4π) -2,$ . Então segue-se que $X +$ leva valor $2 k - Sim.$ com probabilidade $6(2) k -1) D) -2$ para cada inteiro positivo $k$ e toma valor $0$ com probabilidade restante. Da mesma forma, $X - Sim.$ leva valor $2 k$ com probabilidade $6(2) k π) -2$ para cada inteiro positivo $k$ e leva valor $0$ com probabilidade restante. Usando a definição de variáveis aleatórias não negativas, pode-se mostrar que ambas $E... X + \infty$ e $E... X - Sim. \infty$ (ver série Harmonic). Assim, neste caso, a expectativa de $X$ é indefinido.
Da mesma forma, a distribuição Cauchy, como discutido acima, tem expectativa indefinida.

Valores esperados de distribuições comuns

A tabela a seguir fornece os valores esperados de algumas distribuições de probabilidade de ocorrência comum. A terceira coluna dá os valores esperados tanto na forma imediatamente dada pela definição, quanto na forma simplificada obtida por cálculo a partir dela. Os detalhes desses cálculos, que nem sempre são diretos, podem ser encontrados nas referências indicadas.

Distribuição	Notação	E(X) médio
Berna	${displaystyle Xsim ~b(1,p)}$	${displaystyle 0cdot (1-p)+1cdot p=p}$
Binomial	${displaystyle Xsim B(n,p)}$	${displaystyle sum _{i=0}^{n}i{n choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=np}$
Pois...	${displaystyle Xsim mathrm {Po} (lambda)}$	${displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {ie^{-lambda }lambda ^{i}}{i!}}=lambda }$
Geometria	${displaystyle Xsim mathrm {Geometric} (p)}$	${displaystyle sum _{i=1}^{infty }ip(1-p)^{i-1}={frac {1}{p}}}$
Uniforme	${displaystyle Xsim U(a,b)}$	${displaystyle int _{a}^{b}{frac {x}{b-a}},dx={frac {a+b}{2}}}$
Exponential	${displaystyle Xsim exp(lambda)}$	${displaystyle int _{0}^{infty }lambda xe^{-lambda x},dx={frac {1}{lambda }}}$
Normal	${displaystyle Xsim N(musigma ^{2})}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}int _{-infty }^{infty }xe^{-(x-mu)^{2}/2sigma ^{2}},dx=mu }$
Padrão Normal	$Xsim N(0,1)$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }xe^{-x^{2}/2},dx=0}$
Pare!	${displaystyle Xsim mathrm {Par} (alphak)}$	$1\infty &0leq alpha leq 1.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">∫ ∫ k∞ ∞ α α kα α x- Sim. - Sim. α α Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(α α kα α - Sim. - Sim. 1α α >1∞ ∞ 0≤ ≤ α α ≤ ≤ 1.{displaystyle int _{k}^{infty }alpha k^{alpha }x^{-alpha },dx={begin{cases}{frac {alpha k}{alpha -1}}&alpha >1\\infty &0leq alpha leq 1.end{cases}}}1\infty &0leq alpha leq 1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59e1e2df4740bebf093d3a8d2c32b5eb81c03a8" style="vertical-align: -2.671ex; width:38.095ex; height:6.509ex;"/>$
Cauda	${displaystyle Xsim mathrm {Cauchy} (x_{0},gamma)}$	${displaystyle {frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {gamma x}{(x-x_{0})^{2}+gamma ^{2}}},dx}$ é indefinido

Propriedades

As propriedades básicas abaixo (e seus nomes em negrito) replicar ou seguir imediatamente a partir dos de Lebesgue integral. Note que as letras "a.s." representam "quase seguramente" - uma propriedade central da integral de Lebesgue. Basicamente, um diz que uma desigualdade como ${displaystyle Xgeq 0}$ é verdade quase segura, quando a medida de probabilidade atribui zero massa ao evento complementar $<math alttext="{displaystyle left{X(X<0?{displaystyle left{X<0right}} <img alt="{displaystyle left{X$ .

Não-negatividade: Se ${displaystyle Xgeq 0}$ (a.s.), então ${displaystyle operatorname {E} [X]geq 0}$ .

