Teoria do modelo

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Área da lógica matemática

Na lógica matemática, a teoria dos modelos é o estudo da relação entre as teorias formais (uma coleção de sentenças em uma linguagem formal expressando declarações sobre uma estrutura matemática) e seus modelos (aquelas estruturas nas quais as afirmações da teoria sustentam). Os aspectos investigados incluem o número e o tamanho dos modelos de uma teoria, a relação de diferentes modelos entre si e sua interação com a própria linguagem formal. Em particular, os teóricos do modelo também investigam os conjuntos que podem ser definidos em um modelo de uma teoria e a relação de tais conjuntos definíveis entre si. Como uma disciplina separada, a teoria dos modelos remonta a Alfred Tarski, que primeiro usou o termo "Teoria dos Modelos" publicado em 1954. Desde a década de 1970, o assunto foi moldado decisivamente pela teoria da estabilidade de Saharon Shelah.

Em comparação com outras áreas da lógica matemática, como a teoria da prova, a teoria dos modelos geralmente está menos preocupada com o rigor formal e mais próxima da matemática clássica. Isso levou ao comentário de que "se a teoria da prova é sobre o sagrado, então a teoria do modelo é sobre o profano". As aplicações da teoria de modelos à geometria algébrica e diofantina refletem essa proximidade com a matemática clássica, pois muitas vezes envolvem uma integração de resultados e técnicas algébricas e de modelos teóricos. Consequentemente, a teoria da prova é de natureza sintática, em contraste com a teoria do modelo, que é de natureza semântica.

A organização acadêmica mais proeminente no campo da teoria dos modelos é a Association for Symbolic Logic.

Visão geral

Esta página enfoca a teoria do modelo finitário de primeira ordem de estruturas infinitas.

A ênfase relativa colocada na classe de modelos de uma teoria em oposição à classe de conjuntos definíveis dentro de um modelo flutuou na história do assunto, e as duas direções são resumidas pelas caracterizações concisas de 1973 e 1997, respectivamente:

teoria do modelo = álgebra universal + lógica

onde álgebra universal significa estruturas matemáticas e lógica teorias lógicas; e

teoria do modelo = Geometria algébrica - campos.

onde as fórmulas lógicas são para conjuntos definíveis que as equações são para variedades em um campo.

No entanto, a interação de classes de modelos e os conjuntos definíveis nelas tem sido crucial para o desenvolvimento da teoria dos modelos ao longo de sua história. Por exemplo, enquanto a estabilidade foi originalmente introduzida para classificar as teorias por seus números de modelos em uma determinada cardinalidade, a teoria da estabilidade provou ser crucial para a compreensão da geometria de conjuntos definíveis.

Noções fundamentais da teoria do modelo de primeira ordem

Lógica de primeira ordem

Uma primeira ordem fórmula é construído fora de fórmulas atômicas como R(f(x,Sim.),zangão.) ou Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x + 1 por meio dos conjuntivos booleanos $neglandlorrightarrow$ e prefixo de quantificadores $forall v$ ou $exists v$ . Uma frase é uma fórmula em que cada ocorrência de uma variável está no escopo de um quantificador correspondente. Exemplos de fórmulas são φ (ou φ(x) para marcar o fato de que, no máximo, x é uma variável inbound em φ) e Ψ definida como segue:

{displaystyle {begin{array}{lcl}varphi &=&forall uforall v(exists w(xtimes w=utimes v)rightarrow (exists w(xtimes w=u)lor exists w(xtimes w=v)))land xneq 0land xneq 1,:\psi &=&forall uforall v((utimes v=x)rightarrow (u=x)lor (v=x))land xneq 0land xneq 1.end{array}}}

(Nota que o símbolo de igualdade tem um duplo significado aqui.) É intuitivamente claro como traduzir tais fórmulas em significado matemático. No σ_Smr- estrutura ${mathcal {N}}$ dos números naturais, por exemplo, um elemento n satisfaz a fórmula φ se e somente se n é um número primo. A fórmula Ψ define igualmente a irredutibilidade. Tarski deu uma definição rigorosa, às vezes chamada de "definição da verdade de Tarski", para a relação de satisfação $models$ , para que se prove facilmente:

{mathcal {N}}models varphi (n)iff n

é um número primo.

{mathcal {N}}models psi (n)iff n

é irredutível.

Um conjunto $T$ de sentenças é chamada de teoria (primeira ordem), que toma as sentenças no conjunto como seus axiomas. Uma teoria é satisfatível se tiver modelo ${mathcal {M}}models T$ , isto é, uma estrutura (da assinatura adequada) que satisfaz todas as sentenças no conjunto $T$ . Uma teoria completa é uma teoria que contém cada frase ou sua negação. A teoria completa de todas as frases satisfeitas por uma estrutura também é chamada de teoria dessa estrutura.

É uma consequência do teorema da completude de Gödel (não confundir com seus teoremas da incompletude) que uma teoria tem um modelo se e somente se for consistente, ou seja, nenhuma contradição é provada pela teoria. Portanto, os teóricos do modelo costumam usar argumentos "consistentes" como sinônimo de "satisfatório".

Conceitos teóricos básicos do modelo

Uma assinatura ou linguagem é um conjunto de símbolos não-lógicos, de tal forma que cada símbolo é um símbolo constante, ou um símbolo de função ou relação com um arity especificado. Note que em alguma literatura, símbolos constantes são considerados como símbolos de função com aridade zero e, portanto, são omitidos. Uma estrutura é um conjunto $M$ em conjunto com interpretações de cada um dos símbolos da assinatura como relações e funções em $M$ (não confundir com a noção formal de uma "interpretação" de uma estrutura em outra).

