Teoria ingênua dos conjuntos

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Teorias de conjuntos informais

Teoria ingênua dos conjuntos é qualquer uma das várias teorias de conjuntos usadas na discussão dos fundamentos da matemática. Ao contrário das teorias axiomáticas dos conjuntos, que são definidas usando a lógica formal, a teoria ingênua dos conjuntos é definida informalmente, em linguagem natural. Ele descreve os aspectos dos conjuntos matemáticos familiares na matemática discreta (por exemplo, diagramas de Venn e raciocínio simbólico sobre sua álgebra booleana) e é suficiente para o uso diário dos conceitos da teoria dos conjuntos na matemática contemporânea.

Os conjuntos são de grande importância em matemática; nos tratamentos formais modernos, a maioria dos objetos matemáticos (números, relações, funções, etc.) são definidos em termos de conjuntos. A teoria ingênua dos conjuntos é suficiente para muitos propósitos, ao mesmo tempo em que serve como um trampolim para tratamentos mais formais.

Método

Uma teoria ingênua no sentido de "teoria ingênua dos conjuntos" é uma teoria não formalizada, ou seja, uma teoria que usa linguagem natural para descrever conjuntos e operações sobre conjuntos. As palavras e, ou, se... então, não, para alguns, para cada são tratados como na matemática comum. Por uma questão de conveniência, o uso da teoria ingênua dos conjuntos e seu formalismo prevalece até mesmo na matemática superior – inclusive em configurações mais formais da própria teoria dos conjuntos.

O primeiro desenvolvimento da teoria dos conjuntos foi uma teoria ingênua dos conjuntos. Foi criado no final do século 19 por Georg Cantor como parte de seu estudo de conjuntos infinitos e desenvolvido por Gottlob Frege em seu Grundgesetze der Arithmetik.

A teoria ingênua dos conjuntos pode se referir a várias noções muito distintas. Pode referir-se a

Apresentação informal de uma teoria dos conjuntos axiomáticos, por exemplo, Conjunto de unhas Teoria por Paul Halmos.
Versões iniciais ou posteriores da teoria de Georg Cantor e outros sistemas informais.
Teorias decididamente inconsistentes (sendo axiomáticas ou não), como uma teoria de Gottlob Frege que rendeu o paradoxo de Russell, e teorias de Giuseppe Peano e Richard Dedekind.

Paradoxos

A suposição de que qualquer propriedade pode ser usada para formar um conjunto, sem restrições, leva a paradoxos. Um exemplo comum é o paradoxo de Russell: não existe um conjunto que consiste em "todos os conjuntos que não se contêm a si mesmos". Assim, sistemas consistentes de teoria ingênua de conjuntos devem incluir algumas limitações nos princípios que podem ser usados para formar conjuntos.

Teoria de Cantor

Alguns acreditam que a teoria dos conjuntos de Georg Cantor não estava realmente implicada nos paradoxos da teoria dos conjuntos (ver Frápolli 1991). Uma dificuldade em determinar isso com certeza é que Cantor não forneceu uma axiomatização de seu sistema. Em 1899, Cantor estava ciente de alguns dos paradoxos decorrentes da interpretação irrestrita de sua teoria, por exemplo, o paradoxo de Cantor e o paradoxo de Burali-Forti, e não acreditava que eles desacreditassem sua teoria. O paradoxo de Cantor pode realmente ser derivado da suposição acima (falsa) - que qualquer propriedade $P (x)$ pode ser usado para formar um conjunto—usando para $P (x)$ " $x$ é um número cardinal". Frege explicitamente axiomatizou uma teoria na qual uma versão formalizada da teoria ingênua dos conjuntos pode ser interpretada, e é essa teoria formal que Bertrand Russell realmente abordou quando apresentou seu paradoxo, não necessariamente uma teoria Cantor - que, como mencionado, estava ciente de vários paradoxos - presumivelmente tinha em mente.

Teorias axiomáticas

A teoria axiomática dos conjuntos foi desenvolvida em resposta a essas primeiras tentativas de entender os conjuntos, com o objetivo de determinar com precisão quais operações eram permitidas e quando.