Linearidade da expectativa: O operador de valor esperado (ou operador de expectativa) $operatorname {E}[cdot ]$ é linear no sentido de que, para qualquer variável aleatória $X$ e $Y$ e uma constante $a$ , ${displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} [X+Y]&=operatorname {E} [X]+operatorname {E} [Y],\operatorname {E} [aX]&=aoperatorname {E} [X],end{aligned}}}$

sempre que o lado direito é bem definido. Por indução, isso significa que o valor esperado da soma de qualquer número finito de variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados das variáveis aleatórias individuais, e o valor esperado escala linearmente com uma constante multiplicativa. Simbolicamente, para

N

variáveis aleatórias

X_{i}

e constantes

{displaystyle a_{i}(1leq ileq N)}

nós temos

{textstyle operatorname {E} left[sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}right]=sum _{i=1}^{N}a_{i}operatorname {E} [X_{i}]}

. Se pensarmos no conjunto de variáveis aleatórias com valor esperado finito como formando um espaço vetorial, então a linearidade da expectativa implica que o valor esperado seja uma forma linear neste espaço vetorial.

Monotonicidade: Se ${displaystyle Xleq Y}$ (a.s.) e ambos $operatorname {E} [X]$ e ${displaystyle operatorname {E} [Y]}$ existir, então ${displaystyle operatorname {E} [X]leq operatorname {E} [Y]}$ .
Prova segue da linearidade e da propriedade não-negatividade para ${displaystyle Z=Y-X}$ , desde ${displaystyle Zgeq 0}$ (a.s.).
Não degeneração: Se ${displaystyle operatorname {E} [|X|]=0}$ , então ${displaystyle X=0}$ (a.s.).
Se ${displaystyle X=Y}$ (a.s.), então ${displaystyle operatorname {E} [X]=operatorname {E} [Y]}$ . Em outras palavras, se X e Y são variáveis aleatórias que levam valores diferentes com probabilidade zero, então a expectativa de X será igual à expectativa de Y.
Se ${displaystyle X=c}$ Para um número real. $c$ , então ${displaystyle operatorname {E} [X]=c}$ . Em particular, para uma variável aleatória $X$ com expectativa bem definida, ${displaystyle operatorname {E} [operatorname {E} [X]]=operatorname {E} [X]}$ . Uma expectativa bem definida implica que há um número, ou melhor, uma constante que define o valor esperado. Assim, segue-se que a expectativa desta constante é apenas o valor esperado original.
Como consequência da fórmula $| X |= X + + X - Sim.$ como discutido acima, juntamente com a desigualdade do triângulo, segue-se que para qualquer variável aleatória $X$ com expectativa bem definida, um tem ${displaystyle |operatorname {E} [X]|leq operatorname {E} |X|}$ .
Vamos. $1 A$ denote a função indicadora de um evento $A$ , então $E... 1 A]$ é dada pela probabilidade de $A$ . Isto não passa de uma maneira diferente de afirmar a expectativa de uma variável aleatória Bernoulli, como calculado na tabela acima.
Fórmulas em termos de CDF: Se $F(x)$ é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória $X$ , então

{displaystyle operatorname {E} [X]=int _{-infty }^{infty }x,dF(x),}

onde os valores em ambos os lados são bem definidos ou não bem definidos simultaneamente, e a integral é tomada no sentido de Lebesgue-Stieltjes. Como consequência da integração por partes como aplicado a esta representação de

E... X]

, pode ser provado que

{displaystyle operatorname {E} [X]=int _{0}^{infty }(1-F(x)),dx-int _{-infty }^{0}F(x),dx,}

com as integrais tomadas no sentido de Lebesgue. Como um caso especial, para qualquer variável aleatória

X

valorizados nos inteiros nonnegativos

(0, 1, 2, 3,...

}, um tem

n),}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">E⁡ ⁡ Não.X]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0∞ ∞ P⁡ ⁡ (X>n),{displaystyle operatorname} {E} [X]=sum _{n=0}^{infty }operatorname {P} (X>n),}n),}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06325151e75dd54c7351ae993c078bf896a20f96" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.209ex; height:6.843ex;"/>

Onde?

P

denota a medida de probabilidade subjacente.

Não multiplicatividade: Em geral, o valor esperado não é multiplicador, ou seja,. ${displaystyle operatorname {E} [XY]}$ não é necessariamente igual a ${displaystyle operatorname {E} [X]cdot operatorname {E} [Y]}$ . Se $X$ e $Y$ são independentes, então pode-se mostrar que ${displaystyle operatorname {E} [XY]=operatorname {E} [X]operatorname {E} [Y]}$ . Se as variáveis aleatórias são dependentes, então geralmente ${displaystyle operatorname {E} [XY]neq operatorname {E} [X]operatorname {E} [Y]}$ , embora em casos especiais de dependência a igualdade possa ter.
Lei do estatístico inconsciente: O valor esperado de uma função mensurável de $X$ , $g(X)$ , dado que $X$ tem uma função de densidade de probabilidade $f(x)$ , é dada pelo produto interno de $f$ e $g$ : ${displaystyle operatorname {E} [g(X)]=int _{mathbb {R} }g(x)f(x),dx.}$ Esta fórmula também detém em caso multidimensional, quando $g$ é uma função de várias variáveis aleatórias, e $f$ é a densidade das articulações.