Exemplo: Uma assinatura comum para anéis ordenados é $<math alttext="{displaystyle sigma _{or}={0,1,+,times-,σ σ oR= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0,1,+,× × ,- Sim. - Sim. ,<?{displaystyle sigma _{or}={0,1,+,times-,<}}<img alt="{displaystyle sigma _{or}={0,1,+,times-,$ , onde ${displaystyle 0}$ e $1$ são símbolos de função 0-ary (também conhecidos como símbolos constantes), $+$ e $times$ são símbolos de função binários (= 2-ary), $-$ é um símbolo de função unary (= 1-ary) e $<math alttext="{displaystyle <- Sim. <img alt="$ é um símbolo de relação binária. Então, quando estes símbolos são interpretados para corresponder com seu significado habitual em $mathbb {Q}$ (por exemplo. $+$ é uma função de ${displaystyle mathbb {Q} ^{2}}$ para $mathbb {Q}$ e $<math alttext="{displaystyle <- Sim. <img alt="$ é um subconjunto de ${displaystyle mathbb {Q} ^{2}}$ ), obtém-se uma estrutura ${displaystyle (mathbb {Q}sigma _{or})}$ .

Uma estrutura ${displaystyle {mathcal {N}}}$ é dito para modelar um conjunto de sentenças de primeira ordem $T$ na língua dada se cada frase em $T$ é verdade ${displaystyle {mathcal {N}}}$ com relação à interpretação da assinatura previamente especificada para ${displaystyle {mathcal {N}}}$ . (Além disso, não deve ser confundido com a noção formal de uma "interpretação" de uma estrutura em outra)

Uma subestrutura ${mathcal {A}}$ de uma estrutura σ ${mathcal {B}}$ é um subconjunto de seu domínio, fechado sob todas as funções em sua assinatura σ, que é considerado como uma estrutura σ, restringindo todas as funções e relações em σ ao subconjunto. Isso generaliza os conceitos análogos da álgebra; por exemplo, um subgrupo é uma subestrutura na assinatura com multiplicação e inverso.

Diz-se que uma subestrutura é elementar se para qualquer fórmula de primeira ordem φ e quaisquer elementos um₁, um_n de ${mathcal {A}}$ ,

{displaystyle {mathcal {A}}models varphi (a_{1},...,a_{n})}

se e somente se

{displaystyle {mathcal {B}}models varphi (a_{1},...,a_{n})}

Em particular, se φ é uma sentença e ${mathcal {A}}$ uma subestrutura elementar ${mathcal {B}}$ , então ${displaystyle {mathcal {A}}models varphi }$ se e somente se ${displaystyle {mathcal {B}}models varphi }$ . Assim, uma subestrutura elementar é um modelo de uma teoria exatamente quando a superestrutura é um modelo.

Exemplo: Enquanto o campo dos números algébricas ${overline {mathbb {Q} }}$ é uma subestrutura elementar do campo de números complexos $mathbb {C}$ , o campo racional $mathbb {Q}$ não é, como podemos expressar "Há uma raiz quadrada de 2" como uma sentença de primeira ordem satisfeita por $mathbb {C}$ mas não por $mathbb {Q}$ .

Uma incorporação de uma estrutura σ ${mathcal {A}}$ em outra estrutura σ ${mathcal {B}}$ é um mapa f: A → B entre os domínios que podem ser escritos como um isomorfismo de ${mathcal {A}}$ com uma subestrutura de ${mathcal {B}}$ . Se pode ser escrito como um isomorfismo com uma subestrutura elementar, é chamado de incorporação elementar. Cada incorporação é um homomorfismo injetivo, mas o converso apenas se a assinatura não contém símbolos de relação, como em grupos ou campos.

Um corpo ou um espaço vetorial pode ser considerado como um grupo (comutativo) simplesmente ignorando parte de sua estrutura. A noção correspondente na teoria do modelo é a de uma redução de uma estrutura a um subconjunto da assinatura original. A relação oposta é chamada de expansão - ex. o grupo (aditivo) dos números racionais, considerado como uma estrutura na assinatura {+,0} pode ser expandido para um campo com a assinatura {×,+,1,0} ou para um grupo ordenado com a assinatura {+,0,<}.

Da mesma forma, se σ' é uma assinatura que estende outra assinatura σ, então uma teoria σ' completa pode ser restrita a σ pela interseção do conjunto de suas sentenças com o conjunto de fórmulas σ. Por outro lado, uma σ-teoria completa pode ser considerada como uma σ'-teoria, e pode-se estendê-la (em mais de uma maneira) para uma completa σ'-teoria. Os termos redução e expansão às vezes também são aplicados a essa relação.

Compactividade e o teorema de Löwenheim-Skolem

O teorema da compacidade afirma que um conjunto de sentenças S é satisfatível se todo subconjunto finito de S for satisfatível. A declaração análoga com consistente em vez de satisfatível é trivial, pois toda prova pode ter apenas um número finito de antecedentes usados na prova. O teorema da completude nos permite transferir isso para a satisfatibilidade. No entanto, também existem várias provas diretas (semânticas) do teorema da compacidade. Como corolário (ou seja, sua contrapositiva), o teorema da compacidade diz que toda teoria de primeira ordem insatisfatória tem um subconjunto insatisfatível finito. Este teorema é de importância central na teoria dos modelos, onde as palavras "por compacidade" são comuns.

Outra pedra angular da teoria do modelo de primeira ordem é o teorema de Löwenheim-Skolem. De acordo com o Teorema de Löwenheim-Skolem, toda estrutura infinita em uma assinatura contável tem uma subestrutura elementar contável. Por outro lado, para qualquer cardinal infinito κ toda estrutura infinita em uma assinatura contável que é de cardinalidade menor que κ pode ser elementarmente embutida em outra estrutura de cardinalidade κ (há uma generalização direta para assinaturas incontáveis). Em particular, o Teorema de Löwenheim-Skolem implica que qualquer teoria em uma assinatura contável com modelos infinitos tem um modelo contável, bem como modelos arbitrariamente grandes.

Em certo sentido, tornado preciso pelo teorema de Lindström, a lógica de primeira ordem é a lógica mais expressiva para a qual tanto o teorema de Löwenheim-Skolem quanto o teorema da compacidade se sustentam.

