Transformação bilinear

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A transformada bilinear (também conhecida como método de Tustin, em homenagem a Arnold Tustin) é usada no processamento de sinais digitais e na teoria de controle de tempo discreto para transformar contínuas representações do sistema de tempo para tempo discreto e vice-versa.

A transformação bilinear é um caso especial de um mapeamento conformado (nomeadamente, uma transformação Möbius), frequentemente usado para converter uma função de transferência ${displaystyle H_{a}(s)}$ de um filtro linear, invariante de tempo (LTI) no domínio contínuo (muitas vezes chamado de filtro analógico) para uma função de transferência ${displaystyle H_{d}(z)}$ de um filtro linear, invariante de deslocamento no domínio discreto (muitas vezes chamado de filtro digital, embora existam filtros analógicos construídos com capacitores comutados que são filtros de tempo discreto). Ele mapeia posições sobre o ${displaystyle jomega }$ eixo, ${displaystyle mathrm {Re} [s]=0}$ , no avião para o círculo da unidade, ${displaystyle |z|=1}$ No avião z. Outras transformaçÃμes bilineares podem ser usadas para dobrar a resposta de frequÃancia de qualquer sistema linear discreta (por exemplo, para aproximar a resolução de frequÃancia não linear do sistema auditivo humano) e são implementáveis no domínio discreto, substituindo os atrasos da unidade de um sistema. ${displaystyle left(z^{-1}right)}$ com filtros de primeira ordem all-pass.

A transformação preserva a estabilidade e os mapas a cada ponto da resposta de frequência do filtro de tempo contínuo, ${displaystyle H_{a}(jomega _{a})}$ para um ponto correspondente na resposta de frequência do filtro de tempo discreto, ${displaystyle H_{d}(e^{jomega _{d}T})}$ embora para uma frequência um pouco diferente, como mostrado na seção de deformação de frequência abaixo. Isso significa que para cada característica que se vê na resposta de frequência do filtro analógico, há uma característica correspondente, com ganho idêntico e mudança de fase, na resposta de frequência do filtro digital, mas, talvez, em uma frequência um pouco diferente. Isso mal é perceptível em baixas frequências, mas é bastante evidente em frequências próximas à frequência Nyquist.

Aproximação em tempo discreto

A transformação bilinear é uma aproximação de Padé de primeira ordem da função de logaritmo natural que é um mapeamento exato do plano z para o plano s. Quando a transformada de Laplace é executada em um sinal de tempo discreto (com cada elemento da sequência de tempo discreto ligado a um impulso unitário correspondentemente atrasado), o resultado é precisamente a transformada Z da sequência de tempo discreto com a substituição de

{begin{aligned}z&=e^{{sT}}\&={frac {e^{{sT/2}}}{e^{{-sT/2}}}}\&approx {frac {1+sT/2}{1-sT/2}}end{aligned}}

Onde? $T$ é o tamanho da etapa de integração numérica da regra trapezoidal usada na derivação da transformação bilinear; ou, em outras palavras, o período de amostragem. A aproximação bilinear acima pode ser resolvida para $s$ ou uma aproximação semelhante para ${displaystyle s=(1/T)ln(z)}$ pode ser realizada.

O inverso deste mapeamento (e sua aproximação bilinear de primeira ordem) é

{begin{aligned}s&={frac {1}{T}}ln(z)\&={frac {2}{T}}left[{frac {z-1}{z+1}}+{frac {1}{3}}left({frac {z-1}{z+1}}right)^{3}+{frac {1}{5}}left({frac {z-1}{z+1}}right)^{5}+{frac {1}{7}}left({frac {z-1}{z+1}}right)^{7}+cdots right]\&approx {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}\&={frac {2}{T}}{frac {1-z^{{-1}}}{1+z^{{-1}}}}end{aligned}}

A transformação bilinear usa essencialmente esta aproximação de primeira ordem e substitui na função de transferência de tempo contínuo, ${displaystyle H_{a}(s)}$

sleftarrow {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}.

Isso é

H_{d}(z)=H_{a}(s){bigg |}_{{s={frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}}}=H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right).