Desigualdades

Desigualdades de concentração controlam a probabilidade de uma variável aleatória assumir valores grandes. A desigualdade de Markov está entre as mais conhecidas e simples de provar: para uma variável aleatória não negativa $X$ e qualquer número positivo $a$ , indica que

{displaystyle operatorname {P} (Xgeq a)leq {frac {operatorname {E} [X]}{a}}.}

X

| X -E. X] 2

{displaystyle operatorname {P} (|X-{text{E}}[X]|geq a)leq {frac {operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},}

Var

As três desigualdades a seguir são de importância fundamental no campo da análise matemática e suas aplicações à teoria da probabilidade.

A desigualdade de Jensen: Vamos. $f : R \to R$ ser uma função convexa e $X$ uma variável aleatória com expectativa finita. Então... ${displaystyle f(operatorname {E} (X))leq operatorname {E} (f(X)).}$

Parte da afirmação é que a parte negativa de

f (X)

tem expectativa finita, de modo que o lado direito é bem definido (possivelmente infinito). Convexidade de

f

pode ser fraseado como dizendo que a saída da média ponderada de dois. As entradas subestimam a mesma média ponderada das duas saídas; a desigualdade de Jensen estende isso à definição de médias ponderadas completamente gerais, como representado pela expectativa. No caso especial que

f (x) = | x |) / S

para números positivos

S <)

, obtém-se a desigualdade de Lyapunov

{displaystyle left(operatorname {E} |X|^{s}right)^{1/s}leq left(operatorname {E} |X|^{t}right)^{1/t}.}

Isso também pode ser provado pela desigualdade Hölder. Na teoria da medida, isso é particularmente notável para provar a inclusão

L S ?)

de espaços Lp, no caso especial de espaços de probabilidade.

Igualdade de Hölder: se $p > 1$ e $q > 1$ são números satisfazendo $p - Sim. + q - Sim. = 1$ , então ${displaystyle operatorname {E} |XY|leq (operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$

para quaisquer variáveis aleatórias

X

Y

. O caso especial de

p = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = q = 2

é chamado de desigualdade Cauchy-Schwarz, e é particularmente conhecido.

Igualdade de Minkowski: dado qualquer número $p \geq 1$ , para qualquer variável aleatória $X$ e $Y$ com $E! X | p$ e $E! Y | p$ ambos finitos, segue-se que $E! X + Y | p$ é também finito e ${displaystyle {Bigl (}operatorname {E} |X+Y|^{p}{Bigr)}^{1/p}leq {Bigl (}operatorname {E} |X|^{p}{Bigr)}^{1/p}+{Bigl (}operatorname {E} |Y|^{p}{Bigr)}^{1/p}.}$

As desigualdades de Hölder e Minkowski podem ser estendidas para espaços de medida geral, e muitas vezes são dadas nesse contexto. Por outro lado, a desigualdade de Jensen é especial para o caso de espaços de probabilidade.

Expectativas sob convergência de variáveis aleatórias

Em geral, não é o caso de ${displaystyle operatorname {E} [X_{n}]to operatorname {E} [X]}$ mesmo se ${displaystyle X_{n}to X}$ No sentido do ponto. Assim, não se pode trocar limites e expectativa, sem condições adicionais sobre as variáveis aleatórias. Para ver isto, deixe $U$ ser uma variável aleatória distribuída uniformemente em $[0,1]$ . Para ${displaystyle ngeq 1,}$ definir uma sequência de variáveis aleatórias

{displaystyle X_{n}=ncdot mathbf {1} left{Uin left(0,{tfrac {1}{n}}right)right},}

com ${displaystyle {mathbf {1} }{A}}$ sendo a função indicadora do evento $A$ . Então, segue-se que $X_{n}to 0$ No sentido do ponto. Mas... ${displaystyle operatorname {E} [X_{n}]=ncdot operatorname {P} left(Uin left[0,{tfrac {1}{n}}right]right)=ncdot {tfrac {1}{n}}=1}$ para cada $n$ . Assim, ${displaystyle lim _{nto infty }operatorname {E} [X_{n}]=1neq 0=operatorname {E} left[lim _{nto infty }X_{n}right].}$

Analogamente, para sequência geral de variáveis aleatórias ${displaystyle {Y_{n}:ngeq 0}}$ , o operador de valor esperado não $sigma$ - Aditivo, ou seja.