Definibilidade

Conjuntos definíveis

Na teoria dos modelos, conjuntos definíveis são objetos importantes de estudo. Por exemplo, $mathbb N$ a fórmula

{displaystyle forall uforall v(exists w(xtimes w=utimes v)rightarrow (exists w(xtimes w=u)lor exists w(xtimes w=v)))land xneq 0land xneq 1}

define o subconjunto de números primos, enquanto a fórmula

{displaystyle exists y(2times y=x)}

define o subconjunto de números pares. De uma forma semelhante, fórmulas com n variáveis livres definem subconjuntos de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ . Por exemplo, em um campo, a fórmula

{displaystyle y=xtimes x}

define a curva de todos $(x,y)$ tal que $y=x^{2}$ .

Ambas as definições aqui mencionadas são sem parâmetro, isto é, as fórmulas de definição não mencionam quaisquer elementos de domínio fixo. No entanto, também se pode considerar definições com parâmetros do modelo. Por exemplo, $mathbb {R}$ , a fórmula

{displaystyle y=xtimes x+pi }

usa o parâmetro $pi$ a partir de $mathbb {R}$ definir uma curva.

Eliminando quantificadores

Em geral, conjuntos definíveis sem quantificadores são fáceis de descrever, enquanto conjuntos definíveis envolvendo quantificadores possivelmente aninhados podem ser muito mais complicados.

Isso torna a eliminação do quantificador uma ferramenta crucial para analisar conjuntos definíveis: Uma teoria T tem eliminação de quantificador se cada fórmula de primeira ordem φ(x₁, x_n) sobre a sua assinatura é modulo equivalente T para uma fórmula de primeira ordem Ψ(x₁, x_n) sem quantificadores, i.e. $forall x_{1}dots forall x_{n}(phi (x_{1},dotsx_{n})leftrightarrow psi (x_{1},dotsx_{n}))$ em todos os modelos de T. Se a teoria de uma estrutura tem eliminação de quantificador, cada conjunto definido em uma estrutura é definido por uma fórmula livre de quantificador sobre os mesmos parâmetros que a definição original. Por exemplo, a teoria dos campos algébricamente fechados na assinatura σ_anel = (×,+,−,0,1) tem eliminação do quantificador. Isso significa que em um campo algébricamente fechado, cada fórmula é equivalente a uma combinação booleana de equações entre polinomiais.

Se uma teoria não tiver eliminação de quantificador, pode-se adicionar símbolos adicionais à sua assinatura para que ela tenha. Resultados de axiomatabilidade e eliminação de quantificadores para teorias específicas, especialmente em álgebra, estavam entre os primeiros resultados de referência da teoria de modelos. Mas muitas vezes, em vez da eliminação do quantificador, uma propriedade mais fraca é suficiente:

Uma teoria T é chamada de modelo completo se toda subestrutura de um modelo de T que é ele próprio um modelo de T é um elemento elementar subestrutura. Existe um critério útil para testar se uma subestrutura é uma subestrutura elementar, chamado de teste de Tarski-Vaught. Segue deste critério que uma teoria T é modelo completo se e somente se toda fórmula de primeira ordem φ(x₁,..., x_n) sobre sua assinatura é equivalente módulo T a uma fórmula existencial de primeira ordem, ou seja, um fórmula da seguinte forma:

exists v_{1}dots exists v_{m}psi (x_{1},dotsx_{n},v_{1},dotsv_{m})

onde ψ é quantificador livre. Uma teoria que não é modelo completo pode ter uma conclusão de modelo, que é uma teoria de modelo completo relacionada que não é, em geral, uma extensão da teoria original. Uma noção mais geral é a de um companheiro modelo.

Minimalidade

Em cada estrutura, cada subconjunto finito ${displaystyle {a_{1},dotsa_{n}}}$ é definido com parâmetros: Basta usar a fórmula

{displaystyle x=a_{1}vee dots vee x=a_{n}}

Como podemos negar essa fórmula, todo subconjunto cofinito (que inclui todos os elementos do domínio, exceto um número finito) também é sempre definível.

Isso leva ao conceito de um estrutura mínima. Uma estrutura ${mathcal {M}}$ é chamado mínimo se cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq {mathcal {M}}}$ definível com parâmetros de ${mathcal {M}}$ é finito ou cofinito. O conceito correspondente ao nível das teorias é chamado de minimalidade forte: Uma teoria T é chamado fortemente mínimo se cada modelo de T é mínimo. Uma estrutura é chamada fortemente mínimo se a teoria dessa estrutura é fortemente mínima. Equivalentemente, uma estrutura é fortemente mínima se cada extensão elementar é mínima. Uma vez que a teoria dos campos fechados algébrica tem eliminação de quantificador, cada subconjunto definido de um campo fechado algébrica é definido por uma fórmula livre de quantificadores em uma variável. Fórmulas sem quantificador em uma variável expressam combinações booleanas de equações polinomiais em uma variável, e uma vez que uma equação polinomial não trivial em uma variável tem apenas um número finito de soluções, a teoria de campos fechados algebrais é fortemente mínima.

Por outro lado, o campo $mathbb {R}$ de números reais não é mínimo: Considere, por exemplo, o conjunto definidor

{displaystyle varphi (x);=;exists y(ytimes y=x)}

Isso define o subconjunto de números reais não negativos, que não é nem finito nem cofinito. Um pode de fato usar $varphi$ definir intervalos arbitrários na linha de números real. Acontece que estes são suficientes para representar cada subconjunto definido de $mathbb {R}$ . Esta generalização da minimalidade tem sido muito útil na teoria dos modelos de estruturas ordenadas. Uma estrutura densamente totalmente ordenada ${mathcal {M}}$ em uma assinatura, incluindo um símbolo para a relação de ordem é chamado o-minimal se cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq {mathcal {M}}}$ definível com parâmetros de ${mathcal {M}}$ é uma união finita de pontos e intervalos.