Consistência

Uma teoria ingênua de conjuntos não é necessariamente inconsistente, se especificar corretamente os conjuntos que podem ser considerados. Isso pode ser feito por meio de definições, que são axiomas implícitos. É possível enunciar todos os axiomas explicitamente, como no caso de Halmos' Naive Set Theory, que é na verdade uma apresentação informal da usual teoria axiomática dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. É "ingênuo" na medida em que a linguagem e as notações são aquelas da matemática informal comum, e na medida em que não lida com a consistência ou completude do sistema de axiomas.

Da mesma forma, uma teoria axiomática dos conjuntos não é necessariamente consistente: não é necessariamente livre de paradoxos. Segue-se dos teoremas da incompletude de Gödel que um sistema lógico de primeira ordem suficientemente complicado (que inclui as teorias de conjuntos axiomáticas mais comuns) não pode ser provado consistente de dentro da própria teoria - mesmo que seja realmente consistente. No entanto, acredita-se que os sistemas axiomáticos comuns sejam consistentes; por seus axiomas eles excluem alguns paradoxos, como o paradoxo de Russell. Com base no teorema de Gödel, simplesmente não se sabe – e nunca poderá saber – se não há paradoxos nessas teorias ou em qualquer teoria dos conjuntos de primeira ordem.

O termo teoria ingênua dos conjuntos ainda hoje é usado em alguma literatura para se referir às teorias dos conjuntos estudadas por Frege e Cantor, ao invés das contrapartes informais da moderna teoria axiomática dos conjuntos.

Utilitário

A escolha entre uma abordagem axiomática e outras abordagens é em grande parte uma questão de conveniência. Na matemática cotidiana, a melhor escolha pode ser o uso informal da teoria axiomática dos conjuntos. Referências a axiomas particulares normalmente ocorrem apenas quando exigidas pela tradição, por ex. o axioma da escolha é freqüentemente mencionado quando usado. Da mesma forma, as provas formais ocorrem apenas quando justificadas por circunstâncias excepcionais. Este uso informal da teoria axiomática dos conjuntos pode ter (dependendo da notação) precisamente a aparência da teoria ingênua dos conjuntos conforme descrito abaixo. É consideravelmente mais fácil de ler e escrever (na formulação da maioria das declarações, provas e linhas de discussão) e é menos propenso a erros do que uma abordagem estritamente formal.

Conjuntos, pertinência e igualdade

Na teoria ingênua dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção bem definida de objetos. Esses objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 é um membro do conjunto de todos os inteiros pares. Claramente, o conjunto dos números pares é infinitamente grande; não há nenhuma exigência de que um conjunto seja finito.

Passagem com o conjunto original definição de Georg Cantor

A definição de conjuntos remonta a Georg Cantor. Ele escreveu em seu artigo de 1915 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:

«Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfasung M von bestimmten wohlunterschieden Objekten unser Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen» (em inglês). – Georg Cantor

“Um conjunto é um encontro em um conjunto de objetos definidos e distintos de nossa percepção ou de nosso pensamento – que são chamados de elementos do conjunto.” – Georg Cantor

Primeiro uso do símbolo ε no trabalho Arithmetices principia nova methodo exita de Giuseppe Peano.

Nota sobre consistência

Não não decorre desta definição como os conjuntos podem ser formados e quais operações em conjuntos novamente produzirão um conjunto. O termo "bem definido" em "coleção bem definida de objetos" não pode, por si só, garantir a consistência e a inequívoco do que constitui propriamente e do que não constitui um conjunto. Tentar alcançar isso seria o domínio da teoria axiomática dos conjuntos ou da teoria de classes axiomática.

O problema, neste contexto, com as teorias de conjuntos formuladas informalmente, não derivadas de (e implicando) nenhuma teoria axiomática particular, é que pode haver várias versões formalizadas amplamente diferentes, que têm conjuntos diferentes e regras diferentes para como novas conjuntos podem ser formados, todos de acordo com a definição informal original. Por exemplo, a definição literal de Cantor permite considerável liberdade no que constitui um conjunto. Por outro lado, é improvável que Cantor estivesse particularmente interessado em conjuntos contendo cães e gatos, mas apenas em conjuntos contendo objetos puramente matemáticos. Um exemplo de tal classe de conjuntos poderia ser o universo de von Neumann. Mas mesmo ao fixar a classe de conjuntos em consideração, nem sempre é claro quais regras para a formação de conjuntos são permitidas sem a introdução de paradoxos.