{displaystyle operatorname {E} left[sum _{n=0}^{infty }Y_{n}right]neq sum _{n=0}^{infty }operatorname {E} [Y_{n}].}

Um exemplo é facilmente obtido através da definição ${displaystyle Y_{0}=X_{1}}$ e ${displaystyle Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}}$ para $ngeq 1$ , onde $X_{n}$ é como no exemplo anterior.

Vários resultados de convergência especificam condições exatas que permitem trocar limites e expectativas, conforme especificado abaixo.

Teorema de convergência Monotone: Vamos. ${displaystyle {X_{n}:ngeq 0}}$ ser uma sequência de variáveis aleatórias, com ${displaystyle 0leq X_{n}leq X_{n+1}}$ (a.s) para cada ${displaystyle ngeq 0}$ . Além disso, deixe $X_{n}to X$ No sentido do ponto. Então, o teorema de convergência monotone afirma que ${displaystyle lim _{n}operatorname {E} [X_{n}]=operatorname {E} [X].}$
Usando o teorema de convergência monotone, pode-se mostrar que a expectativa realmente satisfaz a aditividade contável para variáveis aleatórias não negativas. Em particular, deixe ${displaystyle {X_{i}}_{i=0}^{infty }}$ ser variáveis aleatórias não negativas. Segue-se do teorema de convergência monotone que ${displaystyle operatorname {E} left[sum _{i=0}^{infty }X_{i}right]=sum _{i=0}^{infty }operatorname {E} [X_{i}].}$
Lemma de Fatou: Vamos. ${displaystyle {X_{n}geq 0:ngeq 0}}$ ser uma sequência de variáveis aleatórias não negativas. Lemma de Fatou afirma que ${displaystyle operatorname {E} [liminf _{n}X_{n}]leq liminf _{n}operatorname {E} [X_{n}].}$
Corollary. Vamos. ${displaystyle X_{n}geq 0}$ com ${displaystyle operatorname {E} [X_{n}]leq C}$ para todos ${displaystyle ngeq 0}$ . Se ${displaystyle X_{n}to X}$ (a.s). ${displaystyle operatorname {E} [X]leq C.}$
Prova é observando que ${textstyle X=liminf _{n}X_{n}}$ (a.s.) e aplicando o lema de Fatou.
Teorema de convergência dominada: Vamos. (Xn:n≥ ≥ 0?Não. {X_{n}:ngeq 0}} ${displaystyle {X_{n}:ngeq 0}}$ ser uma sequência de variáveis aleatórias. Se Xn→ → X{displaystyle X_{n}to X} ${displaystyle X_{n}to X}$ (a.s.), |Xn|≤ ≤ Y≤ ≤ +∞ ∞ {displaystyle |X_{n}|leq Yleq +infty } ${displaystyle |X_{n}|leq Yleq +infty }$ (a.s.) e <math alttext="{displaystyle operatorname {E} [Y]E⁡ ⁡ Não.Y]<∞ ∞ {displaystyle operatorname} Não.<img alt="{displaystyle operatorname {E} [Y]. Então, de acordo com o teorema de convergência dominada,
- $<math alttext="{displaystyle operatorname {E} |X|leq operatorname {E} [Y]E |X|\leq \leq E Não.Y]<\infty \infty {displaystyle operatorname} {E} |X|leq operatorname {E} [Y]<infty } <img alt="{displaystyle operatorname {E} |X|leq operatorname {E} [Y]$ ;
- ${displaystyle lim _{n}operatorname {E} [X_{n}]=operatorname {E} [X]}$
- ${displaystyle lim _{n}operatorname {E} |X_{n}-X|=0.}$
Integrabilidade uniforme: Em alguns casos, a igualdade ${displaystyle lim _{n}operatorname {E} [X_{n}]=operatorname {E} [lim _{n}X_{n}]}$ segura quando a sequência ${X_{n}}$ o uniformemente integrável.