Estruturas definíveis e interpretáveis

Particularmente importantes são aqueles conjuntos definíveis que também são subestruturas, ou seja, contêm todas as constantes e são fechados sob aplicação de função. Por exemplo, pode-se estudar os subgrupos definíveis de um determinado grupo. No entanto, não há necessidade de limitar-se a subestruturas na mesma assinatura. Desde fórmulas com n variáveis livres definem subconjuntos de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ , n- as relações podem também ser definitivas. As funções são definidas se o gráfico de função é uma relação definida e constantes ${displaystyle ain {mathcal {M}}}$ são definidos se houver uma fórmula $varphi (x)$ tal que um é o único elemento de ${mathcal {M}}$ tal que ${displaystyle varphi (a)}$ é verdade. Desta forma, pode-se estudar grupos e campos definidos em estruturas gerais, por exemplo, que tem sido importante na teoria da estabilidade geométrica.

Pode-se até ir um passo mais além, e ir além das subestruturas imediatas. Dada uma estrutura matemática, existem estruturas muito frequentemente associadas que podem ser construídas como um quociente de parte da estrutura original através de uma relação de equivalência. Um exemplo importante é um grupo quociente de um grupo. Pode-se dizer que para entender a estrutura completa deve-se entender esses quocientes. Quando a relação de equivalência é definida, podemos dar à frase anterior um significado preciso. Nós dizemos que essas estruturas são interpretável. Um fato fundamental é que se pode traduzir frases da linguagem das estruturas interpretadas para a linguagem da estrutura original. Assim pode-se mostrar que se uma estrutura ${mathcal {M}}$ interpreta outra cuja teoria é indecidível, então ${mathcal {M}}$ é indecidível.

Tipos

Noções básicas

Para uma sequência de elementos $a_{1},dotsa_{n}$ de uma estrutura ${mathcal {M}}$ e um subconjunto A de ${mathcal {M}}$ , pode-se considerar o conjunto de todas as fórmulas de primeira ordem ${displaystyle varphi (x_{1},dotsx_{n})}$ com parâmetros em A que são satisfeitos por $a_{1},dotsa_{n}$ . Isto é chamado de completo (n-)tipo realizado por $a_{1},dotsa_{n}$ sobre A. Se houver um automorfismo de ${mathcal {M}}$ que é constante A e envia $a_{1},dotsa_{n}$ para $b_{1},dotsb_{n}$ respectivamente, então $a_{1},dotsa_{n}$ e $b_{1},dotsb_{n}$ perceber o mesmo tipo completo sobre A.

A linha de números real $mathbb {R}$ , visto como uma estrutura com apenas a relação de ordem {<}, servirá como um exemplo em execução nesta seção. Cada elemento $ain {mathbb {R}}$ satisfaz o mesmo tipo 1 sobre o conjunto vazio. Isso é claro, já que dois números reais um e b) são conectados pela ordem automorfismo que muda todos os números por b-a. O 2-tipo completo sobre o conjunto vazio realizado por um par de números $a_{1},a_{2}$ depende de sua ordem: ou $<math alttext="{displaystyle a_{1}um1<um2Não. a_{1}<a_{2}}<img alt="{displaystyle a_{1}$ , ${displaystyle a_{1}=a_{2}}$ ou $<math alttext="{displaystyle a_{2}$ um2<um1Não. a_{2}<a_{1}}<img alt="{displaystyle a_{2}. Sobre o subconjunto ${displaystyle mathbb {Z} subseteq mathbb {R} }$ de inteiros, o 1-tipo de um número real não inteiro um depende do seu valor arredondado até o inteiro mais próximo.

Mais geralmente, sempre que ${mathcal {M}}$ é uma estrutura e A um subconjunto de ${mathcal {M}}$ , a (partial) n-tipo sobre A é um conjunto de fórmulas p com no máximo n variáveis livres que são realizadas em uma extensão elementar ${mathcal {N}}$ de ${mathcal {M}}$ . Se p contém toda essa fórmula ou sua negação, então p o completo. O conjunto de completo n-tipos sobre A é frequentemente escrito como ${displaystyle S_{n}^{mathcal {M}}(A)}$ . Se A é o conjunto vazio, então o espaço do tipo só depende da teoria $T$ de ${mathcal {M}}$ . A notação ${displaystyle S_{n}(T)}$ é comumente usado para o conjunto de tipos sobre o conjunto vazio consistente com $T$ . Se houver uma única fórmula $varphi$ tal que a teoria de ${mathcal {M}}$ implica ${displaystyle varphi rightarrow psi }$ para cada fórmula $psi$ em p, então p é chamado isolado.

Desde os números reais $mathbb {R}$ são Arquimedes, não há nenhum número real maior do que cada inteiro. No entanto, um argumento de compactação mostra que há uma extensão elementar da linha de números real em que há um elemento maior do que qualquer inteiro. Portanto, o conjunto de fórmulas $<math alttext="{displaystyle {n(n<x|n\in \in Z.?{displaystyle {n<x|nin mathbb (Z) <img alt="{displaystyle {n$ é um tipo de 1 ${displaystyle mathbb {Z} subseteq mathbb {R} }$ que não é realizada na linha de números real $mathbb {R}$ .

Um subconjunto de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ que pode ser expresso como exatamente aqueles elementos de ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ percebendo um certo tipo de A é chamado tipo definido sobre A. Para um exemplo algébrico, suponha $M$ é um campo algébricamente fechado. A teoria tem eliminação de quantificadores. Isso nos permite mostrar que um tipo é determinado exatamente pelas equações polinomiais que contém. Assim, o conjunto de completo $n$ -tipos sobre um subcampo $A$ corresponde ao conjunto de ideais primos do anel polinomial $A[x_{1},ldotsx_{n}]$ , e os conjuntos tipo-definíveis são exatamente as variedades affine.

Estruturas e tipos

Embora nem todo tipo seja realizado em toda estrutura, toda estrutura realiza seus tipos isolados. Se os únicos tipos sobre o conjunto vazio que são realizados em uma estrutura são os tipos isolados, então a estrutura é chamada atômica.