Estabilidade e propriedade de fase mínima preservadas

Um filtro causal de tempo contínuo é estável se os pólos de sua função de transferência caírem na metade esquerda do plano s complexo. Um filtro causal de tempo discreto é estável se os pólos de sua função de transferência estiverem dentro do círculo unitário no plano z complexo. A transformada bilinear mapeia a metade esquerda do plano s complexo para o interior do círculo unitário no plano z. Assim, filtros projetados no domínio do tempo contínuo que são estáveis são convertidos em filtros no domínio do tempo discreto que preservam essa estabilidade.

Da mesma forma, um filtro de tempo contínuo é de fase mínima se os zeros de sua função de transferência caírem na metade esquerda do plano s complexo. Um filtro de tempo discreto é de fase mínima se os zeros de sua função de transferência estiverem dentro do círculo unitário no plano z complexo. Em seguida, a mesma propriedade de mapeamento garante que os filtros de tempo contínuo que são de fase mínima sejam convertidos em filtros de tempo discreto que preservam essa propriedade de fase mínima.

Transformação de um Sistema LTI Geral

Um sistema LTI geral tem a função de transferência

{displaystyle H_{a}(s)={frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+cdots +a_{P}s^{P}}}}

N

P

Q

P

{displaystyle s=K{frac {z-1}{z+1}}}

KK

2 T

{displaystyle H_{d}(z)={frac {b_{0}+b_{1}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)+b_{2}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{2}+cdots +b_{Q}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)+a_{2}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{2}+cdots +b_{P}left(K{frac {z-1}{z+1}}right)^{P}}}}

(zangão. + 1) - Sim.

(zangão. + 1) -N

{displaystyle H_{d}(z)={frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}

N

Considere então a forma polo-zero da função de transferência de tempo contínuo

{displaystyle H_{a}(s)={frac {(s-xi _{1})(s-xi _{2})cdots (s-xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})cdots (s-p_{P})}}}

? Eu...

p Eu...

{displaystyle z={frac {K+s}{K-s}}}

? ' Eu...

p ' Eu...

{displaystyle {begin{aligned}xi '_{i}&={frac {K+xi _{i}}{K-xi _{i}}}quad 1leq ileq Q\p'_{i}&={frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}quad 1leq ileq Pend{aligned}}}

N

(zangão. + 1) -N

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}xi '_{i}&=-1quad Q<ileq N\p'_{i}&=-1quad P? ? Eu...?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 1Q<Eu...≤ ≤ NpEu...?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 1P<Eu...≤ ≤ N{displaystyle {begin{aligned}xi '_{i'&=-1quad QUALQUER Np'_{i}&=-1quad P<ileq Nend{aligned}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}xi '_{i}&=-1quad Q<ileq N\p'_{i}&=-1quad P

{displaystyle H_{d}(z)={frac {(z-xi '_{1})(z-xi '_{2})cdots (z-xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})cdots (z-p'_{N})}}}

Exemplo

Como exemplo, considere um filtro RC passa-baixa simples. Este filtro de tempo contínuo tem uma função de transferência

{begin{aligned}H_{a}(s)&={frac {1/sC}{R+1/sC}}\&={frac {1}{1+RCs}}.end{aligned}}

Se quisermos implementar este filtro como um filtro digital, podemos aplicar a transformação bilinear substituindo para $s$ a fórmula acima; após algum retrabalho, obtemos a seguinte representação do filtro:

$H_{d}(z)$	$=H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right)$
	$={frac {1}{1+RCleft({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right)}}$
	$={frac {1+z}{(1-2RC/T)+(1+2RC/T)z}}$
	$={frac {1+z^{{-1}}}{(1+2RC/T)+(1-2RC/T)z^{{-1}}}}.$

Os coeficientes do denominador são os 'feedback' coeficientes e os coeficientes do numerador são o 'feed-forward' coeficientes usados para implementar um filtro digital em tempo real.

Transformação para um filtro geral de tempo contínuo de primeira ordem

É possível relacionar os coeficientes de um filtro analógico de tempo contínuo com os de um filtro digital de tempo discreto semelhante criado por meio do processo de transformação bilinear. Transformando um filtro de tempo contínuo geral de primeira ordem com a função de transferência dada

{displaystyle H_{a}(s)={frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}

usar a transformada bilinear (sem pré-deformar qualquer especificação de frequência) requer a substituição de

sleftarrow K{frac {1-z^{{-1}}}{1+z^{{-1}}}}

onde

Ktriangleq {frac {2}{T}}

No entanto, se a compensação de deformação de frequência conforme descrito abaixo é usada na transformação bilinear, de modo que tanto o ganho de filtro analógico e digital e fase concordam em frequência $omega _{0}$ , então