Com o objetivo de fixar a discussão abaixo, o termo "bem definido" em vez disso, deve ser interpretado como uma intenção, com regras implícitas ou explícitas (axiomas ou definições), para descartar inconsistências. O objetivo é manter as questões frequentemente profundas e difíceis de consistência longe do contexto em questão, geralmente mais simples. Uma exclusão explícita de todas as inconsistências concebíveis (paradoxos) não pode ser alcançada para uma teoria axiomática dos conjuntos de qualquer maneira, devido ao segundo teorema da incompletude de Gödel, então isso não prejudica de forma alguma a utilidade do ingênuo teoria dos conjuntos em comparação com a teoria axiomática dos conjuntos nos contextos simples considerados abaixo. Apenas simplifica a discussão. A consistência é doravante tida como certa, a menos que explicitamente mencionada.

Associação

Se x é membro de um conjunto A, então também se diz que x pertence a A, ou que x está em A. Isso é indicado por x ∈ A. O símbolo ∈ é uma derivação da letra grega minúscula epsilon, "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1889 e é a primeira letra da palavra ἐστί (significa "é"). O símbolo ∉ é frequentemente usado para escrever x ∉ A, significando "x não está em A".

Igualdade

Dois conjuntos A e B são definidos como iguais quando têm precisamente os mesmos elementos, ou seja, se todos os elementos de A é um elemento de B e todo elemento de B é um elemento de A. (Ver axioma da extensionalidade.) Assim, um conjunto é completamente determinado por seus elementos; a descrição é irrelevante. Por exemplo, o conjunto com os elementos 2, 3 e 5 é igual ao conjunto de todos os números primos menores que 6. Se os conjuntos A e B forem iguais, isso é denotado simbolicamente como A = B (como de costume).

Conjunto vazio

O conjunto vazio, denotado como $varnothing$ e às vezes ${}$ , é um conjunto sem membros. Como um conjunto é determinado completamente por seus elementos, pode haver apenas um conjunto vazio. (Veja o axioma do conjunto vazio.) Embora o conjunto vazio não tenha membros, pode ser um membro de outros conjuntos. Assim ${displaystyle varnothing neq {varnothing }}$ , porque o primeiro não tem membros e este último tem um membro. Em matemática, os únicos conjuntos com os quais se deve preocupar podem ser construídos a partir do conjunto vazio sozinho.

Especificando conjuntos

A maneira mais simples de descrever um conjunto é listar seus elementos entre chaves (conhecido como definir um conjunto extensionally). Assim, ${1, 2}$ denota o conjunto cujos únicos elementos são $1$ e $2. (Ver axioma do emparelhamento.) Observe os seguintes pontos:$

A ordem dos elementos é imaterial; por exemplo, ${1, 2} = {2, 1}$ .
A repetição (multiplicidade) de elementos é irrelevante; por exemplo, ${1, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}$ .

(Essas são consequências da definição de igualdade na seção anterior.)

Essa notação pode ser abusada informalmente dizendo algo como ${dogs}$ para indicar o conjunto de todos os cachorros, mas esse exemplo normalmente seria lido por matemáticos como " o conjunto contendo o único elemento cachorros".

Um exemplo extremo (mas correto) dessa notação é ${}$ , que denota o conjunto vazio.

A notação ${x : P (x)}$ , ou às vezes ${x | P (x)}$ , é usado para denotar o conjunto contendo todos os objetos para os quais a condição $P$ detém (conhecido como definir um conjunto intensionalmente). Por exemplo, ${x : x \in R}$ denota o conjunto de números reais, ${x : x tem cabelo loiro}$ denota o conjunto de tudo com cabelo loiro.

Essa notação é chamada de notação de construtor de conjunto (ou "compreensão de conjunto", particularmente no contexto da programação Funcional). Algumas variantes da notação do construtor de conjuntos são:

$(x \in A : P (x)$ denota o conjunto de todos $x$ que já são membros de $A$ tal que a condição $P$ detenção $x$ . Por exemplo, se $Z.$ é o conjunto de inteiros, então $(x \in Z. : x É mesmo.$ é o conjunto de todos até inteiros. (Ver axioma da especificação.)
$(F (x): x \in A ?$ denota o conjunto de todos os objetos obtidos colocando membros do conjunto $A$ na fórmula $F$ . Por exemplo, $(x : x \in Z. ?$ é novamente o conjunto de todos até inteiros. (Ver axioma de substituição.)
$(F (x): P (x)$ é a forma mais geral de notação do construtor definido. Por exemplo, $(x ' : x é um cão$ é o conjunto de todos os donos de cães.