Por outro lado, nenhuma estrutura realiza todos os tipos em cada conjunto de parâmetros; se alguém toma todos os ${mathcal {M}}$ como o parâmetro definido, então cada 1-tipo sobre ${mathcal {M}}$ Realizado em ${mathcal {M}}$ é isolado por uma fórmula da forma a = x para um ${displaystyle ain {mathcal {M}}}$ . No entanto, qualquer extensão elementar adequada de ${mathcal {M}}$ contém um elemento que é não em ${mathcal {M}}$ . Por isso, uma noção mais fraca foi introduzida que capta a ideia de uma estrutura percebendo todos os tipos que poderia ser esperado para realizar. Uma estrutura é chamada saturado se perceber todos os tipos sobre um conjunto de parâmetros ${displaystyle Asubset {mathcal {M}}}$ que é de cardinalidade menor do que ${mathcal {M}}$ em si.

Enquanto um automorfismo que é constante em A sempre preservar os tipos A, geralmente não é verdade que quaisquer duas sequências $a_{1},dotsa_{n}$ e $b_{1},dotsb_{n}$ que satisfaz o mesmo tipo sobre A pode ser mapeado um para o outro por tal automorfismo. Uma estrutura ${mathcal {M}}$ em que este converso detém para todos A de cardinalidade menor do que ${mathcal {M}}$ é chamado homogêneo.

A linha de número real é atômica na linguagem que contém apenas a ordem $<math alttext="{displaystyle <- Sim. <img alt="$ , desde tudo n-tipos sobre o conjunto vazio realizado por $a_{1},dotsa_{n}$ em $mathbb {R}$ são isolados pelas relações de ordem entre o $a_{1},dotsa_{n}$ . Não é saturado, no entanto, uma vez que não percebe nenhum tipo de 1 sobre o conjunto contável $mathbb {Z}$ que implica x para ser maior do que qualquer inteiro. A linha de número racional $mathbb {Q}$ é saturado, em contraste, desde $mathbb {Q}$ é em si contável e, portanto, só tem que realizar tipos sobre subconjuntos finitos para ser saturado.

Espaços de pedra

O conjunto de subconjuntos definíveis ${displaystyle {mathcal {M}}^{n}}$ sobre alguns parâmetros $A$ é uma álgebra booleana. Por teorema de representação de Stone para álgebras booleanas há um espaço topológico dual natural, que consiste exatamente no completo $n$ -tipos sobre $A$ . A topologia gerada por conjuntos da forma ${displaystyle {p|varphi in p}}$ para fórmulas únicas $varphi$ . Isto é chamado de Espaço de pedra de n-tipos sobre A. Esta topologia explica parte da terminologia utilizada na teoria dos modelos: O teorema da compactação diz que o espaço da Pedra é um espaço topológico compacto e um tipo p é isolado se e somente se p é um ponto isolado na topologia de pedra.

Enquanto tipos em campos algébricamente fechados correspondem ao espectro do anel polinomial, a topologia no espaço do tipo é a topologia construtível: um conjunto de tipos é básico aberto sef é da forma ${displaystyle {p:f(x)=0in p}}$ ou da forma ${p:f(x)neq 0in p}$ . Isto é mais fino do que a topologia de Zariski.

Construindo modelos

Realizando e omitindo tipos

Construir modelos que realizam certos tipos e não realizam outros é uma tarefa importante na teoria de modelos. Não perceber um tipo é referido como omitir, e geralmente é possível pelo teorema de tipos de omissão (contáveis):

Vamos.

{mathcal {T}}

ser uma teoria em uma assinatura contável e deixar

Phi

ser um conjunto contável de tipos não isolados sobre o conjunto vazio.

Então há um modelo

{mathcal {M}}

{mathcal {T}}

que omite cada tipo em

Phi

Isto implica que se uma teoria em uma assinatura contável tem apenas muitos tipos contáveis no conjunto vazio, então esta teoria tem um modelo atômico.

Por outro lado, há sempre uma extensão elementar na qual qualquer conjunto de tipos sobre um conjunto de parâmetros fixos é realizado:

Vamos.

{mathcal {M}}

ser uma estrutura e deixar

Phi

ser um conjunto de tipos completos sobre um determinado conjunto de parâmetros

{displaystyle Asubset {mathcal {M}}.}

Então há uma extensão elementar

{mathcal {N}}

{mathcal {M}}

que percebe todos os tipos

Phi

No entanto, uma vez que o conjunto de parâmetros é fixo e não há nenhuma menção aqui da cardinalidade de ${mathcal {N}}$ , isto não implica que cada teoria tem um modelo saturado. De fato, se cada teoria tem um modelo saturado é independente dos axiomas Zermelo-Fraenkel da teoria dos conjuntos, e é verdade se a hipótese de continuidade generalizada deter.

Ultraprodutos

Os ultraprodutos são usados como uma técnica geral para a construção de modelos que realizam certos tipos. Um ultraproduto é obtido do produto direto de um conjunto de estruturas sobre um conjunto de índices I identificando as tuplas que concordam em quase todas as entradas, onde quase todas é feito com precisão por um ultrafiltro U em I. Um ultraproduto de cópias da mesma estrutura é conhecido como ultrapotência. A chave para usar ultraprodutos na teoria dos modelos é o teorema de Łoś':

Vamos.

{mathcal {M}}_{i}

ser um conjunto de

sigma

-estruturas indexadas por um conjunto de índices Eu... e U um ultrafiltro sobre Eu.... Então qualquer

sigma

- Formula

{displaystyle varphi ([(a_{i})_{iin:I}])}

é verdadeiro no ultraproduto do

{mathcal {M}}_{i}

por

U

se o conjunto de todos

iin I

para os quais

{displaystyle {mathcal {M}}_{i}models varphi (a_{i})}

mentiras U.

Em particular, qualquer ultraproduto de modelos de uma teoria é ele próprio um modelo dessa teoria e, portanto, se dois modelos tiverem ultrapotências isomórficas, eles são elementarmente equivalentes. O teorema de Keisler-Shelah fornece um inverso:

{mathcal {M}}

{mathcal {N}}

são equivalentes elementares, então há um conjunto Eu... e um ultrafiltro U sobre Eu... tal que os ultrapoderes por U de

{mathcal {M}}

{mathcal {N}}

são isomorfos.

