Topologia diferencial

Em matemática, topologia diferencial é o campo que lida com as propriedades topológicas e propriedades suaves de variedades suaves. Nesse sentido, a topologia diferencial é distinta do campo intimamente relacionado da geometria diferencial, que diz respeito às propriedades geométricas de variedades suaves, incluindo noções de tamanho, distância e forma rígida. Por comparação, a topologia diferencial está preocupada com propriedades mais grosseiras, como o número de buracos em uma variedade, seu tipo de homotopia ou a estrutura de seu grupo de difeomorfismo. Como muitas dessas propriedades mais grosseiras podem ser capturadas algebricamente, a topologia diferencial tem fortes vínculos com a topologia algébrica.

A teoria Morse da função de altura em um torus pode descrever seu tipo de homotopia.

O objetivo central do campo da topologia diferencial é a classificação de todas as variedades suaves até o difeomorfismo. Como a dimensão é um invariante de variedades suaves até o tipo de difeomorfismo, essa classificação é frequentemente estudada classificando as variedades (conectadas) em cada dimensão separadamente:

• Na dimensão 1, os únicos coletores lisos até ao diffeomorphism são o círculo, a linha de números real, e permitindo um limite, o intervalo meio fechado Não.0,1)[0,1] e intervalo totalmente fechado Não.0,1][0,1]}.
• Na dimensão 2, cada superfície fechada é classificada até o diffeomorphism pelo seu gênero, o número de furos (ou equivalentemente a sua característica Euler), e se é ou não orientada. Esta é a famosa classificação de superfícies fechadas. Já em dimensão dois a classificação de superfícies não-compactas torna-se difícil, devido à existência de espaços exóticos como a escada de Jacob.
• Na dimensão 3, a conjectura de geometria de William Thurston, comprovada por Grigori Perelman, dá uma classificação parcial de três variedades compactas. Incluído neste teorema é a conjectura Poincaré, que afirma que qualquer fechado, simplesmente conectado três vezes é homeomorfo (e de fato diffeomorphic) para a 3a esfera.

Um cobordismo (W; M, N), que generaliza a noção de um diffeomorphism.

A partir da dimensão 4, a classificação torna-se muito mais difícil por duas razões. Em primeiro lugar, cada grupo apresentado finitamente aparece como o grupo fundamental de alguns 4-manifold, e como o grupo fundamental é um diffeomorphism invariant, isso torna a classificação de 4-manifolds pelo menos tão difícil quanto a classificação de grupos apresentados finitamente. Pela palavra problema para grupos, que é equivalente ao problema de parada, é impossível classificar tais grupos, então uma classificação topológica completa é impossível. Em segundo lugar, começando na dimensão quatro é possível ter manifolds lisos que são homeomorphic, mas com estruturas lisas distintas, não-diffeomorphic. Isto é verdade mesmo para o espaço euclidiano R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}, que admite muitos exótico exótico R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}} estruturas. Isso significa que o estudo da topologia diferencial nas dimensões 4 e superior deve usar ferramentas genuinamente fora do reino da topologia contínua regular de coletores topológicos. Um dos problemas de abertura central na topologia diferencial é a conjectura de Poincaré suave de quatro dimensões, que pergunta se cada 4 vezes suave que é homeomorfo para a 4 esferas, também é diffeomorphic para ele. Ou seja, as 4 esferas admitem apenas uma estrutura lisa? Esta conjectura é verdadeira nas dimensões 1, 2 e 3, pelos resultados de classificação acima, mas é conhecida por ser falsa na dimensão 7 devido às esferas Milnor.

Ferramentas importantes no estudo da topologia diferencial de variedades suaves incluem a construção de invariantes topológicos suaves de tais variedades, como a cohomologia de Rham ou a forma de interseção, bem como construções topológicas suavizáveis, como a teoria da cirurgia suave ou a construção de cobordismos. A teoria de Morse é uma importante ferramenta que estuda variedades suaves considerando os pontos críticos de funções diferenciáveis na variedade, demonstrando como a estrutura suave da variedade entra no conjunto de ferramentas disponíveis. Freqüentemente, técnicas mais geométricas ou analíticas podem ser usadas, equipando uma variedade suave com uma métrica Riemanniana ou estudando uma equação diferencial nela. Deve-se tomar cuidado para garantir que a informação resultante seja insensível a essa escolha de estrutura extra e, portanto, reflita genuinamente apenas as propriedades topológicas da variedade suave subjacente. Por exemplo, o teorema de Hodge fornece uma interpretação geométrica e analítica da cohomologia de Rham, e a teoria de gauge foi usada por Simon Donaldson para provar fatos sobre a forma de interseção de 4-variedades simplesmente conectadas. Em alguns casos podem aparecer técnicas da física contemporânea, como a teoria quântica de campos topológicos, que pode ser usada para calcular invariantes topológicos de espaços suaves.

Teoremas famosos em topologia diferencial incluem o teorema de imersão de Whitney, o teorema da bola cabeluda, o teorema de Hopf, o teorema de Poincaré-Hopf, o teorema de Donaldson e a conjectura de Poincaré.