Subconjuntos

Dados dois conjuntos A e B, A é um subconjunto de B se todo elemento de A também for um elemento de B. Em particular, cada conjunto B é um subconjunto de si mesmo; um subconjunto de B que não é igual a B é chamado de subconjunto adequado.

Se A é um subconjunto de B, então também pode-se dizer que B é um superconjunto de A, que A está contido em B, ou que B contém A. Em símbolos, A ⊆ B significa que A é um subconjunto de B e B ⊇ A significa que B é um superconjunto de A. Alguns autores usam os símbolos ⊂ e ⊃ para subconjuntos, e outros usam esses símbolos apenas para subconjuntos próprios. Para maior clareza, pode-se usar explicitamente os símbolos ⊊ e ⊋ para indicar não igualdade.

Como ilustração, seja R o conjunto dos números reais, seja Z o conjunto dos inteiros, seja O o conjunto de números inteiros ímpares, e seja P o conjunto de presidentes americanos atuais ou anteriores. Então O é um subconjunto de Z, Z é um subconjunto de R e (portanto) O é um subconjunto de R, onde em todos os casos subconjunto pode até ser lido como subconjunto adequado. Nem todos os conjuntos são comparáveis desta forma. Por exemplo, não é o caso que R é um subconjunto de P nem que P é um subconjunto de R.

Resulta imediatamente da definição de igualdade dos conjuntos acima que, dados dois conjuntos A e B, A = B se e somente se A ⊆ B e B ⊆ A. Na verdade, isso é frequentemente dado como a definição de igualdade. Normalmente, ao tentar provar que dois conjuntos são iguais, procura-se mostrar essas duas inclusões. O conjunto vazio é um subconjunto de todo conjunto (a afirmação de que todos os elementos do conjunto vazio também são membros de qualquer conjunto A é vagamente verdadeira).

O conjunto de todos os subconjuntos de um determinado conjunto A é chamado de conjunto de energia de A e é denotado por $2^{A}$ ou $P(A)$ ; o "P" às vezes está em uma fonte de script. Se o conjunto A ele tem n elementos, então $P(A)$ eu terei $2^{n}$ elementos.

Conjuntos universais e complementos absolutos

Em certos contextos, pode-se considerar todos os conjuntos em consideração como sendo subconjuntos de algum determinado conjunto universal. Por exemplo, ao investigar propriedades dos números reais R (e subconjuntos de R), R pode ser tomado como o conjunto universal. Um verdadeiro conjunto universal não está incluído na teoria dos conjuntos padrão (ver Paradoxos abaixo), mas está incluído em algumas teorias dos conjuntos não padrão.

Dado um conjunto universal U e um subconjunto A de U, o complemento de A (em U) é definido como

A^C:x∈U: x∉A}

Em outras palavras, A^C ("A-complemento" às vezes simplesmente A&# 39;, "A-principal") é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A . Assim, com R, Z e O definidos como na seção de subconjuntos, se Z é o conjunto universal, então O^C é o conjunto dos inteiros pares, enquanto se R é o conjunto universal, então O^C é o conjunto de todos os números reais que são inteiros pares ou não inteiros.

Uniões, interseções e complementos relativos

Dados dois conjuntos A e B, sua união é o conjunto que consiste em todos os objetos que são elementos de A ou de B ou de ambos (ver axioma da união). É denotado por A ∪ B.

A interseção de A e B é o conjunto de todos os objetos que estão em A e em B. É denotado por A ∩ B.

Finalmente, o complemento relativo de B relativo a A, também conhecido como diferença teórica de conjuntos de A e B, é o conjunto de todos os objetos que pertencem a A mas não a B. É escrito como A B ou A − B.

Simbolicamente, estes são respectivamente

A? (x:x∈A) ou (x∈B)};

A─B:x:x∈A) ex∈B)x∈A: x∈BNão.x∈B: x∈A}

AB:x:x∈A) e não (x∈B) (x∈A: não (x∈B)}.

O conjunto B não precisa ser um subconjunto de A para A B fazer sentido; esta é a diferença entre o complemento relativo e o complemento absoluto (A^C = U A) do seção anterior.