Portanto, ultraprodutos fornecem uma maneira de falar sobre equivalência elementar que evita mencionar teorias de primeira ordem. Teoremas básicos da teoria dos modelos, como o teorema da compacidade, têm provas alternativas usando ultraprodutos e podem ser usados para construir extensões elementares saturadas, se existirem.

Categoricidade

Uma teoria foi originalmente chamada de categórica se ela determina uma estrutura até o isomorfismo. Acontece que esta definição não é útil, devido a sérias restrições na expressividade da lógica de primeira ordem. O teorema de Löwenheim–Skolem implica que se uma teoria T tem um modelo infinito para algum número cardinal infinito, então ela tem um modelo de tamanho κ para qualquer número cardinal suficientemente grande κ. Como dois modelos de tamanhos diferentes não podem ser isomórficos, apenas estruturas finitas podem ser descritas por uma teoria categórica.

No entanto, a noção mais fraca de κ-categoria para um cardeal κ tornou-se um conceito chave na teoria dos modelos. Uma teoria T é chamado κ-categorical se algum dois modelos de T que são de cardinality κ são isomorphic. Acontece que a questão da κ-categoria depende criticamente de se κ é maior do que a cardinalidade da linguagem (i.e. $aleph _{0}$ + |σ|, onde |σ| é a cardinalidade da assinatura). Para assinaturas finitas ou contáveis isso significa que há uma diferença fundamental entre $omega$ -cardinalidade e κ-cardinalidade para κ incontável.

Ω-categoricidade

$omega$ - Teorias teológicas pode ser caracterizado por propriedades do seu tipo de espaço:

Para uma teoria completa de primeira ordem T em uma assinatura finita ou contável as seguintes condições são equivalentes:

T o $omega$ -categorical.
Cada tipo S_n(T) é isolado.
Para cada número natural n, S_n(T) é finito.
Para cada número natural n, o número de fórmulas φ(x₁, x_n) em n variáveis livres, até modulo de equivalência T, é finito.

A teoria de $<math alttext="{displaystyle (mathbb {Q}(Q,<)(mathbb {Q}<)} <img alt="{displaystyle (mathbb {Q}$ , que é também a teoria de $<math alttext="{displaystyle (mathbb {R}(R,<)(mathbb {R}<)} <img alt="{displaystyle (mathbb {R}$ , $omega$ -categoricamente, como todos n- Tipo ${displaystyle p(x_{1},dotsx_{n})}$ sobre o conjunto vazio é isolado pela relação de ordem emparelhada entre o $x_{i}$ . Isto significa que cada ordem linear densa contável é ordem-isomorfo para a linha de número racional. Por outro lado, as teorias de $mathbb {Q}$ , $mathbb {R}$ e $mathbb {C}$ como campos não são $omega$ - Teórico. Isto resulta do fato de que em todos esses campos, qualquer um dos números infinitamente muitos naturais pode ser definido por uma fórmula da forma ${displaystyle x=1+dots +1}$ .

$aleph _{0}$ - Teorias tegóricas e seus modelos contáveis também têm fortes laços com grupos oligomorfos:

Uma teoria completa de primeira ordem T em uma assinatura finita ou contável é

omega

-categorical se e somente se seu grupo de automorfismo é oligomorfo.

As caracterizações equivalentes desta subseção, devidas independentemente a Engeler, Ryll-Nardzewski e Svenonius, são às vezes chamadas de teorema de Ryll-Nardzewski.

Em assinaturas combinatórias, uma fonte comum de $omega$ - teorias tegóricas são limites Fraïssé, que são obtidos como limite de amalgamating todas as configurações possíveis de uma classe de estruturas relacionais finitas.

Categoria incontável

Michael Morley mostrou em 1963 que existe apenas uma noção de categoricidade incontável para teorias em linguagens contáveis.

Teorema de categoricidade de Morley

Se uma teoria de primeira ordem T em uma assinatura finita ou contável é κ-categorical para algum cardeal incontável κ, então T é κ-categorical para todos os cardeais incontáveis κ.

A prova de Morley revelou conexões profundas entre a categoricidade incontável e a estrutura interna dos modelos, que se tornou o ponto de partida da teoria da classificação e da teoria da estabilidade. Incontáveis teorias categóricas são, sob muitos pontos de vista, as teorias mais bem-comportadas. Em particular, teorias fortemente mínimas completas são incontavelmente categóricas. Isso mostra que a teoria dos campos algebricamente fechados de uma dada característica é incontavelmente categórica, com o grau de transcendência do campo determinando seu tipo de isomorfismo.

Uma teoria que é ambas $omega$ -categorical e incontavelmente categórica é chamado totalmente categorizada.

Teoria da estabilidade

Um fator chave na estrutura da classe de modelos de uma teoria de primeira ordem é seu lugar na hierarquia de estabilidade.

Uma teoria completa T é chamado $lambda$ - Mesa para um cardeal

lambda

se para qualquer modelo

{mathcal {M}}

de T e qualquer conjunto de parâmetros

{displaystyle Asubset {mathcal {M}}}

de cardinalidade não superior

lambda

, há no máximo

lambda

completo T-tipos sobre A.

Uma teoria é chamada estável se for $lambda$ -estável para um cardeal infinito $lambda$ . Tradicionalmente, teorias que são $aleph _{0}$ -stable são chamados $omega$ - Mesa.

A hierarquia de estabilidade

Um resultado fundamental na teoria da estabilidade é o teorema do espectro de estabilidade, que implica que toda teoria completa T em uma assinatura contável cai em uma das seguintes classes:

Não há cardeais. $lambda$ tal que T o $lambda$ -estável.
T o $lambda$ -estável se e somente se ${displaystyle lambda ^{aleph _{0}}=lambda }$ (veja o Cardeal exponencial para uma explicação de ${displaystyle lambda ^{aleph _{0}}}$ ).
T o $lambda$ -estável para qualquer ${displaystyle lambda geq 2^{aleph _{0}}}$ (onde) $2^{aleph _{0}}$ é a cardinalidade do continuum).

Uma teoria do primeiro tipo é chamada instável, uma teoria do segundo tipo é chamada estritamente estável e uma teoria do terceiro tipo é chamada superestável. Além disso, se uma teoria é $omega$ -estável, é estável em cada cardeal infinito, então $omega$ - a estabilidade é mais forte do que a superstabilidade.

