Teoria dos conjuntos ingênuos (livro)

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livro de matemática de 1960 por Paul Halmos

Veja também teoria de conjuntos ingênuos para o tópico matemático.

Primeira edição

Naive Set Theory é um livro de matemática de Paul Halmos que fornece uma introdução de graduação à teoria dos conjuntos. Originalmente publicado por Van Nostrand em 1960, foi reimpresso na série Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics em 1974.

Embora o título declare que é ingênuo, o que geralmente significa sem axiomas, o livro apresenta todos os axiomas da teoria dos conjuntos ZFC (exceto o Axioma da Fundação) e fornece definições corretas e rigorosas para objetos básicos. Onde difere de um "verdadeiro" livro de teoria dos conjuntos axiomáticos é o seu caráter: não há discussões de minúcias axiomáticas, e não há quase nada sobre tópicos avançados como grandes cardeais. Em vez disso, tenta ser inteligível para alguém que nunca pensou sobre a teoria dos conjuntos antes.

Halmos afirmou mais tarde que foi o livro mais rápido que ele escreveu, levando cerca de seis meses, e que o livro "se escreveu sozinho".

Ausência do Axioma da Fundação

Como observado acima, o livro omite o Axioma da Fundação (também conhecido como Axioma da Regularidade). Halmos dança repetidamente em torno da questão de saber se um conjunto pode ou não conter a si mesmo.

p. 1: "um conjunto também pode ser um elemento de alguns outros set" (emfase adicionada)
p. 3: "is $A$ ∈ $A$ alguma vez verdade? Certamente não é verdade para qualquer conjunto razoável que alguém já viu."
p. 6: " $B$ ∈ $B$ ... improvável, mas não obviamente impossível"

Mas Halmos nos permite provar que existem certos conjuntos que não podem conter a si mesmos.

p. 44: Halmos nos permite provar que $omega$ ∉ $omega$ . Por favor. $omega$ ∈ $omega$ , então $omega$ - Não. $omega$ } ainda seria um conjunto sucessor, porque $omega$ ≠ and e $omega$ não é o sucessor de qualquer número natural. Mas... $omega$ não é um subconjunto de $omega$ - Não. $omega$ }, contradizendo a definição de $omega$ como um subconjunto de cada conjunto sucessor.
p. 47: Halmos prova o lema que "nenhum número natural é um subconjunto de qualquer um de seus elementos". Isso nos permite provar que nenhum número natural pode conter-se. Por favor. $n$ ∈ $n$ , onde $n$ é um número natural, então $n$ ? $n$ ∈ $n$ , que contradiz o lema.
p. 75: "Um número ordinário é definido como um conjunto bem ordenado $alpha$ tal que ${displaystyle s(xi)=xi }$ para todos $xi$ em $alpha$ ; aqui ${displaystyle s(xi)}$ é, como antes, o segmento inicial ${displaystyle {eta }$ ∈ $alpha:$ $eta$ < $xi$ " A ordenação bem definida é como segue: se $xi$ e $eta$ são elementos de um número ordinal $alpha$ , então $xi$ < $eta$ significa $xi$ ∈ $eta$ (pp. 75-76). Por sua escolha do símbolo < em vez de ≤, Halmos implica que a ordenação bem < é estrita (pp. 55-56). Esta definição de < torna impossível ter $xi$ ∈ $xi$ , onde $xi$ é um elemento de um número ordinal. Isso é porque $xi$ ∈ $xi$ significa $xi$ < $xi$ , que implica $xi$ ≠ $xi$ (porque < é estrito), o que é impossível.
p. 75: a definição acima de um número ordinal também torna impossível ter $alpha$ ∈ $alpha$ , onde $alpha$ é um número ordinal. Isso é porque $alpha$ ∈ $alpha$ implica $alpha$ = $alpha$ ). Isto dá-nos $alpha$ ∈ $alpha$ = $alpha$ ) = ${displaystyle {eta }$ ∈ $alpha:$ $eta$ < $alpha$ }, o que implica $alpha$ < $alpha$ , que implica $alpha$ ≠ $alpha$ (porque < é estrito), o que é impossível.

Errata

p. 4, linha 18: “Cain e Abel” devem ser “Seth, Cain e Abel”.
p. 30, linha 10: "x on y" deve ser "x into y".
p. 73, linha 19: "para cada z em X" deve ser "para cada um em X".
p. 75, linha 3: "se e somente se x ∈ F(n)" deve ser "se e somente se x = {b: S(n, b)}".

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