Para ilustrar essas ideias, seja A o conjunto de pessoas canhotas e B o conjunto de pessoas com cabelos loiros. Então A ∩ B é o conjunto de todos os canhotos de cabelos loiros, enquanto A ∪ B é o conjunto de todas as pessoas que são canhotas ou loiras ou ambas. A B, por outro lado, é o conjunto de todas as pessoas que são canhotas, mas não loiras, enquanto B A é o conjunto de todas as pessoas que têm cabelos loiros, mas não são canhotas.

Agora seja E o conjunto de todos os seres humanos e F o conjunto de todos os seres vivos com mais de 1000 anos de idade. O que é E ∩ F neste caso? Nenhum ser humano vivo tem mais de 1000 anos, então E ∩ F deve ser o conjunto vazio {}.

Para qualquer conjunto A, o conjunto de energia $P(A)$ é uma álgebra booleana sob as operações de união e interseção.

Pares ordenados e produtos cartesianos

Intuitivamente, um par ordenado é simplesmente uma coleção de dois objetos de modo que um pode ser distinguido como o primeiro elemento e o outro como o segundo elemento, e tendo a propriedade fundamental de que dois pares ordenados são iguais se e somente se seus primeiros elementos forem iguais e seus segundos elementos forem iguais.

Formalmente, um par ordenado com primeira coordenada a e segunda coordenada b, geralmente denotado por (a, b), pode ser definido como o conjunto {{a}, {a, b}}.

Segue-se que dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são igual se e somente se a = c e b = d.

Como alternativa, um par ordenado pode ser pensado formalmente como um conjunto {a,b} com uma ordem total.

(A notação (a, b) também é usada para denotar um intervalo aberto na reta numérica real, mas o contexto deve deixar claro qual significado é pretendido Caso contrário, a notação ]a, b[ pode ser usada para denotar o intervalo aberto enquanto (a, b) é usado para o par ordenado).

Se A e B são conjuntos, então o produto cartesiano (ou simplesmente produto) é definido para ser:

A× BNão.um,b)): um em A e b) em B}

Ou seja, A × B é o conjunto de todos os pares ordenados cuja primeira coordenada é um elemento de A e cuja segunda coordenada é um elemento de B.

Esta definição pode ser estendida a um conjunto A × B × C de triplos ordenados e, mais geralmente, a conjuntos de n- tuplas para qualquer inteiro positivo n. É até possível definir produtos cartesianos infinitos, mas isso requer uma definição mais recôndita do produto.

Os produtos cartesianos foram desenvolvidos pela primeira vez por René Descartes no contexto da geometria analítica. Se R denota o conjunto de todos os números reais, então R²:= R × R representa o plano euclidiano e R³:= R × R × R representa o espaço euclidiano tridimensional.

Alguns conjuntos importantes

Existem alguns conjuntos onipresentes para os quais a notação é quase universal. Alguns deles estão listados abaixo. Na lista, a, b e c referem-se a números naturais, e r e s são números reais.

Os números naturais são usados para contar. Um blackboard negrito capital N ( $mathbb {N}$ ) muitas vezes representa este conjunto.
Os inteiros aparecem como soluções para x em equações como x + um = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b). Um blackboard negrito capital Z. ( $mathbb {Z}$ ) muitas vezes representa este conjunto (do alemão Zahlen, significado números).
Os números racionais aparecem como soluções para equações como um + Bx = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = c. Um blackboard negrito capital Q ( $mathbb {Q}$ ) muitas vezes representa este conjunto (para - Sim., porque R é usado para o conjunto de números reais).
Os números algébricas aparecem como soluções para equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e podem envolver radicais (incluindo ${displaystyle i={sqrt {-1,}}}$ ) e certos outros números irracionais. A Q com um overline ( ${overline {mathbb {Q} }}$ ) muitas vezes representa este conjunto. O contorno denota a operação do fechamento algébrico.
Os números reais representam a "linha real" e incluem todos os números que podem ser aproximados por racionais. Esses números podem ser racionais ou algébricas, mas também podem ser números transcendentais, que não podem aparecer como soluções para equações polinomiais com coeficientes racionais. Um blackboard negrito capital R ( $mathbb {R}$ ) muitas vezes representa este conjunto.
Os números complexos são somas de um número real e imaginário: ${displaystyle r+s,i}$ . Aqui também. $r$ ou $s$ (ou ambos) pode ser zero; assim, o conjunto de números reais e o conjunto de números estritamente imaginários são subconjuntos do conjunto de números complexos, que formam um fechamento algébrico para o conjunto de números reais, o que significa que cada polinomial com coeficientes em $mathbb {R}$ tem pelo menos uma raiz neste conjunto. Um blackboard negrito capital C ( $mathbb {C}$ ) muitas vezes representa este conjunto. Note que desde um número ${displaystyle r+s,i}$ pode ser identificado com um ponto $(r,s)$ no avião, $mathbb {C}$ é basicamente "o mesmo" do produto cartesiano ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ ("o mesmo" significa que qualquer ponto em um determina um ponto único no outro e para o resultado de cálculos, não importa qual é usado para o cálculo, desde que a regra da multiplicação seja apropriada para $mathbb {C}$ ).