Muitas construções em teoria de modelos são mais fáceis quando restritas a teorias estáveis; por exemplo, todo modelo de uma teoria estável tem uma extensão elementar saturada, independentemente de a hipótese do contínuo generalizado ser verdadeira.

A motivação original de Shelah para estudar teorias estáveis foi decidir quantos modelos uma teoria contável tem de qualquer cardinalidade incontável. Se uma teoria é incontavelmente categórica, então é $omega$ -estável. Mais geralmente, o teorema de lacuna principal implica que se houver um cardeal incontável $lambda$ tal que uma teoria T tem menos do que ${displaystyle 2^{lambda }}$ modelos de cardinalidade $lambda$ , então T é superestável.

Teoria da estabilidade geométrica

A hierarquia de estabilidade também é crucial para analisar a geometria de conjuntos definidos dentro de um modelo de teoria. Em $omega$ - Teorias estáveis, Classificação de Morley é uma noção de dimensão importante para conjuntos definidos S dentro de um modelo. É definido por indução transfinita:

A classificação Morley é pelo menos 0 se S não é vazio.
Para α um ordinal sucessor, a classificação Morley é pelo menos α se em alguma extensão elementar N de M, o conjunto S tem infinitamente muitos subconjuntos definíveis disjuntos, cada um de classificação pelo menos α- 1.
Para α um ordinal limite não zero, a classificação Morley é pelo menos α se for pelo menos β para todos β menos do que α.

Uma teoria T em que cada conjunto definido tem Morley bem definido Rank é chamado totalmente transcendental; se T é contável, então T é totalmente transcendental se e somente se T o $omega$ -estável. Morley Rank pode ser estendido para tipos, definindo o Morley Rank de um tipo para ser o mínimo das fileiras Morley das fórmulas no tipo. Assim, pode-se também falar da classificação Morley de um elemento um sobre um conjunto de parâmetros A, definido como a classificação Morley do tipo de um sobre A. Há também análogos de Morley rank que são bem definidos se e somente se uma teoria é superestável (U-rank) ou meramente estável (Shelah's $infty$ -rank? Essas noções de dimensão podem ser usadas para definir noções de independência e de extensões genéricas.

Mais recentemente, a estabilidade foi decomposta em simplicidade e "não a propriedade de independência" (BELISCAR). As teorias simples são aquelas nas quais uma noção bem-comportada de independência pode ser definida, enquanto as teorias NIP generalizam estruturas o-minimais. Eles estão relacionados à estabilidade, pois uma teoria é estável se e somente se for NIP e simples, e vários aspectos da teoria da estabilidade foram generalizados para teorias em uma dessas classes.

Teoria do modelo não elementar

Os resultados da teoria do modelo foram generalizados além das classes elementares, ou seja, classes axiomatizáveis por uma teoria de primeira ordem.

A teoria do modelo em lógicas de ordem superior ou lógicas infinitárias é dificultada pelo fato de que a completude e a compacidade geralmente não se aplicam a essas lógicas. Isso é concretizado pelo teorema de Lindstrom, afirmando aproximadamente que a lógica de primeira ordem é essencialmente a lógica mais forte na qual ambos os teoremas de Löwenheim-Skolem e a compacidade se sustentam. No entanto, técnicas teóricas de modelos também foram desenvolvidas extensivamente para essas lógicas. Acontece, no entanto, que muito da teoria do modelo de linguagens lógicas mais expressivas é independente da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Mais recentemente, juntamente com a mudança de foco para completar as teorias estáveis e categóricas, tem havido trabalho em classes de modelos definidos semanticamente em vez de axiomatizados por uma teoria lógica. Um exemplo é a teoria do modelo homogêneo, que estuda a classe de subestruturas de modelos homogêneos arbitrariamente grandes. Os resultados fundamentais da teoria da estabilidade e da teoria da estabilidade geométrica se generalizam para esta configuração. Como uma generalização de teorias fortemente mínimas, classes quase excelentes são aquelas em que todo conjunto definível é contável ou co-contável. Eles são a chave para a teoria do modelo da função exponencial complexa. A estrutura semântica mais geral na qual a estabilidade é estudada são classes elementares abstratas, que são definidas por uma relação de subestrutura forte que generaliza aquela de uma subestrutura elementar. Mesmo que sua definição seja puramente semântica, toda classe elementar abstrata pode ser apresentada como os modelos de uma teoria de primeira ordem que omite certos tipos. A generalização de noções teóricas de estabilidade para classes elementares abstratas é um programa de pesquisa em andamento.

Aplicativos selecionados

Entre os primeiros sucessos da teoria dos modelos estão as provas de eliminação de quantificadores de Tarski para várias classes algebricamente interessantes, como os corpos reais fechados, álgebras booleanas e campos algebricamente fechados de uma dada característica. A eliminação de quantificadores permitiu a Tarski mostrar que as teorias de primeira ordem de campos reais fechados e algebricamente fechados, bem como a teoria de primeira ordem de álgebras booleanas, são decidíveis, classificar as álgebras booleanas até a equivalência elementar e mostrar que as teorias de real- campos fechados e campos algebricamente fechados de uma determinada característica são únicos. Além disso, a eliminação do quantificador forneceu uma descrição precisa das relações definíveis em corpos algebricamente fechados como variedades algébricas e das relações definíveis em campos reais fechados como conjuntos semialgébricos

Na década de 1960, a introdução da construção de ultraprodutos levou a novas aplicações em álgebra. Isso inclui o trabalho de Ax sobre campos pseudofinitos, provando que a teoria de corpos finitos é decidível, e a prova de Ax e Kochen como caso especial da conjectura de Artin sobre equações diofantinas, o Ax-Kochen teorema. A construção do ultraproduto também levou ao desenvolvimento da análise não padronizada de Abraham Robinson, que visa fornecer um cálculo rigoroso de infinitesimais.