{displaystyle Ktriangleq {frac {omega _{0}}{tan left({frac {omega _{0}T}{2}}right)}}}

Isso resulta em um filtro digital de tempo discreto com coeficientes expressos em termos dos coeficientes do filtro de tempo contínuo original:

{displaystyle H_{d}(z)={frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}

Normalmente, o termo constante no denominador deve ser normalizado para 1 antes de derivar a equação de diferença correspondente. Isto resulta em

{displaystyle H_{d}(z)={frac {{frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}

A equação de diferença (usando a forma direta I) é

{displaystyle y[n]={frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}cdot x[n]+{frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}cdot x[n-1]-{frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}cdot y[n-1].}

Transformação biquadrada geral de segunda ordem

Um processo semelhante pode ser usado para um filtro geral de segunda ordem com a função de transferência fornecida

{displaystyle H_{a}(s)={frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}.}

Isso resulta em um filtro digital biquadrado de tempo discreto com coeficientes expressos em termos dos coeficientes do filtro de tempo contínuo original:

H_{d}(z)={frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{{-1}}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{{-2}}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{{-1}}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{{-2}}}}

Novamente, o termo constante no denominador é geralmente normalizado para 1 antes de derivar a equação de diferença correspondente. Isto resulta em

H_{d}(z)={frac {{frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-1}}+{frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-2}}}{1+{frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-1}}+{frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{{-2}}}}.

A equação de diferença (usando a forma direta I) é

{displaystyle y[n]={frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot x[n]+{frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot x[n-1]+{frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot x[n-2]-{frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot y[n-1]-{frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}cdot y[n-2].}

Mudança de frequência

Para determinar a resposta de frequência de um filtro de tempo contínuo, a função de transferência ${displaystyle H_{a}(s)}$ é avaliado em ${displaystyle s=jomega _{a}}$ que está no ${displaystyle jomega }$ eixo. Da mesma forma, para determinar a resposta de frequência de um filtro de tempo discreto, a função de transferência ${displaystyle H_{d}(z)}$ é avaliado em ${displaystyle z=e^{jomega _{d}T}}$ que está no círculo da unidade, ${displaystyle |z|=1}$ . A transformação bilinear mapeia os ${displaystyle jomega }$ eixo do S-plane (do qual é o domínio de ${displaystyle H_{a}(s)}$ ) ao círculo unitário do zangão.- Avião, ${displaystyle |z|=1}$ (que é o domínio do ${displaystyle H_{d}(z)}$ ), mas é não o mesmo mapeamento ${displaystyle z=e^{sT}}$ que também mapeia os ${displaystyle jomega }$ eixo para o círculo da unidade. Quando a frequência real de ${displaystyle omega _{d}}$ é entrada para o filtro de tempo discreto projetado pelo uso da transforma bilinear, então é desejado saber em que frequência, ${displaystyle omega _{a}}$ , para o filtro de tempo contínuo que este ${displaystyle omega _{d}}$ está mapeado para.

{displaystyle H_{d}(z)=H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}right)}

${displaystyle H_{d}(e^{jomega _{d}T})}$	${displaystyle =H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {e^{jomega _{d}T}-1}{e^{jomega _{d}T}+1}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left({frac {2}{T}}cdot {frac {e^{jomega _{d}T/2}left(e^{jomega _{d}T/2}-e^{-jomega _{d}T/2}right)}{e^{jomega _{d}T/2}left(e^{jomega _{d}T/2}+e^{-jomega _{d}T/2}right)}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left({frac {2}{T}}cdot {frac {left(e^{jomega _{d}T/2}-e^{-jomega _{d}T/2}right)}{left(e^{jomega _{d}T/2}+e^{-jomega _{d}T/2}right)}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left(j{frac {2}{T}}cdot {frac {left(e^{jomega _{d}T/2}-e^{-jomega _{d}T/2}right)/(2j)}{left(e^{jomega _{d}T/2}+e^{-jomega _{d}T/2}right)/2}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left(j{frac {2}{T}}cdot {frac {sin(omega _{d}T/2)}{cos(omega _{d}T/2)}}right)}$
	${displaystyle =H_{a}left(j{frac {2}{T}}cdot tan left(omega _{d}T/2right)right)}$