Relação com a função característica

A função de densidade de probabilidade $f_X$ de uma variável aleatória escalar $X$ está relacionado à sua função característica ${displaystyle varphi _{X}}$ pela fórmula de inversão:

{displaystyle f_{X}(x)={frac {1}{2pi }}int _{mathbb {R} }e^{-itx}varphi _{X}(t),mathrm {d} t.}

Para o valor esperado de $g(X)$ (onde) ${displaystyle g:{mathbb {R} }to {mathbb {R} }}$ é uma função Borel), podemos usar esta fórmula de inversão para obter

{displaystyle operatorname {E} [g(X)]={frac {1}{2pi }}int _{mathbb {R} }g(x)left[int _{mathbb {R} }e^{-itx}varphi _{X}(t),mathrm {d} tright],mathrm {d} x.}

Se ${displaystyle operatorname {E} [g(X)]}$ é finito, mudando a ordem de integração, nós obtemos, de acordo com o teorema de Fubini-Tonelli,

{displaystyle operatorname {E} [g(X)]={frac {1}{2pi }}int _{mathbb {R} }G(t)varphi _{X}(t),mathrm {d} t,}

onde

{displaystyle G(t)=int _{mathbb {R} }g(x)e^{-itx},mathrm {d} x}

é a transformação de Fourier $g(x).$ A expressão para ${displaystyle operatorname {E} [g(X)]}$ também segue diretamente do teorema de Plancherel.

Usos e aplicações

A expectativa de uma variável aleatória desempenha um papel importante em vários contextos. Por exemplo, na teoria da decisão, um agente que faz uma escolha ótima no contexto de informações incompletas costuma maximizar o valor esperado de sua função de utilidade. Para um exemplo diferente, em estatística, onde se busca estimativas para parâmetros desconhecidos com base nos dados disponíveis, a própria estimativa é uma variável aleatória. Em tais configurações, um critério desejável para um "bom" estimador é que ele é imparcial; ou seja, o valor esperado da estimativa é igual ao valor verdadeiro do parâmetro subjacente.

É possível construir um valor esperado igual à probabilidade de um evento, tomando a expectativa de uma função indicadora que é um se o evento ocorreu e zero caso contrário. Essa relação pode ser usada para traduzir propriedades de valores esperados em propriedades de probabilidades, por exemplo, usando a lei dos grandes números para justificar a estimativa de probabilidades por frequências.

Os valores esperados das potências de X são chamados de momentos de X; os momentos sobre a média de X são valores esperados de potências de $X - E[X]. Os momentos de algumas variáveis aleatórias podem ser usados para especificar suas distribuições, por meio de suas funções geradoras de momentos.$

Para estimar empiricamente o valor esperado de uma variável aleatória, mede-se repetidamente as observações da variável e calcula-se a média aritmética dos resultados. Se o valor esperado existir, este procedimento estima o verdadeiro valor esperado de forma imparcial e tem a propriedade de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos (a soma das diferenças quadradas entre as observações e a estimativa). A lei dos grandes números demonstra (sob condições razoavelmente brandas) que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a variância dessa estimativa diminui.

Esta propriedade é frequentemente explorada em uma ampla variedade de aplicações, incluindo problemas gerais de estimativa estatística e aprendizado de máquina, para estimar (probabilística) quantidades de interesse através de métodos de Monte Carlo, uma vez que a maioria das quantidades de interesse pode ser escrita em termos de expectativa, por exemplo. ${displaystyle operatorname {P} ({Xin {mathcal {A}}})=operatorname {E} [{mathbf {1} }_{mathcal {A}}]}$ , onde ${displaystyle {mathbf {1} }_{mathcal {A}}}$ é a função indicadora do conjunto ${mathcal {A}}$ .

A massa de distribuição de probabilidade é equilibrada no valor esperado, aqui uma distribuição Beta(α,β) com valor esperado α/(α+β).

Na mecânica clássica, o centro de massa é um conceito análogo à expectativa. Por exemplo, suponha que X seja uma variável aleatória discreta com valores x_i e probabilidades correspondentes p_i . Agora considere uma haste sem peso na qual são colocados pesos, em locais x_i ao longo da haste e com massas p_i (cuja soma é um). O ponto no qual a haste se equilibra é E[X].

Os valores esperados também podem ser usados para calcular a variância, por meio da fórmula computacional para a variância

operatorname {Var} (X)=operatorname {E} [X^{2}]-(operatorname {E} [X])^{2}.

Uma aplicação muito importante do valor de expectativa está no campo da mecânica quântica. O valor de expectativa de um operador mecânico quântico ${hat {A}}$ operando em um vetor de estado quântico $|psi rangle$ é escrito como $langle {hat {A}}rangle =langle psi |A|psi rangle$ . A incerteza na ${hat {A}}$ pode ser calculado pela fórmula $(Delta A)^{2}=langle {hat {A}}^{2}rangle -langle {hat {A}}rangle ^{2}$ .

Literatura

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Links externos

"Valor esperado | Brilhante Matemática & Wiki Científica". brilhante.org. Recuperado 2020-08-21.

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