Paradoxos na teoria dos conjuntos iniciais

O princípio de formação irrestrita de conjuntos referido como o esquema de axioma da compreensão irrestrita,

P

é uma propriedade, então existe um conjunto

Y Não. x : P (x)

(falso),

é a fonte de vários paradoxos que aparecem no início:

$Y Não. x : x é um ordinal$ levou, no ano de 1897, ao paradoxo de Burali-Forti, a primeira antinomia publicada.
$Y Não. x : x é um cardeal$ produziu o paradoxo de Cantor em 1897.
$Y Não. x :$ cedida A segunda antinomia de Cantor no ano 1899. Aqui a propriedade $P$ é verdade para todos $x$ , independentemente $x$ pode ser, então $Y$ seria um conjunto universal, contendo tudo.
$Y Não. x : x \notin x ?$ , ou seja, o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm como elementos, deu o paradoxo de Russell em 1902.

Se o esquema de axioma de compreensão irrestrita for enfraquecido para o esquema de axioma de especificação ou esquema de axioma de separação,

P

é uma propriedade, então para qualquer conjunto

X

existe um conjunto

Y Não. x \in X : P (x)

então todos os paradoxos acima desaparecem. Há um corolário. Com o esquema do axioma da separação como axioma da teoria, segue-se, como teorema da teoria:

O conjunto de todos os conjuntos não existe.

Ou, de forma mais espetacular (frase de Halmos): Não há universo. Prova: Suponha que exista e chame-a de $U$ . Agora aplique o esquema do axioma da separação com $X = U$ e para $P (x)$ use $x \notin x$ . Isso leva ao paradoxo de Russell novamente. Portanto $U$ não pode existir nesta teoria.

Relacionado às construções acima está a formação do conjunto

$Y Não. x : x \in x) \to {} \neq {}}$ ,

onde a declaração seguinte à implicação certamente é falsa. Segue-se, da definição de $Y$ , usando as regras de inferência usuais (e alguma reflexão tardia ao ler a prova no artigo vinculado abaixo) ambos $Y \in Y \to { } \neq {}$ e $Y \in Y$ é válido, portanto, ${} \neq {}$ . Este é o paradoxo de Curry.

Não é (talvez surpreendentemente) a possibilidade de $x \in x$ isso é problemático. É novamente o esquema do axioma da compreensão irrestrita que permite $(x \in x) \to {} \neq {}$ para $P (x)$ . Com o esquema do axioma da especificação em vez da compreensão irrestrita, a conclusão $Y \in Y$ não é válido e, portanto, ${} \neq {}$ não é uma consequência lógica.

No entanto, a possibilidade de $x \in x$ geralmente é removido explicitamente ou, por exemplo, no ZFC, implicitamente, ao exigir que o axioma da regularidade se mantenha. Uma consequência disso é

Não há nenhum conjunto

X

para os quais

X \in X

ou, em outras palavras, nenhum conjunto é um elemento de si mesmo.

O esquema do axioma da separação é simplesmente muito fraco (enquanto a compreensão irrestrita é um axioma muito forte - forte demais para a teoria dos conjuntos) para desenvolver a teoria dos conjuntos com suas operações e construções usuais descritas acima. O axioma da regularidade também é de natureza restritiva. Portanto, somos levados à formulação de outros axiomas para garantir a existência de conjuntos suficientes para formar uma teoria de conjuntos. Alguns deles foram descritos informalmente acima e muitos outros são possíveis. Nem todos os axiomas concebíveis podem ser combinados livremente em teorias consistentes. Por exemplo, o axioma de escolha de ZFC é incompatível com o concebível "todo conjunto de reais é mensurável Lebesgue". O primeiro implica que o último é falso.

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