Isso mostra que cada ponto no círculo da unidade no filtro de tempo discreto z-plane, ${displaystyle z=e^{jomega _{d}T}}$ é mapeado para um ponto no $jomega$ eixo no filtro de tempo contínuo s-plane, ${displaystyle s=jomega _{a}}$ . Ou seja, o mapeamento de frequência discreta a tempo contínuo da transformação bilinear é

{displaystyle omega _{a}={frac {2}{T}}tan left(omega _{d}{frac {T}{2}}right)}

e o mapeamento inverso é

{displaystyle omega _{d}={frac {2}{T}}arctan left(omega _{a}{frac {T}{2}}right).}

O filtro de tempo discreto comporta-se na frequência $omega _{d}$ da mesma forma que o filtro de tempo contínuo se comporta em frequência ${displaystyle (2/T)tan(omega _{d}T/2)}$ . Especificamente, o ganho e a mudança de fase que o filtro de tempo discreto tem na frequência $omega _{d}$ é o mesmo ganho e mudança de fase que o filtro de tempo contínuo tem na frequência ${displaystyle (2/T)tan(omega _{d}T/2)}$ . Isso significa que cada característica, cada "bump" que é visível na resposta de frequência do filtro de tempo contínuo também é visível no filtro de tempo discreto, mas em uma frequência diferente. Para baixas frequências (isto é, quando ${displaystyle omega _{d}ll 2/T}$ ou $omega _{a}ll 2/T$ ), então os recursos são mapeados para um ligeiramente frequência diferente; ${displaystyle omega _{d}approx omega _{a}}$ .

Pode-se ver que toda a faixa de frequência contínua

<math alttext="{displaystyle -infty <omega _{a}- Sim. - Sim. ∞ ∞ <ω ω um<+∞ ∞ Não. -infty <omega _{a}<+infty }<img alt="{displaystyle -infty <omega _{a}

é mapeado no intervalo de frequência fundamental

<math alttext="{displaystyle -{frac {pi }{T}}<omega _{d}- Sim. - Sim. D D T<ω ω D<+D D T.Não. - Sim. {T}} _{d}<+{frac }{T}}.}<img alt="{displaystyle -{frac {pi }{T}}<omega _{d}

A frequência de filtro de tempo contínuo ${displaystyle omega _{a}=0}$ corresponde à frequência de filtro de tempo discreto ${displaystyle omega _{d}=0}$ e a frequência de filtro de tempo contínuo ${displaystyle omega _{a}=pm infty }$ corresponde à frequência de filtro discreta ${displaystyle omega _{d}=pm pi /T.}$

Pode-se também ver que há uma relação não linear entre ${displaystyle omega _{a}}$ e ${displaystyle omega _{d}.}$ Este efeito da transformação bilinear é chamado deformação de frequência. O filtro de tempo contínuo pode ser projetado para compensar esta deformação de frequência através da definição ${displaystyle omega _{a}={frac {2}{T}}tan left(omega _{d}{frac {T}{2}}right)}$ para cada especificação de frequência que o designer tem controle sobre (como frequência de canto ou frequência central). Isto chama-se pré-aquecimento o projeto do filtro.

É possível, no entanto, compensar a deformação de frequência por pré-aquecimento de uma especificação de frequência $omega _{0}$ (geralmente uma frequência ressonante ou a frequência da característica mais significativa da resposta de frequência) do sistema de tempo contínuo. Estas especificações pré-aquecidas podem então ser usadas na transformação bilinear para obter o sistema de tempo discreto desejado. Ao projetar um filtro digital como uma aproximação de um filtro de tempo contínuo, a resposta de frequência (ambos amplitude e fase) do filtro digital pode ser feita para combinar a resposta de frequência do filtro contínuo em uma frequência especificada $omega _{0}$ , bem como correspondência em DC, se a seguinte transformação for substituída na função de transferência contínua do filtro. Esta é uma versão modificada da transformação de Tustin mostrada acima.

{displaystyle sleftarrow {frac {omega _{0}}{tan left({frac {omega _{0}T}{2}}right)}}{frac {z-1}{z+1}}.}

No entanto, observe que esta transformação se torna a transformação original

{displaystyle sleftarrow {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}}

como $omega _{0}to 0$ .

A principal vantagem do fenômeno de distorção é a ausência de distorção de aliasing da característica de resposta de frequência, como observado com a invariância de impulso.

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