Mais recentemente, a conexão entre a estabilidade e a geometria de conjuntos definíveis levou a várias aplicações da geometria algébrica e diofantina, incluindo a prova de Ehud Hrushovski em 1996 da conjectura geométrica de Mordell-Lang em todas as características Em 2001, métodos semelhantes foram usados para provar uma generalização da conjectura de Manin-Mumford. Em 2011, Jonathan Pila aplicou técnicas em torno da o-minimalidade para provar a conjectura de André-Oort para produtos de curvas modulares.

Em uma linha separada de investigações que também cresceu em torno de teorias estáveis, Laskowski mostrou em 1992 que as teorias NIP descrevem exatamente aquelas classes definíveis que podem ser aprendidas por PAC na teoria de aprendizado de máquina. Isso levou a várias interações entre essas áreas separadas. Em 2018, a correspondência foi ampliada quando Hunter e Chase mostraram que teorias estáveis correspondem a aulas online que podem ser aprendidas.

História

A teoria do modelo como um assunto existe desde aproximadamente meados do século 20, e o nome foi cunhado por Alfred Tarski, um membro da escola Lwów-Warsaw, em 1954. No entanto, algumas pesquisas anteriores, especialmente em lógica matemática, é muitas vezes considerado como sendo de natureza modelo-teórica em retrospecto. O primeiro resultado significativo no que hoje é a teoria dos modelos foi um caso especial do teorema descendente de Löwenheim-Skolem, publicado por Leopold Löwenheim em 1915. O teorema da compacidade estava implícito no trabalho de Thoralf Skolem, mas foi publicado pela primeira vez em 1930, como um lema na prova de Kurt Gödel de seu teorema da completude. O teorema de Löwenheim–Skolem e o teorema da compacidade receberam suas respectivas formas gerais em 1936 e 1941 de Anatoly Maltsev. O desenvolvimento da teoria dos modelos como uma disciplina independente foi trazido por Alfred Tarski durante o interbellum. O trabalho de Tarski incluiu consequências lógicas, sistemas dedutivos, álgebra da lógica, teoria da definibilidade e definição semântica da verdade, entre outros tópicos. Seus métodos semânticos culminaram na teoria do modelo que ele e vários de seus alunos de Berkeley desenvolveram nas décadas de 1950 e 1960.

Na história posterior da disciplina, diferentes vertentes começaram a surgir e o foco do assunto mudou. Na década de 1960, as técnicas em torno de ultraprodutos tornaram-se uma ferramenta popular na teoria dos modelos. Ao mesmo tempo, pesquisadores como James Axe estavam investigando a teoria do modelo de primeira ordem de várias classes algébricas, e outros como H. Jerome Keisler estavam estendendo os conceitos e resultados da teoria do modelo de primeira ordem para outros sistemas lógicos. Então, inspirado pelo problema de Morley, Shelah desenvolveu a teoria da estabilidade. Seu trabalho em torno da estabilidade mudou a aparência da teoria dos modelos, dando origem a toda uma nova classe de conceitos. Isso é conhecido como mudança de paradigma Nas décadas seguintes, ficou claro que a hierarquia de estabilidade resultante está intimamente ligada à geometria dos conjuntos definíveis nesses modelos; isso deu origem à subdisciplina agora conhecida como teoria da estabilidade geométrica. Um exemplo de prova influente da teoria dos modelos geométricos é a prova de Hrushovski da conjectura de Mordell-Lang para campos de funções.

Conexões com ramos relacionados da lógica matemática

Teoria do modelo finito

A teoria dos modelos finitos, que se concentra em estruturas finitas, diverge significativamente do estudo de estruturas infinitas tanto nos problemas estudados quanto nas técnicas utilizadas. Em particular, muitos resultados centrais da teoria clássica dos modelos falham quando restritos a estruturas finitas. Isso inclui o teorema da compacidade, o teorema da completude de Gödel e o método dos ultraprodutos para lógica de primeira ordem. Na interface da teoria dos modelos finitos e infinitos estão a teoria dos modelos algorítmicos ou computáveis e o estudo das leis 0-1, onde os modelos infinitos de uma teoria genérica de uma classe de estruturas fornecem informações sobre a distribuição de modelos finitos. As áreas de aplicação proeminentes do FMT são a teoria da complexidade descritiva, a teoria do banco de dados e a teoria da linguagem formal.

Teoria dos conjuntos

Qualquer teoria de conjuntos (que é expressa em uma linguagem contável), se for consistente, tem um modelo contável; isso é conhecido como paradoxo de Skolem, pois há sentenças na teoria dos conjuntos que postulam a existência de conjuntos incontáveis e ainda assim essas sentenças são verdadeiras em nosso modelo contável. Particularmente, a prova da independência da hipótese do contínuo requer a consideração de conjuntos em modelos que parecem incontáveis quando vistos dentro do modelo, mas são contáveis para alguém fora do modelo.

O ponto de vista teórico-modelo tem sido útil na teoria dos conjuntos; por exemplo, no trabalho de Kurt Gödel sobre o universo construtível, que, juntamente com o método de forçamento desenvolvido por Paul Cohen, pode ser mostrado para provar a independência (novamente filosoficamente interessante) do axioma da escolha e da hipótese do contínuo da outros axiomas da teoria dos conjuntos.

Na outra direção, a própria teoria dos modelos é formalizada dentro da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Por exemplo, o desenvolvimento dos fundamentos da teoria do modelo (como o teorema da compacidade) depende do axioma da escolha e é de fato equivalente à teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem escolha ao teorema do ideal primo booleano. Outros resultados na teoria do modelo dependem dos axiomas da teoria dos conjuntos além da estrutura ZFC padrão. Por exemplo, se a Hipótese do Continuum se mantiver, então todo modelo contável tem um ultrapoder que está saturado (em sua própria cardinalidade). Da mesma forma, se a Hipótese do Contínuo Generalizado for válida, todo modelo terá uma extensão elementar saturada. Nenhum desses resultados é demonstrável apenas no ZFC. Finalmente, algumas questões decorrentes da teoria dos modelos (como compacidade para lógicas infinitárias) demonstraram ser equivalentes a grandes axiomas cardinais.

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