Descrição

A topologia diferencial considera as propriedades e estruturas que requerem apenas uma estrutura suave em um manifold para serem definidas. Coletores lisos são 'mais macios' do que variedades com estruturas geométricas extras, que podem atuar como obstruções a certos tipos de equivalências e deformações existentes na topologia diferencial. Por exemplo, o volume e a curvatura Riemanniana são invariantes que podem distinguir diferentes estruturas geométricas na mesma variedade lisa - ou seja, pode-se "achatar" certos coletores, mas pode exigir distorcer o espaço e afetar a curvatura ou o volume.

Por outro lado, as variedades suaves são mais rígidas que as variedades topológicas. John Milnor descobriu que algumas esferas têm mais de uma estrutura lisa — veja Esfera exótica e o teorema de Donaldson. Michel Kervaire exibiu variedades topológicas sem nenhuma estrutura suave. Algumas construções da teoria de variedades suaves, como a existência de fibrados tangentes, podem ser feitas no cenário topológico com muito mais trabalho, e outras não.

Um dos principais tópicos em topologia diferencial é o estudo de tipos especiais de mapeamentos suaves entre variedades, nomeadamente imersões e submersões, e as interseções de subvariedades via transversalidade. De forma mais geral, o interesse está nas propriedades e invariantes de variedades suaves que são transportadas por difeomorfismos, outro tipo especial de mapeamento suave. A teoria de Morse é outro ramo da topologia diferencial, na qual informações topológicas sobre uma variedade são deduzidas de mudanças no posto do jacobiano de uma função.

Para obter uma lista de tópicos de topologia diferencial, consulte a seguinte referência: Lista de tópicos de geometria diferencial.

Topologia diferencial versus geometria diferencial

A topologia diferencial e a geometria diferencial são primeiramente caracterizadas por sua semelhança. Ambos estudam principalmente as propriedades de variedades diferenciáveis, às vezes com uma variedade de estruturas impostas a eles.

Animação de uma xícara de café transformando-se em uma forma de donut

Uma grande diferença reside na natureza dos problemas que cada disciplina tenta resolver. Em uma visão, a topologia diferencial se distingue da geometria diferencial por estudar principalmente os problemas que são inerentemente globais. Considere o exemplo de uma xícara de café e um donut. Do ponto de vista da topologia diferencial, o donut e a xícara de café são o mesmo (em certo sentido). Esta é uma visão inerentemente global, porque não há como o topologista diferencial dizer se os dois objetos são os mesmos (neste sentido) olhando apenas para um pequeno pedaço (local) de qualquer um deles. Eles devem ter acesso a cada objeto (global) inteiro.

Do ponto de vista da geometria diferencial, a xícara de café e o donut são diferentes porque é impossível girar a xícara de café de forma que sua configuração corresponda à do donut. Esta é também uma forma global de pensar sobre o problema. Mas uma distinção importante é que o geômetra não precisa do objeto inteiro para decidir isso. Ao olhar, por exemplo, para apenas um pedacinho da asa, eles podem decidir que a xícara de café é diferente da rosquinha porque a asa é mais fina (ou mais curva) do que qualquer pedaço da rosquinha.

Para resumir, a topologia diferencial estuda estruturas em variedades que, de certo modo, não possuem estrutura local interessante. A geometria diferencial estuda estruturas em variedades que possuem uma estrutura local interessante (ou às vezes até infinitesimal).

Mais matematicamente, por exemplo, o problema da construção de um diffeomorphism entre dois coletores da mesma dimensão é inerentemente global desde então. localmente dois desses coletores são sempre diffeomorphic. Da mesma forma, o problema da computação de uma quantidade em um coletor que é invariante sob mapeamentos diferenciais é inerentemente global, uma vez que qualquer invariante local será trivial. no sentido de que já está exposto na topologia de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}. Além disso, a topologia diferencial não se restringe necessariamente ao estudo do diffeomorphism. Por exemplo, topologia simpletática - um subcreve de topologia diferencial - estuda propriedades globais de coletores simpleticos. A geometria diferencial se preocupa com problemas, que podem ser locais ou global - que sempre tem algumas propriedades locais não triviais. Assim, geometria diferencial pode estudar coletores diferenciais equipados com um conexão, a métrica (que pode ser Riemannian, pseudo-Riemannian, ou Finsler), uma espécie especial de distribuição (como uma estrutura CR), e assim por diante.

Esta distinção entre geometria diferencial e topologia diferencial é borrada, no entanto, em questões especificamente relacionadas com invariantes de diffeomorfismo local, como o espaço tangente em um ponto. Topologia diferencial também lida com questões como estas, que especificamente dizem respeito às propriedades de mapeamentos diferenciados em Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} (por exemplo, o pacote tangente, feixes de jato, o teorema de extensão Whitney, e assim por diante).

A distinção é concisa em termos abstratos:

• Topologia diferencial é o estudo das propriedades (infinitasimal, local e global) de estruturas em coletores que têm apenas trivial moduli local.
• Geometria diferencial é tal estudo de estruturas em coletores que têm um ou mais não trivial moduli local.